Lớp 7 · Chương IX: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác

Bài 33: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác

🚀 Khởi động

🎯 Bất đẳng thức tam giác

Tổng hai cạnh

Lớn hơn cạnh thứ ba

−

Hiệu hai cạnh

Nhỏ hơn cạnh thứ ba

🔍 Khám phá

📖 1. Bất đẳng thức tam giác

Định lí (Bất đẳng thức tam giác): Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Trong tam giác $A B C$ :

$A B + A C > B C$

$A B + B C > A C$

$A C + B C > A B$

Chứng minh: (Chứng minh $A B + A C > B C$ )

Kéo dài $B A$ một đoạn $A D = A C$ .

Trong tam giác $B D C$ : $B D > B C$ (đường gấp khúc dài hơn đường thẳng)

Mà $B D = B A + A D = A B + A C$

Vậy $A B + A C > B C$

📖 2. Hệ quả

Hệ quả: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ luôn nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.

Trong tam giác $A B C$ :

$∣ A B - A C ∣ < B C$

$∣ A B - B C ∣ < A C$

$∣ A C - B C ∣ < A B$

Ví dụ 1: Tam giác $A B C$ có $A B = 5$ cm, $A C = 8$ cm. Tìm độ dài có thể của cạnh $B C$ .

Theo bất đẳng thức tam giác:

$A B + B C > A C$ → $5 + B C > 8$ → $B C > 3$

$A C + B C > A B$ → $8 + B C > 5$ (luôn đúng)

$A B + A C > B C$ → $5 + 8 > B C$ → $B C < 13$

Vậy: $3 < B C < 13$ (cm)

Hoặc viết gọn: $∣8 - 5∣ < B C < 8 + 5$ , tức $3 < B C < 13$

📖 3. Điều kiện để ba đoạn thẳng tạo thành tam giác

Điều kiện: Ba đoạn thẳng có độ dài $a$ , $b$ , $c$ tạo thành một tam giác khi và chỉ khi:

$a + b > c$ , $a + c > b$ , $b + c > a$

Hoặc đơn giản hơn: Tổng hai cạnh nhỏ hơn phải lớn hơn cạnh lớn nhất.

Ví dụ 2: Kiểm tra xem ba đoạn thẳng sau có tạo thành tam giác không:

a) $3$ cm, $4$ cm, $5$ cm

Kiểm tra: $3 + 4 = 7 > 5$ ✓

Vậy tạo thành tam giác.

b) $2$ cm, $3$ cm, $6$ cm

Kiểm tra: $2 + 3 = 5 < 6$ ✗

Vậy không tạo thành tam giác.

c) $5$ cm, $5$ cm, $10$ cm

Kiểm tra: $5 + 5 = 10$ (không lớn hơn) ✗

Vậy không tạo thành tam giác.

📖 4. Bài toán tìm độ dài cạnh thứ ba

Ví dụ 3: Tam giác có hai cạnh dài $6$ cm và $10$ cm. Cạnh thứ ba có độ dài là số nguyên. Tìm các giá trị có thể của cạnh thứ ba.

Gọi cạnh thứ ba là $x$ (cm).

Theo bất đẳng thức tam giác:

$∣10 - 6∣ < x < 10 + 6$

$4 < x < 16$

Vì $x$ là số nguyên nên: $x \in {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}$

🌍 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

🧩 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Kiểm tra xem bộ ba số có thể là độ dài ba cạnh của tam giác không

Phương pháp: So sánh độ dài cạnh lớn nhất với tổng độ dài hai cạnh còn lại. Nếu cạnh lớn nhất < tổng hai cạnh còn lại thì bộ 3 số đó lập thành tam giác.

Ví dụ 1.1: Kiểm tra hai bộ ba độ dài: a) 4cm, 5cm, 7cm; b) 2cm, 3cm, 6cm.

Lời giải

a) Cạnh lớn nhất là 7cm. Ta có $4 + 5 = 9 > 7 \Rightarrow$ Là 3 cạnh của tam giác.
b) Cạnh lớn nhất là 6cm. Ta có $2 + 3 = 5 < 6 \Rightarrow$ Không là 3 cạnh của tam giác.

Dạng 2: Tìm khoảng giá trị của cạnh thứ ba trong tam giác

Phương pháp: $∣ b - c ∣ < a < b + c$ .

Ví dụ 2.1: Một tam giác có hai cạnh là 5cm và 9cm. Cạnh thứ ba có thể nhận giá trị nguyên nào?

Lời giải

Gọi cạnh thứ ba là $x$ . Ta có $9 - 5 < x < 9 + 5 \Rightarrow 4 < x < 14$ . Các giá trị nguyên của $x$ là $5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13$ (cm).

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 11

Dễ0 đã trả lời

Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ:

🌍 Vận dụng

Bài toán: Ba thành phố $A$ , $B$ , $C$ tạo thành tam giác. Biết khoảng cách $A B = 30$ km, $A C = 40$ km.

a) Khoảng cách $B C$ có thể nằm trong khoảng nào?

b) Nếu $B C = 50$ km, ba thành phố có tạo thành tam giác không?

c) Nếu $B C = 70$ km thì sao?

Giải:

a) Theo bất đẳng thức tam giác:

$∣40 - 30∣ < B C < 40 + 30$

$10 < B C < 70$ (km)

b) $B C = 50$ km thỏa mãn $10 < 50 < 70$

Vậy ba thành phố tạo thành tam giác.

c) $B C = 70$ km không thỏa mãn (phải nhỏ hơn 70)

Vậy ba thành phố không tạo thành tam giác (thẳng hàng).

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán (Ghép thanh gỗ làm khung tam giác): Có 3 thanh gỗ dài 50 cm, 80 cm, 120 cm. Có thể ghép 3 thanh gỗ này thành một khung hình tam giác không?

Trả lời: Có, vì $50 + 80 = 130 > 120$ cm.

⭐ Ghi nhớ

Bất đẳng thức tam giác: $a + b > c$
Hệ quả: $∣ a - b ∣ < c$
Điều kiện tạo tam giác: tổng hai cạnh > cạnh thứ ba
Tìm cạnh thứ ba: $∣ a - b ∣ < c < a + b$
Kiểm tra nhanh: tổng hai cạnh nhỏ > cạnh lớn nhất

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Kiểm tra xem ba đoạn thẳng sau có tạo thành tam giác không:

a) $4$ cm, $5$ cm, $6$ cm

b) $2$ cm, $3$ cm, $5$ cm

c) $7$ cm, $8$ cm, $15$ cm

d) $5$ cm, $12$ cm, $13$ cm

Bài 2: Tam giác $A B C$ có $A B = 7$ cm, $A C = 10$ cm. Tìm độ dài có thể của cạnh $B C$ .

Bài 3: Tam giác có hai cạnh dài $8$ cm và $15$ cm. Cạnh thứ ba có độ dài là số nguyên. Tìm:

a) Giá trị nhỏ nhất của cạnh thứ ba

b) Giá trị lớn nhất của cạnh thứ ba

c) Tất cả các giá trị có thể

Bài 4: Cho tam giác $A B C$ có chu vi $24$ cm, $A B = 8$ cm, $A C = 10$ cm. Tính $B C$ .

Bài 5: Chứng minh: Trong tam giác $A B C$ , nếu $A B = A C$ thì $B C < 2 A B$ .

📊 Đáp số

Bài 1: a) Có; b) Không ( $2 + 3 = 5$ ); c) Không ( $7 + 8 = 15$ ); d) Có

Bài 2: $3 < B C < 17$ (cm)

Bài 3: a) 8 cm; b) 22 cm; c) ${8, 9, 10, ..., 22}$ (15 giá trị)

Bài 4: $B C = 6$ cm

Bài 5: Từ $A B + A C > B C$ và $A B = A C$ suy ra $2 A B > B C$