Bài 7: Căn bậc hai và căn thức bậc hai

3 Ví dụ minh họa Căn bậc hai số học:

• Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai số học của 81 và 0,64.

  • Giải:
    • Căn bậc hai số học của 81 là $\sqrt{81}=9$ (vì $9\ge 0$ và $9^2=81$).
    • Căn bậc hai số học của 0,64 là $\sqrt{0,64}=0,8$ (vì $0,8\ge 0$ và $0,8^2=0,64$).

• Ví dụ 2: Tìm hai căn bậc hai của số 16.

  • Giải: Số 16 có hai căn bậc hai là $\sqrt{16}=4$ và $-\sqrt{16}=-4$.

• Ví dụ 3: So sánh 4 và $\sqrt{15}$.

  • Giải: Ta có $4=\sqrt{16}$. Vì $16>15\Rightarrow \sqrt{16}>\sqrt{15}\Rightarrow 4>\sqrt{15}$.

3 Ví dụ minh họa Căn thức bậc hai:

• Ví dụ 1: Tìm $x$ để căn thức $\sqrt{3x-6}$ xác định.

  • Giải: Căn thức xác định khi $3x-6\ge 0\iff 3x\ge 6\iff x\ge 2$.

• Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức $A=\sqrt{(x-3{)}^2}$ với $x\ge 3$.

  • Giải: $A=|x-3|$. Vì $x\ge 3\Rightarrow x-3\ge 0\Rightarrow |x-3|=x-3$. Vậy $A=x-3$.

• Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức $B=\sqrt{4-2\sqrt{3}}$.

  • Giải: Phân tích biểu thức dưới dấu căn thành dạng bình phương:
    $4-2\sqrt{3}=3-2\sqrt{3}+1=(\sqrt{3}-1{)}^2$.
    $B=\sqrt{(\sqrt{3}-1{)}^2}=|\sqrt{3}-1|$.
    Vì $\sqrt{3}>1\Rightarrow \sqrt{3}-1>0\Rightarrow B=\sqrt{3}-1$.

• Ví dụ 1: Tính giá trị $A=\sqrt{144}-\sqrt{49}+\sqrt{121}$.

  • Lời giải: $A=12-7+11=16$.

• Ví dụ 2: So sánh $2\sqrt{3}$ và 3.

  • Lời giải: $2\sqrt{3}=\sqrt{2^2\times 3}=\sqrt{12}$. Mặt khác $3=\sqrt{9}$.
    Vì $12>9\Rightarrow \sqrt{12}>\sqrt{9}\Rightarrow 2\sqrt{3}>3$.

• Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên $x$ biết $\sqrt{x}<4$.

  • Lời giải: ĐKXĐ: $x\ge 0$. Ta có $4=\sqrt{16}$.
    $\sqrt{x}<\sqrt{16}\iff 0\le x<16$.
    Vì $x\in \mathbb{N}\Rightarrow x\in \{0;1;2;...;15\}$.

• Ví dụ 1: Tìm $x$ để căn thức $\sqrt{-2x+8}$ có nghĩa.

  • Lời giải: ĐKXĐ: $-2x+8\ge 0\iff -2x\ge -8\iff x\le 4$.

• Ví dụ 2: Tìm $x$ để biểu thức $P=\frac{1}{\sqrt{x-5}}$ xác định.

  • Lời giải: Vì căn thức nằm ở mẫu số nên ĐKXĐ là $x-5>0\iff x>5$.

• Ví dụ 3: Tìm $x$ để căn thức $\sqrt{\frac{2}{x-1}}$ xác định.

  • Lời giải: Vì $2>0$ nên $\frac{2}{x-1}\ge 0\iff x-1>0\iff x>1$.

• Ví dụ 1: Rút gọn $A=\sqrt{(x-2{)}^2}+x-5$ với $x<2$.

  • Lời giải: $A=|x-2|+x-5$.
    Vì $x<2\Rightarrow x-2<0\Rightarrow |x-2|=-(x-2)=2-x$.
    Do đó $A=(2-x)+x-5=-3$.

• Ví dụ 2: Rút gọn $B=\sqrt{9-4\sqrt{5}}$.

  • Lời giải: Phân tích $9-4\sqrt{5}=5-2\sqrt{5}\cdot 2+4=(\sqrt{5}-2{)}^2$.
    $B=\sqrt{(\sqrt{5}-2{)}^2}=|\sqrt{5}-2|=\sqrt{5}-2$ (vì $\sqrt{5}>2$).

• Ví dụ 3: Rút gọn $C=\sqrt{x^2-6x+9}-x$ với $x\ge 3$.

  • Lời giải: $C=\sqrt{(x-3{)}^2}-x=|x-3|-x$.
    Vì $x\ge 3\Rightarrow x-3\ge 0\Rightarrow |x-3|=x-3$.
    Vậy $C=(x-3)-x=-3$.

• Ví dụ 1: Giải phương trình $\sqrt{2x-3}=5$.

  • Lời giải: ĐKXĐ: $2x-3\ge 0\iff x\ge 1,5$.
    Bình phương hai vế: $2x-3=25\iff 2x=28\iff x=14$ (TM ĐKXĐ).

• Ví dụ 2: Giải phương trình $\sqrt{x^2-4x+4}=3$.

  • Lời giải: $\sqrt{(x-2{)}^2}=3\iff |x-2|=3$.
    $\iff [\begin{array}{l}x-2=3\\ x-2=-3\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=5\\ x=-1\end{array}$. Tập nghiệm $S=\{-1;5\}$.

• Ví dụ 3: Giải phương trình $\sqrt{x-1}=x-3$.

  • Lời giải: Điều kiện vế phải không âm: $x-3\ge 0\iff x\ge 3$.
    Bình phương hai vế: $x-1=(x-3{)}^2\iff x-1=x^2-6x+9\iff x^2-7x+10=0\iff (x-2)(x-5)=0\Rightarrow x=2$ hoặc $x=5$.
    Đối chiếu ĐK $x\ge 3$: Chọn $x=5$. Nghiệm $S=\{5\}$.

• Ví dụ 1: Tìm GTNN của $P=\sqrt{2x-4}+3$.

  • Lời giải: ĐKXĐ: $x\ge 2$. Vì $\sqrt{2x-4}\ge 0\Rightarrow P\ge 3$.
    Dấu ’=’ khi $2x-4=0\iff x=2$. Vậy $\min P=3$ tại $x=2$.

• Ví dụ 2: Tìm GTLN của $Q=10-\sqrt{x^2+9}$.

  • Lời giải: Vì $x^2\ge 0\Rightarrow x^2+9\ge 9\Rightarrow \sqrt{x^2+9}\ge 3$.
    Do đó $Q=10-\sqrt{x^2+9}\le 10-3=7$. Dấu ’=’ khi $x=0$. Vậy $\max Q=7$ tại $x=0$.

• Ví dụ 3: Tìm GTNN của $M=x-2\sqrt{x}+5$ với $x\ge 0$.

  • Lời giải: $M=(\sqrt{x}{)}^2-2\sqrt{x}+1+4=(\sqrt{x}-1{)}^2+4$.
    Vì $(\sqrt{x}-1{)}^2\ge 0\Rightarrow M\ge 4$. Dấu ’=’ khi $\sqrt{x}=1\iff x=1$. Vậy $\min M=4$.