Lớp 7 · Chương III: Góc và đường thẳng song song

Bài 10: Tiên đề Euclid. Tính chất của hai đường thẳng song song

🚀 Khởi động

🎯 Tiên đề Euclid

Tiên đề Euclid là một trong những nền tảng quan trọng của hình học!

📐

Tiên đề Euclid

Duy nhất một đường song song

✓

Tính chất

Góc bằng nhau, bù nhau

🔍 Khám phá

📖 1. Tiên đề Euclid

Tiên đề Euclid:

Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Ý nghĩa: Tiên đề này khẳng định tính duy nhất của đường thẳng song song.

⚡ 2. Tính chất của hai đường thẳng song song

Tính chất: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:

Hai góc so le trong bằng nhau
Hai góc đồng vị bằng nhau
Hai góc trong cùng phía bù nhau (tổng bằng $180^\\circ$ )

Ví dụ 1: Cho $a ∥ b$ , đường thẳng $c$ cắt $a$ tại $A$ và $b$ tại $B$ . Biết góc $\widehat{A_1} = 65^\\circ$ .

Tính các góc còn lại:

Góc so le trong với $A_{1}$ : $65^\\circ$
Góc đồng vị với $A_{1}$ : $65^\\circ$
Góc trong cùng phía với $A_{1}$ : $180^\\circ - 65^\\circ = 115^\\circ$

↔️ 3. So sánh dấu hiệu và tính chất

Dấu hiệu nhận biết (Bài 9):

Nếu góc bằng nhau/bù nhau → Kết luận song song

Tính chất (Bài 10):

Nếu song song → Kết luận góc bằng nhau/bù nhau

Hai chiều ngược nhau!

Ví dụ 2: Cho $a ∥ b$ , $c$ cắt $a$ và $b$ . Biết một góc so le trong bằng $x$ . Tính góc đồng vị tương ứng.

Vì $a ∥ b$ nên:

Góc đồng vị = góc so le trong = $x$

🔬 4. Ứng dụng

Ví dụ 3: Cho $a ∥ b$ , $c$ cắt $a$ và $b$ . Biết góc trong cùng phía là $x$ và $y$ . Tính $x + y$ .

Vì $a ∥ b$ nên hai góc trong cùng phía bù nhau:

$x + y = 180^\\circ$

Ví dụ 4: Cho $a ∥ b$ , $c ⊥ a$ . Chứng minh $c ⊥ b$ .

Vì $c ⊥ a$ nên góc tạo bởi $c$ và $a$ bằng $90^\\circ$

Vì $a ∥ b$ nên góc đồng vị (góc tạo bởi $c$ và $b$ ) cũng bằng $90^\\circ$

Vậy $c ⊥ b$

🌍 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Vẽ và nhận biết đường thẳng song song qua một điểm Phương pháp giải: Vận dụng tiên đề Euclid: qua một điểm nằm ngoài đường thẳng có duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Ví dụ 1: Qua điểm $M$ nằm ngoài đường thẳng $d$ , vẽ được bao nhiêu đường thẳng song song với $d$ ?

Lời giải: Theo tiên đề Euclid, vẽ được duy nhất một đường thẳng.

Ví dụ 2: Cho điểm $A$ nằm ngoài đường thẳng $b$ . Qua $A$ vẽ đường thẳng $a$ song song với $b$ . Có thể vẽ thêm đường thẳng $a^{'}$ phân biệt với $a$ song song với $b$ không?

Lời giải: Không. Vì qua $A$ chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với $b$ .

Ví dụ 3: Hai đường thẳng $a$ và $b$ cùng đi qua điểm $P$ và cùng song song với $c$ . Em có nhận xét gì?

Lời giải: Vì qua $P$ chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với $c$ , nên $a$ và $b$ trùng nhau.

Dạng 2: Tính số đo góc dựa vào tính chất hai đường thẳng song song Phương pháp giải: Với $a ∥ b$ bị $c$ cắt, các góc so le trong bằng nhau, góc đồng vị bằng nhau, góc trong cùng phía bù nhau. Từ một góc suy ra các góc còn lại.

Ví dụ 1: Cho $a ∥ b$ , $c$ cắt cả hai. Một góc so le trong bằng $5 5^{\circ}$ . Tính góc đồng vị tương ứng.

Lời giải: Vì $a ∥ b$ nên góc đồng vị tương ứng bằng $5 5^{\circ}$ .

Ví dụ 2: Cho $a ∥ b$ , $c$ cắt cả hai. Một góc so le trong bằng $7 0^{\circ}$ . Tính góc trong cùng phía với nó.

Lời giải: Góc trong cùng phía bù nhau: $18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 0^{\circ}$ .

Ví dụ 3: Cho $a ∥ b$ , $c$ cắt cả hai. Một góc trong cùng phía bằng $2 x$ , góc kia bằng $x$ . Tính $x$ .

Lời giải: $2 x + x = 18 0^{\circ} \Rightarrow 3 x = 18 0^{\circ} \Rightarrow x = 6 0^{\circ}$ .

Dạng 3: Chứng minh quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng khi song song Phương pháp giải: Nếu $a ∥ b$ và $c ⊥ a$ thì ta chứng minh $c ⊥ b$ nhờ các góc đồng vị bằng nhau.

Ví dụ 1: Cho $a ∥ b$ và $c ⊥ a$ . Chứng minh $c ⊥ b$ .

Lời giải: Góc tạo bởi $c$ và $b$ đồng vị với góc $9 0^{\circ}$ tạo bởi $c$ và $a$ nên cũng bằng $9 0^{\circ}$ , do đó $c ⊥ b$ .

Ví dụ 2: Cho $a ∥ b$ và $d ⊥ b$ . Chứng minh $d ⊥ a$ .

Lời giải: Tương tự, hai góc đồng vị đều bằng $9 0^{\circ}$ , vậy $d ⊥ a$ .

Ví dụ 3: Cho $a ∥ b$ . Nếu đường thẳng $c$ vuông góc với $a$ tạo với $a$ góc $9 0^{\circ}$ , tính góc tạo bởi $c$ và $b$ .

Lời giải: Góc đồng vị bằng $9 0^{\circ}$ , nên $c$ và $b$ cũng vuông góc.

✏️ Thực hành tương tác

🎯

Thực hành: Tiên đề Euclid và tính chất

Khẳng định sau đây đúng hay sai?

Qua một điểm ngoài đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với nó

Nếu a ∥ b thì hai góc so le trong bằng nhau.

Nếu a ∥ b thì hai góc trong cùng phía bằng nhau.

Qua một điểm ngoài đường thẳng có vô số đường thẳng song song.

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Tiên đề Euclid phát biểu:

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán: Hai bức tường song song. Một cây thước đặt nghiêng tạo với bức tường thứ nhất một góc $75^\\circ$ .

a) Tính góc tạo với bức tường thứ hai (góc đồng vị).

b) Tính góc trong cùng phía.

Giải:

a) Góc đồng vị = $75^\\circ$ (hai đường thẳng song song)

b) Góc trong cùng phía = $180^\\circ - 75^\\circ = 105^\\circ$

⭐ Ghi nhớ

Tiên đề Euclid: Qua điểm ngoài đường thẳng có duy nhất một đường song song
Tính chất 1: $a ∥ b$ → góc so le trong bằng nhau
Tính chất 2: $a ∥ b$ → góc đồng vị bằng nhau
Tính chất 3: $a ∥ b$ → góc trong cùng phía bù nhau
Dấu hiệu và tính chất là hai chiều ngược nhau

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho $a ∥ b$ , $c$ cắt $a$ và $b$ . Biết góc so le trong bằng $5 5^{\circ}$ .

a) Tính góc so le trong còn lại.

b) Tính các góc đồng vị.

c) Tính các góc trong cùng phía.

Bài 2: Cho $a ∥ b$ , $c$ cắt $a$ và $b$ . Biết góc đồng vị bằng $8 0^{\circ}$ .

a) Tính góc so le trong tương ứng.

b) Tính các góc còn lại trong hình.

Bài 3: Cho $a ∥ b$ , $c$ cắt $a$ và $b$ . Biết hai góc trong cùng phía là $x$ và $2 x$ . Tính $x$ .

Bài 4: Cho $a ∥ b$ , đường thẳng $c ⊥ a$ . Chứng minh $c ⊥ b$ .

Bài 5: Cho $a ∥ b ∥ c$ .

a) Chứng minh $a ∥ c$ .

b) Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với $a$ , em hãy biểu diễn lại mối quan hệ của $d$ với $b$ và $c$ .

Bài 6: Qua điểm $M$ nằm ngoài đường thẳng $d$ .

a) Vẽ được bao nhiêu đường thẳng song song với $d$ ?

b) Nếu qua $M$ vẽ được hai đường thẳng phân biệt cùng song song với $d$ , điều này mâu thuẫn với tiên đề nào?

Bài 7: Cho $a ∥ b$ và $A_{1} = 4 2^{\circ}$ (so le trong với $B_{1}$ ).

a) Tính $B_{1}$ .

b) Tính các góc còn lại tại đỉnh $A$ và $B$ .

Bài 8: Trong một hình vẽ có hai đường thẳng $a$ và $b$ song song. Một góc so le trong bằng $\frac{2}{3}$ góc kề bù với nó. Tính hai góc đó.

Bài 9 (Ứng dụng thực tế - Hai bức tường): Hai bức tường thẳng đứng được xem là song song với nhau. Một cây thước đặt chéo tạo với bức tường thứ nhất một góc $7 5^{\circ}$ .

a) Tính góc tạo bởi thước và bức tường thứ hai (góc đồng vị).

b) Tính góc trong cùng phía và giải thích ứng dụng của tính song song trong xây dựng.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế - Bàn bi-a): Hai đường biên dài của bàn bi-a song song. Một cú đánh làm bi lăn theo đường thẳng cắt hai đường biên, tạo với đường biên dưới một góc $3 0^{\circ}$ .

a) Tính góc tạo với đường biên trên (góc đồng vị).

b) Tính góc tạo với đường biên khi bi bật trở lại theo định luật phản xạ (góc tới bằng góc phản xạ) và giải thích.

📊 Đáp số và hướng dẫn

Bài 1: a) $5 5^{\circ}$ ; b) Các góc đồng vị đều bằng $5 5^{\circ}$ ; c) $5 5^{\circ}$ và $12 5^{\circ}$ .

Bài 2: a) $8 0^{\circ}$ ; b) Góc trong cùng phía $8 0^{\circ}$ và $10 0^{\circ}$ .

Bài 3: $x + 2 x = 18 0^{\circ} \Rightarrow x = 6 0^{\circ}$ .

Bài 4: Góc đồng vị đều bằng $9 0^{\circ}$ nên $c ⊥ b$ .

Bài 5: a) Theo tính chất bắc cầu, $a ∥ c$ . b) $d ⊥ b$ và $d ⊥ c$ .

Bài 6: a) Duy nhất một đường thẳng. b) Mâu thuẫn với tiên đề Euclid về tính duy nhất của đường song song.

Bài 7: a) $B_{1} = 4 2^{\circ}$ . b) Tại mỗi đỉnh các góc so le trong và đồng vị bằng $4 2^{\circ}$ ; các góc kề bù và trong cùng phía bằng $13 8^{\circ}$ .

Bài 8: Gọi góc so le trong là $x$ , góc kề bù là $3 x$ . Ta có $x = \frac{2}{3} \cdot 3 x$ . Vì $x + 3 x = 18 0^{\circ} \Rightarrow 4 x = 18 0^{\circ} \Rightarrow x = 4 5^{\circ}$ ; góc kề bù $13 5^{\circ}$ .

Bài 9: a) $7 5^{\circ}$ ; b) Góc trong cùng phía $10 5^{\circ}$ . Tính song song giúp bức tường luôn thẳng, chịu lực tốt và thi công đồng đều.

Bài 10: a) $3 0^{\circ}$ ; b) Góc tạo với đường biên khi bật lại bằng $3 0^{\circ}$ (góc tới bằng góc phản xạ), nhờ hai đường biên song song mà góc này đối ứng đều nhau.