Lớp 7 · Chương III: Góc và đường thẳng song song

Bài 11: Định lí và chứng minh định lí

🚀 Khởi động

🎯 Định lí và chứng minh

Định lí là những khẳng định quan trọng trong toán học cần được chứng minh!

📋

Giả thiết

Điều cho trước

✓

Kết luận

Điều cần chứng minh

🔍

Chứng minh

Lập luận logic

🔍 Khám phá

📖 1. Định lí

Định nghĩa: Định lí là một khẳng định được coi là đúng và cần được chứng minh.

Một định lí gồm hai phần:

Giả thiết (GT): Điều cho trước
Kết luận (KL): Điều cần chứng minh

Ví dụ 1: Định lí về hai góc đối đỉnh

Phát biểu: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

Giả thiết: Hai góc $O_{1}$ và $O_{3}$ đối đỉnh

Kết luận: $O_{1} = O_{3}$

Ví dụ 2: Định lí về hai đường thẳng song song

Phát biểu: Nếu hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng song song.

Giả thiết: Hai góc so le trong bằng nhau

Kết luận: Hai đường thẳng song song

🔍 2. Chứng minh định lí

Định nghĩa: Chứng minh định lí là dùng lập luận để từ giả thiết suy ra kết luận.

Các bước chứng minh:

Vẽ hình (nếu cần)
Viết giả thiết và kết luận
Lập luận từ giả thiết đến kết luận
Kết luận

Ví dụ 3: Chứng minh hai góc đối đỉnh bằng nhau

Giả thiết: $O_{1}$ và $O_{3}$ đối đỉnh

Kết luận: $O_{1} = O_{3}$

Chứng minh:

Ta có: $O_{1}$ và $O_{2}$ kề bù nên: $\widehat{O_1} + \widehat{O_2} = 180^\\circ \quad (1)$

$O_{2}$ và $O_{3}$ kề bù nên: $\widehat{O_2} + \widehat{O_3} = 180^\\circ \quad (2)$

Từ (1) và (2) suy ra: $O_{1} + O_{2} = O_{2} + O_{3}$

$\Rightarrow O_{1} = O_{3}$

↔️ 3. Định lí đảo

Định nghĩa: Định lí đảo là định lí có giả thiết và kết luận đổi cho nhau so với định lí ban đầu (định lí thuận).

Lưu ý: Không phải định lí nào cũng có định lí đảo đúng.

Ví dụ 4:

Định lí thuận: Nếu hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng song song.

GT: Hai góc so le trong bằng nhau
KL: Hai đường thẳng song song

Định lí đảo: Nếu hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong bằng nhau.

GT: Hai đường thẳng song song
KL: Hai góc so le trong bằng nhau

Cả hai định lí đều đúng!

Ví dụ 5: Định lí không có định lí đảo đúng

Định lí thuận: Nếu $a = b$ thì $a^{2} = b^{2}$ (đúng)

Định lí đảo: Nếu $a^{2} = b^{2}$ thì $a = b$ (sai, vì có thể $a = - b$ )

📊 4. Các loại mệnh đề toán học

Tiên đề: Khẳng định được thừa nhận là đúng không cần chứng minh
- Ví dụ: Tiên đề Euclid
Định lí: Khẳng định cần được chứng minh
- Ví dụ: Hai góc đối đỉnh bằng nhau
Hệ quả: Kết quả suy ra trực tiếp từ định lí
- Ví dụ: Từ định lí về góc đối đỉnh
Tính chất: Đặc điểm của đối tượng toán học
- Ví dụ: Tính chất giao hoán của phép cộng

✍️ 5. Ví dụ về chứng minh

Ví dụ 6: Chứng minh: Nếu $a ∥ b$ và $b ∥ c$ thì $a ∥ c$

Giả thiết: $a ∥ b$ và $b ∥ c$

Kết luận: $a ∥ c$

Chứng minh:

Vẽ đường thẳng $d$ cắt $a$ , $b$ , $c$ tại $A$ , $B$ , $C$ .

Vì $a ∥ b$ nên hai góc so le trong tại $A$ và $B$ bằng nhau (gọi là $α$ )

Vì $b ∥ c$ nên hai góc so le trong tại $B$ và $C$ bằng nhau (cũng bằng $α$ )

Suy ra góc tại $A$ và góc tại $C$ bằng nhau (cùng bằng $α$ )

Hai góc so le trong bằng nhau nên $a ∥ c$

🌍 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Phát biểu giả thiết và kết luận của định lí Phương pháp giải: Từ một phát biểu định lí dạng “Nếu … thì …”, phần trước “Nếu” là giả thiết, phần sau “thì” là kết luận.

Ví dụ 1: Phát biểu định lí: “Nếu hai góc đối đỉnh thì chúng bằng nhau”. Viết giả thiết và kết luận.

Lời giải: GT: Hai góc đối đỉnh; KL: Hai góc đó bằng nhau.

Ví dụ 2: Phát biểu: “Nếu hai góc kề bù thì tổng của chúng bằng $18 0^{\circ}$ ”. Viết GT–KL.

Lời giải: GT: Hai góc kề bù; KL: Tổng của chúng bằng $18 0^{\circ}$ .

Ví dụ 3: Phát biểu: “Nếu hai đường thẳng song song thì các góc so le trong bằng nhau”. Viết GT–KL.

Lời giải: GT: Hai đường thẳng song song; KL: Các góc so le trong bằng nhau.

Dạng 2: Phát biểu định lí đảo Phương pháp giải: Đổi giả thiết và kết luận của định lí thuận cho nhau để được định lí đảo, rồi nhận xét tính đúng sai.

Ví dụ 1: Viết định lí đảo của định lí: “Nếu hai góc đối đỉnh thì bằng nhau”.

Lời giải: “Nếu hai góc bằng nhau thì chúng đối đỉnh” (không đúng). Vậy định lí đảo sai.

Ví dụ 2: Viết định lí đảo của: “Nếu hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng song song”.

Lời giải: “Nếu hai đường thẳng song song thì các góc so le trong bằng nhau” (đúng).

Ví dụ 3: Kiểm tra định lí đảo: “Nếu $a^{2} = b^{2}$ thì $a = b$ ”.

Lời giải: Sai, vì $a$ và $b$ có thể đối nhau ( $a = - b$ ).

Dạng 3: Chứng minh định lí Phương pháp giải: Vẽ hình, viết GT–KL, sau đó dùng các tính chất, định lí đã biết để lập luận suy ra kết luận.

Ví dụ 1: Chứng minh hai góc đối đỉnh bằng nhau.

Lời giải: Hai góc đối đỉnh $O_{1}$ , $O_{3}$ cùng kề bù với $O_{2}$ , có tổng $18 0^{\circ}$ nên chúng bằng nhau.

Ví dụ 2: Chứng minh: Nếu $a ⊥ c$ và $b ⊥ c$ thì $a ∥ b$ .

Lời giải: Hai góc đồng vị đều bằng $9 0^{\circ}$ nên $a ∥ b$ .

Ví dụ 3: Chứng minh: Hai góc kề bù có tổng bằng $18 0^{\circ}$ .

Lời giải: Theo định nghĩa hai góc kề bù (một cạnh chung, hai cạnh kia là hai tia đối nhau), chúng tạo thành góc bẹt $18 0^{\circ}$ .

✏️ Thực hành tương tác

🧾

Thực hành: Định lí và chứng minh định lí

Mỗi định lí sau đã cho GT và KL. Hãy chọn đáp án đúng cho phần kết luận (KL).

Định lí: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhauGT: Hai góc đối đỉnh

KL:

Định lí: Hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng song songGT: Hai góc so le trong bằng nhau

KL:

Định lí: Số hữu tỉ cộng số hữu tỉGT: Số nguyên bằng nhau

KL:

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 11

Dễ0 đã trả lời

Định lí là:

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán: Phát biểu định lí: “Nếu hai đường thẳng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”

a) Viết giả thiết và kết luận.

b) Phát biểu định lí đảo.

Giải:

GT: $a ⊥ c$ và $b ⊥ c$
KL: $a ∥ b$

b) Định lí đảo: “Nếu hai đường thẳng song song thì chúng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba”

GT: $a ∥ b$
KL: Tồn tại $c$ sao cho $a ⊥ c$ và $b ⊥ c$

⭐ Ghi nhớ

Định lí: Khẳng định cần chứng minh, gồm giả thiết và kết luận
Giả thiết: Điều cho trước (GT)
Kết luận: Điều cần chứng minh (KL)
Chứng minh: Lập luận từ GT đến KL
Định lí đảo: Đổi GT và KL cho nhau
Tiên đề: Không cần chứng minh
Không phải định lí nào cũng có định lí đảo đúng

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Phát biểu định lí: “Hai góc kề bù có tổng bằng $18 0^{\circ}$ .”

a) Viết giả thiết và kết luận.

b) Phát biểu định lí đảo. Định lí đảo có đúng không? Giải thích.

Bài 2: Cho định lí: “Nếu hai góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng song song.”

a) Viết GT và KL.

b) Phát biểu định lí đảo.

c) Định lí đảo có đúng không?

Bài 3: Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ cùng vuông góc với đường thẳng $c$ .

a) Viết GT và KL.

b) Chứng minh $a ∥ b$ .

Bài 4: Phân biệt tiên đề, định lí, tính chất và hệ quả. Cho ví dụ cụ thể cho mỗi khái niệm.

Bài 5: Cho định lí: “Nếu $x > 0$ thì $x^{2} > 0$ .”

a) Viết GT và KL.

b) Phát biểu định lí đảo.

c) Định lí đảo có đúng không? Giải thích.

Bài 6: Hai đường thẳng cắt nhau tại $O$ , tạo thành góc $A O B = 4 0^{\circ}$ .

a) Viết GT và KL của định lí về góc đối đỉnh.

b) Chứng minh góc đối đỉnh $A^{'} O B^{'}$ cũng bằng $4 0^{\circ}$ .

Bài 7: Cho định lí: “Nếu hai góc trong cùng phía bù nhau thì hai đường thẳng song song.”

a) Viết GT–KL.

b) Viết định lí đảo.

c) Chứng minh định lí đảo.

Bài 8: Trong một bài toán, học sinh viết: “Giả thiết: $a ∥ b$ , Kết luận: Góc so le trong bằng nhau.”

a) Em nhận xét cách viết này đúng hay sai? Vì sao?

b) Viết lại đúng theo chuẩn.

Bài 9 (Ứng dụng thực tế - Mái nhà): Hai thanh xà ngang của mái nhà được làm song song để chịu lực đều. Người thợ đo góc giữa một thanh dọc chống lên mái và thanh xà trên bằng $7 2^{\circ}$ .

a) Viết GT–KL để chứng minh thanh dọc đó cũng vuông góc với thanh xà dưới.

b) Góc giữa thanh dọc và thanh xà dưới là bao nhiêu? Giải thích ý nghĩa thực tế.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế - Thước kẻ): Một người thợ mộc dùng thước thẳng để vẽ hai đường thẳng song song trên mặt gỗ, biết góc giữa thước và đường thẳng thứ nhất là $3 0^{\circ}$ .

a) Viết GT–KL để chứng minh góc giữa thước và đường thẳng thứ hai cũng bằng $3 0^{\circ}$ .

b) Vì sao việc xác định chính xác hai đường thẳng song song trên gỗ lại quan trọng trong thi công?

📊 Đáp số và hướng dẫn

Bài 1: a) GT: Hai góc kề bù; KL: Tổng = $18 0^{\circ}$ . b) Định lí đảo: Nếu tổng hai góc bằng $18 0^{\circ}$ và chúng có cạnh chung thì chúng kề bù — không hoàn toàn đúng vì hai góc có thể không kề nhau.

Bài 2: a) GT: Hai góc đồng vị bằng nhau; KL: Hai đường thẳng song song. b) Nếu hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau. c) Đúng.

Bài 3: a) GT: $a ⊥ c$ và $b ⊥ c$ ; KL: $a ∥ b$ . b) Hai góc đồng vị đều bằng $9 0^{\circ}$ nên $a ∥ b$ .

Bài 4: Tiên đề không cần chứng minh (VD: Tiên đề Euclid). Định lí cần chứng minh (VD: Hai góc đối đỉnh bằng nhau). Tính chất là đặc điểm (VD: Tính chất giao hoán của phép cộng). Hệ quả suy ra từ định lí (VD: Từ định tính góc đối đỉnh).

Bài 5: a) GT: $x > 0$ ; KL: $x^{2} > 0$ . b) Nếu $x^{2} > 0$ thì $x > 0$ . c) Sai, vì $x$ có thể là số âm ( $(- 2)^{2} = 4 > 0$ ).

Bài 6: a) GT: Hai đường thẳng cắt nhau; KL: Các cặp góc đối đỉnh bằng nhau. b) Góc $A^{'} O B^{'}$ và $A O B$ kề bù với góc kề, suy ra hai góc đối đỉnh bằng nhau = $4 0^{\circ}$ .

Bài 7: a) GT: Hai góc trong cùng phía bù nhau; KL: Hai đường thẳng song song. b) Đảo: Nếu hai đường thẳng song song thì hai góc trong cùng phía bù nhau. c) Chứng minh: Dùng tính chất góc đồng vị khi song song, rồi tính góc trong cùng phía.

Bài 8: a) Cách viết chưa đúng chuẩn; GT và KL cần ghi rõ ràng. b) Nên viết: GT: $a ∥ b$ (hoặc điều kiện); KL: Góc so le trong bằng nhau.

Bài 9: a) GT: $x_{t r \overset{e}{^} n} ⊥ x_{d ọ c}$ ; KL: $x_{d ọ c} ⊥ x_{d ư ớ i}$ . Vì $x_{t r \overset{e}{^} n} ∥ x_{d ư ớ i}$ và góc đồng vị bằng $9 0^{\circ}$ . b) Góc bằng $9 0^{\circ}$ , mối nối vuông góc giúp mái nhà chịu lực tốt.

Bài 10: a) GT: Thứ tự $d d_{1}$ , $d d_{2}$ song song và thước tạo góc $3 0^{\circ}$ với $d d_{1}$ ; KL: Thước tạo góc $3 0^{\circ}$ với $d d_{2}$ (đối đỉnh/góc đồng vị). b) Đảm bảo khoảng cách giữa hai đường thẳng luôn bằng nhau, giúp các chi tiết vừa khít, không bị lệch.

Bài 11: Định lí và chứng minh định lí

🎯 Định lí và chứng minh

📖 1. Định lí

🔍 2. Chứng minh định lí

↔️ 3. Định lí đảo

📊 4. Các loại mệnh đề toán học

✍️ 5. Ví dụ về chứng minh

Các dạng toán

Thực hành tương tác

Thực hành: Định lí và chứng minh định lí

Trắc nghiệm

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài tập tự luận