🚀 Khởi động

🎯 Tam giác cân và đường trung trực

△

Tam giác cân

Hai cạnh bằng nhau

⊥

Đường trung trực

Vuông góc tại trung điểm

🔍 Khám phá

📖 1. Tam giác cân

Định nghĩa: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Hai cạnh bằng nhau gọi là hai cạnh bên, cạnh còn lại gọi là cạnh đáy.

Góc tạo bởi hai cạnh bên gọi là góc ở đỉnh, hai góc còn lại gọi là hai góc ở đáy.

⭐ 2. Tính chất của tam giác cân

Định lí: Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

Định lí đảo: Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Ví dụ 1: Tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $widehatA=40°$. Tính $widehatB$ và $widehatC$.

Giải:

Vì $triangleABC$ cân tại $A$ nên $$\begin{gathered} widehatB= \\ widehatC \end{gathered}$$

Ta có: $$\begin{gathered} widehatA+ \\ widehatB+ \\ widehatC=180° \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 40°+ \\ widehatB+ \\ widehatB=180° \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 2 \\ widehatB=140° \end{gathered}$$

$widehatB=70°$

Vậy $$\begin{gathered} widehatB= \\ widehatC=70° \end{gathered}$$

📐 3. Đường cao trong tam giác cân

Định lí: Trong tam giác cân, đường cao xuất phát từ đỉnh đồng thời là:

• Đường trung tuyến
• Đường phân giác
• Đường trung trực của cạnh đáy

📏 4. Đường trung trực của đoạn thẳng

Định nghĩa: Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó.

⭐ 5. Tính chất đường trung trực

Định lí 1: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Định lí 2 (Đảo): Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng $AB$, $I$ là trung điểm. Đường thẳng $d$ vuông góc với $AB$ tại $I$. Điểm $M$ nằm trên $d$. Chứng minh $MA=MB$.

Giải:

Vì $d$ là đường trung trực của $AB$ (vuông góc với $AB$ tại trung điểm $I$)

Điểm $M$ nằm trên $d$ nên $M$ cách đều hai đầu mút $A$ và $B$

Vậy $MA=MB$

🌍 Vận dụng

📚 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Tính góc trong tam giác cân

Cách giải:

• Bước 1: Xác định tam giác cân, xác định đỉnh và đáy
• Bước 2: Áp dụng tính chất hai góc ở đáy bằng nhau
• Bước 3: Sử dụng tổng ba góc trong tam giác bằng 180° để tính góc còn lại

Ví dụ 1.1: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $widehatA=50°$. Tính $widehatB$ và $widehatC$.

Giải chi tiết

Vì $triangleABC$ cân tại $A$ nên $$\begin{gathered} widehatB= \\ widehatC \end{gathered}$$

Ta có: $$\begin{gathered} widehatA+ \\ widehatB+ \\ widehatC=180° \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 50°+2 \\ widehatB=180° \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 2 \\ widehatB=130° \end{gathered}$$

$widehatB=65°$

Vậy $$\begin{gathered} widehatB= \\ widehatC=65° \end{gathered}$$

Ví dụ 1.2: Cho tam giác $MNP$ cân tại $N$, có $$\begin{gathered} widehatM= \\ widehatP=55° \end{gathered}$$. Tính $widehatN$.

Giải chi tiết

Vì $triangleMNP$ cân tại $N$ nên $$\begin{gathered} widehatM= \\ widehatP=55° \end{gathered}$$

Ta có: $$\begin{gathered} widehatN+ \\ widehatM+ \\ widehatP=180° \end{gathered}$$

$widehatN+55°+55°=180°$

$widehatN=180°-110°=70°$

Vậy $widehatN=70°$

Ví dụ 1.3: Cho tam giác $DEF$ cân tại $D$, có $$\begin{gathered} widehatD=3 \\ times \\ widehatE \end{gathered}$$. Tính ba góc của tam giác.

Giải chi tiết

Vì $triangleDEF$ cân tại $D$ nên $$\begin{gathered} widehatE= \\ widehatF \end{gathered}$$

Gọi $widehatE=x$ thì $widehatD=3x$

Ta có: $$\begin{gathered} widehatD+ \\ widehatE+ \\ widehatF=180° \end{gathered}$$

$3x+x+x=180°$

$5x=180°$

$x=36°$

Vậy $$\begin{gathered} widehatE= \\ widehatF=36° \end{gathered}$$, $widehatD=108°$

---

Dạng 2: Nhận biết tam giác cân từ cạnh và góc

Cách giải:

• Nếu biết hai cạnh bằng nhau → tam giác cân tại đỉnh chung của hai cạnh đó
• Nếu biết hai góc bằng nhau → tam giác cân tại đỉnh không thuộc hai góc đó
• Kết hợp nhiều dữ kiện để chứng minh tam giác cân

Ví dụ 2.1: Cho tam giác $ABC$ có $AB=AC=5$ cm, $BC=6$ cm. Xác định tam giác cân tại đỉnh nào?

Giải chi tiết

Vì $AB=AC$ nên hai cạnh bên bằng nhau

Đỉnh chung của $AB$ và $AC$ là $A$

Vậy tam giác $ABC$ cân tại $A$

Ví dụ 2.2: Cho tam giác $XYZ$ có $$\begin{gathered} widehatX= \\ widehatY=70° \end{gathered}$$. Chứng minh tam giác $XYZ$ cân.

Giải chi tiết

Vì $$\begin{gathered} widehatX= \\ widehatY=70° \end{gathered}$$ nên tam giác có hai góc bằng nhau

Theo định lí đảo của tam giác cân: tam giác có hai góc bằng nhau thì là tam giác cân

Đỉnh không thuộc hai góc $X$ và $Y$ là $Z$

Vậy tam giác $XYZ$ cân tại $Z$

Ví dụ 2.3: Cho tam giác $ABC$ có $AB=7$ cm, $AC=7$ cm, $BC=9$ cm. Tính diện tích tam giác $ABC$ biết đường cao $$\begin{gathered} AH= \\ sqrt{7}^2-4,5^2 \end{gathered}$$.

Giải chi tiết

Vì $AB=AC$ nên tam giác $ABC$ cân tại $A$

Đường cao $AH$ cũng là đường trung tuyến nên $$\begin{gathered} BH=HC= \\ dfracBC2=4,5 \end{gathered}$$ cm

$$\begin{gathered} AH= \\ sqrtA{B}^2-B{H}^2= \\ sqrt49-20,25= \\ sqrt28,75\approx 5,36 \end{gathered}$$ cm

Diện tích $$\begin{gathered} S= \\ dfracBC \\ timesAH2= \\ dfrac9 \\ times5,362\approx 24,1 \end{gathered}$$ cm²

---

Dạng 3: Vận dụng tính chất đường trung trực

Cách giải:

• Điểm nằm trên đường trung trực → cách đều hai đầu mút
• Điểm cách đều hai đầu mút → nằm trên đường trung trực
• Kết hợp tam giác cân và đường trung trực để giải bài toán

Ví dụ 3.1: Cho đoạn thẳng $AB$ dài 8 cm. Điểm $M$ nằm trên đường trung trực của $AB$. Chứng minh $MA=MB$.

Giải chi tiết

Vì $M$ nằm trên đường trung trực của $AB$

Theo tính chất đường trung trực: điểm nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút

Vậy $MA=MB$

Ví dụ 3.2: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Kẻ $$\begin{gathered} AH \\ perpBC \end{gathered}$$ tại $H$. Chứng minh $H$ nằm trên đường trung trực của $BC$.

Giải chi tiết

Vì $triangleABC$ cân tại $A$ nên $AB=AC$

$AH$ là đường cao từ $A$ xuống $BC$ nên $$\begin{gathered} AH \\ perpBC \end{gathered}$$

Trong tam giác cân, đường cao từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến

Vậy $H$ là trung điểm của $BC$

Mà đường trung trực của $BC$ đi qua trung điểm $H$ và vuông góc với $BC$

Do đó $H$ nằm trên đường trung trực của $BC$

Ví dụ 3.3: Cho hai điểm $M$ và $N$ cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$. Chứng minh tam giác $MAB$ và tam giác $NAB$ cân.

Giải chi tiết

Vì $M$ nằm trên đường trung trực của $AB$ nên $MA=MB$

Vậy tam giác $MAB$ cân tại $M$

Tương tự, $N$ nằm trên đường trung trực của $AB$ nên $NA=NB$

Vậy tam giác $NAB$ cân tại $N$

✏️ Thực hành tương tác

Thực hành tương tác

△

Thực hành: Tam giác cân và đường trung trực

Trong tam giác cân, đường cao xuất phát từ đỉnh đồng thời là?

Chỉ là đường phân giácChỉ là đường trung trựcChỉ là đường trung tuyếnTrung tuyến, phân giác, trung trực của cạnh đáy

🎲 Câu hỏi mớiĐiểm: 0/0

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Tam giác cân là tam giác có:

AHai cạnh bằng nhauBBa cạnh bằng nhauCHai góc vuôngDBa góc nhọn

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng

Bài toán: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Kẻ $$\begin{gathered} AH \\ perpBC \end{gathered}$$ tại $H$.

a) Chứng minh $H$ là trung điểm của $BC$

b) Chứng minh $AH$ là tia phân giác của góc $A$

Giải:

a) Xét $triangleABH$ và $triangleACH$ (vuông tại $H$) có:

• $AB=AC$ (gt: tam giác cân)
• $AH$ chung

Vậy $$\begin{gathered} triangleABH= \\ triangleACH \end{gathered}$$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Suy ra $BH=CH$, do đó $H$ là trung điểm của $BC$

b) Từ $$\begin{gathered} triangleABH= \\ triangleACH \end{gathered}$$ suy ra $$\begin{gathered} widehatBAH= \\ widehatCAH \end{gathered}$$

Vậy $AH$ là tia phân giác của góc $A$

⭐ Ghi nhớ

• Tam giác cân: có hai cạnh bằng nhau
• Tính chất: hai góc ở đáy bằng nhau
• Định lí đảo: hai góc bằng nhau → tam giác cân
• Đường cao từ đỉnh: là trung tuyến, phân giác, trung trực
• Đường trung trực: vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm
• Tính chất: điểm trên đường trung trực cách đều hai đầu mút

---

📝 Bài tập tự luận

Câu 1: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $widehatA=50°$.

a) Tính $widehatB$ và $widehatC$.

b) Cho $H$ nằm trên $BC$ sao cho $$\begin{gathered} AH \\ perpBC \end{gathered}$$. Tính $widehatBAH$.

c) Chứng minh $AH$ là đường phân giác của góc $A$.

---

Câu 2: Cho tam giác $DEF$ cân tại $D$ có $DE=DF=5$ cm, $EF=6$ cm.

a) Tính chiều cao $DH$ (với $H$ thuộc $EF$, $$\begin{gathered} DH \\ perpEF \end{gathered}$$).

b) Tính diện tích tam giác $DEF$.

c) Tính chu vi tam giác $DEF$.

---

Câu 3: Cho đoạn thẳng $AB$ dài 10 cm, $I$ là trung điểm của $AB$.

a) Vẽ đường trung trực $d$ của $AB$.

b) Lấy điểm $M$ trên $d$ sao cho $MA=13$ cm. Tính $MB$.

c) Chứng minh tam giác $MAB$ cân tại $M$.

---

Câu 4: Cho tam giác $MNP$ cân tại $N$ có $widehatN=80°$.

a) Tính $widehatM$ và $widehatP$.

b) Cho $K$ là trung điểm của $MP$. Tính $widehatMNK$.

c) Chứng minh $$\begin{gathered} NK \\ perpMP \end{gathered}$$.

---

Câu 5: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AB=AC=8$ cm, $BC=12$ cm.

a) Tính đường cao $AH$ (với $H$ thuộc $BC$).

b) Tính diện tích tam giác $ABC$.

c) Điểm $M$ nằm trên đường trung trực của $BC$ sao cho $MB=5$ cm. Tính $MC$.

---

Câu 6: Cho tam giác $XYZ$ cân tại $Y$ có $$\begin{gathered} widehatX= \\ widehatZ=50° \end{gathered}$$.

a) Tính $widehatY$.

b) Cho $W$ là trung điểm của $XZ$. Tính $widehatXYW$.

c) Chứng minh $YW$ là đường trung tuyến, đường phân giác và đường cao của tam giác $XYZ$.

---

Câu 7: Cho đoạn thẳng $PQ$ dài 14 cm. Điểm $M$ nằm trên đường trung trực của $PQ$ sao cho $MP=10$ cm.

a) Tính $MQ$.

b) Gọi $I$ là trung điểm của $PQ$. Tính $MI$.

c) Tính diện tích tam giác $MPQ$.

---

Câu 8: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AB=AC=10$ cm, $widehatA=60°$.

a) Chứng minh tam giác $ABC$ là tam giác đều.

b) Tính $BC$.

c) Tính diện tích tam giác $ABC$.

---

Câu 9: Ứng dụng thực tế. Một mảnh vườn hình tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AB=AC=15$ m, $BC=18$ m. Chủ vườn muốn kẻ một hàng rào $AH$ vuông góc với $BC$ để chia vườn thành hai phần bằng nhau.

a) Chứng minh $AH$ chia vườn thành hai phần có diện tích bằng nhau.

b) Tính chiều dài hàng rào $AH$.

c) Tính diện tích mỗi phần vườn sau khi chia.

---

Câu 10: Ứng dụng thực tế. Một chiếc mái nhà hình tam giác cân $PQR$ cân tại $P$ có $PQ=PR=5$ m, $QR=6$ m. Thợ xây cần lắp một thanh chống $PS$ vuông góc với $QR$ (với $S$ thuộc $QR$).

a) Tính độ dài thanh chống $PS$.

b) Chứng minh $S$ là trung điểm của $QR$.

c) Nếu mỗi mét vuông mái nhà cần 20 viên ngói, tính tổng số viên ngói cần thiết để lợp toàn bộ mái nhà.

📊 Đáp số

Câu 1: a) $$\begin{gathered} widehatB= \\ widehatC= \\ dfrac180°-50°2=65° \end{gathered}$$ b) $$\begin{gathered} widehatBAH= \\ dfrac50°2=25° \end{gathered}$$ (vì $AH$ là phân giác) c) Vì $$\begin{gathered} triangleABH= \\ triangleACH \end{gathered}$$ (c.huyền - c.g.vuông) nên $$\begin{gathered} widehatBAH= \\ widehatCAH \end{gathered}$$, do đó $AH$ là phân giác

Câu 2: a) $H$ là trung điểm $EF$ nên $EH=HF=3$ cm. $$\begin{gathered} DH= \\ sqrtD{E}^2-E{H}^2= \\ sqrt25-9=4 \end{gathered}$$ cm b) $$\begin{gathered} S= \\ dfrac6 \\ times42=12 \end{gathered}$$ cm² c) Chu vi = $5+5+6=16$ cm

Câu 3: b) $MB=MA=13$ cm (vì $M$ trên đường trung trực) c) $MA=MB$ nên $triangleMAB$ cân tại $M$

Câu 4: a) $$\begin{gathered} widehatM= \\ widehatP= \\ dfrac180°-80°2=50° \end{gathered}$$ b) $$\begin{gathered} widehatMNK= \\ dfrac80°2=40° \end{gathered}$$ (vì $NK$ là phân giác) c) $NK$ là đường cao nên $$\begin{gathered} NK \\ perpMP \end{gathered}$$

Câu 5: a) $BH=HC=6$ cm. $$\begin{gathered} AH= \\ sqrtA{B}^2-B{H}^2= \\ sqrt64-36= \\ sqrt28=2 \\ sqrt7 \end{gathered}$$ cm b) $$\begin{gathered} S= \\ dfrac12 \\ times2 \\ sqrt72=12 \\ sqrt7 \end{gathered}$$ cm² c) $MC=MB=5$ cm (vì $M$ trên đường trung trực)

Câu 6: a) $widehatY=180°-50°-50°=80°$ b) $$\begin{gathered} widehatXYW= \\ dfrac80°2=40° \end{gathered}$$ c) Vì tam giác cân nên đường trung tuyến từ đỉnh đồng thời là phân giác và cao

Câu 7: a) $MQ=MP=10$ cm b) $I$ là trung điểm $PQ$ nên $PI=IQ=7$ cm. $$\begin{gathered} MI= \\ sqrtM{P}^2-P{I}^2= \\ sqrt100-49= \\ sqrt51 \end{gathered}$$ cm c) $$\begin{gathered} S_{MPQ}= \\ dfrac14 \\ times \\ sqrt512=7 \\ sqrt51 \end{gathered}$$ cm²

Câu 8: a) $$\begin{gathered} widehatB= \\ widehatC= \\ dfrac180°-60°2=60° \end{gathered}$$. Tam giác đều vì ba góc bằng nhau b) $BC=AB=AC=10$ cm c) $$\begin{gathered} S= \\ dfrac \\ sqrt34 \\ times10^2=25 \\ sqrt3 \end{gathered}$$ cm²

Câu 9: a) Vì $$\begin{gathered} AH \\ perpBC \end{gathered}$$ và tam giác cân nên $H$ là trung điểm $BC$, suy ra $S_{ABH}=S_{ACH}$ b) $BH=HC=9$ m. $$\begin{gathered} AH= \\ sqrtA{B}^2-B{H}^2= \\ sqrt225-81= \\ sqrt144=12 \end{gathered}$$ m c) Diện tích mỗi phần = $$\begin{gathered} dfrac18 \\ times122:2=54 \end{gathered}$$ m²

Câu 10: a) $S$ là trung điểm $QR$ nên $QS=SR=3$ m. $$\begin{gathered} PS= \\ sqrtP{Q}^2-Q{S}^2= \\ sqrt25-9=4 \end{gathered}$$ m b) Vì tam giác cân, đường cao từ đỉnh cũng là đường trung tuyến nên $S$ là trung điểm c) Diện tích mái = $$\begin{gathered} dfrac6 \\ times42=12 \end{gathered}$$ m². Số viên ngói = $$\begin{gathered} 12 \\ times20=240 \end{gathered}$$ viên