Lớp 7 · Chương VI: Tỉ lệ thức và đại lượng tỉ lệ

Bài 22: Đại lượng tỉ lệ thuận

🚀 Khởi động

🎯 Đại lượng tỉ lệ thuận

Khi một đại lượng tăng thì đại lượng kia cũng tăng theo tỉ lệ!

↗️

Cùng tăng

Tăng cùng lúc

↘️

Cùng giảm

Giảm cùng lúc

Hệ số k

Tỉ lệ không đổi

🔍 Khám phá

📖 1. Định nghĩa đại lượng tỉ lệ thuận

Định nghĩa: Đại lượng $y$ được gọi là tỉ lệ thuận với đại lượng $x$ nếu:

$y = k x$

trong đó $k$ là một số khác 0, gọi là hệ số tỉ lệ.

Tương đương: $\frac{y}{x} = k$ (không đổi)

Ví dụ 1: Quãng đường $s$ (km) và thời gian $t$ (giờ) với vận tốc $v = 60$ km/h:

$s = 60 t$

Đây là công thức tỉ lệ thuận với hệ số $k = 60$ .

Thời gian (h)	1	2	3	4
Quãng đường (km)	60	120	180	240

Tỉ số: $\frac{60}{1} = \frac{120}{2} = \frac{180}{3} = \frac{240}{4} = 60$ (không đổi)

Ví dụ 2: Chu vi hình tròn $C$ và bán kính $r$ :

$C = 2 π r$

Đây là công thức tỉ lệ thuận với hệ số $k = 2 π \approx 6.28$ .

📖 2. Tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận

Tính chất 1: Nếu $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số $k$ thì:

Khi $x$ tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần thì $y$ cũng tăng (hoặc giảm) bấy nhiêu lần.

Tính chất 2: Nếu hai đại lượng $y$ và $x$ tỉ lệ thuận với nhau thì:

$\frac{y _{1}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{x _{2}} = \frac{y _{3}}{x _{3}} = ... = k$

Ví dụ 3: Cho $y$ tỉ lệ thuận với $x$ . Khi $x = 3$ thì $y = 12$ .

a) Tìm hệ số tỉ lệ $k$

b) Tính $y$ khi $x = 5$

c) Nếu $x$ tăng 3 lần thì $y$ thay đổi như thế nào?

Giải:

a) Từ $y = k x$ , ta có: $12 = k \times 3$ , suy ra $k = 4$

b) Khi $x = 5$ : $y = 4 \times 5 = 20$

c) Nếu $x$ tăng 3 lần thì $y$ cũng tăng 3 lần (từ 12 lên 36)

📖 3. Các dạng bài toán

Dạng 1: Tìm hệ số tỉ lệ

Ví dụ 4: Biết $y$ tỉ lệ thuận với $x$ . Khi $x = 4$ thì $y = 20$ . Tìm công thức liên hệ giữa $y$ và $x$ .

Giải:

Vì $y$ tỉ lệ thuận với $x$ nên $y = k x$

Thay $x = 4, y = 20$ :

$20 = k \times 4$

$k = 5$

Vậy công thức: $y = 5 x$

Dạng 2: Tìm giá trị chưa biết

Ví dụ 5: Cho hai đại lượng $x$ và $y$ tỉ lệ thuận với nhau. Khi $x = 2$ thì $y = 8$ , khi $x = 5$ thì $y = ?$

Giải:

Cách 1: Tìm hệ số $k$

$k = \frac{y}{x} = \frac{8}{2} = 4$

Khi $x = 5$ : $y = 4 \times 5 = 20$

Cách 2: Dùng tính chất tỉ lệ thức

$\frac{y _{1}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{x _{2}}$

$\frac{8}{2} = \frac{y _{2}}{5}$

$y_{2} = \frac{8 \times 5}{2} = 20$

Dạng 3: Chia theo tỉ lệ thuận

Ví dụ 6: Chia số 120 thành ba phần $x, y, z$ tỉ lệ thuận với 2, 3, 4.

Giải:

Vì $x, y, z$ tỉ lệ thuận với 2, 3, 4 nên:

$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = \frac{x + y + z}{2 + 3 + 4} = \frac{120}{9} = \frac{40}{3}$

Suy ra:

$x = 2 \times \frac{40}{3} = \frac{80}{3}$
$y = 3 \times \frac{40}{3} = 40$
$z = 4 \times \frac{40}{3} = \frac{160}{3}$

📖 4. Ứng dụng thực tế

Các ví dụ về đại lượng tỉ lệ thuận:

Quãng đường và thời gian (với vận tốc không đổi): $s = v t$
Khối lượng và thể tích (với khối lượng riêng không đổi): $m = D V$
Chu vi hình tròn và bán kính: $C = 2 π r$
Diện tích hình vuông và bình phương cạnh: $S = a^{2}$
Tiền lương và số ngày làm việc (với lương ngày không đổi)
Giá tiền và số lượng hàng (với đơn giá không đổi): $T = p \times n$

🌍 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

🧩 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết hai đại lượng tỉ lệ thuận và tìm hệ số tỉ lệ

Phương pháp:

Hai đại lượng $y$ và $x$ tỉ lệ thuận nếu có công thức $y = k x$ (với $k \neq = 0$ ).
Khi đó $k$ là hệ số tỉ lệ của $y$ đối với $x$ . Hệ số tỉ lệ $k = \frac{y}{x}$ .
Để lập công thức, ta chỉ cần tìm $k$ và thế vào $y = k x$ .

Ví dụ 1.1: Cho biết $y$ tỉ lệ thuận với $x$ . Khi $x = 4$ thì $y = 12$ . Tìm hệ số tỉ lệ của $y$ đối với $x$ và viết công thức tính $y$ theo $x$ .

Lời giải

Vì

y

tỉ lệ thuận với

x

nên ta có công thức:

y = k x

. Thay

x = 4

và

y = 12

vào, ta được:

12 = k \cdot 4 \Rightarrow k = 3

. Vậy hệ số tỉ lệ của

y

đối với

x

là

k = 3

. Công thức biểu diễn

y

theo

x

là:

y = 3 x

Ví dụ 1.2: Đại lượng $y$ tỉ lệ thuận với đại lượng $x$ theo hệ số tỉ lệ $k = - 2$ . Hỏi $x$ tỉ lệ thuận với $y$ theo hệ số tỉ lệ nào? Viết công thức.

Lời giải

Vì

y

tỉ lệ thuận với

x

theo hệ số tỉ lệ

k = - 2

nên:

y = - 2 x

. Từ đó suy ra

x = \frac{1}{- 2} y = - 0.5 y

. Vậy

x

tỉ lệ thuận với

y

theo hệ số tỉ lệ là

- 0.5

. Công thức:

x = - 0.5 y

Ví dụ 1.3: Các giá trị tương ứng của hai đại lượng $x$ và $y$ được cho trong bảng sau:

x	1	2	3	4
y	5	10	15	20

Hỏi $x$ và $y$ có phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận không? Vì sao?

Lời giải

Ta xét các tỉ số

\frac{y}{x}

\frac{5}{1} = 5; \frac{10}{2} = 5; \frac{15}{3} = 5; \frac{20}{4} = 5

. Vì tất cả các tỉ số đều bằng nhau và bằng 5 nên

y

và

x

là hai đại lượng tỉ lệ thuận, với hệ số tỉ lệ là 5.

Bài toán thực tế 1.1: Biết rằng khối lượng của một thanh nhôm đồng chất tỉ lệ thuận với thể tích của nó. Một thanh nhôm có thể tích $5 dm^{3}$ thì nặng $13.5 kg$ . Tìm hệ số tỉ lệ của khối lượng đối với thể tích.

Lời giải

Gọi khối lượng là

m

(kg), thể tích là

V

(

dm^{3}

). Ta có

m = k V

. Thay

V = 5

và

m = 13.5

vào:

13.5 = k \cdot 5 \Rightarrow k = 13.5 : 5 = 2.7

. Vậy hệ số tỉ lệ là

2.7

(đây chính là khối lượng riêng của nhôm tính theo

kg/dm^{3}

Bài toán thực tế 1.2: Số tiền mua gạo tỉ lệ thuận với số kilôgam gạo mua. Một người mua 3 kg gạo hết 60 nghìn đồng. Gọi số tiền là $y$ và số kg gạo là $x$ . Lập công thức tính $y$ theo $x$ .

Lời giải

Ta có

y = k x

. Thay

x = 3, y = 60

ta được

60 = k \cdot 3 \Rightarrow k = 20

. Vậy công thức tính số tiền

y

theo số kg gạo

x

là:

y = 20 x

. (20 nghìn đồng/kg).

Bài toán thực tế 1.3: Trên bản đồ tỉ lệ 1:100000, khoảng cách trên bản đồ (gọi là $d$ ) và khoảng cách thực tế (gọi là $D$ ) là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Hãy viết công thức tính $D$ (theo cm) qua $d$ (theo cm) và xác định hệ số tỉ lệ.

Lời giải

Tỉ lệ bản đồ 1:100000 nghĩa là

D = 100000 \cdot d

. Do đó

D

tỉ lệ thuận với

d

theo hệ số tỉ lệ

k = 100000

Dạng 2: Tìm giá trị của đại lượng khi biết giá trị tương ứng của đại lượng kia

Phương pháp:

Tính hệ số tỉ lệ $k = \frac{y _{1}}{x _{1}}$ .
Từ đó tính giá trị tương ứng: $y_{2} = k \cdot x_{2}$ hoặc $x_{2} = \frac{y _{2}}{k}$ .
Hoặc dùng tính chất: $\frac{y _{1}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{x _{2}}$ rồi tìm đại lượng chưa biết.

Ví dụ 2.1: Biết $y$ tỉ lệ thuận với $x$ . Khi $x = 3$ thì $y = - 6$ . Hỏi khi $x = - 2$ thì $y$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

Hệ số tỉ lệ

k = \frac{y}{x} = \frac{- 6}{3} = - 2

. Suy ra

y = - 2 x

. Khi

x = - 2

, ta có

y = - 2 \cdot (- 2) = 4

Ví dụ 2.2: Cho $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Biết $x_{1} = 5, y_{1} = 15$ và $y_{2} = 30$ . Tìm $x_{2}$ .

Lời giải

Áp dụng tính chất tỉ lệ thuận:

\frac{y _{1}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{x _{2}} \Rightarrow \frac{15}{5} = \frac{30}{x _{2}} \Rightarrow 3 = \frac{30}{x _{2}} \Rightarrow x_{2} = 10

Ví dụ 2.3: Cho biết $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $\frac{1}{4}$ . Khi $y = 12$ thì $x$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

Ta có công thức:

y = \frac{1}{4} x

. Khi

y = 12 \Rightarrow 12 = \frac{1}{4} x \Rightarrow x = 12 \cdot 4 = 48

Bài toán thực tế 2.1: Một chiếc xe ô tô tiêu thụ 8 lít xăng để đi quãng đường 100 km. Hỏi xe đó cần bao nhiêu lít xăng để đi quãng đường 250 km?

Lời giải

Số lít xăng và quãng đường là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Gọi số xăng cần tìm là

y

(lít). Ta có:

\frac{8}{100} = \frac{y}{250} \Rightarrow y = \frac{8 \cdot 250}{100} = 20

. Vậy xe cần 20 lít xăng.

Bài toán thực tế 2.2: Để làm 2 cái bánh kem cần 300g đường. Nếu người làm bánh muốn làm 5 cái bánh kem cùng loại thì cần bao nhiêu gam đường?

Lời giải

Gọi số gam đường cần dùng là

x

. Vì lượng đường và số bánh tỉ lệ thuận:

\frac{300}{2} = \frac{x}{5} \Rightarrow 150 = \frac{x}{5} \Rightarrow x = 150 \cdot 5 = 750

. Vậy cần 750g đường.

Bài toán thực tế 2.3: Lượng nước chảy từ một vòi vào bể tỉ lệ thuận với thời gian chảy. Biết rằng trong 10 phút vòi chảy được 150 lít nước. Hỏi sau bao lâu thì vòi chảy được 450 lít nước?

Lời giải

Gọi thời gian cần thiết là

t

(phút). Ta có:

\frac{150}{10} = \frac{450}{t} \Rightarrow 15 = \frac{450}{t} \Rightarrow t = 450 : 15 = 30

. Vậy cần 30 phút.

Dạng 3: Bài toán chia một số thành các phần tỉ lệ thuận

Phương pháp:

Đưa bài toán về dạng dãy tỉ số bằng nhau. Nếu chia số $S$ thành 3 phần $x, y, z$ tỉ lệ thuận với $a, b, c$ , ta viết: $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$ và $x + y + z = S$ .
Dùng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải.

Ví dụ 3.1: Chia số 90 thành ba phần tỉ lệ thuận với 2, 3 và 4. Tìm ba phần đó.

Lời giải

Gọi ba phần là

x, y, z

. Ta có

\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}

và

x + y + z = 90

. Áp dụng tính chất:

\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = \frac{x + y + z}{2 + 3 + 4} = \frac{90}{9} = 10

x = 20, y = 30, z = 40

Ví dụ 3.2: Tìm các góc của một tam giác, biết số đo ba góc tỉ lệ thuận với 3, 5, 10.

Lời giải

Gọi số đo 3 góc là

A, B, C

. Ta có

\frac{A}{3} = \frac{B}{5} = \frac{C}{10}

và

A + B + C = 18 0^{\circ}

\frac{A}{3} = \frac{B}{5} = \frac{C}{10} = \frac{180}{18} = 10

A = 3 0^{\circ}, B = 5 0^{\circ}, C = 10 0^{\circ}

Ví dụ 3.3: Biết $a, b, c$ tỉ lệ thuận với $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$ và $a + b + c = 130$ . Tìm $a, b, c$ .

Lời giải

Ta có

a : b : c = \frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4} = 6 : 4 : 3

(nhân các số với 12). Suy ra

\frac{a}{6} = \frac{b}{4} = \frac{c}{3}

\frac{a}{6} = \frac{b}{4} = \frac{c}{3} = \frac{a + b + c}{6 + 4 + 3} = \frac{130}{13} = 10

a = 60, b = 40, c = 30

Bài toán thực tế 3.1: Số cây trồng được của 3 lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ thuận với 3, 4, 5. Biết lớp 7C trồng nhiều hơn lớp 7A là 20 cây. Tính số cây mỗi lớp.

Lời giải

Gọi số cây 7A, 7B, 7C trồng là

x, y, z

. Ta có

\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}

và

z - x = 20

\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = \frac{z - x}{5 - 3} = \frac{20}{2} = 10

x = 30, y = 40, z = 50

Bài toán thực tế 3.2: Lợi nhuận của một công ty trong 3 năm qua lần lượt tỉ lệ thuận với 2, 5, 7. Biết tổng lợi nhuận của năm thứ hai và năm thứ ba là 120 tỉ đồng. Tính lợi nhuận năm thứ nhất.

Lời giải

Gọi lợi nhuận các năm là

x, y, z

. Ta có

\frac{x}{2} = \frac{y}{5} = \frac{z}{7}

và

y + z = 120

\frac{x}{2} = \frac{y}{5} = \frac{z}{7} = \frac{y + z}{5 + 7} = \frac{120}{12} = 10

. Lợi nhuận năm thứ nhất là

x = 2 \cdot 10 = 20

(tỉ đồng).

Bài toán thực tế 3.3: Một gia đình làm nước mơ ngâm đường theo công thức khối lượng quả mơ và khối lượng đường tỉ lệ thuận với 3 và 2. Nếu nhà đó có 6 kg quả mơ thì cần mua thêm bao nhiêu kg đường để ngâm hết số quả mơ đó?

Lời giải

Gọi

x

(kg) là lượng mơ,

y

(kg) là lượng đường.

\frac{x}{3} = \frac{y}{2}

. Thay

x = 6

vào:

\frac{6}{3} = \frac{y}{2} \Rightarrow 2 = \frac{y}{2} \Rightarrow y = 4

. Vậy cần 4 kg đường.

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Hai đại lượng tỉ lệ thuận khi:

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

Bài toán: Một ô tô chạy với vận tốc 60 km/h. Sau 2 giờ, ô tô đi được 120 km.

a) Quãng đường có tỉ lệ thuận với thời gian không? Tìm hệ số tỉ lệ.

b) Nếu ô tô chạy 5 giờ thì đi được bao nhiêu km?

c) Để đi được 300 km thì cần bao nhiêu thời gian?

Giải:

a) Có, quãng đường $s$ tỉ lệ thuận với thời gian $t$ theo công thức $s = v t$

Hệ số tỉ lệ: $k = v = 60$ km/h

b) Khi $t = 5$ giờ: $s = 60 \times 5 = 300$ km

c) Khi $s = 300$ km: $t = \frac{s}{v} = \frac{300}{60} = 5$ giờ

⭐ Ghi nhớ

Định nghĩa: $y = k x$ (k là hệ số tỉ lệ, $k \neq = 0$ )
Tỉ số không đổi: $\frac{y}{x} = k$
Tính chất: x tăng/giảm n lần → y tăng/giảm n lần
Dãy tỉ số: $\frac{y _{1}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{x _{2}} = \frac{y _{3}}{x _{3}} = k$
Ứng dụng: quãng đường-thời gian, khối lượng-thể tích, giá-số lượng

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho biết $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $k = 4$ . a) Viết công thức biểu diễn $y$ theo $x$ . b) Hỏi $x$ tỉ lệ thuận với $y$ theo hệ số tỉ lệ nào?

Bài 2: Biết các đại lượng $x, y$ tỉ lệ thuận với nhau, khi $x = - 5$ thì $y = 15$ . a) Tìm hệ số tỉ lệ của $y$ đối với $x$ . b) Tính giá trị của $y$ khi $x = 2; x = - 3$ .

Bài 3: Cho $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Biết $x_{1} = 4; x_{2} = 6$ và $y_{1} + y_{2} = 30$ . Tìm công thức biểu diễn $y$ theo $x$ .

Bài 4: Cứ xay 100 kg thóc thì được 70 kg gạo. Hỏi muốn có 350 kg gạo thì phải xay bao nhiêu kilôgam thóc?

Bài 5: Hai thanh sắt và chì có cùng thể tích. Khối lượng của thanh sắt và chì tỉ lệ thuận với khối lượng riêng của chúng (sắt: $7.8 g/cm^{3}$ , chì: $11.3 g/cm^{3}$ ). Biết thanh chì nặng hơn thanh sắt 70g. Tính khối lượng của mỗi thanh.

Bài 6: Chia số 180 thành 3 phần tỉ lệ thuận với 2; 3; 4. Tìm các phần đó.

Bài 7: Chu vi của một mảnh đất hình chữ nhật là 60m. Biết tỉ số giữa hai cạnh của hình chữ nhật là $\frac{2}{3}$ . Tính diện tích mảnh đất.

Bài 8: Ba người A, B, C cùng góp vốn mở một cửa hàng theo tỉ lệ 2 : 3 : 5. Cuối năm cửa hàng lãi 300 triệu đồng. Hỏi mỗi người nhận được bao nhiêu tiền lãi (biết tiền lãi chia tỉ lệ thuận với tiền vốn)?

Bài 9: Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 60 km/h hết 2 giờ. Nếu ô tô đó chạy với vận tốc 40 km/h thì quãng đường đi được trong 3 giờ là bao nhiêu? (Gợi ý: Quãng đường tỉ lệ thuận với thời gian).

Bài 10: Số tiền thanh toán tiền điện của 3 gia đình A, B, C tỉ lệ thuận với 4, 5, 7. Biết nhà C trả nhiều hơn nhà A là 150 nghìn đồng. Hỏi tổng số tiền điện của cả 3 gia đình là bao nhiêu?

📊 Đáp số

Bài 1: a) $y = 4 x$ ; b) $x = \frac{1}{4} y$ (hệ số là $\frac{1}{4}$ )

Bài 2: a) $k = - 3$ ; b) Với $x = 2 \Rightarrow y = - 6$ ; với $x = - 3 \Rightarrow y = 9$

Bài 3: $\frac{y _{1}}{4} = \frac{y _{2}}{6} = \frac{y _{1} + y _{2}}{10} = 3 \Rightarrow y_{1} = 12$ . Do đó $k = \frac{12}{4} = 3$ . Công thức: $y = 3 x$ .

Bài 4: $100 : 70 = x : 350 \Rightarrow x = 500$ kg thóc.

Bài 5: $\frac{m _{s}}{7.8} = \frac{m _{c}}{11.3} = \frac{m _{c} - m _{s}}{3.5} = \frac{70}{3.5} = 20$ . Sắt: 156g, Chì: 226g.

Bài 6: $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = \frac{180}{9} = 20$ . Các phần là: 40; 60; 80.

Bài 7: Nửa chu vi là 30m. Cạnh dài là 18m, cạnh ngắn là 12m. Diện tích là $216 m^{2}$ .

Bài 8: Tiền lãi chia theo $2 : 3 : 5$ , tổng bằng 300 triệu. A nhận 60 tr, B nhận 90 tr, C nhận 150 tr.

Bài 9: Vận tốc $v = 40, t = 3 \Rightarrow S = v \cdot t = 120$ km. (Hoặc quãng đường tỉ lệ thuận với thời gian khi $v$ không đổi, nhưng ở đây $v$ đổi. Bài toán cần thận trọng, quãng đường = 120 km).

Bài 10: $\frac{A}{4} = \frac{B}{5} = \frac{C}{7} = \frac{C - A}{3} = \frac{150}{3} = 50$ . Tổng = $(4 + 5 + 7) \cdot 50 = 800$ nghìn đồng.