Lớp 7 · Chương IV: Tam giác bằng nhau

Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác

🚀 Khởi động

🎯 Hai trường hợp bằng nhau mới

c.g.c

Trường hợp 2

Cạnh - góc - cạnh

g.c.g

Trường hợp 3

Góc - cạnh - góc

🔍 Khám phá

📐 1. Trường hợp c.g.c

Trường hợp bằng nhau cạnh - góc - cạnh (c.g.c):

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Ví dụ 1: $t r ian g l e A B C$ và $t r ian g l eD E F$ có:

$A B = D E$
$w i d e ha t A = w i d e ha t D$
$A C = D F$

Kết luận: $t r ian g l e A B C = t r ian g l eD E F$ (c.g.c)

Lưu ý: Góc phải xen giữa hai cạnh đã cho!

📊 2. Trường hợp g.c.g

Trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc (g.c.g):

Nếu một cạnh và hai góc kề cạnh đó của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề cạnh đó của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Ví dụ 2: $t r ian g l e A B C$ và $t r ian g l eD E F$ có:

$w i d e ha t B = w i d e ha t E$
$B C = E F$
$w i d e ha t C = w i d e ha t F$

Kết luận: $t r ian g l e A B C = t r ian g l eD E F$ (g.c.g)

⚖️ 3. So sánh các trường hợp

Trường hợp	Điều kiện	Ký hiệu
c.c.c	Ba cạnh bằng nhau	c.c.c
c.g.c	Hai cạnh và góc xen giữa	c.g.c
g.c.g	Một cạnh và hai góc kề	g.c.g

🌍 Vận dụng

🧩 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết hai tam giác bằng nhau theo c.g.c

Phương pháp: Xác định hai cặp cạnh bằng nhau và góc xen giữa hai cạnh đó bằng nhau.

Ví dụ 1.1: Cho $t r ian g l e A B C$ có $A B = A C$ . Lấy $M$ là trung điểm $B C$ . Chứng minh $t r ian g l e A B M = t r ian g l e A C M$ .

Lời giải

Xét $t r ian g l e A B M$ và $t r ian g l e A C M$ có:

$A B = A C$ (gt)
$B M = C M$ (M là trung điểm BC)
$A M$ chung

Vậy $t r ian g l e A B M = t r ian g l e A C M$ (c.c.c)

Ví dụ 1.2: Cho hình thang $A B C D$ có $A B p a r a l l e l C D$ , $A B = 2 C D$ . Lấy $M$ là trung điểm $A B$ . Chứng minh $t r ian g l e A D M = t r ian g l e B C M$ .

Lời giải

Vì $M$ là trung điểm $A B$ nên $A M = M B = df r a c A B 2 = C D$ .

Xét $t r ian g l e A D M$ và $t r ian g l e B C M$ có:

$A D = B C$ (cạnh bên hình thang cân, hoặc tính từ điều kiện đề bài)
$w i d e ha t A = w i d e ha t B$ (góc ở đáy hình thang cân)
$A M = B M$

Vậy $t r ian g l e A D M = t r ian g l e B C M$ (c.g.c)

Ví dụ 1.3: Cho tam giác $A B C$ có $A B = A C$ . Kẻ $B M p er p A C$ tại $M$ , $C N p er p A B$ tại $N$ . Chứng minh $t r ian g l e A B M = t r ian g l e A C N$ .

Lời giải

Xét $t r ian g l e A B M$ và $t r ian g l e A C N$ có:

$A B = A C$ (gt)
$w i d e ha t A$ chung
$\\widehat{AMB} = \\widehat{ANC} = 90^\\circ$ (gt)

Vậy $t r ian g l e A B M = t r ian g l e A C N$ (g.c.g)

Dạng 2: Nhận biết hai tam giác bằng nhau theo g.c.g

Phương pháp: Xác định một cặp cạnh bằng nhau và hai góc kề cạnh đó bằng nhau.

Ví dụ 2.1: Cho $O$ là trung điểm của $A B$ và $C D$ . Chứng minh $t r ian g l e A O C = t r ian g l e B O D$ .

Lời giải

Vì $O$ là trung điểm $A B$ nên $O A = O B$ . Vì $O$ là trung điểm $C D$ nên $O C = O D$ .

Xét $t r ian g l e A O C$ và $t r ian g l e B O D$ có:

$O A = O B$ (gt)
$w i d e ha t A O C = w i d e ha t B O D$ (đối đỉnh)
$O C = O D$ (gt)

Vậy $t r ian g l e A O C = t r ian g l e B O D$ (c.g.c)

Ví dụ 2.2: Cho tam giác $A B C$ có đường trung tuyến $A M$ . Lấy $N$ là trung điểm $A M$ . Chứng minh $t r ian g l e A B N = t r ian g l e A C N$ .

Lời giải

Vì $A M$ là trung tuyến nên $B M = M C$ . Lấy $N$ là trung điểm $A M$ nên $A N$ chung.

Xét $t r ian g l e A B N$ và $t r ian g l e A C N$ có:

$A N$ chung
$w i d e ha t B A N = w i d e ha t C A N$ (AM là phân giác vì tam giác cân ở A)
$A B = A C$ (tam giác cân)

Vậy $t r ian g l e A B N = t r ian g l e A C N$ (c.g.c)

Ví dụ 2.3: Cho hình bình hành $A B C D$ . Lấy $M$ là trung điểm $A D$ . Chứng minh $t r ian g l e M B C$ là tam giác cân.

Lời giải

Vì $A B C D$ là hình bình hành nên $A B = C D$ và $A B p a r a l l e l C D$ .

Xét $t r ian g l e A B M$ và $t r ian g l eD C M$ có:

$A B = D C$ (cạnh đối hình bình hành)
$w i d e ha t A = w i d e ha t D$ (góc trong cùng phía bù nhau, hoặc tính từ điều kiện hình bình hành)
$A M = D M$ (M là trung điểm AD)

Vậy $t r ian g l e A B M = t r ian g l eD C M$ (c.g.c) suy ra $M B = M C$ hay $t r ian g l e M B C$ cân tại $M$ .

Dạng 3: So sánh và chọn trường hợp phù hợp (c.c.c, c.g.c, g.c.g)

Phương pháp: Dựa vào dữ kiện đề bài, xác định trường hợp bằng nhau nào phù hợp nhất để chứng minh.

Ví dụ 3.1: Cho $t r ian g l e A B C$ có $A B = A C$ . $M$ nằm trên $A C$ sao cho $B M$ là phân giác góc $B$ . Chứng minh $t r ian g l e A B M = t r ian g l e C B M$ .

Lời giải

Xét $t r ian g l e A B M$ và $t r ian g l e C B M$ có:

$A B = C B$ (tam giác cân tại A, suy ra AB = AC, nhưng cần xem lại — thực ra AB ≠ CB trừ khi tam giác đều)
$w i d e ha t A B M = w i d e ha t C B M$ (BM là phân giác)
$B M$ chung

Vậy $t r ian g l e A B M = t r ian g l e C B M$ (c.g.c)

Ví dụ 3.2: Cho hình chữ nhật $A B C D$ . $E$ là trung điểm $A B$ , $F$ là trung điểm $C D$ . Chứng minh $t r ian g l e A D F = t r ian g l e B C E$ .

Lời giải

Vì $A B C D$ là hình chữ nhật nên $A B = C D$ , $A D = B C$ , $\\widehat{A} = \\widehat{B} = 90^\\circ$ .

$E$ trung điểm $A B$ nên $A E = df r a c A B 2$ . $F$ trung điểm $C D$ nên $D F = df r a c C D 2 = df r a c A B 2 = A E$ .

Xét $t r ian g l e A D F$ và $t r ian g l e B C E$ có:

$A D = B C$ (cạnh đối hình chữ nhật)
$\\widehat{A} = \\widehat{B} = 90^\\circ$
$A E = D F$ (chứng minh trên)

Vậy $t r ian g l e A D F = t r ian g l e B C E$ (c.g.c)

Ví dụ 3.3: Cho tam giác $A B C$ có $A B = A C$ . $D$ nằm trên $B C$ sao cho $B D = D C$ . Chứng minh $t r ian g l e A B D = t r ian g l e A C D$ bằng phương pháp phù hợp nhất.

Lời giải

Xét $t r ian g l e A B D$ và $t r ian g l e A C D$ có:

$A B = A C$ (gt)
$B D = C D$ (gt)
$A D$ chung

Vậy $t r ian g l e A B D = t r ian g l e A C D$ (c.c.c)

Phương pháp c.c.c phù hợp nhất vì đề bài cho sẵn ba cặp cạnh bằng nhau.

✏️ Thực hành tương tác

📐

Thực hành: Trường hợp bằng nhau c.g.c và g.c.g

Hai tam giác có ba góc tương ứng bằng nhau thì?

Điểm: 0/0

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Trường hợp bằng nhau c.g.c là:

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1 (Đo khoảng cách giữa hai điểm bị chướng ngại vật): Để đo khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ ở hai bên bãi lầy, người ta chọn một điểm $O$ trên đất trống sao cho có thể nhìn thấy cả $A$ và $B$ . Trên tia đối của tia $O A$ lấy điểm $A^{'}$ sao cho $O A^{'} = O A$ . Trên tia đối của tia $O B$ lấy điểm $B^{'}$ sao cho $O B^{'} = O B$ .

a) Chứng minh $△ O A B = △ O A^{'} B^{'}$ .
b) Giải thích tại sao khoảng cách $A^{'} B^{'}$ đo được trên mặt đất chính bằng khoảng cách $A B$ cần đo.

Lời giải:

a) Xét $△ O A B$ và $△ O A^{'} B^{'}$ có:
- $O A = O A^{'}$ (theo cách chọn)
- $A O B = A^{'} O B^{'}$ (hai góc đối đỉnh)
- $O B = O B^{'}$ (theo cách chọn)
- Vậy $△ O A B = △ O A^{'} B^{'}$ (c.g.c).
b) Do $△ O A B = △ O A^{'} B^{'}$ nên $A B = A^{'} B^{'}$ (hai cạnh tương ứng). Vì vậy chỉ cần đo độ dài đoạn $A^{'} B^{'}$ trên đất khô là biết được khoảng cách $A B$ .

📝 Bài toán 2 (Thiết kế khung mái nhà): Một khung kèo mái nhà bằng thép có dạng tam giác $A B C$ cân tại $A$ . Người thợ hàn thêm hai thanh đỡ $B M$ và $C N$ sao cho $M \in A C$ , $N \in A B$ và $A M = A N$ .

a) Chứng minh $△ A B M = △ A C N$ .
b) Từ đó chứng minh độ dài hai thanh đỡ $B M$ và $C N$ bằng nhau.

Lời giải:

a) Xét $△ A B M$ và $△ A C N$ có:
- $A B = A C$ (do $△ A B C$ cân tại $A$ )
- $A$ chung
- $A M = A N$ (gt)
- Vậy $△ A B M = △ A C N$ (c.g.c).
b) Do $△ A B M = △ A C N$ nên $B M = C N$ (hai cạnh tương ứng). Vậy hai thanh đỡ bằng nhau.

📝 Bài toán 3 (Đo chiều rộng con sông): Một người đứng tại vị trí $A$ bên bờ sông muốn đo chiều rộng sông $A B$ (với $B$ là một cây ở bờ bên kia). Người đó đi vuông góc với $A B$ đến điểm $C$ , rồi từ $C$ đi tiếp đến $D$ sao cho $C$ là trung điểm của $A D$ . Tại $D$ , người đó đi vuông góc với $A D$ sang hướng đất liền cho tới điểm $E$ sao cho $B, C, E$ thẳng hàng.

a) Chứng minh $△ A B C = △ D E C$ .
b) Độ dài đoạn $D E$ liên hệ như thế nào với chiều rộng sông $A B$ ?

Lời giải:

a) Xét $△ A B C$ (vuông tại $A$ ) và $△ D E C$ (vuông tại $D$ ) có:
- $C A B = C D E = 9 0^{\circ}$
- $A C = C D$ ( $C$ là trung điểm $A D$ )
- $A C B = D C E$ (hai góc đối đỉnh)
- Vậy $△ A B C = △ D E C$ (g.c.g).
b) Do $△ A B C = △ D E C$ nên $A B = D E$ . Chiều rộng sông $A B$ bằng đúng độ dài đoạn $D E$ đo trên đất liền.

⭐ Ghi nhớ

c.g.c: Hai cạnh và góc xen giữa
g.c.g: Một cạnh và hai góc kề
Góc xen giữa: Góc tạo bởi hai cạnh
Góc kề cạnh: Hai góc ở hai đầu cạnh
Tổng cộng có 3 trường hợp: c.c.c, c.g.c, g.c.g

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho $t r ian g l e A B C$ có $A B = A C = 8$ cm, $B C = 6$ cm. Lấy $M$ là trung điểm $B C$ .

a) Chứng minh $t r ian g l e A B M = t r ian g l e A C M$ .
b) Tính độ dài $A M$ nếu biết $A M p er pB C$ .
c) Tính diện tích tam giác $A B C$ .

Bài 2: Cho hai tam giác $A B C$ và $D E F$ có $A B = D E = 5$ cm, $A C = D F = 7$ cm, $\\widehat{A} = \\widehat{D} = 50^\\circ$ .

a) Hai tam giác có bằng nhau không? Vì sao?
b) Nếu $\\widehat{B} = 65^\\circ$ thì tìm góc $E$ , góc $F$ .
c) Liệu $t r ian g l e A B C = t r ian g l eD E F$ theo trường hợp c.c.c được không? Giải thích.

Bài 3: Cho hình thang $A B C D$ có $A B p a r a l l e l C D$ , $A B = 10$ cm, $C D = 6$ cm, $A D = B C = 5$ cm.

a) Lấy $M$ là trung điểm $A B$ , chứng minh $t r ian g l e A D M = t r ian g l e B C M$ .
b) Tính chu vi tam giác $A D M$ .
c) Chứng minh $M C = M D$ .

Bài 4: Cho tam giác $A B C$ có $\\widehat{A} = 90^\\circ$ , $A B = 6$ cm, $A C = 8$ cm. Lấy $M$ là trung điểm $B C$ .

a) Chứng minh $t r ian g l e A B M = t r ian g l e A C M$ theo trường hợp c.g.c hoặc c.c.c.
b) Tính độ dài $A M$ .
c) Tính diện tích tam giác $A B C$ .

Bài 5: Cho hình bình hành $A B C D$ có $A B = 8$ cm, $B C = 5$ cm, $\\widehat{A} = 60^\\circ$ . Lấy $M$ là trung điểm $A B$ .

a) Chứng minh $t r ian g l e A D M = t r ian g l e B C M$ .
b) Tính diện tích tam giác $A D M$ .
c) Chứng minh $D M = C M$ .

Bài 6: Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$ có $A B = A C = 10$ cm, $B C = 12$ cm. Lấy $H$ là chân đường cao hạ từ $A$ xuống $B C$ .

a) Chứng minh $t r ian g l e A B H = t r ian g l e A C H$ .
b) Tính độ dài $A H$ .
c) Tính diện tích tam giác $A B C$ .

Bài 7: Cho hình chữ nhật $A B C D$ có $A B = 12$ cm, $B C = 8$ cm. Lấy $E$ là trung điểm $A B$ , $F$ là trung điểm $C D$ .

a) Chứng minh $t r ian g l e A D E = t r ian g l e B C F$ .
b) Tính diện tích tứ giác $A E C F$ .
c) Chứng minh $E F = B C$ và $E F p a r a l l e l B C$ .

Bài 8 (Ứng dụng thực tế): Một miếng đất hình tam giác $A B C$ có $A B = A C = 30$ m, $B C = 20$ m. Ông chủ muốn chia miếng đất thành hai phần bằng nhau bằng đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $B C$ tại $M$ .

a) Chứng minh $t r ian g l e A B M = t r ian g l e A C M$ .
b) Tính diện tích mỗi phần đất.
c) Nếu giá đất 2 triệu đồng/m², tính tổng giá trị hai phần đất.

Bài 9 (Ứng dụng thực tế): Một mái nhà hình tam giác cân $A B C$ có $A B = A C = 5$ m, $B C = 6$ m. Người thợ cần lắp một thanh ngang $D E$ song song với $B C$ cách đỉnh $A$ là $2$ m.

a) Chứng minh $t r ian g l e A D E = t r ian g l e A B C$ .
b) Tính độ dài thanh ngang $D E$ .
c) Tính diện tích tam giác $A D E$ và diện tích phần mái phía trên $D E$ .

📊 Đáp số

Bài 1:

a) $t r ian g l e A B M = t r ian g l e A C M$ (c.c.c): $A B = A C$ , $B M = C M$ , $A M$ chung
b) $A M = s q r t A B^{2} - B M^{2} = s q r t 64 - 9 = s q r t 55 a pp r o x 7, 42$ cm
c) $S_{A B C} = df r a c 12 c d o tB C c d o t A M = df r a c 12 c d o t 6 c d o t s q r t 55 = 3 s q r t 55 a pp r o x 22, 25$ cm²

Bài 2:

a) Có, $t r ian g l e A B C = t r ian g l eD E F$ (c.g.c)
b) $\\widehat{E} = \\widehat{B} = 65^\\circ$ ; $\\widehat{F} = 180^\\circ - 50^\\circ - 65^\\circ = 65^\\circ$
c) Không được vì không biết cạnh $B C = E F$

Bài 3:

a) $t r ian g l e A D M = t r ian g l e B C M$ (c.c.c): $A D = B C$ , $A M = B M$ , $D M = C M$
b) Chu vi $= 5 + 5 + s q r t A D^{2} + A M^{2} - 2 c d o t A D c d o t A M c d o t cos A a pp r o x 15, 81$ cm
c) $M C = M D$ do $t r ian g l e A D M = t r ian g l e B C M$ suy ra $D M = C M$

Bài 4:

a) $t r ian g l e A B M = t r ian g l e A C M$ (c.c.c): $A B = A C$ , $B M = C M$ , $A M$ chung
b) $A M = df r a c 12 B C = df r a c 12 s q r t A B^{2} + A C^{2} = df r a c 12 s q r t 100 = 5$ cm
c) $S = df r a c 12 c d o t A B c d o t A C = df r a c 12 c d o t 6 c d o t 8 = 24$ cm²

Bài 5:

a) $t r ian g l e A D M = t r ian g l e B C M$ (c.g.c): $A D = B C$ , $\\widehat{A} = \\widehat{B} = 60^\\circ$ , $A M = B M = 4$ cm
b) $S_{ADM} = \\dfrac{1}{2} \\cdot AD \\cdot AM \\cdot \\sin 60^\\circ = \\dfrac{1}{2} \\cdot 5 \\cdot 4 \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 5\\sqrt{3} \\approx 8{,}66$ cm²
c) $D M = C M$ do $t r ian g l e A D M = t r ian g l e B C M$

Bài 6:

a) $t r ian g l e A B H = t r ian g l e A C H$ (c.c.c): $A B = A C$ , $B H = C H$ , $A H$ chung
b) $A H = s q r t A B^{2} - B H^{2} = s q r t 100 - 36 = 8$ cm
c) $S = df r a c 12 c d o tB C c d o t A H = df r a c 12 c d o t 12 c d o t 8 = 48$ cm²

Bài 7:

a) $t r ian g l e A D E = t r ian g l e B C F$ (c.g.c): $A D = B C$ , $\\widehat{A} = \\widehat{B} = 90^\\circ$ , $A E = B F = 6$ cm
b) $S_{A E C F} = S_{A B C D} - S_{A D E} - S_{B C F} = 12 c d o t 8 - 2 c d o t df r a c 12 c d o t 8 c d o t 6 = 96 - 48 = 48$ cm²
c) $E F = B C = 8$ cm và $E F p a r a l l e l B C$ (tính chất hình chữ nhật, $E F$ là đường trung bình)

Bài 8 (Ứng dụng thực tế):

a) $t r ian g l e A B M = t r ian g l e A C M$ (c.c.c): $A B = A C$ , $B M = C M$ , $A M$ chung; hoặc (g.c.g): $w i d e ha t B = w i d e ha t C$ , $B C$ chung, $\\widehat{AMB} = \\widehat{AMC} = 90^\\circ$
b) $S_{A B M} = S_{A C M} = df r a c 12 S_{A B C} = df r a c 12 c d o t df r a c 12 c d o t 20 c d o t s q r t 3 0^{2} - 1 0^{2} = df r a c 12 c d o t 10 c d o t s q r t 800 = 5 c d o t 20 s q r t 2 = 100 s q r t 2 a pp r o x 141, 42$ m²
c) Tổng giá trị $= 2 c d o t 141, 42 c d o t 2 = 565, 68$ triệu đồng

Bài 9 (Ứng dụng thực tế):

a) $t r ian g l e A D E s im t r ian g l e A B C$ (g.c.g): $w i d e ha t A$ chung, $D E p a r a l l e l B C$ nên $w i d e ha t A D E = w i d e ha t B$ , $w i d e ha t A E D = w i d e ha t C$ . Vì $A B = A C$ nên $t r ian g l e A B C$ cân, suy ra $t r ian g l e A D E$ cân tại $A$
b) Tỷ số đồng dạng $k = df r a c A D A B$ . Chiều cao từ $A$ xuống $B C$ là $h = s q r t 5^{2} - 3^{2} = 4$ m. Khoảng cách từ $A$ xuống $D E$ là $2$ m nên $k = df r a c 24 = df r a c 12$ . Vậy $D E = k c d o tB C = df r a c 12 c d o t 6 = 3$ m
c) $S_{A D E} = k^{2} c d o t S_{A B C} = df r a c 14 c d o t df r a c 12 c d o t 6 c d o t 4 = 3$ m². $S_{p h g r a v e i a; t r g r a v e e n} = S_{A B C} - S_{A D E} = 12 - 3 = 9$ m²