🚀 Khởi động

🔷 Hai tam giác bằng nhau

Khi nào hai hình tam giác được coi là bằng nhau? Hãy cùng khám phá!

🔍

Quan sát

Hai hình giống hệt nhau khi chồng khít

≅

Bằng nhau

Cạnh và góc tương ứng bằng nhau

c.c.c

Trường hợp 1

Chỉ cần ba cạnh bằng nhau

💡 Em có biết? Người thợ mộc khi ghép các thanh gỗ thành khung tam giác chỉ cần đo chính xác ba cạnh là hai khung tam giác ghép khít với nhau — đó chính là ứng dụng của trường hợp bằng nhau c.c.c!

🔍 Khám phá

📖 1. Hai tam giác bằng nhau

Định nghĩa: Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau.

Ví dụ 1: Nếu $$\begin{gathered} triangleABC= \\ triangleDEF \end{gathered}$$ thì:

• $AB=DE$, $BC=EF$, $CA=FD$
• $$\begin{gathered} widehatA= \\ widehatD \end{gathered}$$, $$\begin{gathered} widehatB= \\ widehatE \end{gathered}$$, $$\begin{gathered} widehatC= \\ widehatF \end{gathered}$$

🔠 2. Các yếu tố tương ứng

Khi viết $$\begin{gathered} triangleABC= \\ triangleDEF \end{gathered}$$, thứ tự các đỉnh rất quan trọng:

Nếu $$\begin{gathered} triangleABC= \\ triangleDEF \end{gathered}$$ thì các cặp đỉnh, cạnh, góc tương ứng là:

• Đỉnh $$\begin{gathered} A \\ leftrightarrowD \end{gathered}$$, $$\begin{gathered} B \\ leftrightarrowE \end{gathered}$$, $$\begin{gathered} C \\ leftrightarrowF \end{gathered}$$
• Cạnh $$\begin{gathered} AB \\ leftrightarrowDE \end{gathered}$$, $$\begin{gathered} BC \\ leftrightarrowEF \end{gathered}$$, $$\begin{gathered} CA \\ leftrightarrowFD \end{gathered}$$
• Góc $$\begin{gathered} widehatA \\ leftrightarrow \\ widehatD \end{gathered}$$, $$\begin{gathered} widehatB \\ leftrightarrow \\ widehatE \end{gathered}$$, $$\begin{gathered} widehatC \\ leftrightarrow \\ widehatF \end{gathered}$$

📐 3. Trường hợp bằng nhau c.c.c

Trường hợp bằng nhau cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c):

Nếu ba cạnh của tam giác này lần lượt bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Ví dụ 2: Cho $triangleABC$ và $triangleDEF$ có $AB=DE=5$ cm, $BC=EF=6$ cm, $CA=FD=7$ cm.

Xét $triangleABC$ và $triangleDEF$ có:

• $AB=DE=5$ cm
• $BC=EF=6$ cm
• $CA=FD=7$ cm

Vậy $$\begin{gathered} triangleABC= \\ triangleDEF \end{gathered}$$ (c.c.c)

📝 4. Cách chứng minh hai tam giác bằng nhau

Các bước chứng minh hai tam giác bằng nhau theo c.c.c:

1. Xét hai tam giác cần chứng minh
2. Chỉ ra ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau (kèm lý do)
3. Kết luận hai tam giác bằng nhau theo c.c.c

Ví dụ 3: Cho $triangleABC$ có $AB=AC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh $$\begin{gathered} triangleABM= \\ triangleACM \end{gathered}$$.

Chứng minh:

Xét $triangleABM$ và $triangleACM$ có:

• $AB=AC$ (giả thiết)
• $BM=CM$ (vì $M$ là trung điểm của $BC$)
• $AM$ là cạnh chung

Vậy $$\begin{gathered} triangleABM= \\ triangleACM \end{gathered}$$ (c.c.c)

🌐 5. Ứng dụng của tam giác bằng nhau

Nhờ có hai tam giác bằng nhau ta có thể:

• Tính độ dài cạnh, số đo góc chưa biết của tam giác
• Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
• Chứng minh hai góc bằng nhau

Ví dụ 4: Cho $$\begin{gathered} triangleABC= \\ triangleMNP \end{gathered}$$. Biết $AB=4$ cm, $BC=5$ cm và \\widehat{A} = 60^\\circ. Tính $MN$, $NP$ và $widehatM$.

Giải:

Vì $$\begin{gathered} triangleABC= \\ triangleMNP \end{gathered}$$ nên:

• $MN=AB=4$ cm
• $NP=BC=5$ cm
• \\widehat{M} = \\widehat{A} = 60^\\circ

🌍 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Các dạng toán

Dạng 1: Nhận biết hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.c.c Phương pháp giải: Kiểm tra ba cặp cạnh tương ứng có bằng nhau không. Nếu ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì hai tam giác bằng nhau theo c.c.c.

Ví dụ 1: Cho $triangleABC$ có $AB=5$ cm, $BC=6$ cm, $CA=7$ cm. Cho $triangleDEF$ có $DE=5$ cm, $EF=6$ cm, $FD=7$ cm. Hai tam giác có bằng nhau không?

Lời giải: Ta có $AB=DE=5$ cm, $BC=EF=6$ cm, $CA=FD=7$ cm. Vậy $$\begin{gathered} triangleABC= \\ triangleDEF \end{gathered}$$ (c.c.c).

Ví dụ 2: Cho $triangleMNP$ có $MN=8$ cm, $NP=10$ cm, $PM=6$ cm. Cho $triangleXYZ$ có $XY=10$ cm, $YZ=8$ cm, $ZX=6$ cm. Xác định hai tam giác có bằng nhau không?

Lời giải: Ta có $MN=YZ=8$ cm, $NP=XY=10$ cm, $PM=ZX=6$ cm. Vậy $$\begin{gathered} triangleMNP= \\ triangleYXZ \end{gathered}$$ (c.c.c) (chú ý thứ tự đỉnh: $$\begin{gathered} M \\ leftrightarrowY \end{gathered}$$, $$\begin{gathered} N \\ leftrightarrowX \end{gathered}$$, $$\begin{gathered} P \\ leftrightarrowZ \end{gathered}$$).

Ví dụ 3: Cho $triangleABC$ có $AB=AC=5$ cm và $BC=6$ cm. Cho $triangleDEF$ có $DE=DF=5$ cm và $EF=6$ cm. Hai tam giác có bằng nhau không?

Lời giải: Ta có $AB=DE=5$ cm, $AC=DF=5$ cm, $BC=EF=6$ cm. Vậy $$\begin{gathered} triangleABC= \\ triangleDEF \end{gathered}$$ (c.c.c).

Dạng 2: Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo c.c.c Phương pháp giải: Xét hai tam giác cần chứng minh, chỉ ra ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau (kèm lý do: giả thiết, cạnh chung, tính chất tam giác cân, trung điểm…), rồi kết luận.

Ví dụ 1: Cho $triangleABC$ có $AB=AC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh $$\begin{gathered} triangleABM= \\ triangleACM \end{gathered}$$.

Lời giải: Xét $triangleABM$ và $triangleACM$ có: $AB=AC$ (gt), $BM=CM$ ($M$ là trung điểm), $AM$ là cạnh chung. Vậy $$\begin{gathered} triangleABM= \\ triangleACM \end{gathered}$$ (c.c.c).

Ví dụ 2: Cho hình thoi $ABCD$. Chứng minh $$\begin{gathered} triangleABC= \\ triangleADC \end{gathered}$$.

Lời giải: Xét $triangleABC$ và $triangleADC$ có: $AB=AD$ (cạnh hình thoi), $BC=DC$ (cạnh hình thoi), $AC$ là cạnh chung. Vậy $$\begin{gathered} triangleABC= \\ triangleADC \end{gathered}$$ (c.c.c).

Ví dụ 3: Cho tam giác $ABC$ có $AB=AC$. Trên $AB$ lấy điểm $M$, trên $AC$ lấy điểm $N$ sao cho $AM=AN$. Chứng minh $$\begin{gathered} triangleABN= \\ triangleACM \end{gathered}$$.

Lời giải: Xét $triangleABN$ và $triangleACM$ có: $AB=AC$ (gt), $AN=AM$ (gt), $widehatA$ là góc chung. Dùng trường hợp c.g.c (không phải c.c.c). Lưu ý: Để dùng c.c.c, cần thêm điều kiện về cạnh $BN$ và $CM$.

Dạng 3: Tính cạnh khi biết hai tam giác bằng nhau theo c.c.c Phương pháp giải: Từ $$\begin{gathered} triangleABC= \\ triangleDEF \end{gathered}$$ (c.c.c), suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau: $AB=DE$, $BC=EF$, $CA=FD$ để tính cạnh chưa biết.

Ví dụ 1: Cho $$\begin{gathered} triangleABC= \\ triangleDEF \end{gathered}$$ với $AB=4$ cm, $BC=5$ cm, $AC=6$ cm. Tính $DE$, $EF$, $FD$.

Lời giải: Vì $$\begin{gathered} triangleABC= \\ triangleDEF \end{gathered}$$ nên: $DE=AB=4$ cm, $EF=BC=5$ cm, $FD=AC=6$ cm.

Ví dụ 2: Cho $$\begin{gathered} triangleMNP= \\ triangleXYZ \end{gathered}$$ với $MN=7$ cm, $NP=9$ cm. Biết $$\begin{gathered} MP=2 \\ cdotMN-5 \end{gathered}$$ cm. Tính $XZ$.

Lời giải: $$\begin{gathered} MP=2 \\ cdot7-5=9 \end{gathered}$$ cm. Vì $$\begin{gathered} triangleMNP= \\ triangleXYZ \end{gathered}$$ nên $XZ=MP=9$ cm.

Ví dụ 3: Cho $$\begin{gathered} triangleABC= \\ triangleDEF \end{gathered}$$ với $AB=!a(3,4,5)!$ cm, $BC=!b(4,5,6)!$ cm. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $N$ là trung điểm của $EF$. Tính $MN$ khi biết $$\begin{gathered} MN= \\ dfracAB+AC2 \end{gathered}$$ với $AC=!c(5,6,7)!$ cm.

Lời giải: Vì $$\begin{gathered} triangleABC= \\ triangleDEF \end{gathered}$$ nên $EF=BC=!b!$ cm, $DF=AC=!c!$ cm. Vậy $$\begin{gathered} MN= \\ dfrac!a!+!c!2=tinh:(!a!+!c!)/2 \end{gathered}$$ cm.

✏️ Thực hành tương tác

Thực hành tương tác

≅

Thực hành: Hai tam giác bằng nhau (c.c.c)

Trường hợp bằng nhau c.c.c là gì?

Ba góc bằng nhauMột cạnh và hai góc kềBa cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kiaHai cạnh và góc xen giữa

🎲 Câu hỏi mớiĐiểm: 0/0

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Hai tam giác bằng nhau khi nào?

ACác cạnh và góc tương ứng bằng nhauBChỉ các cạnh bằng nhauCChỉ các góc bằng nhauDCó diện tích bằng nhau

🌍 Vận dụng thực tế

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1: Hai mảnh ghép hình tam giác có ba cạnh lần lượt bằng nhau. Hỏi hai mảnh ghép này có chồng khít lên nhau được không?

Giải: Có. Vì hai tam giác có ba cạnh tương ứng bằng nhau nên bằng nhau theo c.c.c, do đó chồng khít lên nhau.

📝 Bài toán 2: Một khung tam giác trang trí gồm ba thanh gỗ. Để làm hai khung giống hệt nhau, người thợ cần đảm bảo điều kiện gì về các thanh gỗ?

Giải: Cần đảm bảo ba thanh gỗ của khung này lần lượt bằng ba thanh gỗ của khung kia (ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau). Khi đó hai khung tam giác bằng nhau theo c.c.c.

📝 Bài toán 3: Cho $triangleABC$ cân tại $A$ ($AB=AC$). Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh $$\begin{gathered} widehatB= \\ widehatC \end{gathered}$$.

Giải:

Xét $triangleABM$ và $triangleACM$ có:

• $AB=AC$ (giả thiết)
• $BM=CM$ ($M$ là trung điểm của $BC$)
• $AM$ là cạnh chung

Vậy $$\begin{gathered} triangleABM= \\ triangleACM \end{gathered}$$ (c.c.c)

Suy ra $$\begin{gathered} widehatB= \\ widehatC \end{gathered}$$ (hai góc tương ứng).

⭐ Ghi nhớ

• Hai tam giác bằng nhau: các cạnh và góc tương ứng bằng nhau
• Ký hiệu: $$\begin{gathered} triangleABC= \\ triangleDEF \end{gathered}$$ (chú ý thứ tự đỉnh)
• Trường hợp c.c.c: ba cạnh tương ứng bằng nhau thì hai tam giác bằng nhau
• Cách chứng minh: xét hai tam giác → chứng minh ba cặp cạnh bằng nhau → kết luận
• Ứng dụng: tính cạnh, tính góc, chứng minh đoạn thẳng và góc bằng nhau

---

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho $$\begin{gathered} triangleABC= \\ triangleDEF \end{gathered}$$ với $AB=5$ cm, $BC=7$ cm, $AC=6$ cm.

a) Liệt kê ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau.

b) Liệt kê ba cặp góc tương ứng bằng nhau.

c) Cho điểm $M$ là trung điểm của $BC$ và điểm $N$ là trung điểm của $EF$. Tính $MN$ biết $$\begin{gathered} MN= \\ dfracDE+DF2 \end{gathered}$$ với $DE=5$ cm, $DF=6$ cm.

Bài 2: Cho $triangleABC$ có $AB=AC=8$ cm và $BC=6$ cm.

a) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Tính $BM$ và $CM$.

b) Chứng minh $$\begin{gathered} triangleABM= \\ triangleACM \end{gathered}$$.

c) Suy ra $$\begin{gathered} widehatB= \\ widehatC \end{gathered}$$ hay không? Vì sao?

Bài 3: Cho hình thoi $ABCD$ có cạnh bằng $5$ cm.

a) Chứng minh $$\begin{gathered} triangleABC= \\ triangleADC \end{gathered}$$.

b) Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh $$\begin{gathered} triangleAOB= \\ triangleAOD \end{gathered}$$.

c) Tính $AC$ biết $BD=6$ cm (dùng tính chất đường chéo hình thoi).

Bài 4: Cho tam giác $ABC$ có $AB=AC$. Trên $AB$ lấy điểm $D$ sao cho $AD=AB/2$, trên $AC$ lấy điểm $E$ sao cho $AE=AC/2$.

a) Chứng minh $$\begin{gathered} triangleADE= \\ triangleAED \end{gathered}$$ (chú ý thứ tự đỉnh).

b) Gọi $M$ là trung điểm của $DE$. Chứng minh $$\begin{gathered} AM \\ perpDE \end{gathered}$$.

c) Tính $DE$ biết $AB=10$ cm và \\widehat{A} = 60^\\circ.

Bài 5: Cho $triangleABC$ có $AB=7$ cm, $BC=9$ cm, $AC=8$ cm. Cho $triangleDEF$ có $DE=7$ cm, $EF=9$ cm, $DF=8$ cm.

a) Chứng minh $$\begin{gathered} triangleABC= \\ triangleDEF \end{gathered}$$.

b) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $N$ là trung điểm của $EF$. Tính $MN$.

c) Gọi $H$ là chân đường cao từ $A$ xuống $BC$, $K$ là chân đường cao từ $D$ xuống $EF$. Tính $HK$ khi biết $AH=6$ cm.

Bài 6: Cho tam giác $ABC$ có $AB=AC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.

a) Chứng minh $$\begin{gathered} triangleABM= \\ triangleACM \end{gathered}$$.

b) Suy ra $$\begin{gathered} AM \\ perpBC \end{gathered}$$.

c) Nếu $AB=5$ cm và $BC=6$ cm, tính $AM$.

Bài 7: Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=8$ cm, $BC=6$ cm. Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo.

a) Chứng minh $$\begin{gathered} triangleAOB= \\ triangleCOD \end{gathered}$$.

b) Chứng minh $$\begin{gathered} triangleAOD= \\ triangleBOC \end{gathered}$$.

c) Tính $AC$ và $BD$. Nhận xét.

Bài 8: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=6$ cm, $AC=8$ cm. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.

a) Chứng minh $$\begin{gathered} triangleABM= \\ triangleACM \end{gathered}$$ (c.c.c).

b) Suy ra $$\begin{gathered} AM= \\ dfracBC2 \end{gathered}$$.

c) Tính $AM$ và so sánh với $BC$.

Bài 9 (Ứng dụng thực tế - Khung cửa): Một thợ mộc làm hai khung cửa hình tam giác giống hệt nhau. Khung thứ nhất có ba thanh gỗ lần lượt dài $90$ cm, $120$ cm và $150$ cm.

a) Khung thứ hai cũng phải có ba thanh gỗ dài bao nhiêu để bằng khung thứ nhất?

b) Hai khung này có chồng khít lên nhau được không? Vì sao?

c) Nếu muốn làm một khung cửa nhỏ hơn với ba cạnh gấp đôi khung thứ nhất, liệu khung nhỏ có bằng khung lớn không? Giải thích.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế - Đoạn đường): Một kỹ sưsurvey đo mảnh đất hình tam giác $ABC$ với $AB=50$ m, $BC=70$ m, $AC=80$ m. Ông ta muốn dựng lại mảnh đất hình tam giác $DEF$ bằng nhau trên bản vẽ.

a) Trên bản vẽ, kỹ sư cần vẽ $DE$, $EF$, $DF$ với độ dài bao nhiêu (tỷ lệ $1:1000$)?

b) Nếu.measure lại và thấy $EF=72$ m thay vì $70$ m, mảnh đất đo được có bằng mảnh đất gốc không? Tại sao điều này quan trọng trong thực tế?

c) Đề xuất một cách kiểm tra trực tiếp tại hiện trường để xác nhận hai mảnh đất bằng nhau (dùng thước đo ba cạnh).

📊 Đáp số và hướng dẫn

Bài 1: a) $AB=DE=5$ cm, $BC=EF=7$ cm, $AC=DF=6$ cm. b) $$\begin{gathered} widehatA= \\ widehatD \end{gathered}$$, $$\begin{gathered} widehatB= \\ widehatE \end{gathered}$$, $$\begin{gathered} widehatC= \\ widehatF \end{gathered}$$. c) $$\begin{gathered} MN= \\ dfrac5+62=5,5 \end{gathered}$$ cm.

Bài 2: a) $BM=CM=3$ cm. b) Xét $triangleABM$ và $triangleACM$: $AB=AC$, $BM=CM$, $AM$ chung ⇒ bằng nhau theo c.c.c. c) Có, $$\begin{gathered} widehatB= \\ widehatC \end{gathered}$$ vì là hai góc tương ứng.

Bài 3: a) $AB=AD$, $BC=DC$, $AC$ chung ⇒ bằng nhau theo c.c.c. b) $AO=AC/2$, $AB=AD$, $BO=DO$ (đường chéo hình thoi cắt nhau tại trung điểm each) ⇒ bằng nhau theo c.c.c. c) $$\begin{gathered} AC= \\ sqrtA{B}^2-B{O}^2 \\ cdot2= \\ sqrt25-9 \\ cdot2=8 \end{gathered}$$ cm.

Bài 4: a) $AD=AE=AB/2=4$ cm, $widehatA$ chung, $AD=AE$ ⇒ $triangleADE$ cân tại $A$. b) Trong tam giác cân, đường cao kiêm trung tuyến nên $$\begin{gathered} AM \\ perpDE \end{gathered}$$. c) $DE=AB/2=5$ cm (đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh).

Bài 5: a) Ba cạnh tương ứng bằng nhau ⇒ bằng nhau theo c.c.c. b) $$\begin{gathered} MN= \\ dfracAB+AC2= \\ dfrac7+82=7,5 \end{gathered}$$ cm (đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh). c) $HK=AH=6$ cm (hai tam giác bằng nhau có đường cao tương ứng bằng nhau).

Bài 6: a) $AB=AC$, $BM=CM$, $AM$ chung ⇒ bằng nhau theo c.c.c. b) Từ $$\begin{gathered} triangleABM= \\ triangleACM \end{gathered}$$ suy ra $$\begin{gathered} widehatAMB= \\ widehatAMC \end{gathered}$$. Mà \\widehat{AMB} + \\widehat{AMC} = 180^\\circ (kề bù) nên \\widehat{AMB} = \\widehat{AMC} = 90^\\circ, do đó $$\begin{gathered} AM \\ perpBC \end{gathered}$$. c) $BC=6$ cm ⇒ $BM=3$ cm. $$\begin{gathered} AM= \\ sqrtA{B}^2-B{M}^2= \\ sqrt25-9=4 \end{gathered}$$ cm.

Bài 7: a) $AB=CD$, $AO=CO$ (đường chéo cắt nhau tại trung điểm), $BO=DO$ ⇒ bằng nhau theo c.c.c. b) Tương tự. c) $$\begin{gathered} AC=BD= \\ sqrtA{B}^2+B{C}^2= \\ sqrt64+36=10 \end{gathered}$$ cm. Hai đường chéo bằng nhau.

Bài 8: a) $AB=AC$ (gt), $BM=CM$ ($M$ trung điểm), $AM$ chung ⇒ bằng nhau theo c.c.c. b) Từ $$\begin{gathered} triangleABM= \\ triangleACM \end{gathered}$$ suy ra \\widehat{AMB} = \\widehat{AMC} = 90^\\circ nên $$\begin{gathered} AM \\ perpBC \end{gathered}$$. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. c) $$\begin{gathered} BC= \\ sqrtA{B}^2+A{C}^2= \\ sqrt36+64=10 \end{gathered}$$ cm. $AM=BC/2=5$ cm.

Bài 9: a) Ba thanh gỗ lần lượt: $90$ cm, $120$ cm, $150$ cm. b) Có, vì hai tam giác có ba cạnh tương ứng bằng nhau nên bằng nhau theo c.c.c,do đó chồng khít lên nhau. c) Không bằng, vì ba cạnh gấp đôi nên không còn bằng nhau theo c.c.c (c.c.c yêu cầu bằng nhau tuyệt đối).

Bài 10: a) $DE=50/1000=5$ cm, $EF=70/1000=7$ cm, $DF=80/1000=8$ cm. b) Không bằng, vì $EF=72$ m ≠ $70$ m. Điều này quan trọng vì sai lệch đo đạc có thể dẫn đến tranh chấp ranh giới đất đai. c) Đo ba cạnh của mảnh đất mới và so sánh với ba cạnh mảnh đất gốc. Nếu ba cặp cạnh bằng nhau thì hai mảnh đất bằng nhau theo c.c.c.