Bài 5: Làm quen với số thập phân vô hạn tuần hoàn

📖 1. Khái niệm số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ 1: Các số thập phân vô hạn tuần hoàn:

Lời giải:

• $0,\mathrm{333...}=0,\overline{3}$ — chu kỳ là $3$
• $0,\mathrm{121212...}=0,\overline{12}$ — chu kỳ là $12$
• $0,\mathrm{142857142857...}=0,\overline{142857}$ — chu kỳ là $142857$
• $2,\mathrm{5666...}=2,5\overline{6}$ — chu kỳ là $6$

Ví dụ 2: Xác định chu kỳ của mỗi số sau:

Lời giải:

• Chu kỳ của $0,\overline{7}$ là $7$
• Chu kỳ của $5,\overline{36}$ là $36$
• Chu kỳ của $0,\overline{09}$ là $09$ (nhóm gồm hai chữ số 0 và 9)

Ví dụ 3: Phân biệt số thập phân vô hạn tuần hoàn với số thập phân hữu hạn.

Lời giải: $0,5=\frac{1}{2}$ và $1,25=\frac{5}{4}$ có hữu hạn chữ số sau dấu phẩy nên là số thập phân hữu hạn. Còn $0,\overline{3}=0,\mathrm{333...}$ có chữ số $3$ lặp lại vô hạn nên là số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Hình vẽ minh họa: Nhóm chữ số lặp lại liên tiếp tạo thành chu kỳ:

📊 2. Phân loại: thuần tuý và không thuần tuý

a) Số thập phân vô hạn tuần hoàn thuần tuý — chu kỳ bắt đầu ngay sau dấu phẩy.

Ví dụ 1: $0,\overline{3}=0,\mathrm{333...}$; $0,\overline{12}=0,\mathrm{121212...}$; $5,\overline{36}=5,\mathrm{363636...}$

b) Số thập phân vô hạn tuần hoàn không thuần tuý — có một số chữ số không lặp lại trước chu kỳ.

Ví dụ 2: $0,1\overline{6}=0,\mathrm{1666...}$ (chữ số 1 không lặp, chữ số 6 lặp); $0,25\overline{3}=0,\mathrm{25333...}$ (25 không lặp, 3 lặp); $1,2\overline{45}=1,\mathrm{24545...}$ (2 không lặp, 45 lặp).

Ví dụ 3: Phân loại các số sau thành thuần tuý hoặc không thuần tuý: $0,\overline{7}$; $0,2\overline{5}$; $3,\overline{09}$; $1,7\overline{8}$.

Lời giải: Thuần tuý: $0,\overline{7}$ (chu kỳ 7 ngay sau dấu phẩy), $3,\overline{09}$. Không thuần tuý: $0,2\overline{5}$ (chữ số 2 đứng trước chu kỳ), $1,7\overline{8}$.

Hình vẽ minh họa: Vị trí của chu kỳ (phần tô đỏ) trong hai loại:

🔄 3. Chuyển phân số thành số thập phân

Khi chia tử số cho mẫu số, ta có thể nhận được:

• Số thập phân hữu hạn (phép chia kết thúc khi số dư bằng 0).
• Số thập phân vô hạn tuần hoàn (số dư lặp lại, làm cho các chữ số lặp lại).

Ví dụ 1: Viết $\frac{1}{4}$ dưới dạng số thập phân.

Lời giải: $1:4=0,25$. Số dư trở về 0 nên $\frac{1}{4}=0,25$ là số thập phân hữu hạn.

Ví dụ 2: Viết $\frac{1}{3}$ dưới dạng số thập phân.

Lời giải: $1:3=0,\mathrm{333...}=0,\overline{3}$. Số dư luôn là 1, nên chữ số 3 lặp lại mãi mãi.

Ví dụ 3: Viết $\frac{1}{6}$ và $\frac{1}{7}$ dưới dạng số thập phân.

Lời giải: $\frac{1}{6}=1:6=0,\mathrm{1666...}=0,1\overline{6}$; $\frac{1}{7}=1:7=0,\mathrm{142857142857...}=0,\overline{142857}$.

Hình vẽ minh họa: Phép chia $1:3$ — số dư lặp lại nên chữ số 3 lặp lại:

⚡ 4. Tính chất và nhận biết nhanh

Ví dụ 1: Vì $8=2^3$ chỉ có ước nguyên tố 2, nên $\frac{3}{8}=0,375$ là số thập phân hữu hạn. Vì $12=2^2\cdot 3$ có ước nguyên tố 3, nên $\frac{7}{12}$ là số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Ví dụ 2: Viết các phân số sau dưới dạng số thập phân rồi chỉ ra chu kỳ: $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{6}$; $\frac{1}{9}$; $\frac{1}{11}$.

Lời giải:

Ví dụ 3: Không thực hiện phép chia, hãy cho biết các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn: $\frac{3}{20}$; $\frac{5}{6}$; $\frac{9}{40}$; $\frac{7}{30}$.

Lời giải: $20=2^2\cdot 5$ (chỉ có ước 2, 5) nên $\frac{3}{20}$ hữu hạn; $40=2^3\cdot 5$ nên $\frac{9}{40}$ hữu hạn; $6=2\cdot 3$ nên $\frac{5}{6}$ vô hạn tuần hoàn; $30=2\cdot 3\cdot 5$ nên $\frac{7}{30}$ vô hạn tuần hoàn.

Hình vẽ minh họa: Phân loại nhanh theo mẫu số:

⚖️ 5. So sánh số thập phân vô hạn tuần hoàn

Quy tắc: Viết mỗi số dưới dạng khai triển rồi so sánh từng chữ số từ trái sang phải, giống như so sánh số thập phân thông thường. Khi gặp hai chữ số khác nhau đầu tiên, chữ số nào lớn hơn thì số đó lớn hơn.

Ví dụ 1: So sánh $0,\overline{3}$ và $0,4$.

Lời giải: $0,\overline{3}=0,\mathrm{333...}$ và $0,4=0,\mathrm{400...}$. Vì $3<4$ nên $0,\overline{3}<0,4$.

Ví dụ 2: So sánh $0,2\overline{5}$ và $0,25$.

Lời giải: $0,2\overline{5}=0,\mathrm{2555...}$ và $0,25=0,\mathrm{2500...}$. Vì $5>0$ nên $0,2\overline{5}>0,25$.

Ví dụ 3: So sánh $0,\overline{12}$ và $0,1212$.

Lời giải: $0,\overline{12}=0,\mathrm{121212...}$ và $0,1212=0,\mathrm{121200...}$. Bốn chữ số đầu giống nhau (1212), so đến chữ số thứ năm: $1>0$, nên $0,\overline{12}>0,1212$.

Hình vẽ minh họa: Trên trục số, số nào nằm bên trái thì nhỏ hơn: