Lớp 7 · Chương VII: Biểu thức đại số và đa thức một biến

Bài 28: Phép chia đa thức một biến

🚀 Khởi động

🎯 Chia đa thức

Chia từng hạng tử

Phân phối ngược

Số dư

Phần còn lại

🔍 Khám phá

📖 1. Chia đa thức cho đơn thức

Quy tắc: Chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức rồi cộng các thương lại.

$(a + b) : c = a : c + b : c$ (với $c \neq = 0$ )

Ví dụ 1: Tính $(6 x^{3} - 9 x^{2} + 3 x) : 3 x$

$(6 x^{3} - 9 x^{2} + 3 x) : 3 x$

$= 6 x^{3} : 3 x - 9 x^{2} : 3 x + 3 x : 3 x$

$= 2 x^{2} - 3 x + 1$

Lưu ý: Mỗi hạng tử của đa thức phải chia hết cho đơn thức.

📖 2. Chia đa thức cho đa thức

Định lý chia: Cho hai đa thức $A$ và $B$ ( $B \neq = 0$ ), tồn tại duy nhất hai đa thức $Q$ (thương) và $R$ (số dư) sao cho:

$A = B \cdot Q + R$

Trong đó: bậc của $R$ nhỏ hơn bậc của $B$ hoặc $R = 0$ .

Nếu $R = 0$ thì $A$ chia hết cho $B$ .

Ví dụ 2: Chia $(x^{2} + 5 x + 6) : (x + 2)$

Bước 1: Chia hạng tử bậc cao nhất: $x^{2} : x = x$

Bước 2: Nhân $x$ với $(x + 2)$ : $x (x + 2) = x^{2} + 2 x$

Bước 3: Trừ: $(x^{2} + 5 x + 6) - (x^{2} + 2 x) = 3 x + 6$

Bước 4: Chia tiếp: $3 x : x = 3$

Bước 5: Nhân $3$ với $(x + 2)$ : $3 (x + 2) = 3 x + 6$

Bước 6: Trừ: $(3 x + 6) - (3 x + 6) = 0$

Kết quả: $(x^{2} + 5 x + 6) : (x + 2) = x + 3$

Ví dụ 3: Chia $(2 x^{3} - 3 x^{2} + x - 5) : (x - 2)$

Thực hiện phép chia:

$2 x^{3} - 3 x^{2} + x - 5 = (x - 2) (2 x^{2} + x + 3) + 1$

Thương: $Q (x) = 2 x^{2} + x + 3$

Số dư: $R = 1$

📖 3. Áp dụng hằng đẳng thức

Các phép chia đặc biệt:

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$

→ $(a^{2} - b^{2}) : (a - b) = a + b$
$a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$

→ $(a^{2} + 2 ab + b^{2}) : (a + b) = a + b$
$a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$

→ $(a^{2} - 2 ab + b^{2}) : (a - b) = a - b$

Ví dụ 4: Áp dụng hằng đẳng thức:

a) $(x^{2} - 9) : (x - 3) = (x - 3) (x + 3) : (x - 3) = x + 3$

b) $(4 x^{2} - 4 x + 1) : (2 x - 1) = (2 x - 1)^{2} : (2 x - 1) = 2 x - 1$

c) $(x^{2} + 6 x + 9) : (x + 3) = (x + 3)^{2} : (x + 3) = x + 3$

🌍 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

🧩 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Chia đơn thức cho đơn thức, chia đa thức cho đơn thức

Phương pháp:

$a x^{m} : b x^{n} = (a : b) x^{m - n}$ ( $a, b \neq = 0, m \geq n$ ).
Chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức rồi cộng các kết quả.

Ví dụ 1.1: Tính $(12 x^{4} - 8 x^{3} + 4 x^{2}) : 4 x^{2}$ .

Lời giải

$(12 x^{4} - 8 x^{3} + 4 x^{2}) : 4 x^{2} = (12 x^{4} : 4 x^{2}) + (- 8 x^{3} : 4 x^{2}) + (4 x^{2} : 4 x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x + 1$

Dạng 2: Chia đa thức một biến đã sắp xếp

Phương pháp: Đặt phép chia dọc như chia các số tự nhiên: Lấy hạng tử bậc cao nhất của đa thức bị chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia để tìm hạng tử đầu của thương; nhân lại và trừ đi.

Ví dụ 2.1: Thực hiện phép chia $(2 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 3) : (2 x - 3)$ .

Lời giải

Ta có $2 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 3 = (2 x - 3) (x^{2} - x + 1)$ . Vậy thương của phép chia là $x^{2} - x + 1$ (chia hết, dư 0).

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 11

Dễ0 đã trả lời

Chia đa thức cho đơn thức, ta:

🌍 Vận dụng

Bài toán: Một hình chữ nhật có diện tích $S = 2 x^{2} + 7 x + 3$ (cm²) và chiều rộng $(x + 3)$ cm. Tính chiều dài.

Chiều dài $= S :$ chiều rộng

$= (2 x^{2} + 7 x + 3) : (x + 3)$

Thực hiện phép chia:

$2 x^{2} + 7 x + 3 = (x + 3) (2 x + 1)$

Vậy chiều dài là $(2 x + 1)$ cm

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán (Chiều dài bể bơi): Một bể bơi hình chữ nhật có thể tích nước là $V (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 2 x$ (m³) với chiều cao là $x$ (m) và chiều rộng là $x + 1$ (m).

a) Tính diện tích mặt đáy $S (x) = V (x) : x$ .
b) Tính chiều dài của bể bơi bằng cách chia diện tích mặt đáy cho chiều rộng $x + 1$ .

Lời giải:

a) $S (x) = (x^{3} + 3 x^{2} + 2 x) : x = x^{2} + 3 x + 2$ (m²).
b) Chiều dài $= (x^{2} + 3 x + 2) : (x + 1) = \frac{( x + 1 ) ( x + 2 )}{x + 1} = x + 2$ (m).

⭐ Ghi nhớ

Chia đa thức - đơn thức: chia từng hạng tử
Chia đa thức - đa thức: $A = B \cdot Q + R$
Chia hết: $R = 0$
Bậc số dư: nhỏ hơn bậc số chia
Hằng đẳng thức: giúp chia nhanh

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Thực hiện phép chia:

a) $(8 x^{3} - 12 x^{2}) : 4 x$

b) $(15 x^{4} - 10 x^{3} + 5 x^{2}) : 5 x^{2}$

c) $(6 x^{2} y - 9 x y^{2}) : 3 x y$

Bài 2: Tính:

a) $(x^{2} + 7 x + 12) : (x + 3)$

b) $(2 x^{2} - 5 x - 3) : (x - 3)$

c) $(x^{3} - 8) : (x - 2)$

Bài 3: Áp dụng hằng đẳng thức:

a) $(x^{2} - 16) : (x - 4)$

b) $(9 x^{2} - 6 x + 1) : (3 x - 1)$

c) $(x^{2} + 10 x + 25) : (x + 5)$

Bài 4: Tìm thương và số dư:

a) $(x^{3} + 2 x^{2} - x + 3) : (x + 1)$

b) $(2 x^{3} - x^{2} + 4) : (x - 1)$

c) $(x^{4} - 1) : (x^{2} + 1)$

Bài 5: Tìm $a$ để đa thức $x^{3} - 3 x^{2} + a x - 6$ chia hết cho $x - 2$ .

📊 Đáp số

Bài 1: a) $2 x^{2} - 3 x$ ; b) $3 x^{2} - 2 x + 1$ ; c) $2 x - 3 y$

Bài 2: a) $x + 4$ ; b) $2 x + 1$ ; c) $x^{2} + 2 x + 4$

Bài 3: a) $x + 4$ ; b) $3 x - 1$ ; c) $x + 5$

Bài 4: a) Thương: $x^{2} + x - 2$ , Dư: 5; b) Thương: $2 x^{2} + x + 1$ , Dư: 5; c) Thương: $x^{2} - 1$ , Dư: 0

Bài 5: $a = 5$