Lớp 7 · Chương IV: Tam giác bằng nhau

Bài 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

🚀 Khởi động

🎯 Tam giác vuông bằng nhau

📐

Tam giác vuông

Có một góc vuông

✓

Trường hợp đặc biệt

Cạnh huyền - cạnh góc vuông

🔍 Khám phá

📖 1. Các trường hợp chung

Tam giác vuông cũng áp dụng được các trường hợp bằng nhau của tam giác thường:

Hai cạnh góc vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (c.g.c)
Cạnh góc vuông và góc nhọn kề: Nếu một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh đó của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh đó của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (g.c.g)

⭐ 2. Trường hợp đặc biệt

Trường hợp cạnh huyền - góc nhọn:

Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông:

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Ví dụ: Tam giác $A B C$ và $D E F$ vuông tại $A$ và $D$ , có:

$B C = E F$ (cạnh huyền)
$A B = D E$ (cạnh góc vuông)

Kết luận: $t r ian g l e A B C = t r ian g l eD E F$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

🌍 Vận dụng

📐 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết hai tam giác vuông bằng nhau theo trường hợp đặc biệt

Ví dụ 1: Cho $t r ian g l e A B C$ vuông tại $A$ có $A B = 5$ cm, $A C = 12$ cm. Cho $t r ian g l eD E F$ vuông tại $D$ có $D E = 5$ cm, $D F = 12$ cm. Xác định trường hợp bằng nhau.

Giải: Hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau ( $A B = D E$ và $A C = D F$ ). Vậy $t r ian g l e A B C = t r ian g l eD E F$ theo trường hợp hai cạnh góc vuông (c.g.c).

Ví dụ 2: Cho $t r ian g l e A B C$ vuông tại $A$ có $B C = 13$ cm, $A B = 5$ cm. Cho $t r ian g l eD E F$ vuông tại $D$ có $E F = 13$ cm, $D E = 5$ cm. Xác định trường hợp bằng nhau.

Giải: Hai tam giác vuông có cạnh huyền và một cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau ( $B C = E F$ và $A B = D E$ ). Vậy $t r ian g l e A B C = t r ian g l eD E F$ theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông.

Ví dụ 3: Cho $t r ian g l e A B C$ vuông tại $A$ có $B C = 10$ cm, $an g l e B = 30°$ . Cho $t r ian g l eD E F$ vuông tại $D$ có $E F = 10$ cm, $an g l e E = 30°$ . Xác định trường hợp bằng nhau.

Giải: Hai tam giác vuông có cạnh huyền và một góc nhọn tương ứng bằng nhau ( $B C = E F$ và $an g l e B = an g l e E$ ). Vậy $t r ian g l e A B C = t r ian g l eD E F$ theo trường hợp cạnh huyền - góc nhọn.

Dạng 2: Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau

Ví dụ 1: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , kẻ $A H p er pB C$ . Chứng minh $t r ian g l e A B H = t r ian g l e A C H$ nếu $A B = A C$ .

Giải: Xét $t r ian g l e A B H$ và $t r ian g l e A C H$ (vuông tại $H$ ) có:

$A B = A C$ (gt)
$A H$ chung

Vậy $t r ian g l e A B H = t r ian g l e A C H$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Ví dụ 2: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , có $A B = A C$ . Kẻ $B M p er p A C$ tại $M$ , kẻ $C N p er p A B$ tại $N$ . Chứng minh $t r ian g l e A B M = t r ian g l e A C N$ .

Giải: Xét $t r ian g l e A B M$ và $t r ian g l e A C N$ (vuông tại $M$ và $N$ ) có:

$A B = A C$ (gt)
$an g l e A$ chung

Vậy $t r ian g l e A B M = t r ian g l e A C N$ (cạnh huyền - góc nhọn).

Ví dụ 3: Cho hình vuông $A B C D$ , kẻ $A H p er pB D$ tại $H$ . Chứng minh $t r ian g l e A B H = t r ian g l e A C H$ .

Giải: Xét $t r ian g l e A B H$ và $t r ian g l e A C H$ (vuông tại $H$ ) có:

$A B = A C$ (cạnh hình vuông)
$A H$ chung

Vậy $t r ian g l e A B H = t r ian g l e A C H$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Dạng 3: Tính cạnh/khi biết hai tam giác vuông bằng nhau

Ví dụ 1: Cho $t r ian g l e A B C = t r ian g l eD E F$ , vuông tại $A$ và $D$ . Biết $A B = 3$ cm, $B C = 5$ cm. Tính $D E$ và $E F$ .

Giải: Vì $t r ian g l e A B C = t r ian g l eD E F$ nên các cạnh tương ứng bằng nhau:

$D E = A B = 3$ cm
$E F = B C = 5$ cm

Ví dụ 2: Cho $t r ian g l e A B C = t r ian g l eD E F$ , vuông tại $A$ và $D$ . Biết $A C = 8$ cm, $D F = 8$ cm, $B C = 10$ cm. Tính $A B$ .

Giải: Vì $t r ian g l e A B C = t r ian g l eD E F$ nên $A B = D E$ . Áp dụng định lý Pytago trong $t r ian g l e A B C$ : $A B^{2} = B C^{2} - A C^{2} = 1 0^{2} - 8^{2} = 100 - 64 = 36$ . Vậy $A B = 6$ cm.

Ví dụ 3: Cho $t r ian g l e A B C = t r ian g l eD E F$ , vuông tại $A$ và $D$ . Biết $A B = 5$ cm, $an g l e B = 60°$ . Tính $B C$ .

Giải: Vì $t r ian g l e A B C = t r ian g l eD E F$ nên $B C = E F$ . Trong $t r ian g l e A B C$ vuông tại $A$ : $cos B = f r a c A B B C$ . Suy ra $B C = f r a c A B cos B = f r a c 5 cos 60° = f r a c 5 0.5 = 10$ cm.

✏️ Thực hành tương tác

∟

Thực hành: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Tam giác vuông có mấy trường hợp bằng nhau?

Điểm: 0/0

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Hai tam giác vuông bằng nhau nếu có:

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1 (Thiết kế thanh chống khung cửa): Một khung cửa sổ hình chữ nhật $A B C D$ có hai thanh chống chéo $A C$ và $B D$ bằng thép. Người thợ muốn kiểm tra xem hai tam giác vuông $△ A B C$ và $△ D C B$ có bằng nhau không.

a) Chứng minh $△ A B C = △ D C B$ .
b) Nêu trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông này.

Lời giải:

a) Xét $△ A B C$ (vuông tại $B$ ) và $△ D C B$ (vuông tại $C$ ) có:
- $A B = D C$ (hai cạnh đối hình chữ nhật)
- $B C$ chung (cạnh góc vuông)
- Vậy $△ A B C = △ D C B$ (hai cạnh góc vuông).
b) Trường hợp bằng nhau là hai cạnh góc vuông (c.g.c).

📝 Bài toán 2 (Mái nhà hình tam giác cân): Một ngôi nhà có mái hình tam giác $A B C$ vuông cân tại $A$ với $A B = A C = 5$ m. Người ta muốn lắp thêm một thanh chống $A H ⊥ B C$ .

a) Chứng minh $△ A B H = △ A C H$ .
b) Tính chiều dài thanh chống $A H$ và chiều rộng mái $B C$ .

Lời giải:

a) Xét $△ A B H$ (vuông tại $H$ ) và $△ A C H$ (vuông tại $H$ ) có:
- $A B = A C = 5$ m (gt)
- $A H$ chung
- Vậy $△ A B H = △ A C H$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
b) Áp dụng định lý Pytago trong $△ A B C$ vuông tại $A$ : $B C = A B^{2} + A C^{2} = 5^{2} + 5^{2} = 50 = 52 \approx 7, 07$ m.
- Do $△ A B H = △ A C H$ nên $H$ là trung điểm $B C$ , suy ra $B H = \frac{B C}{2} = \frac{5 2}{2}$ m.
- Chiều dài thanh chống: $A H = A B^{2} - B H^{2} = 25 - 12, 5 = 12, 5 = \frac{5 2}{2} \approx 3, 54$ m.

📝 Bài toán 3 (Đo chiều cao cột cờ bằng góc nghiêng): Hai học sinh đứng ở hai phía đối diện của một ngọn tháp $S H$ (vuông góc với mặt đất tại $H$ ), cách $H$ các khoảng $H A$ và $H B$ . Biết $H A = H B = 20$ m và góc quan sát đỉnh tháp $S A H = S B H = 4 5^{\circ}$ .

a) Chứng minh $△ S A H = △ S B H$ .
b) Tính chiều cao ngọn tháp $S H$ .

Lời giải:

a) Xét $△ S A H$ (vuông tại $H$ ) và $△ S B H$ (vuông tại $H$ ) có:
- $H A = H B = 20$ m
- $S A H = S B H = 4 5^{\circ}$
- Vậy $△ S A H = △ S B H$ (cạnh góc vuông - góc nhọn kề).
b) Trong tam giác vuông $S A H$ có $S A H = 4 5^{\circ}$ nên tam giác $S A H$ vuông cân tại $H$ , suy ra $S H = H A = 20$ m. Ngọn tháp cao 20 m.

⭐ Ghi nhớ

Hai cạnh góc vuông: Áp dụng c.g.c
Cạnh góc vuông - góc nhọn kề: Áp dụng g.c.g
Cạnh huyền - góc nhọn: Trường hợp đặc biệt
Cạnh huyền - cạnh góc vuông: Trường hợp đặc biệt
Tam giác vuông có 4 trường hợp bằng nhau

📝 Bài tập tự luận

Câu 1: Cho $t r ian g l e A B C$ vuông tại $A$ có $A B = 6$ cm, $A C = 8$ cm. Cho $t r ian g l eD E F$ vuông tại $D$ có $D E = 6$ cm, $D F = 8$ cm.

a) Tính cạnh huyền $B C$ và $E F$ .

b) Hai tam giác có bằng nhau không? Nêu trường hợp bằng nhau.

c) Tính diện tích tam giác $A B C$ .

Câu 2: Cho $t r ian g l e A B C$ vuông tại $A$ có $B C = 10$ cm, $A B = 6$ cm. Cho $t r ian g l eD E F$ vuông tại $D$ có $E F = 10$ cm, $D E = 6$ cm.

a) Tính cạnh góc vuông $A C$ và $D F$ .

b) Chứng minh $t r ian g l e A B C = t r ian g l eD E F$ .

c) Tính chu vi của mỗi tam giác.

Câu 3: Cho $t r ian g l e A B C$ vuông tại $A$ có $A B = 5$ cm, $an g l e B = 60°$ . Cho $t r ian g l eD E F$ vuông tại $D$ có $D E = 5$ cm, $an g l e E = 60°$ .

a) Tính góc $C$ và góc $F$ .

b) Hai tam giác có bằng nhau không? Nêu trường hợp bằng nhau.

c) Tính cạnh huyền $B C$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Câu 4: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , kẻ đường cao $A H p er pB C$ .

a) Chứng minh $t r ian g l e A B H$ vuông tại $H$ .

b) Nếu $A B = A C$ , chứng minh $t r ian g l e A B H = t r ian g l e A C H$ .

c) Nếu $A B = 5$ cm, $A C = 12$ cm, tính $A H$ .

Câu 5: Cho hình chữ nhật $A B C D$ có $A B = 6$ cm, $A D = 8$ cm. Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo.

a) Tính độ dài đường chéo $A C$ .

b) Chứng minh $t r ian g l e A O B = t r ian g l e C O D$ .

c) Tính diện tích tam giác $A O B$ .

Câu 6: Cho $t r ian g l e A B C$ vuông cân tại $A$ có cạnh góc vuông $A B = A C = 5$ cm. Kẻ $A H p er pB C$ .

a) Tính cạnh huyền $B C$ .

b) Chứng minh $H$ là trung điểm của $B C$ .

c) Tính độ dài đường cao $A H$ .

Câu 7: Cho $t r ian g l e A B C$ vuông tại $A$ có $A B = 9$ cm, $A C = 12$ cm. Cho $t r ian g l eD E F$ vuông tại $D$ có $D E = 9$ cm, $an g l e E = an g l e B$ .

a) Chứng minh $t r ian g l e A B C = t r ian g l eD E F$ .

b) Tính cạnh huyền $B C$ và $E F$ .

c) Tính diện tích tam giác $D E F$ .

Câu 8: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , có $A B = A C$ . Kẻ $B M p er p A C$ tại $M$ , kẻ $C N p er p A B$ tại $N$ .

a) Chứng minh $t r ian g l e A B M = t r ian g l e A C N$ .

b) Chứng minh $B M = C N$ .

c) Nếu $A B = A C = 10$ cm, tính $B M$ .

Câu 9 (Ứng dụng thực tế): Một ngôi nhà có mái hình tam giác $A B C$ vuông tại $A$ với $A B = A C = 5$ m. Người ta muốn lắp thêm một thanh chống $A H p er pB C$ .

a) Tính độ dài mái $B C$ .

b) Chứng minh $H$ là trung điểm của $B C$ .

c) Tính độ dài thanh chống $A H$ .

Câu 10 (Ứng dụng thực tế): Một ngọn đèn cao $A B$ (A ở dưới, B ở trên). Từ điểm $C$ trên mặt đất cách chân đèn $A C = 30$ m, đo được góc nâng đến đỉnh đèn $an g l e A C B = 60°$ . Từ điểm $D$ trên mặt đất nằm thẳng hàng với $A$ và $C$ , cách $A$ là $D A = 90$ m, đo được góc nâng đến đỉnh đèn $an g l e A D B = 30°$ .

a) Chứng minh $t r ian g l e A B C$ và $t r ian g l e A B D$ đều vuông tại $A$ .

b) Tính chiều cao đèn $A B$ từ thông tin góc $an g l e A C B = 60°$ .

c) Kiểm tra lại với thông tin góc $an g l e A D B = 30°$ và so sánh kết quả.

📊 Đáp số

Câu 1: a) $B C = E F = 10$ cm; b) Có, hai cạnh góc vuông (c.g.c); c) $S_{A B C} = 24$ cm²

Câu 2: a) $A C = D F = 8$ cm; b) Cạnh huyền - cạnh góc vuông; c) $P = 24$ cm

Câu 3: a) $an g l e C = an g l e F = 30°$ ; b) Có, cạnh góc vuông - góc nhọn kề (g.c.g); c) $B C = 10.0$ cm

Câu 4: a) $an g l e A H B = 90°$ do $A H p er pB C$ ; b) $A B = A C$ , $A H$ chung; c) $A H = f r a c 6013 a pp r o x 4.6$ cm

Câu 5: a) $A C = 10$ cm; b) $O$ là trung điểm hai đường chéo; c) $S_{A O B} = 12$ cm²

Câu 6: a) $B C = 5 s q r t 2 a pp r o x 7.07$ cm; b) Đường cao tam giác cân là đường trung tuyến; c) $A H = f r a c 5 s q r t 2 2 a pp r o x 3.54$ cm

Câu 7: a) G.c.g với $A B = D E$ , $an g l e B = an g l e E$ ; b) $B C = E F = 15$ cm; c) $S_{D E F} = 54$ cm²

Câu 8: a) Cạnh huyền - góc nhọn với $A B = A C$ , $an g l e A$ chung; b) Từ $t r ian g l e A B M = t r ian g l e A C N$ ; c) $B M = 5 s q r t 2 a pp r o x 7.07$ cm

Câu 9: a) $B C = 5 s q r t 2 a pp r o x 7.07$ m; b) Đường cao tam giác cân là đường trung tuyến; c) $A H = f r a c 5 s q r t 2 2 a pp r o x 3.54$ m

Câu 10: a) $A B p er p A C$ và $A B p er p A D$ do đèn thẳng đứng; b) $A B = 30 s q r t 3 a pp r o x 51.96$ m; c) $A B = 90 c d o t t an 30° = 30 s q r t 3 a pp r o x 51.96$ m (trùng khớp)