Lớp 7 · Chương II: Số thực

Bài 7: Tập hợp các số thực

🚀 Khởi động

🎯 Số thực — Hoàn thiện hệ thống số

Tập hợp số thực bao gồm tất cả các số chúng ta đã học!

🔢

Số tự nhiên

$N$

➖

Số nguyên

$Z$

📊

Số hữu tỉ

$Q$

∞

Số thực

$R$

Em có biết? Từ Lớp 6, em đã biết số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ. Ở Bài 6, em đã gặp thêm số vô tỉ như $2$ , $π$ . Gộp tất cả lại ta được số thực — “thực” ở đây có nghĩa là “có thật”, tồn tại thật trên trục số! Người ta dùng trục số để đo mọi khoảng cách, mọi kích thước trong thực tế, và mỗi điểm trên trục số đều tương ứng với đúng một số thực.

🔍 Khám phá

📖 1. Khái niệm số thực

Định nghĩa: Tập hợp số thực, ký hiệu $R$ , bao gồm tất cả các số hữu tỉ và số vô tỉ.

$R = Q \cup (Tập hợp s \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}} v \overset{o}{ˆ} tỉ)$

Ví dụ 1: Nêu các loại số thực đã học.

Lời giải: Số thực gồm hai loại: số hữu tỉ (số tự nhiên $0, 1, 2, ...$ ; số nguyên âm $- 1, - 2, ...$ ; phân số $\frac{1}{2}, - \frac{3}{4}$ ; số thập phân hữu hạn $0, 5; 1, 25$ ; số thập phân vô hạn tuần hoàn $0, \overline{3}; 0, 1 \overline{6}$ ) và số vô tỉ ( $2, 3, π, e, ...$ ).

Ví dụ 2: Trong các số $5$ ; $3$ ; $- \frac{2}{7}$ ; $π$ , số nào là số thực?

Lời giải: Cả bốn số đều là số thực: $5$ và $- \frac{2}{7}$ là số hữu tỉ; $3$ và $π$ là số vô tỉ.

Ví dụ 3: Số nào sau đây không phải là số thực: $- 3$ ; $5$ ; $0, \overline{7}$ ; $\frac{9}{4}$ ?

Lời giải: Không có số nào. Vì mọi số đã học đều là số thực: $- 3 \in Z$ , $\frac{9}{4}$ , $0, \overline{7}$ là số hữu tỉ, $5$ là số vô tỉ.

Hình vẽ minh họa: Số thực $R$ gồm hai phần: số hữu tỉ và số vô tỉ:

🔗 2. Mối quan hệ giữa các tập hợp số

Quan hệ bao hàm:

$N \subset Z \subset Q \subset R$

Có nghĩa là:

Mọi số tự nhiên đều là số nguyên: $N \subset Z$
Mọi số nguyên đều là số hữu tỉ: $Z \subset Q$
Mọi số hữu tỉ đều là số thực: $Q \subset R$
Số vô tỉ cũng là số thực.

Ví dụ 1: Điền ký hiệu $\in$ ; $\in /$ ; $\subset$ thích hợp vào chỗ chấm:

Lời giải:

$0$ $\in$ $N$ ; $- 7$ $\in$ $Z$ ; $\frac{1}{2}$ $\in$ $Q$
$2$ $\in$ $R$ nhưng $2$ $\in /$ $Q$
$N \subset Z \subset Q \subset R$

Ví dụ 2: Khẳng định $2 \in R$ đúng hay sai? Vì sao?

Lời giải: Đúng, vì $2$ là số vô tỉ, mà mọi số vô tỉ đều là số thực.

Ví dụ 3: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng: (1) $- \frac{3}{4} \in R$ ; (2) $π \in Q$ ; (3) $N \subset Q$ ?

Lời giải: Khẳng định (1) và (3) đúng. Khẳng định (2) sai vì $π$ là số vô tỉ, không thuộc $Q$ .

Hình vẽ minh họa: Sơ đồ Ven của các tập hợp số:

📏 3. Trục số thực

Mọi số thực đều biểu diễn được trên trục số, và ngược lại, mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực.

Ví dụ 1: Điểm biểu diễn số $2$ nằm ở vị trí nào trên trục số?

Lời giải: Vì $2 \approx 1, 414$ nên điểm biểu diễn $2$ nằm giữa 1 và 2, gần 1 hơn.

Ví dụ 2: Điểm biểu diễn số $\frac{π}{2}$ nằm ở vị trí nào trên trục số?

Lời giải: Vì $\frac{π}{2} \approx 1, 57$ nên điểm biểu diễn $\frac{π}{2}$ nằm giữa 1 và 2, gần 2 hơn.

Ví dụ 3: Khẳng định “Mỗi điểm trên trục số biểu diễn đúng một số thực” đúng hay sai?

Lời giải: Đúng. Đây là tính chất đặc trưng của trục số thực: có sự tương ứng 1–1 giữa các điểm trên trục số và các số thực.

Hình vẽ minh họa: Trục số thực — các điểm tương ứng với số vô tỉ:

📐 4. Giá trị tuyệt đối của số thực

Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối của số thực $x$ , ký hiệu $∣ x ∣$ , là khoảng cách từ điểm $x$ đến điểm $0$ trên trục số.

$∣ x ∣ = {x - x n \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} u x \geq 0 n \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} u x < 0$

Ví dụ 1: Tính $∣5∣$ ; $∣ - 3∣$ ; $∣0∣$ .

Lời giải: $∣5∣ = 5$ (khoảng cách từ 5 đến 0); $∣ - 3∣ = 3$ (khoảng cách từ $- 3$ đến 0); $∣0∣ = 0$ .

Ví dụ 2: Tính $∣ 2 ∣$ ; $∣ - π ∣$ ; $\frac{- 2}{3}$ .

Lời giải: $∣ 2 ∣ = 2$ (vì $2 > 0$ ); $∣ - π ∣ = π$ (vì $- π < 0$ ); $\frac{- 2}{3} = \frac{2}{3}$ .

Ví dụ 3: Tính $∣3 - π ∣$ .

Lời giải: Vì $π \approx 3, 14 > 3$ nên $3 - π < 0$ , do đó $∣3 - π ∣ = - (3 - π) = π - 3$ .

Hình vẽ minh họa: $∣ - 3∣ = 3$ là khoảng cách từ $- 3$ đến 0 trên trục số:

Tính chất của giá trị tuyệt đối:

$∣ x ∣ \geq 0$ với mọi $x \in R$
$∣ x ∣ = 0 \Leftrightarrow x = 0$
$∣ x ∣ = ∣ - x ∣$
$∣ x \times y ∣ = ∣ x ∣ \times ∣ y ∣$
$\frac{x}{y} = \frac{∣ x ∣}{∣ y ∣}$ (với $y \neq = 0$ )

⚖️ 5. So sánh, phép toán và làm tròn số thực

So sánh: So sánh số thực giống như so sánh số hữu tỉ, dựa vào vị trí trên trục số — số nào nằm bên trái thì nhỏ hơn.

Ví dụ 1: So sánh $2$ và $1, 5$ .

Lời giải: $2 \approx 1, 414 < 1, 5$ , nên $2 < 1, 5$ .

Ví dụ 2: So sánh $π$ và $3, 2$ .

Lời giải: $π \approx 3, 14159 < 3, 2$ , nên $π < 3, 2$ .

Ví dụ 3: So sánh $- 3$ và $- 2$ .

Lời giải: Ta có $3 \approx 1, 732 < 2$ nên $- 3 \approx - 1, 732 > - 2$ . Vậy $- 3 > - 2$ .

Hình vẽ minh họa: So sánh $- 2$ và $- 1, 5$ trên trục số:

Phép toán với số thực: Cộng, trừ, nhân, chia số thực có đầy đủ các tính chất như với số hữu tỉ (giao hoán, kết hợp, phân phối…).

Ví dụ 4: Tính $2 + 2$ và $35 - 5$ .

Lời giải: $2 + 2 = 22$ ; $35 - 5 = 25$ .

Ví dụ 5: Tính $3 \times 3$ và $\frac{8}{2}$ .

Lời giải: $3 \times 3 = (3)^{2} = 3$ ; $\frac{8}{2} = \frac{8}{2} = 4 = 2$ .

Ví dụ 6: Tính $22 + 32 - 2$ .

Lời giải: $22 + 32 - 2 = (2 + 3 - 1) 2 = 42$ .

Làm tròn số thực: Trong thực tế, ta thường làm tròn số vô tỉ đến một số chữ số thập phân nhất định.

Ví dụ 7: Làm tròn $2$ ; $π$ ; $3$ đến hàng phần mười và hàng phần trăm.

Lời giải:

Số	Làm tròn đến hàng phần mười	Làm tròn đến hàng phần trăm
$2 = 1, 41421...$	$1, 4$	$1, 41$
$π = 3, 14159...$	$3, 1$	$3, 14$
$3 = 1, 73205...$	$1, 7$	$1, 73$

✏️ Thực hành tương tác

ℝ

Thực hành tương tác: Tập hợp các số thực

Mỗi số sau là số hữu tỉ hay vô tỉ? (Tất cả đều là số thực ℝ!)

√3

-2/7

0,6

√16

0,333...

-√2

Hãy trả lời đủ 8 số rồi bấm Kiểm tra.

🌍 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết số thực và phân loại hữu tỉ, vô tỉ Phương pháp giải: Mọi số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số vô tỉ đều là số thực. Để phân loại: viết số dưới dạng thập phân — hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn thì là số hữu tỉ, vô hạn không tuần hoàn thì là số vô tỉ. Lưu ý $n$ là số vô tỉ khi $n$ không phải số chính phương.

Ví dụ 1: Trong các số $- \frac{3}{4}$ ; $7$ ; $0, \overline{6}$ ; $π$ ; $16$ , những số nào là số thực?

Lời giải: Cả năm số đều là số thực.

Ví dụ 2: Trong các số ở Ví dụ 1, những số nào là số hữu tỉ? Số nào là số vô tỉ?

Lời giải: Số hữu tỉ: $- \frac{3}{4}$ ; $0, \overline{6} = \frac{2}{3}$ ; $16 = 4$ . Số vô tỉ: $7$ ; $π$ .

Ví dụ 3: Viết $n$ với $n$ lần lượt bằng 2; 4; 9; 10; 16, rồi cho biết giá trị nào là số vô tỉ.

Lời giải: $2$ , $10$ là số vô tỉ. Còn $4 = 2$ ; $9 = 3$ ; $16 = 4$ là số hữu tỉ.

Dạng 2: Tính giá trị tuyệt đối của số thực Phương pháp giải: Áp dụng định nghĩa: $∣ x ∣ = x$ nếu $x \geq 0$ và $∣ x ∣ = - x$ nếu $x < 0$ . Với biểu thức chứa $π$ hoặc căn bậc hai, cần so sánh biểu thức với 0 trước.

Ví dụ 1: Tính $∣7∣$ ; $∣ - 5∣$ ; $∣0∣$ ; $\frac{- 2}{5}$ .

Lời giải: $∣7∣ = 7$ ; $∣ - 5∣ = 5$ ; $∣0∣ = 0$ ; $\frac{- 2}{5} = \frac{2}{5}$ .

Ví dụ 2: Tính $∣ 3 ∣$ ; $∣ - 2 ∣$ ; $∣ - π ∣$ .

Lời giải: $∣ 3 ∣ = 3$ (vì $3 > 0$ ); $∣ - 2 ∣ = 2$ ; $∣ - π ∣ = π$ .

Ví dụ 3: Tính $∣3 - π ∣$ và $∣2 - 2 ∣$ .

Lời giải: Vì $π > 3$ nên $3 - π < 0$ , do đó $∣3 - π ∣ = π - 3$ . Vì $2 \approx 1, 414 < 2$ nên $2 - 2 > 0$ , do đó $∣2 - 2 ∣ = 2 - 2$ .

Dạng 3: So sánh và sắp xếp số thực Phương pháp giải: So sánh bằng cách xấp xỉ số vô tỉ đến đủ chữ số thập phân, hoặc đưa về so sánh bình phương. Để sắp xếp nhiều số, viết mỗi số về dạng xấp xỉ rồi đặt theo thứ tự tăng dần.

Ví dụ 1: So sánh $3$ và $1, 8$ .

Lời giải: $(3)^{2} = 3$ và $(1, 8)^{2} = 3, 24$ . Vì $3 < 3, 24$ nên $3 < 1, 8$ .

Ví dụ 2: So sánh $π$ và $3, 15$ .

Lời giải: $π \approx 3, 14159 < 3, 15$ , nên $π < 3, 15$ .

Ví dụ 3: Sắp xếp các số $- 2$ ; $3$ ; $0$ ; $- 5$ ; $1, 5$ ; $π$ theo thứ tự tăng dần.

Lời giải: Ta có $- 5 \approx - 2, 236$ ; $3 \approx 1, 732$ ; $π \approx 3, 14$ . Thứ tự tăng dần: $- 5 < - 2 < 0 < 1, 5 < 3 < π$ .

Dạng 4: Tìm $x$ chứa giá trị tuyệt đối Phương pháp giải: $∣ x ∣ = a$ (với $a \geq 0$ ) suy ra $x = a$ hoặc $x = - a$ . Tổng quát: $∣ f (x) ∣ = a$ suy ra $f (x) = a$ hoặc $f (x) = - a$ . Nếu $∣ x ∣ = 0$ thì $x = 0$ .

Ví dụ 1: Tìm $x$ , biết $∣ x ∣ = 5$ .

Lời giải: $x = 5$ hoặc $x = - 5$ .

Ví dụ 2: Tìm $x$ , biết $∣ x - 2∣ = 3$ .

Lời giải: $x - 2 = 3$ hoặc $x - 2 = - 3$ . Suy ra $x = 5$ hoặc $x = - 1$ .

Ví dụ 3: Tìm $x$ , biết $∣ x + 1∣ = 4$ .

Lời giải: $4 = 2$ nên $x + 1 = 2$ hoặc $x + 1 = - 2$ . Suy ra $x = 1$ hoặc $x = - 3$ .

Dạng 5: Tính toán và làm tròn số thực Phương pháp giải: Áp dụng các phép toán và tính chất như với số hữu tỉ. Với số vô tỉ, ta có thể làm tròn theo yêu cầu: xét chữ số ngay sau hàng cần làm tròn — nếu từ 5 trở lên thì làm tròn lên, nếu nhỏ hơn 5 thì giữ nguyên.

Ví dụ 1: Tính $2 + 2$ và $33 - 3$ .

Lời giải: $2 + 2 = 22$ ; $33 - 3 = 23$ .

Ví dụ 2: Tính $5 \times 5$ và $\frac{2 6}{6}$ .

Lời giải: $5 \times 5 = 5$ ; $\frac{2 6}{6} = 2$ .

Ví dụ 3: Làm tròn $5 = 2, 23606...$ đến hàng phần trăm.

Lời giải: Chữ số thứ ba sau dấu phẩy là 6 (từ 5 trở lên), nên làm tròn lên: $2, 24$ .

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Hình tròn): Một hình tròn có bán kính $r = 5$ cm.

a) Tính chu vi hình tròn (công thức $C = 2 π r$ ), làm tròn đến hàng phần mười.

b) Tính diện tích hình tròn (công thức $S = π r^{2}$ ), làm tròn đến hàng đơn vị.

c) Nếu tăng bán kính lên 7 cm, diện tích tăng thêm bao nhiêu?

Lời giải: (Lấy $π \approx 3, 14$ )

a) Chu vi: $C = 2 \times 3, 14 \times 5 = 31, 4$ (cm).

b) Diện tích: $S = 3, 14 \times 5^{2} = 78, 5 \approx 79$ (cm²).

c) Diện tích mới: $S^{'} = 3, 14 \times 7^{2} = 153, 86 \approx 154$ (cm²). Diện tích tăng thêm: $154 - 79 = 75$ (cm²).

📝 Câu 2 (Bánh pizza): Một chiếc bánh pizza hình tròn có đường kính 30 cm.

a) Tính chu vi của bánh pizza (lấy $π \approx 3, 14$ ).

b) Tính diện tích mặt bánh pizza.

c) Làm tròn kết quả ở câu a đến hàng đơn vị.

Lời giải:

a) Bán kính: $r = 30 : 2 = 15$ (cm). Chu vi: $C = 2 \times 3, 14 \times 15 = 94, 2$ (cm).

b) Diện tích: $S = 3, 14 \times 1 5^{2} = 3, 14 \times 225 = 706, 5$ (cm²).

c) Làm tròn $94, 2$ đến hàng đơn vị: $94$ (cm).

📝 Câu 3 (Bánh xe đạp): Bánh xe đạp của An có đường kính 70 cm.

a) Tính chu vi của bánh xe (lấy $π \approx 3, 14$ ).

b) Khi bánh xe lăn được 100 vòng, xe đi được bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Lời giải:

a) Chu vi bánh xe: $C = 3, 14 \times 70 = 219, 8$ (cm).

b) Quãng đường 100 vòng: $219, 8 \times 100 = 21980$ (cm) $= 219, 8$ (m) $\approx 220$ (m).

Vậy xe đi được khoảng 220 m sau 100 vòng lăn.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Tập hợp số thực được ký hiệu là:

⭐ Ghi nhớ

Số thực ( $R$ ): gồm số hữu tỉ và số vô tỉ, ký hiệu $R = Q \cup$ (số vô tỉ).
Quan hệ bao hàm: $N \subset Z \subset Q \subset R$ .
Trục số thực: mỗi điểm trên trục số ứng với đúng một số thực và ngược lại.
Giá trị tuyệt đối: $∣ x ∣$ là khoảng cách từ $x$ đến 0; $∣ x ∣ \geq 0$ , $∣ x ∣ = ∣ - x ∣$ .
So sánh: số nào nằm bên trái trên trục số thì nhỏ hơn.
Phép toán với số thực có đầy đủ tính chất như với số hữu tỉ.
Số vô tỉ thường được làm tròn khi dùng trong thực tế.

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ): Phân loại các số sau thành số hữu tỉ hoặc số vô tỉ:

a) $5$ b) $7$ c) $- \frac{3}{4}$ d) $π$

e) $0, \overline{6}$ f) $16$ g) $10$ h) $- 2, 5$

Bài 2 (Dễ): Tính giá trị tuyệt đối:

a) $∣7∣$ b) $∣ - 5∣$ c) $∣ 3 ∣$ d) $∣ - π ∣$

e) $\frac{- 2}{5}$ f) $∣0∣$ g) $∣ - 2 ∣$ h) $∣3 - π ∣$

Bài 3 (Dễ): Làm tròn các số sau đến hàng phần trăm:

a) $2 = 1, 41421...$ b) $π = 3, 14159...$

c) $5 = 2, 23606...$ d) $7 = 2, 64575...$

Bài 4 (Trung bình): So sánh:

a) $3$ và $1, 8$

b) $π$ và $3, 15$

c) $5$ và $2, 3$

d) $- 2$ và $- 1, 5$

Bài 5 (Trung bình): Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần:

$- 2; 3; 0; - 5; 1, 5; π$

Bài 6 (Trung bình): Tính:

a) $2 + 2$

b) $33 - 3$

c) $5 \times 5$

d) $\frac{2 6}{6}$

Bài 7 (Trung bình): Tìm $x$ , biết:

a) $∣ x ∣ = 5$

b) $∣ x - 2∣ = 3$

c) $∣ x + 1∣ = 4$

d) $∣2 x ∣ = 6$

Bài 8 (Khá): Tìm $x$ , biết:

a) $∣ x ∣ = 2$

b) $∣ x + 3 ∣ = 0$

c) $∣2 x - 1∣ = 5$

d) $∣ x ∣ + 2 = 5$

Bài 9 (Khá — Thực tế): Một hình tròn có đường kính $d = 10$ cm.

a) Tính bán kính.

b) Tính chu vi (lấy $π \approx 3, 14$ ), làm tròn đến hàng phần mười.

c) Tính diện tích (lấy $π \approx 3, 14$ ), làm tròn đến hàng đơn vị.

Bài 10 (Khó — Tổng hợp): Cho các số: $0, \overline{3}$ ; $2$ ; $1, 5$ ; $- 2$ ; $π$ .

a) Sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần.

b) Tính $∣ - 2 ∣$ ; $∣0, \overline{3} ∣$ ; $∣1, 5 - π ∣$ .

c) Trong các số đó, số nào là số hữu tỉ? Số nào là số vô tỉ?

📊 Đáp số và hướng dẫn

Bài 1: Hữu tỉ: a, c, e, f, h (vì $16 = 4$ ). Vô tỉ: b, d, g.

Bài 2: a) 7; b) 5; c) $3$ ; d) $π$ ; e) $\frac{2}{5}$ ; f) 0; g) $2$ ; h) $π - 3$ .

Bài 3: a) $1, 41$ ; b) $3, 14$ ; c) $2, 24$ ; d) $2, 65$ .

Bài 4:

a) $3 < 1, 8$ (vì $3 < 3, 24$ ).

b) $π < 3, 15$ (vì $π \approx 3, 14159$ ).

c) $5 < 2, 3$ (vì $(5)^{2} = 5 < 2, 3^{2} = 5, 29$ ).

d) $- 2 > - 1, 5$ (vì $2 \approx 1, 414 < 1, 5$ ).

Bài 5: $- 5 < - 2 < 0 < 1, 5 < 3 < π$ .

Bài 6: a) $22$ ; b) $23$ ; c) 5; d) 2.

Bài 7:

a) $x = 5$ hoặc $x = - 5$ .

b) $x - 2 = 3$ hoặc $x - 2 = - 3$ , suy ra $x = 5$ hoặc $x = - 1$ .

c) $∣ x + 1∣ = 2$ nên $x + 1 = 2$ hoặc $x + 1 = - 2$ , suy ra $x = 1$ hoặc $x = - 3$ .

d) $∣2 x ∣ = 6$ nên $2 x = 6$ hoặc $2 x = - 6$ , suy ra $x = 3$ hoặc $x = - 3$ .

Bài 8:

a) $x = 2$ hoặc $x = - 2$ .

b) $∣ x + 3 ∣ = 0$ nên $x + 3 = 0$ , suy ra $x = - 3$ .

c) $2 x - 1 = 5$ hoặc $2 x - 1 = - 5$ , suy ra $x = 3$ hoặc $x = - 2$ .

d) $∣ x ∣ + 2 = 5$ nên $∣ x ∣ = 3$ , suy ra $x = 3$ hoặc $x = - 3$ .

Bài 9: a) Bán kính $5$ cm; b) $C = 2 \times 3, 14 \times 5 = 31, 4$ cm; c) $S = 3, 14 \times 25 = 78, 5 \approx 79$ cm².

Bài 10:

a) $- 2 < 0, \overline{3} < 1, 5 < 2 < π$ (vì $0, \overline{3} \approx 0, 33$ ; $2 \approx 1, 414$ ; $π \approx 3, 14$ ).

b) $∣ - 2 ∣ = 2$ ; $∣0, \overline{3} ∣ = 0, \overline{3}$ ; $∣1, 5 - π ∣ = π - 1, 5$ .

c) Số hữu tỉ: $0, \overline{3}$ ; $1, 5$ . Số vô tỉ: $2$ ; $- 2$ ; $π$ .