Lớp 7 · Chương VI: Tỉ lệ thức và đại lượng tỉ lệ

Bài 21: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

🚀 Khởi động

🎯 Dãy tỉ số bằng nhau

Khi có nhiều tỉ số bằng nhau, ta có những tính chất đặc biệt!

⚖️

Dãy tỉ số

Nhiều tỉ số bằng nhau

➕

Tính chất

Tổng tử / tổng mẫu

🔍 Khám phá

📖 1. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Tính chất: Từ dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Ta có:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} = \frac{a - c}{b - d}$

(với điều kiện các mẫu số khác 0 và $b \neq = d$ trong trường hợp trừ)

Chứng minh:

Đặt $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$

Suy ra: $a = bk$ và $c = d k$

Ta có:

$\frac{a + c}{b + d} = \frac{bk + d k}{b + d} = \frac{k ( b + d )}{b + d} = k$

$\frac{a - c}{b - d} = \frac{bk - d k}{b - d} = \frac{k ( b - d )}{b - d} = k$

Vậy $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} = \frac{a - c}{b - d} = k$

Ví dụ 1: Cho $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$ . Kiểm tra tính chất.

Giải:

$\frac{3}{4} = \frac{6}{8} = 0.75$

$\frac{3 + 6}{4 + 8} = \frac{9}{12} = 0.75$ ✓

$\frac{3 - 6}{4 - 8} = \frac{- 3}{- 4} = 0.75$ ✓

📖 2. Tính chất mở rộng

Tính chất mở rộng: Từ dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}$

Ta có:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a + c + e}{b + d + f} = \frac{a - c + e}{b - d + f}$

(với điều kiện các mẫu số khác 0)

Ví dụ 2: Cho $\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9}$ . Tính $\frac{2 + 4 + 6}{3 + 6 + 9}$ .

Giải:

Theo tính chất mở rộng:

$\frac{2 + 4 + 6}{3 + 6 + 9} = \frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Kiểm tra: $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ ✓

📖 3. Ứng dụng: Tìm số chưa biết

Phương pháp: Đặt các tỉ số bằng $k$ , biểu diễn các số theo $k$ , rồi giải phương trình.

Ví dụ 3: Tìm $x, y$ biết $\frac{x}{3} = \frac{y}{5}$ và $x + y = 24$ .

Giải:

Đặt $\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = k$

Suy ra: $x = 3 k$ và $y = 5 k$

Thay vào điều kiện: $x + y = 24$

$3 k + 5 k = 24$

$8 k = 24$

$k = 3$

Vậy: $x = 3 \times 3 = 9$ và $y = 5 \times 3 = 15$

Ví dụ 4: Tìm $x, y, z$ biết $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}$ và $x + y + z = 50$ .

Giải:

Đặt $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} = k$

Suy ra: $x = 2 k$ , $y = 3 k$ , $z = 5 k$

Thay vào điều kiện: $x + y + z = 50$

$2 k + 3 k + 5 k = 50$

$10 k = 50$

$k = 5$

Vậy: $x = 10$ , $y = 15$ , $z = 25$

Ví dụ 5: Tìm $a, b$ biết $\frac{a}{4} = \frac{b}{7}$ và $a - b = 9$ .

Giải:

Đặt $\frac{a}{4} = \frac{b}{7} = k$

Suy ra: $a = 4 k$ và $b = 7 k$

Thay vào điều kiện: $a - b = 9$

$4 k - 7 k = 9$

$- 3 k = 9$

$k = - 3$

Vậy: $a = 4 \times (- 3) = - 12$ và $b = 7 \times (- 3) = - 21$

📖 4. Bài toán chia tỉ lệ

Dạng bài: Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước.

Ví dụ 6: Chia số 120 thành ba phần tỉ lệ với 2, 3, 5.

Giải:

Gọi ba phần cần tìm là $x, y, z$ .

Theo đề bài: $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}$ và $x + y + z = 120$

Đặt $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} = k$

Suy ra: $x = 2 k$ , $y = 3 k$ , $z = 5 k$

Từ $x + y + z = 120$ :

$2 k + 3 k + 5 k = 120$

$10 k = 120$

$k = 12$

Vậy: $x = 24$ , $y = 36$ , $z = 60$

🌍 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

🧩 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Tìm hai số biết tỉ số và tổng (hoặc hiệu) của chúng

Phương pháp: Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

Nếu $\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$ thì $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{x + y}{a + b} = \frac{x - y}{a - b}$

Ví dụ 1.1: Tìm hai số $x, y$ biết $\frac{x}{3} = \frac{y}{5}$ và $x + y = 32$ .

Lời giải

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{x + y}{3 + 5} = \frac{32}{8} = 4

. Suy ra

x = 3 \cdot 4 = 12

;

y = 5 \cdot 4 = 20

Ví dụ 1.2: Tìm hai số $a, b$ biết $a : b = 7 : 4$ và $a - b = 15$ .

Lời giải

Từ

a : b = 7 : 4

, ta có

\frac{a}{7} = \frac{b}{4}

. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\frac{a}{7} = \frac{b}{4} = \frac{a - b}{7 - 4} = \frac{15}{3} = 5

. Do đó

a = 7 \cdot 5 = 35

;

b = 4 \cdot 5 = 20

Ví dụ 1.3: Tìm $x, y$ biết $2 x = 5 y$ và $x + y = - 14$ .

Lời giải

Từ

2 x = 5 y

, ta suy ra

\frac{x}{5} = \frac{y}{2}

. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\frac{x}{5} = \frac{y}{2} = \frac{x + y}{5 + 2} = \frac{- 14}{7} = - 2

. Vậy

x = 5 \cdot (- 2) = - 10

;

y = 2 \cdot (- 2) = - 4

Bài toán thực tế 1.1: Hai lớp 7A và 7B quyên góp được tổng cộng 120 quyển vở. Số vở lớp 7A quyên góp tỉ lệ với 5, số vở lớp 7B quyên góp tỉ lệ với 7. Tính số vở mỗi lớp đã quyên góp.

Lời giải

Gọi số vở lớp 7A và 7B quyên góp lần lượt là

x, y

(

x, y > 0

). Ta có

\frac{x}{5} = \frac{y}{7}

và

x + y = 120

. Áp dụng tính chất:

\frac{x}{5} = \frac{y}{7} = \frac{x + y}{5 + 7} = \frac{120}{12} = 10

. Số vở lớp 7A:

x = 50

(quyển). Số vở lớp 7B:

y = 70

(quyển).

Bài toán thực tế 1.2: Một khu vườn hình chữ nhật có tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng là $\frac{4}{3}$ . Biết chiều dài hơn chiều rộng 12 m. Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn.

Lời giải

Gọi chiều dài là

a

(m), chiều rộng là

b

(m) (

a, b > 0

). Ta có

\frac{a}{b} = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{a}{4} = \frac{b}{3}

và

a - b = 12

. Áp dụng tính chất:

\frac{a}{4} = \frac{b}{3} = \frac{a - b}{4 - 3} = \frac{12}{1} = 12

. Chiều dài

a = 48

m, chiều rộng

b = 36

Bài toán thực tế 1.3: Số bi của Minh và An có tỉ số là $5 : 2$ . Biết rằng Minh có nhiều hơn An 15 viên bi. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu viên bi?

Lời giải

Gọi số bi của Minh là

x

, số bi của An là

y

. Ta có

\frac{x}{5} = \frac{y}{2}

và

x - y = 15

. Áp dụng tính chất:

\frac{x}{5} = \frac{y}{2} = \frac{x - y}{5 - 2} = \frac{15}{3} = 5

. Minh có

x = 25

viên bi. An có

y = 10

viên bi.

Dạng 2: Tìm ba số khi biết dãy tỉ số bằng nhau và biểu thức liên hệ

Phương pháp:

Viết dãy tỉ số $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$ .
Áp dụng tính chất: $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = \frac{x + y + z}{a + b + c} = \frac{x - y + z}{a - b + c} = \dots$ tuỳ theo biểu thức đề bài cho.

Ví dụ 2.1: Tìm $x, y, z$ biết $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ và $x + y + z = 45$ .

Lời giải

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = \frac{x + y + z}{2 + 3 + 4} = \frac{45}{9} = 5

. Vậy

x = 10, y = 15, z = 20

Ví dụ 2.2: Tìm $x, y, z$ biết $x : y : z = 3 : 4 : 5$ và $x - y + z = 16$ .

Lời giải

Ta có

\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}

. Áp dụng tính chất:

\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = \frac{x - y + z}{3 - 4 + 5} = \frac{16}{4} = 4

. Vậy

x = 12, y = 16, z = 20

Ví dụ 2.3: Tìm $a, b, c$ biết $\frac{a}{2} = \frac{b}{3}$ , $\frac{b}{4} = \frac{c}{5}$ và $a + b - c = 10$ .

Lời giải

Ta có:

\frac{a}{2} = \frac{b}{3} \Rightarrow \frac{a}{8} = \frac{b}{12}

. Lại có

\frac{b}{4} = \frac{c}{5} \Rightarrow \frac{b}{12} = \frac{c}{15}

. Vậy

\frac{a}{8} = \frac{b}{12} = \frac{c}{15}

. Áp dụng tính chất:

\frac{a}{8} = \frac{b}{12} = \frac{c}{15} = \frac{a + b - c}{8 + 12 - 15} = \frac{10}{5} = 2

. Suy ra

a = 16, b = 24, c = 30

Bài toán thực tế 2.1: Ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được tổng cộng 120 cây. Số cây trồng được của 3 lớp lần lượt tỉ lệ với 3; 4; 5. Tính số cây mỗi lớp trồng được.

Lời giải

Gọi số cây của 7A, 7B, 7C là

x, y, z

. Ta có

\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}

và

x + y + z = 120

\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = \frac{120}{12} = 10

. Số cây lớp 7A là 30, lớp 7B là 40, lớp 7C là 50.

Bài toán thực tế 2.2: Một tam giác có chu vi là 36 cm. Biết độ dài 3 cạnh của tam giác đó tỉ lệ với 3, 4, 5. Tính độ dài các cạnh của tam giác.

Lời giải

Gọi 3 cạnh là

a, b, c

\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5}

và

a + b + c = 36

\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5} = \frac{36}{12} = 3

. Các cạnh lần lượt là

9 cm, 12 cm, 15 cm

Bài toán thực tế 2.3: Số học sinh giỏi của 3 khối 6, 7, 8 tỉ lệ với 4, 3, 2. Khối 6 có nhiều hơn khối 8 là 30 học sinh giỏi. Tìm số học sinh giỏi của mỗi khối.

Lời giải

Gọi số học sinh giỏi khối 6, 7, 8 là

x, y, z

. Ta có

\frac{x}{4} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2}

và

x - z = 30

\frac{x}{4} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2} = \frac{x - z}{4 - 2} = \frac{30}{2} = 15

. Khối 6:

4 \cdot 15 = 60

; Khối 7:

3 \cdot 15 = 45

; Khối 8:

2 \cdot 15 = 30

Dạng 3: Bài toán mở rộng với biểu thức phức tạp

Phương pháp: Khi biểu thức điều kiện có dạng $c_{1} x + c_{2} y + c_{3} z$ , ta nhân (hoặc chia) tử và mẫu của các tỉ số với các hệ số tương ứng rồi mới cộng, trừ: Ví dụ: $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} \Rightarrow \frac{2 x}{2 a} = \frac{3 y}{3 b} = \frac{2 x + 3 y}{2 a + 3 b}$ .

Ví dụ 3.1: Tìm $x, y$ biết $\frac{x}{2} = \frac{y}{5}$ và $2 x - y = 12$ .

Lời giải

Ta có

\frac{x}{2} = \frac{y}{5} \Rightarrow \frac{2 x}{4} = \frac{y}{5}

. Áp dụng tính chất:

\frac{2 x}{4} = \frac{y}{5} = \frac{2 x - y}{4 - 5} = \frac{12}{- 1} = - 12

. Vậy

\frac{x}{2} = - 12 \Rightarrow x = - 24

;

\frac{y}{5} = - 12 \Rightarrow y = - 60

Ví dụ 3.2: Tìm $a, b, c$ biết $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{2}$ và $a + 2 b - 3 c = 25$ .

Lời giải

\frac{a}{3} = \frac{2 b}{8} = \frac{3 c}{6} = \frac{a + 2 b - 3 c}{3 + 8 - 6} = \frac{25}{5} = 5

a = 15; b = 20; c = 10

Ví dụ 3.3: Tìm $x, y$ biết $\frac{x}{4} = \frac{y}{5}$ và $x \cdot y = 80$ .

Lời giải

Đặt

\frac{x}{4} = \frac{y}{5} = k

. Khi đó

x = 4 k, y = 5 k

x \cdot y = 4 k \cdot 5 k = 20 k^{2} = 80 \Rightarrow k^{2} = 4 \Rightarrow k = \pm 2

. Nếu

k = 2

x = 8, y = 10

. Nếu

k = - 2

x = - 8, y = - 10

Bài toán thực tế 3.1: Số máy cày của ba đội I, II, III tỉ lệ với 4, 5, 6. Biết rằng hai lần số máy cày của đội I cộng với ba lần số máy cày đội II thì nhiều hơn số máy cày đội III là 34 máy. Tìm số máy cày của mỗi đội.

Lời giải

Gọi số máy cày là

x, y, z

. Ta có

\frac{x}{4} = \frac{y}{5} = \frac{z}{6}

và

2 x + 3 y - z = 34

\frac{2 x}{8} = \frac{3 y}{15} = \frac{z}{6} = \frac{2 x + 3 y - z}{8 + 15 - 6} = \frac{34}{17} = 2

x = 8, y = 10, z = 12

Bài toán thực tế 3.2: Số điểm 10 của ba bạn An, Bình, Cường tỉ lệ với 2, 3, 4. Biết rằng bình phương số điểm của An cộng với bình phương số điểm của Bình bằng 117. Tính số điểm 10 của mỗi bạn.

Lời giải

Gọi số điểm 10 của An, Bình, Cường là

a, b, c

\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = k \Rightarrow a = 2 k, b = 3 k

a^{2} + b^{2} = 4 k^{2} + 9 k^{2} = 13 k^{2} = 117 \Rightarrow k^{2} = 9

. Vì số điểm

> 0

nên

k = 3

a = 6, b = 9, c = 12

Bài toán thực tế 3.3: Một hình chữ nhật có chu vi là 56 m. Biết tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng là $4 : 3$ . Tính diện tích hình chữ nhật đó.

Lời giải

Nửa chu vi là

56 : 2 = 28

(m). Gọi chiều dài và chiều rộng là

a, b

. Ta có

\frac{a}{4} = \frac{b}{3}

và

a + b = 28

\frac{a}{4} = \frac{b}{3} = \frac{28}{7} = 4 \Rightarrow a = 16, b = 12

. Diện tích là

16 \cdot 12 = 192

(

m^{2}

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Cho $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ . Tỉ số này bằng:

⭐ Ghi nhớ

Tính chất: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} = \frac{a - c}{b - d}$
Mở rộng: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a + c + e}{b + d + f}$
Phương pháp: Đặt các tỉ số bằng $k$ , biểu diễn theo $k$
Ứng dụng: Tìm số chưa biết, chia tỉ lệ
Điều kiện: Các mẫu số khác 0

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Tìm hai số $x$ và $y$ biết $\frac{x}{4} = \frac{y}{7}$ và $x + y = 55$ .

Bài 2: Tìm hai số $a, b$ biết $a : b = 5 : 2$ và $a - b = 24$ .

Bài 3: Tìm $x, y, z$ biết $\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{7}$ và $x + y - z = 10$ .

Bài 4: Tìm $x, y, z$ biết $x : y : z = 2 : 4 : 5$ và $2 x + y - z = 21$ .

Bài 5: Số học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ với 8, 9, 10. Biết tổng số học sinh của ba lớp là 108 em. Tính số học sinh của mỗi lớp.

Bài 6: Chu vi của một tam giác là 72 cm. Các cạnh của nó tỉ lệ với 3, 4, 5. Tính độ dài các cạnh của tam giác đó.

Bài 7: Tìm $x, y$ biết $3 x = 5 y$ và $x - y = 14$ .

Bài 8: Khối lượng giấy vụn thu gom của ba tổ 1, 2, 3 tỉ lệ với 3, 5, 6. Tổ 3 thu gom nhiều hơn tổ 1 là 15 kg. Tính khối lượng giấy vụn mỗi tổ đã thu gom.

Bài 9: Tìm $x, y, z$ biết $\frac{x}{2} = \frac{y}{3}; \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$ và $x + y + z = 105$ .

Bài 10: Số tiền lãi 60 triệu đồng được chia cho ba nhà đầu tư A, B, C theo tỉ lệ vốn góp là 3, 4, 5. Tính số tiền lãi mỗi người nhận được.

📊 Đáp số

Bài 1: $x = 20, y = 35$

Bài 2: $a = 40, b = 16$

Bài 3: $\frac{x + y - z}{3 + 5 - 7} = \frac{10}{1} = 10 \Rightarrow x = 30, y = 50, z = 70$ .

Bài 4: $\frac{2 x}{4} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = \frac{21}{3} = 7 \Rightarrow x = 14, y = 28, z = 35$ .

Bài 5: 7A có 32 em, 7B có 36 em, 7C có 40 em.

Bài 6: $18 cm, 24 cm, 30 cm$ .

Bài 7: $\frac{x}{5} = \frac{y}{3} = \frac{x - y}{2} = 7 \Rightarrow x = 35, y = 21$ .

Bài 8: Tổ 1: $15 kg$ , Tổ 2: $25 kg$ , Tổ 3: $30 kg$ .

Bài 9: $\frac{x}{8} = \frac{y}{12} = \frac{z}{15} = \frac{105}{35} = 3 \Rightarrow x = 24, y = 36, z = 45$ .

Bài 10: Người A: 15 triệu, B: 20 triệu, C: 25 triệu.