Lớp 7 · Chương IX: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác

Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao

🚀 Khởi động

🎯 Đường trung trực và đường cao

Tâm ngoại tiếp

Ba trung trực

Trực tâm

Ba đường cao

🔍 Khám phá

📖 1. Đường trung trực và tâm đường tròn ngoại tiếp

Đường trung trực của một cạnh tam giác là đường thẳng vuông góc với cạnh đó tại trung điểm của nó.

Mỗi tam giác có ba đường trung trực.

Định lí: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Tâm đường tròn ngoại tiếp cách đều ba đỉnh của tam giác.

$O A = O B = O C = R$ (bán kính đường tròn ngoại tiếp)

Ví dụ 1: Tam giác $A B C$ có tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ , bán kính $R = 5$ cm. Tính $O A$ , $O B$ , $O C$ .

$O A = O B = O C = R = 5$ cm

(Tâm ngoại tiếp cách đều ba đỉnh)

Trường hợp đặc biệt:

Tam giác nhọn: Tâm $O$ nằm trong tam giác
Tam giác vuông: Tâm $O$ là trung điểm cạnh huyền
Tam giác tù: Tâm $O$ nằm ngoài tam giác

📖 2. Đường cao và trực tâm

Đường cao của tam giác là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh vuông góc với cạnh đối diện (hoặc đường thẳng chứa cạnh đối diện).

Mỗi tam giác có ba đường cao.

Định lí: Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.

Ví dụ 2: Tam giác $A B C$ vuông tại $A$ . Trực tâm của tam giác nằm ở đâu?

Trong tam giác vuông tại $A$ :

Đường cao từ $A$ vuông góc với $B C$
Đường cao từ $B$ chính là $B A$ (vì $B A ⊥ A C$ )
Đường cao từ $C$ chính là $C A$ (vì $C A ⊥ A B$ )

Ba đường cao cùng đi qua $A$ .

Vậy trực tâm trùng với đỉnh góc vuông $A$ .

Vị trí trực tâm:

Tam giác nhọn: Trực tâm $H$ nằm trong tam giác
Tam giác vuông: Trực tâm $H$ trùng với đỉnh góc vuông
Tam giác tù: Trực tâm $H$ nằm ngoài tam giác

📖 3. Bốn điểm đặc biệt của tam giác

Bốn điểm đặc biệt:

Trọng tâm $G$ : Giao ba trung tuyến
Tâm nội tiếp $I$ : Giao ba phân giác (cách đều ba cạnh)
Tâm ngoại tiếp $O$ : Giao ba trung trực (cách đều ba đỉnh)
Trực tâm $H$ : Giao ba đường cao

Đặc biệt: Trong tam giác đều, bốn điểm này trùng nhau.

Ví dụ 3: Tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A B = 6$ cm, $A C = 8$ cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Tính $B C$ : $B C = A B^{2} + A C^{2} = 36 + 64 = 10$ cm

Tâm ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền $B C$

Bán kính: $R = \frac{B C}{2} = \frac{10}{2} = 5$ cm

🌍 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

🧩 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Phương pháp: Tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của ba đường trung trực, cách đều 3 đỉnh $O A = O B = O C$ .

Ví dụ 1.1: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ . Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$ .

Lời giải

Trong tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền $B C$ .

Dạng 2: Chứng minh vuông góc nhờ giao điểm ba đường cao (trực tâm)

Phương pháp: Nếu hai đường cao cắt nhau tại $H$ thì $H$ là trực tâm, đường thẳng nối từ đỉnh thứ ba qua $H$ sẽ vuông góc với cạnh đối diện.

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 11

Dễ0 đã trả lời

Ba đường trung trực của tam giác:

🌍 Vận dụng

Bài toán: Ba trạm phát sóng $A$ , $B$ , $C$ tạo thành tam giác. Cần đặt một trạm thu tín hiệu sao cho cách đều ba trạm phát.

a) Trạm thu nên đặt ở đâu?

b) Nếu $A B = 8$ km, $A C = 6$ km, $B C = 10$ km, tính khoảng cách từ trạm thu đến mỗi trạm phát.

Giải:

a) Trạm thu đặt tại tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ (cách đều ba đỉnh).

b) Kiểm tra: $A B^{2} + A C^{2} = 64 + 36 = 100 = B C^{2}$

Tam giác vuông tại $A$ .

Tâm ngoại tiếp là trung điểm $B C$ .

Khoảng cách: $R = \frac{B C}{2} = \frac{10}{2} = 5$ km

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán (Xây dựng trạm phát sóng): Ba ngôi làng ở ba vị trí $A, B, C$ . Cần xây 1 trạm phát sóng cách đều cả 3 ngôi làng. Vị trí đặt trạm phát sóng chính là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác $A B C$ .

⭐ Ghi nhớ

Ba trung trực đồng quy tại tâm ngoại tiếp $O$
Tâm ngoại tiếp: cách đều ba đỉnh, $O A = O B = O C = R$
Ba đường cao đồng quy tại trực tâm $H$
Tam giác vuông: $O$ là trung điểm cạnh huyền, $H$ là đỉnh góc vuông
Tam giác đều: $G = I = O = H$

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Tam giác $A B C$ có tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ , bán kính $R = 6$ cm. Tính $O A$ , $O B$ , $O C$ .

Bài 2: Tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $B C = 12$ cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Bài 3: Tam giác $A B C$ vuông tại $B$ có $A B = 5$ cm, $B C = 12$ cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Bài 4: Chứng minh: Trong tam giác vuông, trực tâm trùng với đỉnh góc vuông.

Bài 5: Cho tam giác đều $A B C$ cạnh $a$ . Chứng minh trọng tâm, tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp và trực tâm trùng nhau.

📊 Đáp số

Bài 1: $O A = O B = O C = 6$ cm

Bài 2: $R = 6$ cm

Bài 3: $A C = 13$ cm, $R = 6.5$ cm

Bài 4: Hai cạnh góc vuông chính là hai đường cao

Bài 5: Do tính đối xứng của tam giác đều