Bài 8: Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

3 Ví dụ minh họa Khai căn một tích:

• Ví dụ 1: Tính $A=\sqrt{16\cdot 25\cdot 81}$.

  • Giải: $A=\sqrt{16}\cdot \sqrt{25}\cdot \sqrt{81}=4\cdot 5\cdot 9=180$.

• Ví dụ 2: Tính $B=\sqrt{12}\cdot \sqrt{27}$.

  • Giải: $B=\sqrt{12\cdot 27}=\sqrt{324}=18$ (hoặc $\sqrt{4\cdot 3}\cdot \sqrt{9\cdot 3}=2\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}=6\cdot 3=18$).

• Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức $C=\sqrt{4a^2{b}^4}$ với $a<0$.

  • Giải: $C=\sqrt{4}\cdot \sqrt{a^2}\cdot \sqrt{(b^2{)}^2}=2\cdot |a|\cdot b^2$.
    Vì $a<0\Rightarrow |a|=-a$. Vậy $C=-2a{b}^2$.

3 Ví dụ minh họa Khai căn một thương:

• Ví dụ 1: Tính $A=\sqrt{\frac{25}{144}}$.

  • Giải: $A=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{144}}=\frac{5}{12}$.

• Ví dụ 2: Tính $B=\frac{\sqrt{150}}{\sqrt{6}}$.

  • Giải: $B=\sqrt{\frac{150}{6}}=\sqrt{25}=5$.

• Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức $C=\sqrt{\frac{9x^2}{y^4}}$ với $x\ge 0,y\ne 0$.

  • Giải: $C=\frac{\sqrt{9x^2}}{\sqrt{y^4}}=\frac{3|x|}{y^2}$. Vì $x\ge 0\Rightarrow |x|=x\Rightarrow C=\frac{3x}{y^2}$.

• Ví dụ 1: Tính $A=\sqrt{3,6\cdot 40}$.

  • Lời giải: $A=\sqrt{36\cdot 4}=\sqrt{36}\cdot \sqrt{4}=6\cdot 2=12$.

• Ví dụ 2: Tính $B=\sqrt{5}\cdot \sqrt{45}$.

  • Lời giải: $B=\sqrt{5\cdot 45}=\sqrt{225}=15$.

• Ví dụ 3: Tính $C=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}+\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}$.

  • Lời giải: $C=\sqrt{\frac{2}{18}}+\sqrt{\frac{48}{3}}=\sqrt{\frac{1}{9}}+\sqrt{16}=\frac{1}{3}+4=\frac{13}{3}$.

• Ví dụ 1: Rút gọn $A=\sqrt{16a^4{b}^2}$ với $b\ge 0$.

  • Lời giải: $A=\sqrt{16}\cdot \sqrt{(a^2{)}^2}\cdot \sqrt{b^2}=4a^2|b|=4a^{2}b$ (vì $b\ge 0$).

• Ví dụ 2: Rút gọn $B=\frac{\sqrt{45x^3}}{\sqrt{5x}}$ với $x>0$.

  • Lời giải: $B=\sqrt{\frac{45x^3}{5x}}=\sqrt{9x^2}=3|x|=3x$ (vì $x>0$).

• Ví dụ 3: Rút gọn $C=\sqrt{2a}\cdot \sqrt{18a^3}$ với $a\ge 0$.

  • Lời giải: $C=\sqrt{2a\cdot 18a^3}=\sqrt{36a^4}=6a^2$.

• Ví dụ 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: $\sqrt{50},\sqrt{72},\sqrt{108}$.

  • Lời giải:
    • $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$.
    • $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$.
    • $\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3}$.

• Ví dụ 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn: $3\sqrt{5},-2\sqrt{7}$.

  • Lời giải:
    • $3\sqrt{5}=\sqrt{3^2\cdot 5}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{45}$.
    • $-2\sqrt{7}=-\sqrt{2^2\cdot 7}=-\sqrt{4\cdot 7}=-\sqrt{28}$.

• Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức $P=3\sqrt{8}-2\sqrt{18}+\sqrt{50}$.

  • Lời giải: $P=3(2\sqrt{2})-2(3\sqrt{2})+5\sqrt{2}=6\sqrt{2}-6\sqrt{2}+5\sqrt{2}=5\sqrt{2}$.

• Ví dụ 1: Giải phương trình $\sqrt{4x-8}=6$.

  • Lời giải: ĐKXĐ: $x\ge 2$. Biến đổi $\sqrt{4(x-2)}=6\iff 2\sqrt{x-2}=6\iff \sqrt{x-2}=3$.
    Bình phương: $x-2=9\iff x=11$ (TM).

• Ví dụ 2: Giải phương trình $\sqrt{5x}-\sqrt{20}=0$.

  • Lời giải: $\sqrt{5x}=\sqrt{20}\iff 5x=20\iff x=4$ (TM).

• Ví dụ 3: Giải phương trình $\sqrt{9x-9}-\sqrt{x-1}=4$.

  • Lời giải: ĐKXĐ: $x\ge 1$. Phương trình tương đương:
    $\sqrt{9(x-1)}-\sqrt{x-1}=4\iff 3\sqrt{x-1}-\sqrt{x-1}=4\iff 2\sqrt{x-1}=4\iff \sqrt{x-1}=2$.
    Bình phương: $x-1=4\iff x=5$ (TM).

• Ví dụ 1: So sánh $3\sqrt{5}$ và $4\sqrt{3}$.

  • Lời giải: $3\sqrt{5}=\sqrt{3^2\cdot 5}=\sqrt{45}$. $4\sqrt{3}=\sqrt{4^2\cdot 3}=\sqrt{48}$.
    Vì $45<48\Rightarrow \sqrt{45}<\sqrt{48}\Rightarrow 3\sqrt{5}<4\sqrt{3}$.

• Ví dụ 2: So sánh $2\sqrt{7}$ và 5.

  • Lời giải: $2\sqrt{7}=\sqrt{28}$. $5=\sqrt{25}$.
    Vì $28>25\Rightarrow \sqrt{28}>\sqrt{25}\Rightarrow 2\sqrt{7}>5$.

• Ví dụ 3: Cho $a,b>0$. So sánh $\sqrt{a+b}$ và $\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

  • Lời giải: $(\sqrt{a+b}{)}^2=a+b$. $(\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2=a+b+2\sqrt{ab}>a+b$.
    Do đó $\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$.