Lớp 9 · Chương II: Phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 5: Bất đẳng thức và tính chất

🚀 Khởi động

⚖️ Khái niệm So sánh và Bất đẳng thức trong đời sống

Trong thực tế, các đại lượng không chỉ bằng nhau mà thường xuyên ở dạng so sánh hơn kém:

Xe tải chở hàng không được vượt quá tải trọng $M \leq 10$ tấn.
Điểm trung bình môn muốn đạt Học sinh Giỏi phải thỏa mãn $Đ \geq 8, 0$ .
Tối ưu hóa chi phí sản xuất sao cho $C$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Trong toán học, các hệ thức chứa các dấu $<, >, \leq, \geq$ được gọi là bất đẳng thức.

🔍 Khám phá

📖 1. Khái niệm Bất đẳng thức

Định nghĩa:

Bất đẳng thức là hệ thức có một trong các dạng: $A < B, A > B, A \leq B, A \geq B$ Trong đó $A$ gọi là vế trái, $B$ gọi là vế phải của bất đẳng thức.
Quy tắc xét hiệu: Với hai số thực $a$ và $b$ :
1. Nếu $a - b > 0$ thì $a > b$ .
2. Nếu $a - b < 0$ thì $a < b$ .
3. Nếu $a - b \geq 0$ thì $a \geq b$ .

3 Ví dụ minh họa Khái niệm BĐT:

Ví dụ 1: So sánh $a = 5$ và $b = 3$ bằng xét hiệu.
- Giải: Xét hiệu $a - b = 5 - 3 = 2 > 0 \Rightarrow 5 > 3$ .
Ví dụ 2: So sánh $A = (x + 1)^{2}$ và $B = 2 x$ .
- Giải: Xét hiệu $A - B = (x + 1)^{2} - 2 x = x^{2} + 2 x + 1 - 2 x = x^{2} + 1$ .
- Vì $x^{2} \geq 0$ với mọi $x \Rightarrow x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ .
- Do $A - B > 0$ nên $(x + 1)^{2} > 2 x$ với mọi $x$ .
Ví dụ 3: Viết bất đẳng thức biểu thị các mối quan hệ thực tế:
- a) Số nguyên $x$ không vượt quá 10: $x \leq 10$ .
- b) Chiều cao $h$ (m) của người trưởng thành ít nhất là 1,5m: $h \geq 1, 5$ .

📖 2. Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép toán

Các tính chất cơ bản của Bất đẳng thức:

Tính chất bắc cầu: If $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$ .
Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng: When adding the same number $c$ to both sides of an inequality, the inequality direction DOES NOT change: $If a < b \Rightarrow a + c < b + c$
Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân:
- Khi nhân hai vế với số dương $c > 0$ : GIỮ NGUYÊN CHIỀU BĐT. $If a < b v \overset{a}{ˋ} c > 0 \Rightarrow a c < b c$
- Khi nhân hai vế với số âm $c < 0$ : ĐỔI CHIỀU BĐT. $If a < b v \overset{a}{ˋ} c < 0 \Rightarrow a c > b c$

3 Ví dụ minh họa Tính chất BĐT:

Ví dụ 1: Cho $a > b$ . So sánh $3 a + 2$ và $3 b + 2$ .
- Giải: Vì $a > b$ , nhân hai vế với $3 > 0$ ta được $3 a > 3 b$ .
  Cộng $2$ vào hai vế ta được $3 a + 2 > 3 b + 2$ .
Ví dụ 2: Cho $a < b$ . So sánh $- 4 a - 1$ và $- 4 b - 1$ .
- Giải: Vì $a < b$ , nhân hai vế với $- 4 < 0$ ta đổi chiều BĐT: $- 4 a > - 4 b$ .
  Cộng $- 1$ vào hai vế: $- 4 a - 1 > - 4 b - 1$ .
Ví dụ 3: Cho $a > b > 0$ . Chứng minh $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ .
- Giải: Xét hiệu $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab}$ .
  Vì $a > b \Rightarrow b - a < 0$ , và $a > 0, b > 0 \Rightarrow ab > 0$ .
  Do đó $\frac{b - a}{ab} < 0 \Rightarrow \frac{1}{a} - \frac{1}{b} < 0 \Rightarrow \frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ .

📖 3. Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) cho hai số không âm

Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy): Với hai số không âm $a \geq 0, b \geq 0$ , ta có: $\frac{a + b}{2} \geq ab \Leftrightarrow a + b \geq 2 ab$ Dấu ”=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b$ .

Ý nghĩa: Trung bình cộng của hai số không âm luôn lớn hơn hoặc bằng Trung bình nhân của chúng.

🎯 5 Dạng toán & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: So sánh hai số hoặc hai biểu thức bằng cách xét hiệu

Phương pháp:
1. Lập hiệu $H = A - B$ .
2. Biến đổi $H$ về dạng có dấu xác định (ví dụ dạng bình phương $H = (X)^{2} \geq 0$ hoặc $H = (X)^{2} + k > 0$ ).
3. Kết luận $A \geq B$ hoặc $A > B$ .

Ví dụ 1: So sánh $A = a^{2} + b^{2}$ và $B = 2 ab$ .
- Lời giải: Xét hiệu $A - B = a^{2} + b^{2} - 2 ab = (a - b)^{2} \geq 0$ với mọi $a, b$ .
  Do $A - B \geq 0 \Rightarrow a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$ . Dấu ’=’ khi $a = b$ .
Ví dụ 2: Chứng minh $x^{2} + y^{2} + 2 \geq 2 (x + y)$ .
- Lời giải: Xét hiệu $H = x^{2} + y^{2} + 2 - 2 x - 2 y = (x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} - 2 y + 1) = (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2}$ .
  Vì $(x - 1)^{2} \geq 0$ và $(y - 1)^{2} \geq 0 \Rightarrow H \geq 0$ . Vậy $x^{2} + y^{2} + 2 \geq 2 (x + y)$ . Dấu ’=’ khi $x = y = 1$ .
Ví dụ 3: So sánh $\frac{a + b}{2}$ và $ab$ với $a, b \geq 0$ .
- Lời giải: $\frac{a + b}{2} - ab = \frac{a - 2 ab + b}{2} = \frac{( a - b ) ^{2}}{2} \geq 0$ .
  Do đó $\frac{a + b}{2} \geq ab$ .

Dạng 2: Chứng minh BĐT bằng biến đổi tương đương

Phương pháp: Biến đổi BĐT cần chứng minh $A \geq B \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow C \geq 0$ (với $C \geq 0$ là một BĐT hiển nhiên đúng).

Ví dụ 1: Cho $a, b > 0$ . Chứng minh $(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4$ .
- Lời giải: Biến đổi vế trái: $(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ .
  BĐT tương đương: $2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 4 \Leftrightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 \Leftrightarrow \frac{a ^{2} + b ^{2} - 2 ab}{ab} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{( a - b ) ^{2}}{ab} \geq 0$ (luôn đúng do $ab > 0$ ).
Ví dụ 2: Chứng minh $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + b c + c a$ .
- Lời giải: Nhân 2 vào hai vế: $2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} \geq 2 ab + 2 b c + 2 c a$ .
  $\Leftrightarrow (a^{2} - 2 ab + b^{2}) + (b^{2} - 2 b c + c^{2}) + (c^{2} - 2 c a + a^{2}) \geq 0$ .
  $\Leftrightarrow (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} \geq 0$ (luôn đúng với mọi $a, b, c$ ).
Ví dụ 3: Cho $a + b \geq 2$ . Chứng minh $a^{2} + b^{2} \geq 2$ .
- Lời giải: Ta có $a^{2} + b^{2} \geq \frac{( a + b ) ^{2}}{2}$ . Vì $a + b \geq 2 \Rightarrow (a + b)^{2} \geq 4 \Rightarrow a^{2} + b^{2} \geq \frac{4}{2} = 2$ .

Dạng 3: Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy)

Phương pháp: Tách hạng tử sao cho tích của chúng là một hằng số.

Ví dụ 1: Cho $x > 0$ . Tìm GTNN của $P = x + \frac{9}{x}$ .
- Lời giải: Vì $x > 0 \Rightarrow \frac{9}{x} > 0$ . Áp dụng BĐT Cô-si:
  $P = x + \frac{9}{x} \geq 2 x \cdot \frac{9}{x} = 29 = 6$ .
  Dấu ’=’ xảy ra khi $x = \frac{9}{x} \Leftrightarrow x^{2} = 9 \Rightarrow x = 3$ (do $x > 0$ ). Giá trị nhỏ nhất của $P$ là 6.
Ví dụ 2: Cho $a, b > 0$ . Chứng minh $(a + b) (ab + 1) \geq 4 ab$ .
- Lời giải: Áp dụng BĐT Cô-si: $a + b \geq 2 ab$ và $ab + 1 \geq 2 ab \cdot 1 = 2 ab$ .
  Nhân hai BĐT vế theo vế: $(a + b) (ab + 1) \geq 2 ab \cdot 2 ab = 4 ab$ . Dấu ’=’ khi $a = b = 1$ .
Ví dụ 3: Cho $x > 2$ . Tìm GTNN của $Q = x + \frac{1}{x - 2}$ .
- Lời giải: Viết lại $Q = (x - 2) + \frac{1}{x - 2} + 2$ . Vì $x > 2 \Rightarrow x - 2 > 0$ .
  Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương $(x - 2)$ và $\frac{1}{x - 2}$ :
  $Q \geq 2 (x - 2) \cdot \frac{1}{x - 2} + 2 = 2 (1) + 2 = 4$ .
  Dấu ’=’ khi $x - 2 = \frac{1}{x - 2} \Rightarrow (x - 2)^{2} = 1 \Rightarrow x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3$ . GTNN bằng 4.

Dạng 4: Tìm Giá trị lớn nhất (GTLN) và Giá trị nhỏ nhất (GTNN)

Phương pháp: Biến đổi biểu thức về dạng $A \geq k \Rightarrow min A = k$ hoặc $B \leq M \Rightarrow max B = M$ . Chỉ ra giá trị của ẩn để dấu ”=” xảy ra.

Ví dụ 1: Tìm GTNN của $A = x^{2} - 4 x + 10$ .
- Lời giải: $A = (x^{2} - 4 x + 4) + 6 = (x - 2)^{2} + 6$ .
  Vì $(x - 2)^{2} \geq 0 \Rightarrow A \geq 6$ . Dấu ’=’ khi $x = 2$ . Vậy $min A = 6$ tại $x = 2$ .
Ví dụ 2: Tìm GTLN của $B = 5 - x^{2} + 2 x$ .
- Lời giải: $B = - (x^{2} - 2 x + 1) + 6 = - (x - 1)^{2} + 6$ .
  Vì $- (x - 1)^{2} \leq 0 \Rightarrow B \leq 6$ . Dấu ’=’ khi $x = 1$ . Vậy $max B = 6$ tại $x = 1$ .
Ví dụ 3: Cho $x + y = 4$ . Tìm GTNN của $S = x^{2} + y^{2}$ .
- Lời giải: Áp dụng BĐT $x^{2} + y^{2} \geq \frac{( x + y ) ^{2}}{2} = \frac{4 ^{2}}{2} = \frac{16}{2} = 8$ .
  Dấu ’=’ khi $x = y = 2$ . Vậy $min S = 8$ .

Dạng 5: So sánh biểu thức chứa ẩn sử dụng BĐT

Phương pháp: Sử dụng các BĐT đã biết hoặc đánh giá qua biến trung gian.

Ví dụ 1: Cho $a > 1$ . So sánh $A = a^{3}$ và $B = a^{2}$ .
- Lời giải: Xét hiệu $A - B = a^{3} - a^{2} = a^{2} (a - 1)$ .
  Vì $a > 1 \Rightarrow a - 1 > 0$ và $a^{2} > 1 > 0 \Rightarrow a^{2} (a - 1) > 0 \Rightarrow a^{3} > a^{2}$ .
Ví dụ 2: Cho $0 < a < 1$ . So sánh $a$ và $a^{2}$ .
- Lời giải: Xét hiệu $a - a^{2} = a (1 - a)$ . Vì $0 < a < 1 \Rightarrow a > 0$ và $1 - a > 0 \Rightarrow a (1 - a) > 0 \Rightarrow a > a^{2}$ .
Ví dụ 3: Với $x > 0, y > 0$ , so sánh $x + y$ và $x + y$ .
- Lời giải: Bình phương hai vế: $(x + y)^{2} = x + y$ . $(x + y)^{2} = x + y + 2 x y$ .
  Vì $x, y > 0 \Rightarrow 2 x y > 0 \Rightarrow x + y < x + y + 2 x y \Rightarrow x + y < x + y$ .

🌍 Vận dụng thực tế

🌍 3 Bài toán ứng dụng đời sống thực tế

Bài toán 1 (Kiến trúc & Tối ưu hóa đất đai):
Một hộ nông dân muốn rào một thửa đất hình chữ nhật ven sông để trồng rau. Mặt giáp sông không cần rào. Tổng chiều dài lưới B40 hiện có là 40 m.
a) Gọi $x$ là chiều rộng (m) vuông góc với bờ sông. Biểu diễn diện tích $S$ của thửa đất theo $x$ .
b) Sử dụng BĐT Cô-si để tìm chiều rộng $x$ sao cho diện tích thửa đất rào được là lớn nhất.

Bài toán 2 (Bao bì & Thiết kế công nghiệp):
Một công ty bao bì thiết kế vỏ hộp quà hình chữ nhật đáy vuông không nắp có thể tích $V = 108 cm^{3}$ . Tính kích thước cạnh đáy và chiều cao để diện tích bìa carton dùng làm hộp là nhỏ nhất (tối ưu chi phí sản xuất).

Bài toán 3 (Giao thông & Khoảng cách an toàn):
Khoảng cách phanh an toàn $d$ (mét) của một ô tô di chuyển với tốc độ $v$ (km/h) trên mặt đường khô ráo được ước tính theo bất đẳng thức $d \geq \frac{v}{10} + \frac{v ^{2}}{200}$ . Hỏi khi xe chạy với tốc độ 80 km/h thì khoảng cách an toàn tối thiểu với xe phía trước là bao nhiêu mét?

✏️ Thực hành tương tác

📌 Hướng dẫn: Công cụ dưới đây giúp bạn thực hành giải và biến đổi bất đẳng thức bậc nhất một ẩn, rèn luyện kỹ năng đổi chiều BĐT khi nhân với số âm!

⚖️ Luyện tập giải Bất phương trình ax + b > c

x +

⭐ Ghi nhớ

Trọng tâm kiến thức Bài 5:

Xét hiệu: $A - B > 0 \Leftrightarrow A > B$ .
Quy tắc đổi chiều: Nhân/chia hai vế BĐT cho số ÂM $\to$ ĐỔI CHIỀU.
BĐT Cô-si (2 số không âm): $a + b \geq 2 ab$ (dấu ’=’ khi $a = b$ ).

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Cho $a < b$ , khẳng định nào sau đây là ĐÚNG?

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: So sánh hai số hoặc hai biểu thức bằng cách xét hiệu:
a) $A = 3^{2} + 4^{2}$ và $B = (3 + 4)^{2}$
b) $A = a^{2} + 1$ và $B = 2 a$
c) $A = (x + 2)^{2}$ và $B = 4 x + 4$
d) $A = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ và $B = ab + b c + c a$
e) $A = \frac{a + b}{2}$ và $B = ab$ (với $a, b > 0$ )
f) $A = x^{2} + y^{2} + 1$ và $B = x y + x + y$

Bài 2: Cho $a > b$ . Hãy so sánh các cặp biểu thức sau và giải thích:
a) $2 a + 3$ và $2 b + 3$
b) $- 3 a + 5$ và $- 3 b + 5$
c) $5 - 4 a$ và $5 - 4 b$
d) $\frac{a}{3} - 2$ và $\frac{b}{3} - 2$
e) $a^{2}$ và $b^{2}$ (trong trường hợp $a > b > 0$ )
f) $\frac{1}{a}$ và $\frac{1}{b}$ (trong trường hợp $a > b > 0$ )

Bài 3: Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si để chứng minh:
a) $x + \frac{1}{x} \geq 2$ với mọi $x > 0$
b) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ với mọi $a, b > 0$
c) $(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4$ với mọi $a, b > 0$
d) $(a + b) (b + c) (c + a) \geq 8 ab c$ với mọi $a, b, c \geq 0$
e) $x^{2} + \frac{4}{x ^{2}} \geq 4$ với mọi $x \neq = 0$
f) $a + b + c \geq ab + b c + c a$ với mọi $a, b, c \geq 0$

Bài 4: Cho $x > 0$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a) $A = x + \frac{4}{x}$
b) $B = x + \frac{16}{x} + 5$
c) $C = 2 x + \frac{8}{x}$
d) $D = \frac{x ^{2} + 9}{x}$

Bài 5: Tìm Giá trị lớn nhất (GTLN) của các biểu thức sau:
a) $P = - (x - 3)^{2} + 7$
b) $Q = 4 - x^{2} - y^{2}$
c) $R = (x - 1) (5 - x)$ với $1 \leq x \leq 5$
d) $S = x (6 - x)$ với $0 \leq x \leq 6$

Bài 6: Cho $a + b = 2$ . Chứng minh $a^{2} + b^{2} \geq 2$ .

Bài 7: Cho $x, y > 0$ thỏa mãn $x y = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $M = (x + y + 1) (x^{2} + y^{2}) + \frac{4}{x + y}$ .

Bài 8: Cho $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh:
$a^{2} + b^{2} + c^{2} < 2 (ab + b c + c a)$

Bài 9 (Thực tế): Một người muốn rào một khu đất hình chữ nhật có diện tích $200 m^{2}$ bằng lưới thép để nuôi gà. Tính kích thước chiều dài và chiều rộng của khu đất để chu vi rào lưới là nhỏ nhất (tiết kiệm chi phí lưới nhất).

Bài 10 (Thực tế): Trong thiết kế bao bì, một hộp sô-cô-la có dạng hình hộp chữ nhật đáy vuông với thể tích $V = 500 cm^{3}$ . Tính cạnh đáy $x$ để diện tích toàn phần của hộp đạt giá trị nhỏ nhất.

📊 Lời giải chi tiết 10 bài tập tự luận

Bài 1:
a) $A = 9 + 16 = 25$ ; $B = 7^{2} = 49 \Rightarrow A < B$ .
b) $A - B = a^{2} - 2 a + 1 = (a - 1)^{2} \geq 0 \Rightarrow A \geq B$ .
c) $A = x^{2} + 4 x + 4 = B \Rightarrow A = B$ .
d) $A - B = \frac{1}{2} [(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2}] \geq 0 \Rightarrow A \geq B$ .
e) $A - B = \frac{( a - b ) ^{2}}{2} \geq 0 \Rightarrow A \geq B$ .
f) $A - B = \frac{1}{2} [(x - y)^{2} + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2}] \geq 0 \Rightarrow A \geq B$ .

Bài 2:
a) $a > b \Rightarrow 2 a > 2 b \Rightarrow 2 a + 3 > 2 b + 3$ .
b) $a > b \Rightarrow - 3 a < - 3 b$ (đổi chiều) $\Rightarrow - 3 a + 5 < - 3 b + 5$ .
c) $a > b \Rightarrow - 4 a < - 4 b \Rightarrow 5 - 4 a < 5 - 4 b$ .
d) $a > b \Rightarrow \frac{a}{3} > \frac{b}{3} \Rightarrow \frac{a}{3} - 2 > \frac{b}{3} - 2$ .
e) $a > b > 0 \Rightarrow a^{2} > b^{2}$ .
f) $a > b > 0 \Rightarrow \frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ .

Bài 3:
a) $x + \frac{1}{x} \geq 2 x \cdot \frac{1}{x} = 2$ .
b) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 2$ .
c) $(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 2 ab \cdot 2 \frac{1}{ab} = 4$ .
d) $a + b \geq 2 ab, b + c \geq 2 b c, c + a \geq 2 c a \Rightarrow$ Nhân 3 BĐT thu được $\geq 8 ab c$ .
e) $x^{2} + \frac{4}{x ^{2}} \geq 2 x^{2} \cdot \frac{4}{x ^{2}} = 24 = 4$ .
f) $a + b \geq 2 ab, b + c \geq 2 b c, c + a \geq 2 c a \Rightarrow$ Cộng lại chia 2 ta có $a + b + c \geq ab + b c + c a$ .

Bài 4:
a) $A \geq 2 x \cdot \frac{4}{x} = 4$ . GTNN bằng 4 khi $x = 2$ .
b) $B = x + \frac{16}{x} + 5 \geq 216 + 5 = 8 + 5 = 13$ . GTNN bằng 13 khi $x = 4$ .
c) $C = 2 x + \frac{8}{x} \geq 2 2 x \cdot \frac{8}{x} = 216 = 8$ . GTNN bằng 8 khi $x = 2$ .
d) $D = x + \frac{9}{x} \geq 29 = 6$ . GTNN bằng 6 khi $x = 3$ .

Bài 5:
a) $P = 7 - (x - 3)^{2} \leq 7$ . GTLN bằng 7 khi $x = 3$ .
b) $Q = 4 - (x^{2} + y^{2}) \leq 4$ . GTLN bằng 4 khi $x = y = 0$ .
c) $R = (x - 1) (5 - x) \leq (\frac{x - 1 + 5 - x}{2})^{2} = (\frac{4}{2})^{2} = 4$ . GTLN bằng 4 khi $x = 3$ .
d) $S = x (6 - x) \leq (\frac{x + 6 - x}{2})^{2} = 9$ . GTLN bằng 9 khi $x = 3$ .

Bài 6:
Ta có $a^{2} + b^{2} \geq \frac{( a + b ) ^{2}}{2} = \frac{2 ^{2}}{2} = 2$ . Dấu ’=’ khi $a = b = 1$ .

Bài 7:
Vì $x y = 1 \Rightarrow x + y \geq 2 x y = 2$ .
$x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y = (x + y)^{2} - 2$ .
Đặt $t = x + y \geq 2$ . Biểu thức thành $M = (t + 1) (t^{2} - 2) + \frac{4}{t} = t^{3} + t^{2} - 2 t - 2 + \frac{4}{t}$ .
Đánh giá với $t \geq 2 \Rightarrow min M = 12$ tại $t = 2 \Leftrightarrow x = y = 1$ .

Bài 8:
Theo BĐT tam giác: $a < b + c \Rightarrow a^{2} < a (b + c) = ab + a c$ .
Tương tự: $b^{2} < ab + b c$ và $c^{2} < a c + b c$ .
Cộng ba BĐT: $a^{2} + b^{2} + c^{2} < 2 (ab + b c + c a)$ .

Bài 9:
Gọi chiều dài là $x$ (m), chiều rộng là $y$ (m) ( $x, y > 0$ ). $S = x y = 200$ .
Chu vi $P = 2 (x + y) \geq 2 \cdot 2 x y = 4200 = 402 \approx 56, 57$ m.
Dấu ’=’ xảy ra khi $x = y = 200 = 102 \approx 14, 14$ m (khu đất hình vuông).

Bài 10:
Thể tích $V = x^{2} h = 500 \Rightarrow h = \frac{500}{x ^{2}}$ .
Diện tích toàn phần $S_{tp} = 2 x^{2} + 4 x h = 2 x^{2} + \frac{2000}{x} = 2 x^{2} + \frac{1000}{x} + \frac{1000}{x}$ .
Theo BĐT Cô-si 3 số: $S_{tp} \geq 3 3 2 x^{2} \cdot \frac{1000}{x} \cdot \frac{1000}{x} = 332000000 \approx 377, 97 cm^{2}$ .
Dấu ’=’ khi $2 x^{2} = \frac{1000}{x} \Rightarrow 2 x^{3} = 1000 \Rightarrow x^{3} = 500 \Rightarrow x = 3500 \approx 7, 94$ cm.