Bài 4: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

3 Ví dụ minh họa Phương trình tích:

• Ví dụ 1: Giải phương trình $(2x-6)(3x+12)=0$.

  • Lời giải: $[\begin{array}{l}2x-6=0\\ 3x+12=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}2x=6\\ 3x=-12\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=3\\ x=-4\end{array}$ Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\{3;-4\}$.

• Ví dụ 2: Giải phương trình $x^2-5x=0$.

  • Lời giải: Phân tích vế trái thành nhân tử: $x(x-5)=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x-5=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=5\end{array}$. Vậy tập nghiệm là $S=\{0;5\}$.

• Ví dụ 3: Giải phương trình $(x+2{)}^2-9=0$.

  • Lời giải: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$:
    $[(x+2)-3][(x+2)+3]=0\iff (x-1)(x+5)=0\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=-5\end{array}$
    Vậy tập nghiệm là $S=\{1;-5\}$.

3 Ví dụ minh họa Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

• Ví dụ 1: Giải phương trình $\frac{x+2}{x-2}=3$.

  • Bước 1 (ĐKXĐ): $x-2\ne 0\iff x\ne 2$.
  • Bước 2 (Quy đồng & khử mẫu): $\frac{x+2}{x-2}=\frac{3(x-2)}{x-2}\Rightarrow x+2=3(x-2)$.
  • Bước 3 (Giải PT): $x+2=3x-6\iff 2x=8\iff x=4$.
  • Bước 4 (Đối chiếu ĐK): $x=4\ne 2$ (Thỏa mãn ĐKXĐ). Tập nghiệm $S=\{4\}$.

• Ví dụ 2: Giải phương trình $\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+1}=\frac{5}{x^2-1}$.

  • ĐKXĐ: $x\ne 1$ và $x\ne -1$ ($x\ne \pm 1$). Mẫu thức chung là $(x-1)(x+1)=x^2-1$.
  • Quy đồng & khử mẫu: $2(x+1)+3(x-1)=5\iff 2x+2+3x-3=5\iff 5x-1=5\iff 5x=6\iff x=\frac{6}{5}$.
  • Đối chiếu ĐK: $x=\frac{6}{5}$ (Thỏa mãn). Tập nghiệm $S=\left\{\frac{6}{5}\right\}$.

• Ví dụ 3: Giải phương trình $\frac{x^2}{x-1}=\frac{1}{x-1}$.

  • ĐKXĐ: $x\ne 1$.
  • Khử mẫu: $x^2=1\iff x^2-1=0\iff (x-1)(x+1)=0\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=-1\end{array}$.
  • Đối chiếu ĐK: $x=1$ (Loại vì vi phạm ĐKXĐ); $x=-1$ (Thỏa mãn).
  • Kết luận: Tập nghiệm $S=\{-1\}$.

• Ví dụ 1: Giải phương trình $(3x-9)(4-2x)=0$.

  • Lời giải: $[\begin{array}{l}3x-9=0\\ 4-2x=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}3x=9\\ 2x=4\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=3\\ x=2\end{array}$. Nghiệm $S=\{2;3\}$.

• Ví dụ 2: Giải phương trình $(x^2+4)(2x-8)=0$.

  • Lời giải: Vì $x^2+4\ge 4>0$ với mọi $x$, nên $x^2+4=0$ vô nghiệm.
    Phương trình tương đương $2x-8=0\iff x=4$. Tập nghiệm $S=\{4\}$.

• Ví dụ 3: Giải phương trình $(x-1)(x+2)(3x-6)=0$.

  • Lời giải: Phương trình có 3 nghiệm $x=1$, $x=-2$, $x=2$. Tập nghiệm $S=\{-2;1;2\}$.

• Ví dụ 1: Giải phương trình $x(x-3)=2(x-3)$.

  • Lời giải: $x(x-3)-2(x-3)=0\iff (x-3)(x-2)=0\iff [\begin{array}{l}x=3\\ x=2\end{array}$. $S=\{2;3\}$.

• Ví dụ 2: Giải phương trình $x^2-4x+4=0$.

  • Lời giải: Nhận thấy vế trái là hằng đẳng thức $(x-2{)}^2=0\iff x-2=0\iff x=2$. $S=\{2\}$.

• Ví dụ 3: Giải phương trình $x^3-3x^2+2x=0$.

  • Lời giải: Đặt $x$ làm nhân tử chung: $x(x^2-3x+2)=0\iff x(x^2-x-2x+2)=0\iff x[x(x-1)-2(x-1)]=0\iff x(x-1)(x-2)=0$.
    Các nghiệm là $x=0,x=1,x=2$.

• Ví dụ 1: Giải phương trình $\frac{x}{x-3}-\frac{2}{x+3}=\frac{x^2}{x^2-9}$.

  • Lời giải: ĐKXĐ: $x\ne \pm 3$. Mẫu chung $(x-3)(x+3)=x^2-9$.
    Khử mẫu: $x(x+3)-2(x-3)=x^2\iff x^2+3x-2x+6=x^2\iff x+6=0\iff x=-6$.
    Đối chiếu: $x=-6$ thỏa mãn ĐKXĐ. Nghiệm $S=\{-6\}$.

• Ví dụ 2: Giải phương trình $\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}=\frac{3}{(x-1)(x-2)}$.

  • Lời giải: ĐKXĐ: $x\ne 1$ và $x\ne 2$.
    Khử mẫu: $(x-2)+(x-1)=3\iff 2x-3=3\iff 2x=6\iff x=3$.
    Đối chiếu: $x=3$ thỏa mãn ĐKXĐ. Nghiệm $S=\{3\}$.

• Ví dụ 3: Giải phương trình $\frac{x+1}{x}-\frac{1}{x+2}=\frac{2}{x(x+2)}$.

  • Lời giải: ĐKXĐ: $x\ne 0$ và $x\ne -2$.
    Khử mẫu: $(x+1)(x+2)-x=2\iff x^2+3x+2-x=2\iff x^2+2x=0\iff x(x+2)=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=-2$.
    Đối chiếu: Cả hai giá trị $x=0$ và $x=-2$ đều vi phạm ĐKXĐ. Vậy phương trình vô nghiệm $S=\varnothing$.

• Ví dụ 1: Giải phương trình ${\left(\frac{x}{x+1}\right)}^2-5\left(\frac{x}{x+1}\right)+6=0$ (ĐKXĐ: $x\ne -1$).

  • Lời giải: Đặt $t=\frac{x}{x+1}$. Phương trình thành $t^2-5t+6=0\iff (t-2)(t-3)=0\Rightarrow t=2$ hoặc $t=3$.
    • With $t=2\Rightarrow \frac{x}{x+1}=2\Rightarrow x=2x+2\Rightarrow x=-2$ (TM).
    • With $t=3\Rightarrow \frac{x}{x+1}=3\Rightarrow x=3x+3\Rightarrow 2x=-3\Rightarrow x=-1,5$ (TM).
      Tập nghiệm $S=\{-2;-1,5\}$.

• Ví dụ 2: Giải phương trình $\frac{x+1}{x}+\frac{x}{x+1}=2,5$ (ĐKXĐ: $x\ne 0,x\ne -1$).

  • Lời giải: Đặt $t=\frac{x+1}{x}\Rightarrow \frac{x}{x+1}=\frac{1}{t}$. Phương trình thành $t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}\iff 2t^2-5t+2=0$.
    Giải được $t=2$ hoặc $t=1/2\Rightarrow x=1$ hoặc $x=-2$.

• Ví dụ 3: Giải phương trình $(x^2+x{)}^2+4(x^2+x)-12=0$.

  • Lời giải: Đặt $t=x^2+x$. Phương trình thành $t^2+4t-12=0\iff (t-2)(t+6)=0\Rightarrow t=2$ hoặc $t=-6$.
    • $x^2+x=2\iff x^2+x-2=0\Rightarrow x=1,x=-2$.
    • $x^2+x=-6\iff x^2+x+6=0$ (vô nghiệm). $S=\{1;-2\}$.

• Ví dụ 1: Tìm $m$ để phương trình $(m-2)x=m^2-4$ có vô số nghiệm.

  • Lời giải: Để phương trình $Ax=B$ có vô số nghiệm thì $\{\begin{array}{l}A=0\\ B=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m-2=0\\ m^2-4=0\end{array}\Rightarrow m=2$.

• Ví dụ 2: Tìm $m$ để phương trình $\frac{x-m}{x-1}=2$ có nghiệm.

  • Lời giải: ĐKXĐ: $x\ne 1$. Khử mẫu: $x-m=2(x-1)\iff x-m=2x-2\iff x=2-m$.
    Để $x=2-m$ là nghiệm thì nó phải thỏa mãn ĐKXĐ $\Rightarrow 2-m\ne 1\iff m\ne 1$.

• Ví dụ 3: Tìm $m$ để phương trình $\frac{x+2}{x+m}=1$ vô nghiệm.

  • Lời giải: ĐKXĐ: $x\ne -m$. Khử mẫu: $x+2=x+m\iff m=2$.
    Nếu $m=2$, phương trình thành $\frac{x+2}{x+2}=1$ (luôn đúng với mọi $x\ne -2$).
    Nếu $m\ne 2$, $x+2=x+m\Rightarrow 0x=m-2\ne 0$ (vô nghiệm).
    Vậy với mọi $m\ne 2$ phương trình vô nghiệm.