Lớp 7 · Chương VII: Biểu thức đại số và đa thức một biến

Bài 25: Đa thức một biến

🚀 Khởi động

🎯 Đa thức một biến

Một biến

Chỉ có một chữ

Bậc

Số mũ cao nhất

🔍 Khám phá

📖 1. Định nghĩa đa thức một biến

Đa thức một biến là tổng của các đơn thức của cùng một biến.

Ký hiệu: $P (x), Q (x), R (x), ...$

Dạng tổng quát:

$P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{1} x + a_{0}$

trong đó $a_{n}, a_{n - 1}, ..., a_{1}, a_{0}$ là các hệ số.

Ví dụ 1: Các đa thức một biến:

$P (x) = 3 x^{2} - 5 x + 2$ (biến $x$ )
$Q (x) = x^{3} + 2 x^{2} - x + 1$ (biến $x$ )
$R (t) = 5 t^{4} - 3 t^{2} + 7$ (biến $t$ )

Không phải đa thức một biến:

$x^{2} + y^{2}$ (có hai biến)
$3 x y - 2 x$ (có hai biến)

📖 2. Các khái niệm

Bậc của đa thức: Là bậc của hạng tử có bậc cao nhất (khi đa thức đã thu gọn).

Hệ số cao nhất: Là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất.

Hệ số tự do: Là hạng tử không chứa biến.

Nghiệm của đa thức: Là giá trị của biến làm cho đa thức bằng 0.

Ví dụ 2: Cho $P (x) = 5 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 7$

Bậc: 3
Hệ số cao nhất: 5
Hệ số tự do: -7
Các hệ số: $a_{3} = 5, a_{2} = - 2, a_{1} = 3, a_{0} = - 7$

📖 3. Sắp xếp đa thức

Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần: Từ bậc cao đến bậc thấp

Sắp xếp theo lũy thừa tăng dần: Từ bậc thấp đến bậc cao

Ví dụ 3: Sắp xếp đa thức $P (x) = 3 - 5 x + 2 x^{3} - x^{2}$

Giảm dần: $P (x) = 2 x^{3} - x^{2} - 5 x + 3$

Tăng dần: $P (x) = 3 - 5 x - x^{2} + 2 x^{3}$

📖 4. Giá trị của đa thức

Ví dụ 4: Cho $P (x) = x^{2} - 3 x + 2$ . Tính $P (1), P (2), P (0)$ .

$P (1) = 1^{2} - 3 (1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$

$P (2) = 2^{2} - 3 (2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$

$P (0) = 0^{2} - 3 (0) + 2 = 2$

Vậy $x = 1$ và $x = 2$ là nghiệm của $P (x)$ .

📖 5. Hai đa thức bằng nhau

Hai đa thức bằng nhau khi và chỉ khi các hệ số của các hạng tử cùng bậc bằng nhau.

Ví dụ 5: Tìm $a, b$ biết $2 x^{2} + a x + 3 = 2 x^{2} - 5 x + b$

So sánh hệ số:

Hệ số của $x^{2}$ : $2 = 2$ ✓
Hệ số của $x$ : $a = - 5$
Hệ số tự do: $3 = b$

Vậy $a = - 5, b = 3$

🌍 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

🧩 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Thu gọn, sắp xếp và tìm bậc của đa thức một biến

Phương pháp:

Nhóm các hạng tử đồng dạng để thu gọn đa thức.
Sắp xếp các hạng tử theo lũy thừa giảm dần (hoặc tăng dần) của biến.
Bậc của đa thức thu gọn là số mũ cao nhất của biến có hệ số khác 0.

Ví dụ 1.1: Thu gọn và sắp xếp đa thức $P (x) = 3 x^{2} - 5 x + x^{3} - 2 x^{2} + 7 - 4 x^{3}$ theo lũy thừa giảm dần.

Lời giải

$P (x) = (x^{3} - 4 x^{3}) + (3 x^{2} - 2 x^{2}) - 5 x + 7 = - 3 x^{3} + x^{2} - 5 x + 7$

Bậc của đa thức là 3.
Hệ số cao nhất là -3.
Hệ số tự do là 7.

Dạng 2: Tính giá trị của đa thức một biến

Phương pháp: Thay giá trị $x = a$ vào đa thức $P (x)$ rồi thực hiện các phép tính số học.

Ví dụ 2.1: Tính $P (2)$ và $P (- 1)$ với $P (x) = 2 x^{3} - 3 x + 5$ .

Lời giải

$P (2) = 2 (2)^{3} - 3 (2) + 5 = 2 \cdot 8 - 6 + 5 = 16 - 6 + 5 = 15$ .
$P (- 1) = 2 (- 1)^{3} - 3 (- 1) + 5 = 2 (- 1) + 3 + 5 = - 2 + 3 + 5 = 6$ .

Dạng 3: Kiểm tra và tìm nghiệm của đa thức một biến

Phương pháp:

Để kiểm tra $x = a$ có là nghiệm hay không: tính $P (a)$ , nếu $P (a) = 0$ thì $a$ là nghiệm.
Để tìm nghiệm: cho $P (x) = 0$ và giải tìm $x$ .

Ví dụ 3.1: Tìm nghiệm của đa thức $Q (x) = 3 x - 12$ .

Lời giải

Cho $Q (x) = 0 \Rightarrow 3 x - 12 = 0 \Rightarrow 3 x = 12 \Rightarrow x = 4$ . Vậy nghiệm của đa thức $Q (x)$ là $x = 4$ .

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 11

Dễ0 đã trả lời

Đa thức một biến là đa thức có:

🌍 Vận dụng

Bài toán: Một vật rơi tự do từ độ cao $h$ mét. Quãng đường rơi sau $t$ giây được tính bởi công thức $s (t) = 5 t^{2}$ .

a) Đây có phải là đa thức một biến không?

b) Tính quãng đường rơi sau 3 giây

Giải:

a) Có, $s (t) = 5 t^{2}$ là đa thức một biến $t$ , bậc 2

b) $s (3) = 5 (3)^{2} = 5 \times 9 = 45$ mét

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán (Chi phí sản xuất): Một công ty sản xuất đồ chơi ước tính tổng chi phí (đơn vị: triệu đồng) để sản xuất $x$ sản phẩm trong một ngày được mô tả bởi đa thức: $C (x) = 0.05 x^{2} + 2 x + 50$ .

a) Tính chi phí sản xuất khi công ty làm được 100 sản phẩm trong ngày.
b) Hệ số tự do $50$ có ý nghĩa gì thực tế? (Chi phí cố định ban đầu khi chưa sản xuất sản phẩm nào).

Lời giải:

a) Khi $x = 100$ : $C (100) = 0.05 (100)^{2} + 2 (100) + 50 = 0.05 (10000) + 200 + 50 = 500 + 200 + 50 = 750$ (triệu đồng).
b) Khi $x = 0$ , $C (0) = 50$ triệu đồng. Đây là chi phí cố định (tiền thuê mặt bằng, điện nước duy trì) ngay cả khi không sản xuất.

⭐ Ghi nhớ

Đa thức một biến: chỉ có một biến
Bậc: số mũ cao nhất
Hệ số cao nhất: hệ số của hạng tử bậc cao nhất
Hệ số tự do: hạng tử không chứa biến
Nghiệm: giá trị làm đa thức bằng 0
Sắp xếp: tăng dần hoặc giảm dần theo bậc

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Xác định bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của các đa thức:

a) $P (x) = 3 x^{2} - 5 x + 2$

b) $Q (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

c) $R (x) = 7 x^{3} + 3 x - 4$

Bài 2: Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần:

a) $P (x) = 5 - 3 x + x^{2} - 2 x^{3}$

b) $Q (x) = 2 x - 7 + 4 x^{3} - x^{2}$

Bài 3: Tính giá trị của đa thức $P (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$ tại:

a) $x = 0$

b) $x = 1$

c) $x = 2$

d) $x = - 1$

Bài 4: Tìm nghiệm của các đa thức:

a) $P (x) = 2 x - 6$

b) $Q (x) = x^{2} - 4$

c) $R (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Bài 5: Tìm $a, b$ biết:

a) $3 x^{2} + a x - 5 = 3 x^{2} + 2 x + b$

b) $x^{3} - 2 x + a = x^{3} + b x + 3$

📊 Đáp số

Bài 1: a) Bậc 2, hệ số cao nhất 3, hệ số tự do 2; b) Bậc 4, hệ số cao nhất 1, hệ số tự do 1; c) Bậc 3, hệ số cao nhất 7, hệ số tự do -4

Bài 2: a) $- 2 x^{3} + x^{2} - 3 x + 5$ ; b) $4 x^{3} - x^{2} + 2 x - 7$

Bài 3: a) -1; b) -1; c) 1; d) -4

Bài 4: a) $x = 3$ ; b) $x = 2$ hoặc $x = - 2$ ; c) $x = 2$ hoặc $x = 3$

Bài 5: a) $a = 2, b = - 5$ ; b) $a = 3, b = - 2$