Lớp 7 · Chương III: Góc và đường thẳng song song

Bài 9: Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết

🚀 Khởi động

🎯 Đường thẳng song song

Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không bao giờ gặp nhau!

∥

Song song

Không giao nhau

📐

Góc so le trong

Bằng nhau

📊

Góc đồng vị

Bằng nhau

🔍 Khám phá

📖 1. Khái niệm đường thẳng song song

Định nghĩa: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung.

Ký hiệu: $a ∥ b$ (đọc là: $a$ song song với $b$ )

📐 2. Góc tạo bởi đường thẳng cắt hai đường thẳng

Khi một đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng $a$ và $b$ , tạo ra 8 góc.

Các cặp góc đặc biệt:

Góc so le trong: Nằm ở hai phía của cắt tuyến, trong khoảng hai đường thẳng
- Góc 3 và góc 5
- Góc 4 và góc 6
Góc đồng vị: Nằm cùng phía của cắt tuyến, cùng vị trí
- Góc 1 và góc 5
- Góc 2 và góc 6
- Góc 3 và góc 7
- Góc 4 và góc 8
Góc trong cùng phía: Nằm cùng phía của cắt tuyến, trong khoảng hai đường thẳng
- Góc 3 và góc 6
- Góc 4 và góc 5

✓ 3. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

Dấu hiệu 1: Nếu hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng song song.

Dấu hiệu 2: Nếu hai góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng song song.

Dấu hiệu 3: Nếu hai góc trong cùng phía bù nhau (tổng bằng $180^\\circ$ ) thì hai đường thẳng song song.

Ví dụ 1: Cho hình vẽ, biết góc 3 = góc 5 = $60^\\circ$ . Chứng minh $a ∥ b$ .

Giải:

Góc 3 và góc 5 là hai góc so le trong và bằng nhau.

Theo dấu hiệu nhận biết, ta có: $a ∥ b$

Ví dụ 2: Cho hình vẽ, biết góc 1 = $70^\\circ$ , góc 5 = $70^\\circ$ . Chứng minh $a ∥ b$ .

Giải:

Góc 1 và góc 5 là hai góc đồng vị và bằng nhau.

Theo dấu hiệu nhận biết, ta có: $a ∥ b$

Ví dụ 3: Cho hình vẽ, biết góc 3 = $70^\\circ$ , góc 6 = $110^\\circ$ . Chứng minh $a ∥ b$ .

Giải:

Góc 3 và góc 6 là hai góc trong cùng phía.

Ta có: góc 3 + góc 6 = $70^\\circ + 110^\\circ = 180^\\circ$

Hai góc trong cùng phía bù nhau nên $a ∥ b$

⚡ 4. Tính chất

Tính chất:

Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
Nếu $a ∥ b$ và $b ∥ c$ thì $a ∥ c$ (tính chất bắc cầu)
Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

🌍 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết hai đường thẳng song song qua dấu hiệu góc Phương pháp giải: Vận dụng ba dấu hiệu nhận biết: hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc trong cùng phía bù nhau (tổng $18 0^{\circ}$ ).

Ví dụ 1: Cho hình vẽ biết góc 3 = góc 5 = $6 0^{\circ}$ . Chứng minh $a ∥ b$ .

Lời giải: Góc 3 và góc 5 là hai góc so le trong và bằng nhau, theo dấu hiệu nhận biết suy ra $a ∥ b$ .

Ví dụ 2: Cho hình vẽ biết góc 1 = $7 0^{\circ}$ và góc 5 = $7 0^{\circ}$ . Chứng minh $a ∥ b$ .

Lời giải: Góc 1 và góc 5 là hai góc đồng vị và bằng nhau nên $a ∥ b$ .

Ví dụ 3: Cho hình vẽ biết góc 3 = $7 0^{\circ}$ và góc 6 = $11 0^{\circ}$ . Chứng minh $a ∥ b$ .

Lời giải: Góc 3 và góc 6 là hai góc trong cùng phía, tổng $7 0^{\circ} + 11 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ (bù nhau) nên $a ∥ b$ .

Dạng 2: Tính số đo góc dựa vào hai đường thẳng song song Phương pháp giải: Khi $a ∥ b$ bị cắt bởi đường thẳng $c$ , các góc so le trong bằng nhau, các góc đồng vị bằng nhau, các góc trong cùng phía bù nhau. Từ một góc đã biết suy ra các góc còn lại.

Ví dụ 1: Cho $a ∥ b$ , đường thẳng $c$ cắt cả hai. Một góc so le trong bằng $6 5^{\circ}$ . Tính góc đồng vị tương ứng.

Lời giải: Vì $a ∥ b$ nên góc đồng vị tương ứng cũng bằng $6 5^{\circ}$ .

Ví dụ 2: Cho $a ∥ b$ , $c$ cắt cả hai. Một góc so le trong bằng $7 5^{\circ}$ . Tính góc trong cùng phía với nó.

Lời giải: Góc trong cùng phía bù với góc so le trong: $18 0^{\circ} - 7 5^{\circ} = 10 5^{\circ}$ .

Ví dụ 3: Cho $a ∥ b$ , $c$ cắt cả hai. Một góc trong cùng phía bằng $2 x$ , góc còn lại bằng $x$ . Tính $x$ .

Lời giải: Hai góc trong cùng phía bù nhau: $2 x + x = 18 0^{\circ} \Rightarrow 3 x = 18 0^{\circ} \Rightarrow x = 6 0^{\circ}$ .

Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song kết hợp tính chất Phương pháp giải: Kết hợp dấu hiệu nhận biết với các tính chất đã biết (góc đối đỉnh, kề bù) để suy ra cặp góc bằng nhau hoặc bù nhau.

Ví dụ 1: Cho $a ⊥ c$ và $b ⊥ c$ . Chứng minh $a ∥ b$ .

Lời giải: Hai góc đồng vị cùng bằng $9 0^{\circ}$ (vì đều vuông góc với $c$ ) nên $a ∥ b$ .

Ví dụ 2: Cho $a ∥ b$ , $b ∥ c$ . Chứng minh $a ∥ c$ .

Lời giải: Theo tính chất bắc cầu: hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Ví dụ 3: Cho hình vẽ, biết $A_{1} = 5 0^{\circ}$ và $B_{2} = 5 0^{\circ}$ . Chứng minh $a ∥ b$ .

Lời giải: Hai góc $A_{1}$ và $B_{2}$ là cặp góc so le trong và bằng nhau nên $a ∥ b$ .

✏️ Thực hành tương tác

∥

Thực hành: Hai đường thẳng song song

Dữ kiện sau thuộc dấu hiệu nào để nhận biết a ∥ b?

Hai góc so le trong bằng nhau

Hai góc đồng vị bằng nhau

Hai góc trong cùng phía bù nhau

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Hai đường thẳng song song là:

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán: Hai thanh ray đường tàu là hai đường thẳng song song. Một thanh gỗ ngang cắt hai thanh ray tạo thành các góc. Biết một góc so le trong bằng $85^\\circ$ .

a) Tính góc so le trong còn lại.

b) Tính các góc đồng vị.

Giải:

a) Vì hai thanh ray song song nên hai góc so le trong bằng nhau = $85^\\circ$

b) Góc đồng vị = góc so le trong = $85^\\circ$

⭐ Ghi nhớ

Đường thẳng song song: Không có điểm chung, ký hiệu $a ∥ b$
Dấu hiệu 1: Góc so le trong bằng nhau → song song
Dấu hiệu 2: Góc đồng vị bằng nhau → song song
Dấu hiệu 3: Góc trong cùng phía bù nhau → song song
Qua một điểm ngoài đường thẳng có duy nhất một đường song song
Tính chất bắc cầu: $a ∥ b$ , $b ∥ c$ → $a ∥ c$

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng $a$ và $b$ , tạo thành cặp góc so le trong bằng nhau.

a) Chứng minh $a ∥ b$ .

b) Nếu đường thẳng $c$ vuông góc với $a$ thì $c$ có vuông góc với $b$ không? Vì sao?

Bài 2: Cho đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng $a$ và $b$ . Biết một cặp góc đồng vị bằng nhau và đều bằng $5 0^{\circ}$ .

a) Chứng minh $a ∥ b$ .

b) Tính các góc còn lại được tạo thành.

Bài 3: Cho đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng $a$ và $b$ . Biết một cặp góc trong cùng phía là $7 0^{\circ}$ và $11 0^{\circ}$ .

a) Chứng minh $a ∥ b$ .

b) Trên hình có tồn tại cặp góc so le trong bằng nhau không? Giải thích.

Bài 4: Cho $a ∥ b$ , đường thẳng $c$ cắt $a$ tại $A$ và cắt $b$ tại $B$ . Biết một góc so le trong bằng $6 5^{\circ}$ .

a) Tính góc so le trong còn lại.

b) Tính góc đồng vị và góc trong cùng phía với góc đã cho.

Bài 5: Cho $a ∥ b$ , đường thẳng $c$ cắt $a$ và $b$ . Biết một góc đồng vị bằng $8 0^{\circ}$ .

a) Tính góc đồng vị còn lại.

b) Tính các góc trong cùng phía.

Bài 6: Cho ba đường thẳng $a$ , $b$ , $c$ . Biết $a ∥ b$ và $c ∥ b$ nhưng $a$ và $c$ phân biệt.

a) Chứng minh $a ∥ c$ .

b) Em có nhận xét gì về số đường thẳng đi qua một điểm song song với một đường thẳng cho trước? Hãy phát biểu tiên đề liên quan.

Bài 7: Cho hai đường thẳng $a$ , $b$ cùng vuông góc với đường thẳng $c$ .

a) Chứng minh $a ∥ b$ .

b) Cho thêm đường thẳng $d$ cắt $a$ tạo thành một góc $5 5^{\circ}$ . Tính các góc tạo bởi $d$ và $b$ .

Bài 8: Cho hình vẽ có $A_{1} = 4 2^{\circ}$ , $B_{2} = 4 2^{\circ}$ (cặp góc so le trong).

a) Chứng minh $a ∥ b$ .

b) Tính $A_{3}$ và $B_{1}$ (các góc kề bù), từ đó kết luận về cặp góc trong cùng phía.

Bài 9 (Ứng dụng thực tế - Đường ray): Hai thanh ray của đường tàu được xem là hai đường thẳng song song. Người ta đặt một thanh ngang cắt hai thanh ray, tạo thành một góc so le trong bằng $8 5^{\circ}$ .

a) Tính góc so le trong còn lại.

b) Tính các góc đồng vị và góc trong cùng phía. Giải thích ý nghĩa của việc các thanh ray song song trong giao thông.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế - Cây thước): Một người dùng thước để kẻ hai đường thẳng song song bằng cách đặt thước tạo với cạnh thước kia một góc $7 2^{\circ}$ rồi trượt thước. Khẳng định rằng hai đường kẻ được là song song.

a) Giải thích vì sao khẳng định trên là đúng.

b) Khi các đường kẻ đó song song, một đường ngang cắt chúng tạo thành góc trong cùng phía là bao nhiêu? Tính góc còn lại.

📊 Đáp số và hướng dẫn

Bài 1: a) Hai góc so le trong bằng nhau nên $a ∥ b$ . b) Có, vì góc đồng vị với góc vuông cũng bằng $9 0^{\circ}$ .

Bài 2: a) Hai góc đồng vị bằng nhau nên $a ∥ b$ . b) Các góc so le trong và đồng vị bằng $5 0^{\circ}$ ; các góc trong cùng phía và kề bù bằng $13 0^{\circ}$ .

Bài 3: a) $7 0^{\circ} + 11 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ , hai góc trong cùng phía bù nhau nên $a ∥ b$ . b) Có, vì khi hai đường thẳng song song thì các cặp góc so le trong bằng nhau.

Bài 4: a) $6 5^{\circ}$ ; b) Góc đồng vị $6 5^{\circ}$ , góc trong cùng phía $11 5^{\circ}$ .

Bài 5: a) $8 0^{\circ}$ ; b) Hai góc trong cùng phía là $8 0^{\circ}$ và $10 0^{\circ}$ .

Bài 6: a) Theo tính chất bắc cầu, $a ∥ c$ . b) Qua một điểm ngoài đường thẳng có duy nhất một đường thẳng song song (Tiên đề Euclid).

Bài 7: a) Hai góc đồng vị đều bằng $9 0^{\circ}$ nên $a ∥ b$ . b) Các góc so le trong, đồng vị bằng $5 5^{\circ}$ ; các góc trong cùng phía, kề bù bằng $12 5^{\circ}$ .

Bài 8: a) Hai góc so le trong bằng nhau nên $a ∥ b$ . b) $A_{3} = 13 8^{\circ}$ , $B_{1} = 13 8^{\circ}$ ; cặp góc tương ứng trong cùng phía bù nhau ( $4 2^{\circ} + 13 8^{\circ} = 18 0^{\circ}$ ).

Bài 9: a) $8 5^{\circ}$ . b) Góc đồng vị $8 5^{\circ}$ , góc trong cùng phía $9 5^{\circ}$ . Tính song song giúp đường tàu chạy an toàn, không chệch khỏi ray theo chiều dài lớn.

Bài 10: a) Các góc đồng vị khi trượt thước luôn bằng nhau nên hai đường kẻ song song. b) Góc trong cùng phía $7 2^{\circ}$ ; góc còn lại $18 0^{\circ} - 7 2^{\circ} = 10 8^{\circ}$ .

Bài 9: Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết

🎯 Đường thẳng song song

📖 1. Khái niệm đường thẳng song song

📐 2. Góc tạo bởi đường thẳng cắt hai đường thẳng

✓ 3. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

⚡ 4. Tính chất

Các dạng toán

Thực hành tương tác

Thực hành: Hai đường thẳng song song

Trắc nghiệm

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài tập tự luận