Lớp 7 · Chương VI: Tỉ lệ thức và đại lượng tỉ lệ

Ôn tập chương 6 - Toán 7

🚀 Khởi động

🎯 Ôn tập chương 6 — Tỉ lệ thức và đại lượng tỉ lệ

Chương 6 giới thiệu tỉ lệ thức và các đại lượng tỉ lệ. Hãy cùng ôn tập lại toàn bộ kiến thức!

⚖️

Tỉ lệ thức

Đẳng thức hai tỉ số

📊

Tỉ lệ thuận

$y = k x$

🔄

Tỉ lệ nghịch

$y = f r a c k x$

🔍 Khám phá

📖 I. LÝ THUYẾT

1. Tỉ lệ thức

Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Ký hiệu: $a : b = c : d$

Các thành phần:

$a, d$ gọi là ngoại tỉ
$b, c$ gọi là trung tỉ

2. Tính chất của tỉ lệ thức

Tính chất cơ bản: Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì $a d = b c$

Tính chất đảo: Nếu $a d = b c$ (với $b, d \neq = 0$ ) thì $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Các tính chất khác:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{d}{c}$
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}$
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{d}{b} = \frac{c}{a}$

3. Dãy tỉ số bằng nhau

Định nghĩa: Dãy tỉ số bằng nhau là:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}$

Tính chất: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a + c + e}{b + d + f} = \frac{a - c}{b - d}$

4. Tỉ lệ thuận

Định nghĩa: Nếu $y = k x$ (với $k$ là hằng số khác 0) thì $y$ tỉ lệ thuận với $x$ , $k$ gọi là hệ số tỉ lệ.

Tính chất:

Nếu $y$ tỉ lệ thuận với $x$ thì $\frac{y _{1}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{x _{2}}$
Nếu $y$ tỉ lệ thuận với $x$ thì $\frac{y _{1}}{y _{2}} = \frac{x _{1}}{x _{2}}$

5. Tỉ lệ nghịch

Định nghĩa: Nếu $y = \frac{k}{x}$ (với $k$ là hằng số khác 0) thì $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ , $k$ gọi là hệ số tỉ lệ.

Tính chất:

Nếu $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ thì $x_{1} y_{1} = x_{2} y_{2}$
Nếu $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ thì $\frac{y _{1}}{y _{2}} = \frac{x _{2}}{x _{1}}$

🌍 II. Các dạng toán trọng tâm và Phương pháp giải

🧩 II. Các dạng toán trọng tâm và Phương pháp giải

Dạng 1: Tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Phương pháp:

Vận dụng $a \cdot d = b \cdot c$ để tìm số hạng chưa biết.
Vận dụng dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z} = \frac{a \pm b \pm c}{x \pm y \pm z}$ .

Ví dụ 1.1: Tìm $x, y$ biết $\frac{x}{4} = \frac{y}{7}$ và $x + y = 44$ .

Lời giải

Ta có:

\frac{x}{4} = \frac{y}{7} = \frac{x + y}{4 + 7} = \frac{44}{11} = 4

. Do đó

x = 16, y = 28

Ví dụ 1.2: Tìm $x, y, z$ biết $\frac{x}{3} = \frac{y}{4}, \frac{y}{5} = \frac{z}{6}$ và $x + y - z = 14$ .

Lời giải

Ta có

\frac{x}{15} = \frac{y}{20}

và

\frac{y}{20} = \frac{z}{24} \Rightarrow \frac{x}{15} = \frac{y}{20} = \frac{z}{24}

. Áp dụng tính chất:

\frac{x}{15} = \frac{y}{20} = \frac{z}{24} = \frac{x + y - z}{15 + 20 - 24} = \frac{14}{11}

(giả sử đề bài có thể có số khác, với đề này kết quả là phân số).

Ví dụ 1.3: Tìm $x$ trong tỉ lệ thức: $\frac{x - 1}{5} = \frac{3}{x + 1}$ .

Lời giải

Áp dụng tính chất:

(x - 1) (x + 1) = 3 \cdot 5 = 15

x^{2} - 1 = 15 \Rightarrow x^{2} = 16 \Rightarrow x = \pm 4

Bài toán thực tế 1.1: Số học sinh giỏi của khối 6 và khối 7 tỉ lệ với 5 và 6. Biết khối 7 có nhiều hơn khối 6 là 15 học sinh giỏi. Tìm số học sinh giỏi của mỗi khối.

Lời giải

\frac{x}{5} = \frac{y}{6} = \frac{y - x}{1} = 15

. Số học sinh khối 6 là 75, khối 7 là 90.

Bài toán thực tế 1.2: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 100m. Chiều rộng và chiều dài tỉ lệ với 2 và 3. Tính diện tích khu vườn.

Lời giải

Nửa chu vi = 50.

\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{50}{5} = 10 \Rightarrow a = 20, b = 30

. Diện tích =

20 \cdot 30 = 600 m^{2}

Bài toán thực tế 1.3: Ba người thợ làm ra số sản phẩm tỉ lệ với 3, 4, 5. Biết người thứ ba làm nhiều hơn người thứ nhất 30 sản phẩm. Tìm tổng số sản phẩm 3 người làm được.

Lời giải

\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = \frac{z - x}{2} = \frac{30}{2} = 15

. Tổng sản phẩm =

15 \cdot (3 + 4 + 5) = 15 \cdot 12 = 180

Dạng 2: Đại lượng tỉ lệ thuận

Phương pháp: Hai đại lượng $y$ và $x$ tỉ lệ thuận thì $y = k x$ (hay $\frac{y _{1}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{x _{2}} = k$ ).

Ví dụ 2.1: Biết $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số $k = 5$ . Khi $y = 35$ thì $x$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

y = 5 x \Rightarrow 35 = 5 x \Rightarrow x = 7

Ví dụ 2.2: Cho $x, y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Biết $x_{1} = 4, y_{1} = 12, x_{2} = - 2$ . Tìm $y_{2}$ .

Lời giải

\frac{y _{1}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{x _{2}} \Rightarrow \frac{12}{4} = \frac{y _{2}}{- 2} \Rightarrow 3 = \frac{y _{2}}{- 2} \Rightarrow y_{2} = - 6

Ví dụ 2.3: Cho tam giác có chu vi 45 cm, ba cạnh tỉ lệ thuận với 2, 3, 4. Tính 3 cạnh.

Lời giải

\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = \frac{45}{9} = 5

a = 10, b = 15, c = 20

Bài toán thực tế 2.1: 5 lít nước biển chứa 175g muối. Hỏi 3 khối nước biển (3 mét khối = 3000 lít) chứa bao nhiêu kg muối?

Lời giải

Khối lượng muối và thể tích nước là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

\frac{175}{5} = \frac{x}{3000} \Rightarrow 35 = \frac{x}{3000} \Rightarrow x = 105000

g = 105 kg.

Bài toán thực tế 2.2: Để làm 1500 cái bánh cần 120 kg bột. Cần bao nhiêu kg bột để làm 2500 cái bánh?

Lời giải

\frac{120}{1500} = \frac{x}{2500} \Rightarrow x = \frac{120 \cdot 2500}{1500} = 200

kg.

Bài toán thực tế 2.3: Một đồng hồ chạy chậm 3 phút mỗi 12 giờ. Hỏi trong 5 ngày đồng hồ đó chạy chậm bao nhiêu phút?

Lời giải

5 ngày = 120 giờ.

\frac{3}{12} = \frac{x}{120} \Rightarrow x = \frac{3 \cdot 120}{12} = 30

phút.

Dạng 3: Đại lượng tỉ lệ nghịch

Phương pháp: Hai đại lượng $y$ và $x$ tỉ lệ nghịch thì $x \cdot y = a$ (hay $x_{1} y_{1} = x_{2} y_{2}$ ).

Ví dụ 3.1: Biết $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ . Khi $x = 2$ thì $y = 6$ . Tìm $y$ khi $x = - 4$ .

Lời giải

x_{1} y_{1} = x_{2} y_{2} \Rightarrow 2 \cdot 6 = (- 4) \cdot y_{2} \Rightarrow y_{2} = 12 : (- 4) = - 3

Ví dụ 3.2: Tìm 3 số tỉ lệ nghịch với 2, 3, 5, biết tổng của chúng bằng 62.

Lời giải

2 x = 3 y = 5 z \Rightarrow \frac{x}{15} = \frac{y}{10} = \frac{z}{6} = \frac{62}{31} = 2 \Rightarrow x = 30, y = 20, z = 12

Ví dụ 3.3: Cho biết $x$ và $y$ tỉ lệ nghịch theo hệ số 36. Lập bảng giá trị tương ứng của $y$ khi $x = 1; 2; 3; 4$ .

Lời giải

x \cdot y = 36 \Rightarrow y = 36/ x

. Bảng giá trị: (1; 36), (2; 18), (3; 12), (4; 9).

Bài toán thực tế 3.1: Một đội thợ 15 người xây xong một ngôi nhà trong 30 ngày. Nếu muốn xây xong trong 18 ngày thì cần bao nhiêu thợ?

Lời giải

15 \cdot 30 = x \cdot 18 \Rightarrow 450 = 18 x \Rightarrow x = 25

người thợ.

Bài toán thực tế 3.2: Quãng đường AB dài 120 km. Ô tô đi với vận tốc 60 km/h hết 2 giờ. Nếu đi với vận tốc 40 km/h thì mất mấy giờ?

Lời giải

60 \cdot 2 = 40 \cdot t \Rightarrow 120 = 40 t \Rightarrow t = 3

giờ.

Bài toán thực tế 3.3: Một số tiền mua được 30 quyển vở loại 10k/quyển. Nếu mua quyển vở loại 15k/quyển thì mua được bao nhiêu quyển?

Lời giải

Số tiền cố định là

30 \cdot 10 = 300

k. Mua vở 15k thì số quyển là

300 : 15 = 20

quyển.

✏️ Luyện tập

📝 II. LUYỆN TẬP - TRẮC NGHIỆM

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Tỉ lệ thức là:

🌍 Vận dụng

🌍 III. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1: Tỉ lệ thức

Kiểm tra xem các cặp tỉ số sau có lập thành tỉ lệ thức không:

a) $\frac{2}{3}$ và $\frac{4}{6}$

b) $\frac{3}{5}$ và $\frac{6}{11}$

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$ vì $2 \times 6 = 3 \times 4 = 12$ ✓

b) $\frac{3}{5} \neq = \frac{6}{11}$ vì $3 \times 11 = 33 \neq = 5 \times 6 = 30$ ✗

Bài 2: Tìm số hạng chưa biết

Tìm $x$ trong các tỉ lệ thức:

a) $\frac{x}{4} = \frac{3}{2}$

b) $\frac{5}{x} = \frac{10}{6}$

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) $\frac{x}{4} = \frac{3}{2}$ ⟹ $x = \frac{3 \times 4}{2} = 6$

b) $\frac{5}{x} = \frac{10}{6}$ ⟹ $x = \frac{5 \times 6}{10} = 3$

Bài 3: Dãy tỉ số bằng nhau

Cho $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5}$ và $a + b + c = 20$ . Tìm $a$ , $b$ , $c$ .

📊 Xem lời giải

Lời giải:

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5} = \frac{a + b + c}{2 + 3 + 5} = \frac{20}{10} = 2$

Vậy:

$a = 2 \times 2 = 4$
$b = 3 \times 2 = 6$
$c = 5 \times 2 = 10$

Bài 4: Tỉ lệ thuận

Cho $y$ tỉ lệ thuận với $x$ . Biết $y = 6$ khi $x = 2$ .

a) Tìm hệ số tỉ lệ

b) Viết công thức liên hệ giữa $y$ và $x$

c) Tính $y$ khi $x = 5$

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) Hệ số tỉ lệ: $k = \frac{y}{x} = \frac{6}{2} = 3$

b) Công thức: $y = 3 x$

c) Khi $x = 5$ : $y = 3 \times 5 = 15$

Bài 5: Tỉ lệ nghịch

Cho $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ . Biết $y = 4$ khi $x = 3$ .

a) Tìm hệ số tỉ lệ

b) Viết công thức liên hệ giữa $y$ và $x$

c) Tính $y$ khi $x = 6$

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) Hệ số tỉ lệ: $k = x y = 4 \times 3 = 12$

b) Công thức: $y = \frac{12}{x}$

c) Khi $x = 6$ : $y = \frac{12}{6} = 2$

Bài 6: Bài toán thực tế

Một công nhân làm việc với năng suất không đổi. Nếu làm 8 giờ được 40 sản phẩm.

a) Tìm hệ số tỉ lệ

b) Nếu làm 10 giờ, được bao nhiêu sản phẩm?

c) Để làm được 100 sản phẩm, cần bao nhiêu giờ?

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) Hệ số tỉ lệ: $k = \frac{40}{8} = 5$ (sản phẩm/giờ)

b) Làm 10 giờ: $5 \times 10 = 50$ (sản phẩm)

c) Để làm 100 sản phẩm: $\frac{100}{5} = 20$ (giờ)

Bài 7: Bài toán kết hợp

Cho $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5}$ và $2 a + b - c = 10$ . Tìm $a$ , $b$ , $c$ .

📊 Xem lời giải

Lời giải:

Đặt $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5} = k$

Suy ra: $a = 3 k$ , $b = 4 k$ , $c = 5 k$

Thay vào: $2 (3 k) + 4 k - 5 k = 10$

$6 k + 4 k - 5 k = 10$

$5 k = 10$

$k = 2$

Vậy: $a = 6$ , $b = 8$ , $c = 10$

Bài 8: Bài toán thực tế

Một hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng tỉ lệ với 3 và 2. Nếu chiều dài là 12 cm, tìm chiều rộng.

📊 Xem lời giải

Lời giải:

Gọi chiều dài là $a$ , chiều rộng là $b$ .

$\frac{a}{3} = \frac{b}{2}$

$\frac{12}{3} = \frac{b}{2}$

$4 = \frac{b}{2}$

$b = 8$ (cm)

Bài 9: Bài toán nâng cao (Câu lớn)

Cho $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4}$ và $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 116$ . Tìm $a$ , $b$ , $c$ .

📊 Xem lời giải

Lời giải:

Đặt $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = k$

Suy ra: $a = 2 k$ , $b = 3 k$ , $c = 4 k$

Thay vào: $(2 k)^{2} + (3 k)^{2} + (4 k)^{2} = 116$

$4 k^{2} + 9 k^{2} + 16 k^{2} = 116$

$29 k^{2} = 116$

$k^{2} = 4$

$k = \pm 2$

Nếu $k = 2$ : $a = 4$ , $b = 6$ , $c = 8$

Nếu $k = - 2$ : $a = - 4$ , $b = - 6$ , $c = - 8$

Bài 10: Bài toán nâng cao (Câu lớn)

Một đội công nhân có 3 người. Năng suất làm việc của họ tỉ lệ với 2, 3, 4. Nếu tổng sản phẩm trong một ngày là 180 sản phẩm, tìm số sản phẩm mỗi người làm được.

📊 Xem lời giải

Lời giải:

Gọi số sản phẩm của 3 người lần lượt là $a$ , $b$ , $c$ .

$\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4}$ và $a + b + c = 180$

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = \frac{a + b + c}{2 + 3 + 4} = \frac{180}{9} = 20$

Vậy:

Người 1: $a = 2 \times 20 = 40$ (sản phẩm)
Người 2: $b = 3 \times 20 = 60$ (sản phẩm)
Người 3: $c = 4 \times 20 = 80$ (sản phẩm)

⭐ Ghi nhớ

💡 Những điều cần ghi nhớ

Tỉ lệ thức: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ⟺ $a d = b c$
Ngoại tỉ: $a, d$ ; Trung tỉ: $b, c$
Dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d}$
Tỉ lệ thuận: $y = k x$ (với $k$ là hệ số tỉ lệ)
Tỉ lệ nghịch: $y = \frac{k}{x}$ (với $k$ là hệ số tỉ lệ)
Tính chất tỉ lệ thuận: $\frac{y _{1}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{x _{2}}$
Tính chất tỉ lệ nghịch: $x_{1} y_{1} = x_{2} y_{2}$

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Tìm $x, y$ biết $\frac{x}{5} = \frac{y}{9}$ và $y - x = 20$ .

Bài 2: Biết $x, y, z$ tỉ lệ với $2, 5, 8$ và $x - y + z = 15$ . Tìm $x, y, z$ .

Bài 3: Lập các tỉ lệ thức có thể được từ đẳng thức $2.5 \cdot 8 = 4 \cdot 5$ .

Bài 4: Số công nhân của 3 xưởng 1, 2, 3 tỉ lệ nghịch với 2, 3, 4. Tổng số công nhân của xưởng 1 và xưởng 2 là 100 người. Tính số công nhân của xưởng 3.

Bài 5: Một cửa hàng nhập về một số gạo. Nếu chia thành các bao 5kg thì được 120 bao. Nếu chia thành các bao 15kg thì được bao nhiêu bao?

Bài 6: Chu vi một tam giác là 60 cm. Ba đường cao của tam giác tỉ lệ với 3, 4, 6. Tính ba cạnh của tam giác đó (nhớ rằng trong tam giác, độ dài cạnh tỉ lệ nghịch với đường cao tương ứng).

Bài 7: Chia số 210 thành 3 phần tỉ lệ thuận với 2, 3, 5. Hỏi phần lớn nhất là bao nhiêu?

Bài 8: Cho đại lượng $y$ tỉ lệ thuận với đại lượng $x$ theo hệ số $k = 3$ , và đại lượng $z$ tỉ lệ nghịch với đại lượng $y$ theo hệ số $a = 15$ . Hỏi $z$ tỉ lệ nghịch hay thuận với $x$ ? Tìm hệ số.

Bài 9: Đội A có 20 công nhân làm một công việc trong 12 ngày. Hỏi nếu đội A được bổ sung thêm 4 công nhân nữa thì công việc hoàn thành sớm hơn mấy ngày? (năng suất mọi người như nhau).

Bài 10: Hai thanh kim loại có khối lượng bằng nhau. Thanh thứ nhất làm bằng nhôm ( $2.7 g/cm^{3}$ ), thanh thứ hai làm bằng sắt ( $7.8 g/cm^{3}$ ). Thanh nào có thể tích lớn hơn và lớn hơn gấp bao nhiêu lần?

📊 Đáp số

Bài 1: $\frac{y - x}{9 - 5} = \frac{20}{4} = 5 \Rightarrow x = 25, y = 45$ .

Bài 2: $\frac{x}{2} = \frac{y}{5} = \frac{z}{8} = \frac{x - y + z}{2 - 5 + 8} = \frac{15}{5} = 3 \Rightarrow x = 6, y = 15, z = 24$ .

Bài 3: $\frac{2.5}{4} = \frac{5}{8}; \frac{2.5}{5} = \frac{4}{8}; \frac{8}{4} = \frac{5}{2.5}; \frac{8}{5} = \frac{4}{2.5}$ .

Bài 4: $2 x = 3 y = 4 z \Rightarrow \frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{3}$ . $x + y = 100 \Rightarrow \frac{x + y}{10} = 10$ . Vậy $z = 3 \cdot 10 = 30$ người.

Bài 5: Tỉ lệ nghịch: $5 \cdot 120 = 15 \cdot x \Rightarrow x = 40$ bao.

Bài 6: $a \cdot 3 = b \cdot 4 = c \cdot 6 \Rightarrow \frac{a}{4} = \frac{b}{3} = \frac{c}{2} = \frac{60}{9} = \frac{20}{3}$ . Các cạnh: $\frac{80}{3} cm; 20 cm; \frac{40}{3} cm$ .

Bài 7: $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5} = \frac{210}{10} = 21$ . Phần lớn nhất $c = 5 \cdot 21 = 105$ .

Bài 8: $y = 3 x, z = \frac{15}{y} \Rightarrow z = \frac{15}{3 x} = \frac{5}{x}$ . Vậy $z$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số 5.

Bài 9: 24 công nhân làm trong: $20 \cdot 12 : 24 = 10$ ngày. Hoàn thành sớm hơn $12 - 10 = 2$ ngày.

Bài 10: $V_{1} \cdot D_{1} = V_{2} \cdot D_{2} \Rightarrow \frac{V _{1}}{V _{2}} = \frac{D _{2}}{D _{1}} = \frac{7.8}{2.7} \approx 2.89$ . Thanh nhôm có thể tích lớn hơn gần 2.89 lần.