Bài 6: Số vô tỉ. Căn bậc hai số học

📖 1. Khái niệm số vô tỉ

Ví dụ 1: Nêu một số số vô tỉ thường gặp.

Lời giải:

• $\sqrt{2}=1,\mathrm{41421356...}$ (căn bậc hai của 2)
• $\sqrt{3}=1,\mathrm{73205080...}$ (căn bậc hai của 3)
• $\pi =3,\mathrm{14159265...}$ (tỉ số giữa chu vi và đường kính hình tròn)
• $e=2,\mathrm{71828182...}$ (hằng số Euler)

Các số này có vô hạn chữ số sau dấu phẩy nhưng không lặp lại theo bất kỳ chu kỳ nào.

Ví dụ 2: Trong các số sau, số nào là số vô tỉ: $0,25$; $\sqrt{7}$; $\frac{1}{3}$; $\pi$?

Lời giải: $0,25=\frac{1}{4}$ và $\frac{1}{3}=0,\overline{3}$ là số hữu tỉ. Còn $\sqrt{7}=2,\mathrm{64575...}$ và $\pi =3,\mathrm{14159...}$ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn nên là số vô tỉ.

Ví dụ 3: So sánh số hữu tỉ và số vô tỉ.

Lời giải:

Hình vẽ minh họa: Đường chéo của hình vuông cạnh 1 — nguồn gốc của số vô tỉ đầu tiên:

√ 2. Căn bậc hai và căn bậc hai số học

Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của các số: 9; 16; 0; $-4$.

Lời giải:

• Căn bậc hai của 9 là $3$ và $-3$ vì $3^2=9$ và $(-3{)}^2=9$.
• Căn bậc hai của 16 là $4$ và $-4$ vì $4^2=16$ và $(-4{)}^2=16$.
• Căn bậc hai của 0 là $0$ vì $0^2=0$.
• Số $-4$ không có căn bậc hai vì bình phương của mọi số đều không âm.

Ví dụ 2: Tính căn bậc hai số học của các số: 4; 9; 16; 25; 0; 1.

Lời giải: $\sqrt{4}=2$; $\sqrt{9}=3$; $\sqrt{16}=4$; $\sqrt{25}=5$; $\sqrt{0}=0$; $\sqrt{1}=1$. (Luôn lấy giá trị không âm.)

Ví dụ 3: Phân biệt “căn bậc hai của 9” và “căn bậc hai số học của 9”.

Lời giải: Căn bậc hai của 9 là hai số $3$ và $-3$ (hai số đối nhau). Còn căn bậc hai số học của 9 chỉ là $\sqrt{9}=3$ (chỉ lấy giá trị không âm).

Hình vẽ minh họa: Hai căn bậc hai của 9 trên trục số:

⚡ 3. Tính chất của căn bậc hai số học

Ví dụ 1: Tính $\sqrt{4\times 9}$ và $\sqrt{36}$.

Lời giải: $\sqrt{4\times 9}=\sqrt{4}\times \sqrt{9}=2\times 3=6$; $\sqrt{36}=\sqrt{4\times 9}=6$. Như vậy $\sqrt{4\times 9}=\sqrt{36}$ — phù hợp với tính chất 4.

Ví dụ 2: Tính $\sqrt{\frac{16}{25}}$; $\sqrt{3^2}$; $\sqrt{(-5{)}^2}$.

Lời giải: $\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}=\frac{4}{5}$; $\sqrt{3^2}=|3|=3$; $\sqrt{(-5{)}^2}=|-5|=5$.

Ví dụ 3: Tính $(\sqrt{7}{)}^2$ và $(\sqrt{0}{)}^2$.

Lời giải: $(\sqrt{7}{)}^2=7$ và $(\sqrt{0}{)}^2=0$ (theo tính chất 2).

Hình vẽ minh họa: $\sqrt{36}=\sqrt{4\times 9}=2\times 3=6$:

⚖️ 4. So sánh và ước lượng căn bậc hai

Ví dụ 1: So sánh $\sqrt{5}$ và $\sqrt{7}$.

Lời giải: Vì $5<7$ nên $\sqrt{5}<\sqrt{7}$.

Ví dụ 2: So sánh $\sqrt{10}$ và 3.

Lời giải: Ta có $3=\sqrt{9}$. Vì $10>9$ nên $\sqrt{10}>\sqrt{9}=3$, tức là $\sqrt{10}>3$.

Ví dụ 3: So sánh $\sqrt{2}$ và $1,5$.

Lời giải: Ta có $(\sqrt{2}{)}^2=2$ và $(1,5{)}^2=2,25$. Vì $2<2,25$ nên $\sqrt{2}<1,5$.

Bảng căn bậc hai số học của các số chính phương:

Ví dụ 4: Ước lượng $\sqrt{50}$.

Lời giải: Ta có $49<50<64$ nên $\sqrt{49}<\sqrt{50}<\sqrt{64}$, hay $7<\sqrt{50}<8$. Vậy $\sqrt{50}\approx 7,07$.

Hình vẽ minh họa: Vị trí của $\sqrt{2}$ và $1,5$ trên trục số:

🔬 5. Ứng dụng thực tế

Ví dụ 1: Một hình vuông có diện tích $36{\text{ cm}}^2$. Tính độ dài cạnh của hình vuông.

Lời giải: Gọi cạnh hình vuông là $a$ (cm), $a>0$. Diện tích: $a^2=36$ nên $a=\sqrt{36}=6$ (cm).

Ví dụ 2: Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 3 cm và 4 cm. Tính độ dài cạnh huyền.

Lời giải: Theo định lý Pythagore: $c^2=3^2+4^2=9+16=25$. Suy ra $c=\sqrt{25}=5$ (cm).

Ví dụ 3: Một hình vuông có diện tích $2{\text{ cm}}^2$. Tính độ dài cạnh và nêu dạng thập phân của kết quả.

Lời giải: Cạnh hình vuông: $a=\sqrt{2}$ (cm) vì $\sqrt{2}>0$ và $(\sqrt{2}{)}^2=2$. Viết dạng thập phân: $a\approx 1,41$ (cm). Vậy độ dài cạnh là số vô tỉ.

Hình vẽ minh họa: Định lý Pythagore với tam giác vuông 3–4–5: