Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

3 Ví dụ minh họa Khử mẫu:

• Ví dụ 1: Khử mẫu của biểu thức lấy căn $\sqrt{\frac{5}{12}}$.

  • Giải: Nhân cả tử và mẫu với 3 để đưa mẫu về số chính phương $36$:
    $\sqrt{\frac{5}{12}}=\sqrt{\frac{5\cdot 3}{12\cdot 3}}=\sqrt{\frac{15}{36}}=\frac{\sqrt{15}}{6}$.

• Ví dụ 2: Khử mẫu biểu thức $\sqrt{\frac{3a}{2b}}$ với $a\ge 0,b>0$.

  • Giải: $\sqrt{\frac{3a}{2b}}=\sqrt{\frac{3a\cdot 2b}{4b^2}}=\frac{\sqrt{6ab}}{2b}$.

• Ví dụ 3: Khử mẫu biểu thức $\sqrt{\frac{2}{x}}$ với $x>0$.

  • Giải: $\sqrt{\frac{2}{x}}=\sqrt{\frac{2x}{x^2}}=\frac{\sqrt{2x}}{x}$.

3 Ví dụ minh họa Trục căn thức:

• Ví dụ 1: Trục căn thức ở mẫu $\frac{6}{\sqrt{3}}$.

  • Giải: $\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$.

• Ví dụ 2: Trục căn thức ở mẫu $\frac{4}{\sqrt{5}-1}$.

  • Giải: Nhân với lượng liên hợp $\sqrt{5}+1$:
    $\frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{4(\sqrt{5}+1)}{5-1}=\frac{4(\sqrt{5}+1)}{4}=\sqrt{5}+1$.

• Ví dụ 3: Trục căn thức ở mẫu $\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ với $a>0,b>0,a\ne b$.

  • Giải: Nhân liên hợp $\sqrt{a}-\sqrt{b}$:
    $\frac{(a-b)(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\frac{(a-b)(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$.

• Ví dụ 1: Trục căn thức ở mẫu: $A=\frac{10}{\sqrt{5}},B=\frac{3}{\sqrt{7}+2}$.

  • Lời giải:
    • $A=\frac{10\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}$.
    • $B=\frac{3(\sqrt{7}-2)}{7-4}=\frac{3(\sqrt{7}-2)}{3}=\sqrt{7}-2$.

• Ví dụ 2: Trục căn thức ở mẫu: $C=\frac{x-4}{\sqrt{x}-2}$ với $x\ge 0,x\ne 4$.

  • Lời giải: $C=\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}-2}=\sqrt{x}+2$.

• Ví dụ 3: Trục căn thức ở mẫu: $D=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$.

  • Lời giải: $D=\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{2\sqrt{3}}{3-2}=2\sqrt{3}$.

• Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức $P=\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}\right):\frac{2}{x-1}$ với $x\ge 0,x\ne 1$.

  • Lời giải: Quy đồng ngoặc thứ nhất:
    $\frac{(\sqrt{x}+1)-(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{2}{x-1}$.
    Do đó $P=\frac{2}{x-1}:\frac{2}{x-1}=1$.

• Ví dụ 2: Cho $Q=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{2}{\sqrt{x}+1}-\frac{2}{x-1}$ với $x\ge 0,x\ne 1$. Rút gọn $Q$.

  • Lời giải: Mẫu chung là $x-1=(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$.
    $Q=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)-2(\sqrt{x}-1)-2}{x-1}=\frac{x+\sqrt{x}-2\sqrt{x}+2-2}{x-1}=\frac{x-\sqrt{x}}{x-1}=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$.

• Ví dụ 3: Rút gọn $A=\frac{a-2\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2}+\frac{a-1}{\sqrt{a}+1}$ với $a\ge 0,a\ne 4$.

  • Lời giải: $A=\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-2)}{\sqrt{a}-2}+\frac{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}+1}=\sqrt{a}+\sqrt{a}-1=2\sqrt{a}-1$.

• Ví dụ 1: Cho $P=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$. Tính giá trị của $P$ khi $x=9$.

  • Lời giải: Thay $x=9\Rightarrow \sqrt{x}=3$.
    $P=\frac{3-1}{3+1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

• Ví dụ 2: Tính giá trị của $P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$ khi $x=4+2\sqrt{3}$.

  • Lời giải: Biến đổi $x=4+2\sqrt{3}=3+2\sqrt{3}+1=(\sqrt{3}+1{)}^2$.
    Suy ra $\sqrt{x}=\sqrt{(\sqrt{3}+1{)}^2}=\sqrt{3}+1$.
    Thay vào $P$: $P=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1+1}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+2}$. Trục căn thức: $P=(\sqrt{3}+1)(2-\sqrt{3})=2\sqrt{3}-3+2-\sqrt{3}=\sqrt{3}-1$.

• Ví dụ 3: Tính giá trị $Q=\sqrt{x}+2$ tại $x=\frac{1}{4}$.

  • Lời giải: $\sqrt{x}=\sqrt{1/4}=1/2$. Do đó $Q=1/2+2=2,5$.

• Ví dụ 1: Cho $P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$. Tìm $x$ để $P=\frac{1}{2}$.

  • Lời giải: ĐKXĐ: $x\ge 0$.
    $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2\sqrt{x}=\sqrt{x}+1\iff \sqrt{x}=1\Rightarrow x=1$ (loại nếu ĐKXĐ $x\ne 1$, nhận nếu chỉ ĐKXĐ $x\ge 0$).

• Ví dụ 2: Cho $P=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}$ ($x\ge 0,x\ne 1$). Tìm $x$ để $P>2$.

  • Lời giải: $P-2>0\iff \frac{\sqrt{x}+2-2(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}-1}>0\iff \frac{4-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}>0$.
    • TH1: $\{\begin{array}{l}4-\sqrt{x}>0\\ \sqrt{x}-1>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\sqrt{x}<4\\ \sqrt{x}>1\end{array}\iff 1<\sqrt{x}<4\iff 1<x<16$.
    • TH2: $\{\begin{array}{l}4-\sqrt{x}<0\\ \sqrt{x}-1<0\end{array}\Rightarrow$ Vô nghiệm.
      Tập nghiệm $1<x<16$.

• Ví dụ 3: Tìm các số nguyên $x$ để $A=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}$ nhận giá trị nguyên.

  • Lời giải: $A=\frac{\sqrt{x}+1+2}{\sqrt{x}+1}=1+\frac{2}{\sqrt{x}+1}$.
    Để $A\in \mathbb{Z}\iff \frac{2}{\sqrt{x}+1}\in \mathbb{Z}\iff \sqrt{x}+1\in \text{Ư}(2)=\{1;2\}$.
    • $\sqrt{x}+1=1\Rightarrow \sqrt{x}=0\Rightarrow x=0$ (TM).
    • $\sqrt{x}+1=2\Rightarrow \sqrt{x}=1\Rightarrow x=1$ (TM).
      Các giá trị nguyên $x\in \{0;1\}$.

• Ví dụ 1: Cho $P=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}$ với $x\ge 0$. Tìm GTLN của $P$.

  • Lời giải: $P=1+\frac{1}{\sqrt{x}+1}$. Vì $\sqrt{x}\ge 0\Rightarrow \sqrt{x}+1\ge 1\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}+1}\le 1\Rightarrow P\le 2$.
    Dấu ’=’ xảy ra khi $x=0$. Vậy $\max P=2$ tại $x=0$.

• Ví dụ 2: Cho $Q=\sqrt{x}-4\sqrt{x}+7$ (với $x\ge 0$). Tìm GTNN của $Q$.

  • Lời giải: Biến đổi $Q=x-4\sqrt{x}+4+3=(\sqrt{x}-2{)}^2+3\ge 3$.
    Dấu ’=’ xảy ra khi $\sqrt{x}=2\iff x=4$. Vậy $\min Q=3$ tại $x=4$.

• Ví dụ 3: Cho $A=\frac{\sqrt{x}}{x+1}$ với $x>0$. Tìm GTLN của $A$.

  • Lời giải: Đảo ngược biểu thức $\frac{1}{A}=\frac{x+1}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$.
    Theo BĐT Cô-si: $\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge 2\sqrt{\sqrt{x}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}}=2\Rightarrow \frac{1}{A}\ge 2\Rightarrow A\le \frac{1}{2}$.
    Dấu ’=’ xảy ra khi $\sqrt{x}=1\iff x=1$. Vậy $\max A=\frac{1}{2}$ tại $x=1$.