Giải Bài 7. Parabol – Chuyên đề Toán 10 (Kết nối)

Giải Bài 7. Parabol – Chuyên đề Toán 10 (Kết nối)
========

Giải mục 1 trang 54, 55 Chuyên đề học tập Toán 10

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
HĐ1
Cho parabol có phương trình chính tắc \(y = 2px\) (H.3.18).
a) Nếu điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc parabol thì điểm \(N({x_0}; – {y_0})\) có thuộc parabol hay không?
b) Từ phương trình chính tắc của parabol, có thể rút ra điều gì về hoành độ của những điểm thuộc parabol?

Lời giải chi tiết:
a) Nếu điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc parabol thì \({y_0}^2 = 2p{x_0} \Leftrightarrow {( – {y_0})^2} = 2p{x_0}\)
nên điểm \(N({x_0}; – {y_0})\) có thuộc parabol.
b)
Với p>0 thì các điểm thuộc paranol đều có hoành độ \( \ge 0\).
Luyện tập 1
Trongg mặt phẳng tọa độ Oxy, parabol (P) có phương trình chính tắc và đi qua điểm A(6;6). Tìm tham số tiêu và phương trình đường chuẩn của (P)
Phương pháp giải:
Cho parabol có PTCT  \({y^2} = 2px\)
+ Tham số tiêu: p
+ Đường chuẩn: \(\Delta: x =- \frac{p}{2}\)
Lời giải chi tiết:
Gọi PTCT của (P) là \({y^2} = 2px\)
Vì \(A\left( {6;6} \right) \in (P)\) nên \({6^2} = 2.p.6 \Rightarrow p = 3\)
+ Tham số tiêu: p = 3
+ Đường chuẩn: \(\Delta: x = – \frac{3}{2}\)

Giải mục 2 trang 55, 56 Chuyên đề học tập Toán 10

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ2

Cho parabol có phương trình chính tắc \({y^2} = 2px\) (H.3.19).

a) Nêu tọa độ điểm F và phương trình đường chuẩn của \(\Delta \) của parabol.

b) Cho điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc parabol. Hãy so sánh MF với \(d(M,\Delta )\), từ đó, tính MF theo \({x_0},{y_0}\).

Lời giải chi tiết:

a) Tiêu điểm \(F(\frac{p}{2};0)\)

Phương trình đường chuẩn: \(\Delta : x =  – \frac{p}{2}\)

b) Ta có:

 \(MF = \sqrt {{{\left( {{x_0} – \frac{p}{2}} \right)}^2} + {y_0}^2}  = \sqrt {{{\left( {{x_0} – \frac{p}{2}} \right)}^2} + 2p{x_0}}  = \sqrt {{{\left( {{x_0} + \frac{p}{2}} \right)}^2}}  = {x_0} + \frac{p}{2}\);

 \(d(M,\Delta ) = {x_0} + \frac{p}{2}\)

\( \Rightarrow MF = d(M,\Delta ) = {x_0} + \frac{p}{2} = {x_0} + \frac{{{y_0}^2}}{{4{x_0}}}\)

Luyện tập 2

Cho parabol có phương trình \({y^2} = 8x\). Tìm tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol. Tính bán kính qua tiêu của một điểm M thuộc parabol biết điểm có tung độ bằng 4.

Phương pháp giải:

Cho parabol có phương trình chính tắc \({y^2} = 2px\) 

+) Tiêu điểm \(F(\frac{p}{2};0)\)

+) Với \(M({x_0};{y_0})\) thuộc parabol, bán kính qua tiêu: \(MF = {x_0} + \frac{p}{2}\)

Lời giải chi tiết:

Parabol có phương trình chính tắc \({y^2} = 8x \Leftrightarrow p = 4\) 

+) Tiêu điểm \(F(\frac{4}{2};0) = (2;0)\)

+) \(M({x_0};4)\) thuộc parabol \( \Rightarrow {4^2} = 8.{x_0} \Rightarrow {x_0} = 2\)

Bán kính qua tiêu: \(MF = {x_0} + \frac{p}{2} = 2 + \frac{4}{2} = 4.\)

Luyện tập 3

Một sao chổi chuyển động theo quỹ đạo parabol nhận tâm Mặt trời làm tiêu điểm. Khoảng cách ngắn nhất từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là \({10^6}\) km. Lập phương trình chính tắc của quỹ đạo theo đơn vị kilomet. Hỏi khi sao chổi nằm trên vuông góc với trục đối xứng của quỹ đạo tại tâm Mặt Trời, thì khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là bao nhiêu kilomet?

Phương pháp giải:

Cho parabol có phương trình chính tắc \({y^2} = 2px\) 

+) Tiêu điểm \(F(\frac{p}{2};0)\)

+) Với \(M({x_0};{y_0})\) thuộc parabol, \(MF = {x_0} + \frac{p}{2}\)

\(MF\) nhỏ nhất bằng \(\frac{p}{2}\) khi M trùng O(0;0).

Lời giải chi tiết:

Gọi phương trình chính tắc của parabol là: \({y^2} = 2px\) 

Với \(M({x_0};{y_0})\) thuộc parabol, \(MF = {x_M} + \frac{p}{2}\)

\(MF\) nhỏ nhất bằng \(\frac{p}{2} = {10^6}\) khi M trùng O(0;0) nên \(p = {2.10^6}\)

Tiêu điểm \(F(\frac{p}{2};0) = ({10^6};0)\)

Khi M trên vuông góc với trục đối xứng của quỹ đạo tại tiêu điểm thì \({x_M} = {10^6}\)

\( \Rightarrow MF = {x_M} + \frac{p}{2} = {10^6} + {10^6} = {2.10^6}\)(km)

 

Vận dụng

Theo các bước sau, hãy giải quyết vấn đề đã được nêu ra ở phần mở đầu bài học.

a) Tìm chiều cao của cổng mà bác Vinh đã tham quan;

b) Tìm chiều cao và chiều rộng của mô hình thu nhỏ mà bác Vinh dự định làm;

c) Tìm phương trình chính tắc của mô hình đó, theo đơn vị mét;

d) Nếu tại tiêu điểm của mô hình, bác Vinh treo một hình sao thì ngôi sao đó ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất?

Lời giải chi tiết:

a) Cổng mà bác Vinh đã tham quan có PTCT \({y^2} = 48x\)

\( \Rightarrow p = 24\)

Cổng rộng 192 m \( \Rightarrow y = \frac{{192}}{2} = 96 \Rightarrow x = \frac{{{{96}^2}}}{{48}} = 192\).

Vậy cổng cao 192 m.

b) Chiều cao và chiều rộng của mô hình thu nhỏ mà bác Vinh dự định làm là 1,92m.

c) Gọi phương trình chính tắc của mô hình đó, theo đơn vị mét là \({y^2} = 2px\)

Cổng cao 1,92 m và rộng 1,92 m \( \Rightarrow {x_0} = 1,92;{y_0} = \frac{{1,92}}{2} = 0,96\)

\( \Rightarrow 0,{96^2} = 2p.1,92 \Rightarrow p = 0,24\).

Vậy phương trình chính tắc của mô hình đó là \({y^2} = 0,48x\)

d)

Khoảng cách từ ngôi sao (tiêu điểm) đến đỉnh cổng (gốc tọa độ) là \(\frac{p}{2} = 0,12\)(m)

Độ cao của ngôi sao so với mặt đất là: \(1,92 – 0,12 = 1,8(m)\)

Vậy \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = \frac{c}{a}.\)

 

Giải bài 3.13 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10

Đề bài

Cho parabol có phương trình \({y^2} = 12x\). Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol. Tính bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol và có hoành độ bằng 5.

Cho parabol có PTCT  \({y^2} = 2px\)

+ Tiêu điểm: \(F(\frac{p}{2};0)\)

+ Đường chuẩn: \(\Delta : x =  – \frac{p}{2}\)

+) Với \(M({x_0};{y_0})\) thuộc parabol, bán kính qua tiêu: \(MF = {x_0} + \frac{p}{2}\)

Lời giải chi tiết

Gọi PTCT của (P) là \({y^2} = 12x\)

\( \Rightarrow p = 6\)

+ Tiêu điểm: \(F(\frac{p}{2};0) = (3;0)\)

+ Đường chuẩn: \(\Delta : x =  – 3\)

+) \(M(5;{y_0})\) thuộc parabol \( \Rightarrow {x_0} = 5\)

Bán kính qua tiêu: \(MF = {x_0} + \frac{p}{2} = 5 + 3 = 8.\)

 

Giải bài 3.14 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, parabol (P) có phương trình chính tắc và đi qua điểm \(M(3;3\sqrt 2 )\). Tính bán kính qua tiêu của điểm M và khoảng cách từ tiêu điểm tới đường chuẩn của (P).

Cho parabol có PTCT: \({y^2} = 2px\)

+ Bán kính qua tiêu của \(M({x_0};{y_0})\): \(MF = {x_0} + \frac{p}{2}\)

+ Tiêu điểm: \(F(\frac{p}{2};0)\)

+ Đường chuẩn: \(\Delta : x =  – \frac{p}{2}\)

Lời giải chi tiết

Gọi PTCT của parabol là: \({y^2} = 2px\)

\(M(3;3\sqrt 2 ) \in (P)\) nên \({\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} = 2p.3 \Rightarrow p = 3\)

+ Bán kính qua tiêu của \(M(3;3\sqrt 2 )\): \(MF = 3 + \frac{3}{2} = 4,5.\)

+ Tiêu điểm: \(F(\frac{3}{2};0)\)

+ Đường chuẩn: \(\Delta : x =  – \frac{3}{2}\)

\( \Rightarrow d(F,\Delta ) = \frac{3}{2} – \left( { – \frac{3}{2}} \right) = 3\)

 

Giải bài 3.15 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10

Đề bài

Xét đèn có bát đáy parabol với kích thước được thể hiện trên Hình 3.20. Dây tóc bóng đèn được đặt ở vị trí tiêu điểm. Tính khoảng cách từ dây tóc tới đỉnh bát đáy.

Lời giải chi tiết

Gọi PTCT của parabol là \({y^2} = 2px\)

Trong mặt phẳng Oxy, đỉnh bát đáy là gốc tọa độ, dây tóc bóng đèn là tiêu điểm.

Từ hình vẽ, ta suy ra điểm \(M(20;\frac{{30}}{2})\) thuộc parabol.

\( \Rightarrow {15^2} = 2p.20 \Rightarrow p = \frac{{45}}{8}\)

Bóng đèn ở vị trí tiêu điểm \(F(\frac{p}{2};0) = (\frac{{45}}{{16}};0)\) nên khoảng cách từ dây tóc tới đỉnh bát đáy là \(\frac{{45}}{{16}} = 2,8125(cm)\).

 

Giải bài 3.16 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10

Đề bài

Ăng-ten vệ tinh parabol ở Hình 3.21 có đầu thu đặt tại tiêu điểm, đường kính miệng ăng-ten là 240 cm, khoảng cách từ vị trí đặt đầu thu tới miệng ăng-ten là 130 cm. Tính khoảng cách từ vị trí đặt đầu thu tới đỉnh ăng-ten.

Lời giải chi tiết

Gọi PTCT của parabol là \({y^2} = 2px\)

Trong mặt phẳng Oxy, đỉnh ăng-ten là gốc tọa độ, vị trí đầu thu là tiêu điểm.

Khi đó, tọa độ của đầu thu là \(F(\frac{p}{2};0)\)

Từ hình vẽ, ta suy ra điểm \(M(\frac{p}{2} + 130;\frac{{240}}{2})\) thuộc parabol.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {120^2} = 2p.\left( {\frac{p}{2} + 130} \right) \Leftrightarrow {p^2} + 260p – 14400 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}p = 46,918\\p =  – 306,918\end{array} \right. \Rightarrow p \approx 47\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Khoảng cách từ vị trí đặt đầu thu tới đỉnh ăng-ten là \(47:2 = 23,5(cm)\)