Lớp 7 · Chương VII: Biểu thức đại số và đa thức một biến

Bài 26: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

🚀 Khởi động

🎯 Cộng và trừ đa thức

Cộng

Cộng hạng tử đồng dạng

−

Trừ

Đổi dấu rồi cộng

🔍 Khám phá

📖 1. Phép cộng đa thức

Quy tắc: Để cộng hai đa thức, ta:

Bỏ dấu ngoặc
Nhóm các hạng tử đồng dạng (cùng bậc)
Cộng các hạng tử đồng dạng
Thu gọn kết quả

Ví dụ 1: Cho $P (x) = 3 x^{2} - 2 x + 5$ và $Q (x) = x^{2} + 4 x - 3$ . Tính $P (x) + Q (x)$ .

$P (x) + Q (x) = (3 x^{2} - 2 x + 5) + (x^{2} + 4 x - 3)$

$= 3 x^{2} - 2 x + 5 + x^{2} + 4 x - 3$

$= (3 x^{2} + x^{2}) + (- 2 x + 4 x) + (5 - 3)$

$= 4 x^{2} + 2 x + 2$

📖 2. Phép trừ đa thức

Quy tắc: Để trừ hai đa thức, ta:

Đổi dấu tất cả các hạng tử của đa thức bị trừ
Cộng đa thức thứ nhất với đa thức đối của đa thức thứ hai

$P (x) - Q (x) = P (x) + (- Q (x))$

Ví dụ 2: Cho $P (x) = 5 x^{2} - 3 x + 1$ và $Q (x) = 2 x^{2} + x - 4$ . Tính $P (x) - Q (x)$ .

$P (x) - Q (x) = (5 x^{2} - 3 x + 1) - (2 x^{2} + x - 4)$

$= 5 x^{2} - 3 x + 1 - 2 x^{2} - x + 4$

$= (5 x^{2} - 2 x^{2}) + (- 3 x - x) + (1 + 4)$

$= 3 x^{2} - 4 x + 5$

📖 3. Đa thức đối

Đa thức đối của $P (x)$ là $- P (x)$ , được tạo bằng cách đổi dấu tất cả các hạng tử.

$P (x) + (- P (x)) = 0$

Ví dụ 3: Tìm đa thức đối của $P (x) = 3 x^{2} - 5 x + 2$

$- P (x) = - (3 x^{2} - 5 x + 2) = - 3 x^{2} + 5 x - 2$

📖 4. Tính chất

Tính chất giao hoán: $P (x) + Q (x) = Q (x) + P (x)$

Tính chất kết hợp: $[P (x) + Q (x)] + R (x) = P (x) + [Q (x) + R (x)]$

Cộng với 0: $P (x) + 0 = P (x)$

Cộng với đa thức đối: $P (x) + (- P (x)) = 0$

🌍 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

🧩 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Cộng, trừ hai đa thức một biến

Phương pháp:

Cách 1 (Hàng ngang): Bỏ dấu ngoặc (đổi dấu các hạng tử nếu có dấu trừ đằng trước), nhóm các hạng tử đồng dạng và thu gọn.
Cách 2 (Cột dọc): Sắp xếp hai đa thức theo lũy thừa giảm dần, đặt các hạng tử cùng bậc ở cùng một cột dọc rồi thực hiện cộng hoặc trừ các hệ số.

Ví dụ 1.1: Cho $P (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} + x - 5$ và $Q (x) = - x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 1$ . Tính $P (x) + Q (x)$ và $P (x) - Q (x)$ .

Lời giải

$P (x) + Q (x) = (3 x^{3} - x^{3}) + (- 2 x^{2} + 2 x^{2}) + (x + 3 x) + (- 5 + 1) = 2 x^{3} + 4 x - 4$ .
$P (x) - Q (x) = (3 x^{3} - (- x^{3})) + (- 2 x^{2} - 2 x^{2}) + (x - 3 x) + (- 5 - 1) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x - 6$ .

Dạng 2: Tìm đa thức chưa biết trong đẳng thức cộng trừ

Phương pháp: Dùng quy tắc chuyển vế:

Nếu $A (x) + B (x) = C (x) \Rightarrow A (x) = C (x) - B (x)$ .
Nếu $A (x) - B (x) = C (x) \Rightarrow A (x) = C (x) + B (x)$ .

Ví dụ 2.1: Tìm đa thức $A (x)$ biết $A (x) + (2 x^{2} - 3 x + 1) = 5 x^{2} + 2 x - 4$ .

Lời giải

$A (x) = (5 x^{2} + 2 x - 4) - (2 x^{2} - 3 x + 1) = 5 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{2} + 3 x - 1 = 3 x^{2} + 5 x - 5$

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Để cộng hai đa thức, ta thực hiện:

🌍 Vận dụng

Bài toán: Một hình chữ nhật có chiều dài $P (x) = 2 x + 3$ và chiều rộng $Q (x) = x + 1$ . Tính chu vi hình chữ nhật.

Chu vi = $2 [P (x) + Q (x)]$

$= 2 [(2 x + 3) + (x + 1)]$

$= 2 (3 x + 4)$

$= 6 x + 8$

⭐ Ghi nhớ

Cộng: nhóm và cộng hạng tử đồng dạng
Trừ: đổi dấu rồi cộng
Đa thức đối: đổi dấu tất cả hạng tử
Tính chất: giao hoán, kết hợp
Lưu ý: cẩn thận với dấu ngoặc

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Tính tổng:

a) $(3 x + 2) + (5 x - 1)$

b) $(x^{2} - 3 x + 1) + (2 x^{2} + x - 4)$

c) $(4 x^{3} - 2 x + 5) + (x^{3} + 3 x^{2} - 1)$

Bài 2: Tính hiệu:

a) $(7 x - 3) - (2 x + 5)$

b) $(3 x^{2} + 4 x - 1) - (x^{2} - 2 x + 3)$

c) $(5 x^{3} - x^{2} + 2) - (2 x^{3} + 3 x^{2} - x)$

Bài 3: Tìm đa thức đối:

a) $P (x) = 5 x - 7$

b) $Q (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$

c) $R (x) = - x^{3} + 4 x - 2$

Bài 4: Cho $P (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$ , $Q (x) = x^{2} + 2 x - 5$ , $R (x) = - x^{2} + x + 3$ . Tính:

a) $P (x) + Q (x)$

b) $P (x) - Q (x)$

c) $P (x) + Q (x) + R (x)$

d) $P (x) - Q (x) + R (x)$

Bài 5: Tìm đa thức $M (x)$ biết:

a) $M (x) + (2 x - 3) = 5 x + 1$

b) $M (x) - (x^{2} - 2 x) = 3 x^{2} + x - 1$

c) $(3 x^{2} + 2 x) - M (x) = x^{2} - x + 5$

📊 Đáp số

Bài 1: a) $8 x + 1$ ; b) $3 x^{2} - 2 x - 3$ ; c) $5 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x + 4$

Bài 2: a) $5 x - 8$ ; b) $2 x^{2} + 6 x - 4$ ; c) $3 x^{3} - 4 x^{2} + x + 2$

Bài 3: a) $- 5 x + 7$ ; b) $- 2 x^{2} + 3 x - 1$ ; c) $x^{3} - 4 x + 2$

Bài 4: a) $3 x^{2} - x - 4$ ; b) $x^{2} - 5 x + 6$ ; c) $2 x^{2} - 2 x - 1$ ; d) $- x - 3$

Bài 5: a) $M (x) = 3 x + 4$ ; b) $M (x) = 4 x^{2} - x - 1$ ; c) $M (x) = 2 x^{2} + 3 x - 5$