Lớp 7 · Chương VI: Tỉ lệ thức và đại lượng tỉ lệ

Bài 20: Tỉ lệ thức

🚀 Khởi động

🎯 Tỉ lệ thức

Tỉ lệ thức là một công cụ quan trọng trong toán học và đời sống!

Đẳng thức

Hai tỉ số bằng nhau

Tính chất

Tích ngoại tỉ = tích trung tỉ

🔍 Khám phá

📖 1. Định nghĩa tỉ lệ thức

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} hoặc a : b = c : d$

Trong đó:

$a, d$ gọi là ngoại tỉ
$b, c$ gọi là trung tỉ

Ví dụ 1:

$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$ là một tỉ lệ thức
- Ngoại tỉ: 2 và 6
- Trung tỉ: 3 và 4
$\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ là một tỉ lệ thức
- Ngoại tỉ: 6 và 3
- Trung tỉ: 9 và 2
$3 : 5 = 6 : 10$ là một tỉ lệ thức
- Ngoại tỉ: 3 và 10
- Trung tỉ: 5 và 6

📖 2. Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức

Tính chất 1: Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì $a \cdot d = b \cdot c$

(Tích ngoại tỉ bằng tích trung tỉ)

Tính chất 2 (Đảo): Nếu $a \cdot d = b \cdot c$ và $b, d \neq = 0$ thì $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Ví dụ 2: Kiểm tra $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ có phải là tỉ lệ thức không?

Giải:

Tích ngoại tỉ: $3 \times 12 = 36$

Tích trung tỉ: $4 \times 9 = 36$

Vì $3 \times 12 = 4 \times 9$ nên $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ là tỉ lệ thức.

📖 3. Tính chất hoán vị

Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ta có thể suy ra:

1. Hoán vị ngoại tỉ: $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$

2. Hoán vị trung tỉ: $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$

3. Đảo tỉ lệ thức: $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$

4. Hoán vị cả hai: $\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$

Ví dụ 3: Từ tỉ lệ thức $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$ , hãy viết các tỉ lệ thức khác.

Giải:

Hoán vị ngoại tỉ: $\frac{6}{3} = \frac{4}{2}$ hay $\frac{6}{3} = \frac{4}{2} = 2$
Hoán vị trung tỉ: $\frac{2}{4} = \frac{3}{6}$ hay $\frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Đảo tỉ lệ thức: $\frac{3}{2} = \frac{6}{4}$ hay $\frac{3}{2} = \frac{6}{4} = 1.5$

📖 4. Tìm số chưa biết trong tỉ lệ thức

Phương pháp: Áp dụng tính chất tích ngoại tỉ bằng tích trung tỉ.

Ví dụ 4: Tìm $x$ trong tỉ lệ thức $\frac{x}{5} = \frac{6}{15}$

Giải:

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức:

$x \times 15 = 5 \times 6$

$15 x = 30$

$x = 2$

Vậy $x = 2$

Ví dụ 5: Tìm $x$ trong tỉ lệ thức $\frac{3}{x} = \frac{9}{12}$

Giải:

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức:

$3 \times 12 = x \times 9$

$36 = 9 x$

$x = 4$

Vậy $x = 4$

📖 5. Ứng dụng của tỉ lệ thức

Tỉ lệ thức được ứng dụng rộng rãi trong:

Bản đồ: Tỉ lệ bản đồ 1:100000 nghĩa là 1 cm trên bản đồ tương ứng 100000 cm = 1 km ngoài thực tế
Công thức hóa học: Tỉ lệ các nguyên tố trong hợp chất
Nấu ăn: Tỉ lệ nguyên liệu trong công thức
Kinh tế: Tỉ lệ giá cả, lãi suất
Hình học: Tỉ lệ các cạnh trong tam giác đồng dạng

🌍 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

🧩 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Kiểm tra lập tỉ lệ thức từ hai tỉ số

Phương pháp:

Rút gọn hai tỉ số về dạng tối giản. Nếu hai tỉ số sau khi rút gọn bằng nhau thì lập thành tỉ lệ thức.
Hoặc dùng tính chất tích ngoại tỉ và tích trung tỉ: kiểm tra xem $a \cdot d = b \cdot c$ hay không.

Ví dụ 1.1: Hai tỉ số $\frac{1.2}{4.2}$ và $\frac{2}{7}$ có lập thành tỉ lệ thức không?

Lời giải

Ta có

\frac{1.2}{4.2} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}

. Vì vậy

\frac{1.2}{4.2} = \frac{2}{7}

là một tỉ lệ thức.

Ví dụ 1.2: Các tỉ số sau có lập thành tỉ lệ thức không: $\frac{15}{21}$ và $\frac{12.5}{17.5}$ ?

Lời giải

Rút gọn tỉ số thứ nhất:

\frac{15}{21} = \frac{15 : 3}{21 : 3} = \frac{5}{7}

. Rút gọn tỉ số thứ hai:

\frac{12.5}{17.5} = \frac{125}{175} = \frac{5}{7}

. Vì hai tỉ số đều bằng

\frac{5}{7}

, nên chúng lập thành một tỉ lệ thức:

\frac{15}{21} = \frac{12.5}{17.5}

Ví dụ 1.3: Hai tỉ số $2 \frac{1}{3} : 7$ và $3 \frac{1}{4} : 13$ có lập thành tỉ lệ thức không?

Lời giải

Ta tính từng tỉ số:

2 \frac{1}{3} : 7 = \frac{7}{3} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{3}

3 \frac{1}{4} : 13 = \frac{13}{4} \cdot \frac{1}{13} = \frac{1}{4}

Vì

\frac{1}{3} \neq = \frac{1}{4}

nên hai tỉ số này không lập thành tỉ lệ thức.

Bài toán thực tế 1.1: Một cửa hàng bán gạo, hôm qua bán được 40 kg gạo Tám xoan thu được 800 nghìn đồng. Hôm nay cửa hàng bán được 15 kg gạo Tám xoan thu được 300 nghìn đồng. Tỉ số giữa khối lượng gạo và số tiền thu được của hai ngày có lập thành tỉ lệ thức không?

Lời giải

Tỉ số giữa khối lượng gạo và số tiền hôm qua:

\frac{40}{800} = \frac{1}{20}

. Tỉ số giữa khối lượng gạo và số tiền hôm nay:

\frac{15}{300} = \frac{1}{20}

. Vì hai tỉ số bằng nhau nên chúng lập thành tỉ lệ thức

\frac{40}{800} = \frac{15}{300}

Bài toán thực tế 1.2: Để làm một cái bánh, công thức A dùng 300g bột và 150g đường. Công thức B dùng 500g bột và 200g đường. Hỏi tỉ số giữa lượng bột và lượng đường ở hai công thức có bằng nhau không (có lập thành tỉ lệ thức không)?

Lời giải

Tỉ số ở công thức A:

\frac{300}{150} = 2

. Tỉ số ở công thức B:

\frac{500}{200} = \frac{5}{2} = 2.5

. Vì

2 \neq = 2.5

nên tỉ số ở hai công thức không bằng nhau (không lập thành tỉ lệ thức).

Bài toán thực tế 1.3: Bản đồ thứ nhất vẽ với tỉ lệ khoảng cách bản đồ / thực tế là 2 cm / 10 km. Bản đồ thứ hai vẽ với tỉ lệ 5 cm / 25 km. Tỉ lệ của hai bản đồ này có tương đương nhau không?

Lời giải

Đổi 10 km = 1000000 cm. Tỉ số bản đồ thứ nhất:

\frac{2}{1000000} = \frac{1}{500000}

. Đổi 25 km = 2500000 cm. Tỉ số bản đồ thứ hai:

\frac{5}{2500000} = \frac{1}{500000}

. Hai tỉ số bằng nhau nên lập thành tỉ lệ thức. Vậy hai bản đồ có cùng tỉ lệ.

Dạng 2: Tìm thành phần chưa biết (tìm $x$ ) trong tỉ lệ thức

Phương pháp: Dùng tính chất $a \cdot d = b \cdot c$ :

$x = \frac{b \cdot c}{d}$ nếu $x$ ở vị trí $a$ .
$x = \frac{a \cdot d}{c}$ nếu $x$ ở vị trí $b$ .

Ví dụ 2.1: Tìm $x$ , biết $\frac{x}{1.5} = \frac{4}{3}$ .

Lời giải

Theo tính chất tỉ lệ thức:

x \cdot 3 = 1.5 \cdot 4 \Rightarrow 3 x = 6 \Rightarrow x = 2

Ví dụ 2.2: Tìm $x$ trong tỉ lệ thức: $2.5 : 7.5 = x : \frac{3}{5}$ .

Lời giải

Tỉ lệ thức có thể viết lại:

\frac{2.5}{7.5} = \frac{x}{0.6}

. Áp dụng tính chất:

7.5 \cdot x = 2.5 \cdot 0.6 = 1.5 \Rightarrow x = \frac{1.5}{7.5} = 0.2 = \frac{1}{5}

Ví dụ 2.3: Tìm $x$ biết $\frac{- 3}{x} = \frac{x}{- 27}$ (với $x \neq = 0$ ).

Lời giải

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức:

x \cdot x = (- 3) \cdot (- 27)

x^{2} = 81

Vậy

x = 9

hoặc

x = - 9

Bài toán thực tế 2.1: Một người đi xe máy với vận tốc không đổi. Biết trong 2 giờ người đó đi được 70 km. Hỏi để đi được quãng đường 175 km thì người đó mất bao lâu?

Lời giải

Gọi thời gian cần tìm là

x

(giờ). Vì vận tốc không đổi nên tỉ số giữa quãng đường và thời gian là không đổi. Ta có tỉ lệ thức:

\frac{70}{2} = \frac{175}{x}

Suy ra:

70 \cdot x = 2 \cdot 175 = 350 \Rightarrow x = 350 : 70 = 5

. Vậy người đó đi mất 5 giờ.

Bài toán thực tế 2.2: Để pha một loại nước chấm, người ta trộn 3 muỗng nước mắm với 5 muỗng nước lọc. Nếu nhà hàng cần pha với 30 muỗng nước lọc thì cần bao nhiêu muỗng nước mắm?

Lời giải

Gọi số muỗng nước mắm cần dùng là

x

. Ta có tỉ lệ thức:

\frac{3}{5} = \frac{x}{30}

Suy ra

5 \cdot x = 3 \cdot 30 = 90 \Rightarrow x = 90 : 5 = 18

. Vậy cần 18 muỗng nước mắm.

Bài toán thực tế 2.3: Số tiền lương của hai công nhân tỉ lệ với số sản phẩm họ làm được. Công nhân A làm được 120 sản phẩm và nhận 6 triệu đồng. Công nhân B làm được 150 sản phẩm. Hỏi công nhân B nhận được bao nhiêu tiền?

Lời giải

Gọi số tiền công nhân B nhận được là

x

(triệu đồng). Ta có tỉ lệ thức:

\frac{120}{6} = \frac{150}{x}

Suy ra

120 \cdot x = 6 \cdot 150 = 900 \Rightarrow x = 900 : 120 = 7.5

. Vậy công nhân B nhận được 7.5 triệu đồng.

Dạng 3: Lập tất cả các tỉ lệ thức từ một đẳng thức tích

Phương pháp: Từ đẳng thức $a \cdot d = b \cdot c$ ( $a, b, c, d \neq = 0$ ), có thể lập 4 tỉ lệ thức bằng cách hoán vị ngoại tỉ hoặc trung tỉ.

Ví dụ 3.1: Lập các tỉ lệ thức từ đẳng thức $3 \cdot 8 = 4 \cdot 6$ .

Lời giải

Bốn tỉ lệ thức thu được là:

$\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$ 2. $\frac{3}{6} = \frac{4}{8}$ 3. $\frac{8}{4} = \frac{6}{3}$ 4. $\frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Ví dụ 3.2: Có thể lập được tỉ lệ thức nào từ 4 số: 2; 3; 6; 9?

Lời giải

Ta thấy

2 \cdot 9 = 3 \cdot 6

(cùng bằng 18). Do đó ta lập được 4 tỉ lệ thức:

$\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$
$\frac{2}{6} = \frac{3}{9}$
$\frac{9}{3} = \frac{6}{2}$
$\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

Ví dụ 3.3: Cho đẳng thức $x \cdot y = (- 5) \cdot z$ (với $x, y, z \neq = 0$ ). Viết tất cả các tỉ lệ thức từ đẳng thức này.

Lời giải

Bốn tỉ lệ thức thu được:

$\frac{x}{- 5} = \frac{z}{y}$
$\frac{x}{z} = \frac{- 5}{y}$
$\frac{y}{- 5} = \frac{z}{x}$
$\frac{y}{z} = \frac{- 5}{x}$

Bài toán thực tế 3.1: Một cửa hàng bán được $a$ áo với giá $d$ nghìn đồng/áo, và bán được $b$ quần với giá $c$ nghìn đồng/quần. Biết rằng tổng doanh thu bán áo bằng tổng doanh thu bán quần ( $a \cdot d = b \cdot c$ ). Hãy lập các tỉ lệ thức biểu diễn mối quan hệ này.

Lời giải

Từ

a \cdot d = b \cdot c

, ta lập được 4 tỉ lệ thức:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$
$\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$
$\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$

Bài toán thực tế 3.2: Diện tích hai hình chữ nhật bằng nhau: hình thứ nhất dài 12m, rộng 4m; hình thứ hai dài 8m, rộng 6m. Từ đó lập các tỉ lệ thức mô tả tỉ lệ giữa chiều dài và chiều rộng của chúng.

Lời giải

Ta có

12 \cdot 4 = 8 \cdot 6 = 48

. Các tỉ lệ thức:

$\frac{12}{8} = \frac{6}{4}$
$\frac{12}{6} = \frac{8}{4}$
$\frac{4}{8} = \frac{6}{12}$
$\frac{4}{6} = \frac{8}{12}$

Bài toán thực tế 3.3: Trọng lượng riêng của chất lỏng A là $10 N/m^{3}$ , chất lỏng B là $15 N/m^{3}$ . Biết thể tích của A là $3 m^{3}$ và B là $2 m^{3}$ thì chúng có cùng trọng lượng ( $10 \cdot 3 = 15 \cdot 2 = 30$ N). Hãy viết 4 tỉ lệ thức biểu diễn.

Lời giải

Từ đẳng thức

10 \cdot 3 = 15 \cdot 2

, ta có 4 tỉ lệ thức:

$\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$
$\frac{10}{2} = \frac{15}{3}$
$\frac{3}{15} = \frac{2}{10}$
$\frac{3}{2} = \frac{15}{10}$

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Tỉ lệ thức là gì?

⭐ Ghi nhớ

Tỉ lệ thức: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (đẳng thức hai tỉ số)
Ngoại tỉ: $a, d$ - Trung tỉ: $b, c$
Tính chất: $a \cdot d = b \cdot c$ (tích ngoại tỉ = tích trung tỉ)
Hoán vị: có thể hoán đổi ngoại tỉ, trung tỉ, hoặc đảo tỉ lệ thức
Tìm x: dùng tính chất tích ngoại tỉ = tích trung tỉ

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Kiểm tra xem các tỉ số sau có lập thành tỉ lệ thức không: a) $\frac{18}{24}$ và $\frac{21}{28}$ b) $3.5 : 1.5$ và $14 : 6$

Bài 2: Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể từ đẳng thức sau: $6 \cdot 14 = 7 \cdot 12$

Bài 3: Cho 4 số: $3, 9, 27, 81$ . Có thể lập được bao nhiêu tỉ lệ thức từ 4 số trên? Hãy viết ra 2 tỉ lệ thức trong số đó.

Bài 4: Tìm $x$ trong các tỉ lệ thức sau: a) $\frac{x}{5} = \frac{12}{20}$ b) $\frac{7}{x} = \frac{- 21}{15}$

Bài 5: Tìm $x$ biết: a) $x : 1.2 = 0.5 : 2.4$ b) $\frac{x}{2} = \frac{8}{x}$ (với $x > 0$ )

Bài 6: Một chiếc xe máy tiêu thụ hết 2.5 lít xăng để đi được 100 km. Hỏi với 4 lít xăng, xe máy đó có thể đi được quãng đường bao nhiêu km?

Bài 7: Để tổ chức một buổi tiệc cho 20 người cần 5 kg thịt bò. Hỏi để tổ chức buổi tiệc tương tự cho 45 người thì cần bao nhiêu kg thịt bò?

Bài 8: Cho tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (với $a, b, c, d \neq = 0$ ). Chứng minh rằng $\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$ .

Bài 9: Hai số $x$ và $y$ có tỉ số là $\frac{x}{y} = \frac{3}{4}$ và tổng $x + y = 35$ . Tìm $x$ và $y$ .

Bài 10: Trên bản đồ tỉ lệ 1:2000000, khoảng cách giữa Hà Nội và Hải Phòng đo được là 5.2 cm. Hỏi khoảng cách thực tế giữa hai thành phố là bao nhiêu km?

📊 Đáp số

Bài 1: a) Có (Rút gọn đều bằng $\frac{3}{4}$ ). b) Có (Rút gọn đều bằng $\frac{7}{3}$ ).

Bài 2: $\frac{6}{7} = \frac{12}{14}$ ; $\frac{6}{12} = \frac{7}{14}$ ; $\frac{14}{7} = \frac{12}{6}$ ; $\frac{14}{12} = \frac{7}{6}$

Bài 3: Lập được từ $3 \cdot 81 = 9 \cdot 27$ . Có 4 tỉ lệ thức. (Ví dụ: $\frac{3}{9} = \frac{27}{81}$ và $\frac{3}{27} = \frac{9}{81}$ )

Bài 4: a) $x = 3$ ; b) $x = - 5$

Bài 5: a) $x = 0.25$ ; b) $x^{2} = 16 \Rightarrow x = 4$ (vì $x > 0$ )

Bài 6: Giải $\frac{2.5}{100} = \frac{4}{x} \Rightarrow x = 160$ km.

Bài 7: Giải $\frac{5}{20} = \frac{x}{45} \Rightarrow x = 11.25$ kg.

Bài 8: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1 \Rightarrow \frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$ .

Bài 9: Từ $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{x + y}{3 + 4} = \frac{35}{7} = 5 \Rightarrow x = 15; y = 20$ .

Bài 10: Khoảng cách thực tế: $5.2 \cdot 2000000 = 10400000$ cm = $104$ km.

Bài 20: Tỉ lệ thức

🎯 Tỉ lệ thức

📖 1. Định nghĩa tỉ lệ thức

📖 2. Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức

📖 3. Tính chất hoán vị

📖 4. Tìm số chưa biết trong tỉ lệ thức

📖 5. Ứng dụng của tỉ lệ thức

🧩 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Kiểm tra lập tỉ lệ thức từ hai tỉ số

Dạng 2: Tìm thành phần chưa biết (tìm x) trong tỉ lệ thức

Dạng 3: Lập tất cả các tỉ lệ thức từ một đẳng thức tích

Luyện tập

📝 Bài tập tự luận

Dạng 2: Tìm thành phần chưa biết (tìm $x$ ) trong tỉ lệ thức