Bài 1: Tập hợp các số hữu tỉ

📖 1. Khái niệm số hữu tỉ

Ví dụ 1: Trong các số $\frac{3}{4}$; $-7$; $0$; $0,5$, số nào là số hữu tỉ?

Lời giải: Cả bốn số đều là số hữu tỉ, vì:

• $\frac{3}{4}$ là một phân số nên là số hữu tỉ.
• $-7=\frac{-7}{1}$ (viết được dưới dạng phân số).
• $0=\frac{0}{1}$.
• $0,5=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$.

Ví dụ 2: Các số $\sqrt{2}$ và $\pi$ có phải là số hữu tỉ không?

Lời giải: Không. Vì $\sqrt{2}=1,\mathrm{4142135...}$ và $\pi =3,\mathrm{14159...}$ là những số thập phân vô hạn không tuần hoàn, không thể viết được dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$ với $a,b\in \mathbb{Z}$, $b\ne 0$.

Ví dụ 3: Viết mỗi số sau dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$ với $a,b\in \mathbb{Z}$, $b>0$:

Lời giải:

• $5=\frac{5}{1}$
• $-3=\frac{-3}{1}$
• $0,25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$
• $-1,5=\frac{-15}{10}=\frac{-3}{2}$

Hình vẽ minh họa: Mỗi số đã cho đều “đổi dạng” về phân số:

Nhận xét quan trọng:

• Mọi số nguyên đều là số hữu tỉ (viết được với mẫu số là 1).
• Mọi số tự nhiên đều là số hữu tỉ.
• Mọi phân số đều là số hữu tỉ.
• Mọi số thập phân hữu hạn đều là số hữu tỉ.

✍️ 2. Cách viết khác nhau của số hữu tỉ

Vì thế, mỗi số hữu tỉ có nhiều cách viết khác nhau, nhưng chúng đều biểu diễn cùng một giá trị.

Ví dụ 1: Số hữu tỉ $\frac{1}{2}$ có thể viết dưới nhiều dạng:

$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{-1}{-2}=0,5$

Ví dụ 2: Số nguyên $-2$ có thể viết thành:

$-2=\frac{-2}{1}=\frac{-4}{2}=\frac{2}{-1}=\frac{-6}{3}$

Ví dụ 3: Viết ba phân số bằng phân số $\frac{2}{3}$.

Lời giải: $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{6}{9}=\frac{8}{12}$ (nhân cả tử và mẫu lần lượt với 2, 3, 4).

Hình vẽ minh họa: Phân số $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}$ đều chiếm nửa hình tròn:

📏 3. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

Giống như số nguyên, mỗi số hữu tỉ được biểu diễn bởi một điểm duy nhất trên trục số.

Cách làm: Để biểu diễn số hữu tỉ $\frac{a}{b}$ ($b>0$), ta chia đoạn thẳng đơn vị thành $b$ phần bằng nhau, rồi lấy điểm cách điểm 0 một khoảng bằng $|a|$ phần (về bên phải nếu $a>0$, về bên trái nếu $a<0$).

Ví dụ 1: Biểu diễn $\frac{3}{4}$ trên trục số.

Chia đoạn thẳng đơn vị thành 4 phần bằng nhau, lấy 3 phần về phía bên phải điểm 0:

Ví dụ 2: Biểu diễn $-\frac{1}{2}$ trên trục số.

Chia đoạn thẳng đơn vị thành 2 phần bằng nhau, lấy 1 phần về phía bên trái điểm 0:

Ví dụ 3: Biểu diễn $\frac{5}{2}$ trên trục số.

Ta có $\frac{5}{2}=2,5$. Chia mỗi đoạn đơn vị thành 2 phần bằng nhau, lấy 5 phần bắt đầu từ 0 về bên phải:

↔️ 4. Số đối của số hữu tỉ

Ví dụ 1: Số đối của $\frac{3}{4}$ là $-\frac{3}{4}$, vì $\frac{3}{4}+\left(-\frac{3}{4}\right)=0$.

Ví dụ 2: Số đối của $-\frac{2}{5}$ là $\frac{2}{5}$, vì $-\frac{2}{5}+\frac{2}{5}=0$.

Ví dụ 3:

• Số đối của $0$ là $0$.
• Số đối của $1,5$ là $-1,5$.
• Số đối của $-1,5$ lại là $1,5$.

Hình vẽ minh họa: Trên trục số, hai số đối nhau nằm đối xứng với nhau qua điểm 0:

Tính chất: $x+(-x)=0$ với mọi $x\in \mathbb{Q}$.

⚖️ 5. So sánh hai số hữu tỉ

Ví dụ 1: So sánh $\frac{1}{2}$ và $\frac{3}{4}$.

Lời giải: Quy đồng mẫu dương: MSC = 4, ta có $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$.

Vì $2<3$ nên $\frac{2}{4}<\frac{3}{4}$, tức là $\frac{1}{2}<\frac{3}{4}$.

Ví dụ 2: So sánh $-\frac{1}{2}$ và $-\frac{3}{4}$.

Lời giải: Quy đồng mẫu dương: MSC = 4, ta có $-\frac{1}{2}=-\frac{2}{4}$.

Vì $-2>-3$ (trên trục số, $-2$ nằm bên phải $-3$) nên $-\frac{2}{4}>-\frac{3}{4}$, tức là $-\frac{1}{2}>-\frac{3}{4}$.

💡 Lưu ý: Với hai số âm, số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì số đó nhỏ hơn.

Ví dụ 3: So sánh $\frac{3}{5}$ và $0,7$.

Lời giải: Ta có $0,7=\frac{7}{10}$ và $\frac{3}{5}=\frac{6}{10}$.

Vì $6<7$ nên $\frac{6}{10}<\frac{7}{10}$, tức là $\frac{3}{5}<0,7$.

Hình vẽ minh họa: Trên trục số, điểm nào nằm bên trái thì biểu diễn số nhỏ hơn:

🔗 6. Mối quan hệ giữa các tập hợp số

Hình vẽ minh họa (sơ đồ Ven):

Ví dụ 1: Điền ký hiệu $\in$ hoặc $\notin$ vào chỗ trống:

• $\frac{1}{2}\dots \mathbb{Q}$   →   $\frac{1}{2}\in \mathbb{Q}$
• $-5\dots \mathbb{N}$   →   $-5\notin \mathbb{N}$ (vì $-5$ là số nguyên âm)
• $3\dots \mathbb{Z}$   →   $3\in \mathbb{Z}$
• $0\dots \mathbb{Q}$   →   $0\in \mathbb{Q}$

Ví dụ 2: Với các số $\frac{3}{4}$; $-2$; $1,5$; $\sqrt{2}$, hãy cho biết mỗi số thuộc những tập hợp nào trong các tập hợp $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$.

Lời giải:

• $\frac{3}{4}\in \mathbb{Q}$ (không thuộc $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$).
• $-2\in \mathbb{Z}$, $-2\in \mathbb{Q}$.
• $1,5=\frac{3}{2}\in \mathbb{Q}$.
• $\sqrt{2}$ không thuộc tập hợp nào trong ba tập hợp trên (vì không phải số hữu tỉ).

Ví dụ 3: Viết các số sau dưới dạng phân số rồi xét xem chúng lớn hơn, nhỏ hơn hay bằng 0: $\frac{2}{3}$; $-\frac{5}{4}$; $0$; $-7$.

Lời giải: $\frac{2}{3}>0$ (số hữu tỉ dương); $-\frac{5}{4}<0$ và $-7<0$ (số hữu tỉ âm); $0=0$.