Lớp 7 · Chương VII: Biểu thức đại số và đa thức một biến

Bài 27: Phép nhân đa thức một biến

🚀 Khởi động

🎯 Nhân đa thức

Nhân từng hạng tử

Phân phối

Thu gọn

Cộng đồng dạng

🔍 Khám phá

📖 1. Nhân đơn thức với đa thức

Quy tắc: Nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích lại.

$a \cdot (b + c) = ab + a c$

Ví dụ 1: Tính $3 x (2 x^{2} - 5 x + 1)$

$3 x (2 x^{2} - 5 x + 1)$

$= 3 x \cdot 2 x^{2} - 3 x \cdot 5 x + 3 x \cdot 1$

$= 6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 x$

📖 2. Nhân đa thức với đa thức

Quy tắc: Nhân từng hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia, rồi cộng các tích lại và thu gọn.

$(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$

Ví dụ 2: Tính $(x + 3) (2 x - 1)$

$(x + 3) (2 x - 1)$

$= x \cdot 2 x + x \cdot (- 1) + 3 \cdot 2 x + 3 \cdot (- 1)$

$= 2 x^{2} - x + 6 x - 3$

$= 2 x^{2} + 5 x - 3$

Ví dụ 3: Tính $(x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)$

$(x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)$

$= x^{2} \cdot x + x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 \cdot x + 1 \cdot 2$

$= x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 4 x + x + 2$

$= x^{3} - 3 x + 2$

📖 3. Các hằng đẳng thức đáng nhớ

1. Bình phương của một tổng:

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

2. Bình phương của một hiệu:

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$

3. Hiệu hai bình phương:

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

Ví dụ 4: Áp dụng hằng đẳng thức:

a) $(x + 3)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = x^{2} + 6 x + 9$

b) $(2 x - 1)^{2} = (2 x)^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot 1 + 1^{2} = 4 x^{2} - 4 x + 1$

c) $(x + 5) (x - 5) = x^{2} - 5^{2} = x^{2} - 25$

🌍 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

🧩 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Nhân đơn thức với đa thức

Phương pháp: Nhận từng hạng tử của đa thức với đơn thức rồi cộng các tích với nhau: $a (b + c - d) = ab + a c - a d$ .

Ví dụ 1.1: Tính $- 3 x^{2} (2 x^{2} - 5 x + 1)$ .

Lời giải

$- 3 x^{2} (2 x^{2} - 5 x + 1) = (- 3 x^{2}) (2 x^{2}) + (- 3 x^{2}) (- 5 x) + (- 3 x^{2}) (1) = - 6 x^{4} + 15 x^{3} - 3 x^{2}$

Dạng 2: Nhân đa thức với đa thức

Phương pháp: Nhân mỗi hạng tử của đa thức thứ nhất với từng hạng tử của đa thức thứ hai rồi cộng các tích lại với nhau.

Ví dụ 2.1: Tính $(2 x - 3) (x^{2} + 4 x - 1)$ .

Lời giải

$(2 x - 3) (x^{2} + 4 x - 1) = 2 x (x^{2} + 4 x - 1) - 3 (x^{2} + 4 x - 1) = 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 x - 3 x^{2} - 12 x + 3 = 2 x^{3} + 5 x^{2} - 14 x + 3$

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 11

Dễ0 đã trả lời

Nhân đơn thức với đa thức, ta:

🌍 Vận dụng

Bài toán: Một hình chữ nhật có chiều dài $(x + 5)$ cm và chiều rộng $(x + 2)$ cm. Tính diện tích.

$S = (x + 5) (x + 2)$

$= x^{2} + 2 x + 5 x + 10$

$= x^{2} + 7 x + 10$ (cm²)

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán (Diện tích mảnh hình chữ nhật mở rộng): Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài là $x + 5$ (m) và chiều rộng là $x - 2$ (m).

a) Viết đa thức biểu diễn diện tích $S (x)$ của khu vườn theo $x$ .
b) Tính diện tích khu vườn khi $x = 10$ m.

Lời giải:

a) $S (x) = (x + 5) (x - 2) = x^{2} - 2 x + 5 x - 10 = x^{2} + 3 x - 10$ (m²).
b) Khi $x = 10$ : $S (10) = 1 0^{2} + 3 (10) - 10 = 100 + 30 - 10 = 120$ m².

⭐ Ghi nhớ

Nhân đơn thức - đa thức: nhân với từng hạng tử
Nhân đa thức - đa thức: nhân từng hạng tử với từng hạng tử
Hằng đẳng thức: $(a \pm b)^{2}$ , $(a + b) (a - b)$
Bậc tích: bằng tổng các bậc
Lưu ý: thu gọn hạng tử đồng dạng

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Thực hiện phép nhân:

a) $5 x (2 x - 3)$

b) $- 2 x^{2} (3 x + 4)$

c) $x (x^{2} - 2 x + 1)$

Bài 2: Tính:

a) $(x + 2) (x + 5)$

b) $(2 x - 1) (x + 3)$

c) $(x - 4) (x - 2)$

Bài 3: Áp dụng hằng đẳng thức:

a) $(x + 4)^{2}$

b) $(3 x - 2)^{2}$

c) $(x + 7) (x - 7)$

d) $(2 x + 1) (2 x - 1)$

Bài 4: Rút gọn:

a) $(x + 1) (x - 1) - (x - 2)^{2}$

b) $(x + 3)^{2} - (x - 3)^{2}$

c) $(2 x + 1)^{2} - 4 x (x + 1)$

Bài 5: Tính giá trị biểu thức:

a) $(x + 2) (x - 2)$ tại $x = 5$

b) $(x - 1)^{2}$ tại $x = 3$

📊 Đáp số

Bài 1: a) $10 x^{2} - 15 x$ ; b) $- 6 x^{3} - 8 x^{2}$ ; c) $x^{3} - 2 x^{2} + x$

Bài 2: a) $x^{2} + 7 x + 10$ ; b) $2 x^{2} + 5 x - 3$ ; c) $x^{2} - 6 x + 8$

Bài 3: a) $x^{2} + 8 x + 16$ ; b) $9 x^{2} - 12 x + 4$ ; c) $x^{2} - 49$ ; d) $4 x^{2} - 1$

Bài 4: a) $- 3 x + 5$ ; b) $12 x$ ; c) $1$

Bài 5: a) 21; b) 4