Lớp 9 · Chương X: Một số hình khối trong thực tiễn

Bài 32: Hình cầu

🚀 Khởi động

🌍 Quả Địa Cầu & Hình Khối Tròn Hoàn Hảo

Trái Đất thân yêu, các hành tinh trong vũ trụ, quả bóng đá FIFA, viên bi thuỷ tinh, hay bong bóng xà phòng trong không khí đều tự nhiên thu về một hình khối hình học hoàn hảo nhất trong tự nhiên: Hình cầu.

Về mặt hình học 3D:

Quay một nửa hình tròn bán kính $R$ một vòng quanh đường kính cố định $A B$ , ta được một Mặt cầu.
Tập hợp tất cả các điểm thuộc mặt cầu và nằm bên trong mặt cầu tạo thành một Khối cầu!

🔍 Khám phá

📖 1. Khái niệm và Các công thức cơ bản của Hình Cầu

1. Định nghĩa:

Quay nửa hình tròn tâm $O$ bán kính $R$ một vòng quanh đường kính $A B$ cố định:
- Nửa đường tròn quét nên mặt cầu $(O; R)$ .
- Nửa hình tròn quét nên khối cầu $(O; R)$ .

2. Công thức tính Diện tích Mặt cầu ( $S$ ): $S = 4 π R^{2} = π d^{2}$

3. Công thức tính Thể tích Khối cầu ( $V$ ): $V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{1}{6} π d^{3}$ (với $d = 2 R$ là đường kính của hình cầu).

3 Ví dụ minh họa Công thức Hình Cầu:

Ví dụ 1: Tính diện tích mặt cầu $S$ và thể tích khối cầu $V$ có bán kính $R = 6 cm$ .
- Giải: $S = 4 π R^{2} = 4 π (6)^{2} = 144 π cm^{2} \approx 452, 4 cm^{2}$ .
  $V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{4}{3} π (6)^{3} = \frac{4}{3} π (216) = 288 π cm^{3} \approx 904, 8 cm^{3}$ .
Ví dụ 2: Quả bóng đá FIFA tiêu chuẩn có đường kính $d = 22 cm$ ( $R = 11 cm$ ). Tính diện tích vỏ da bóng và thể tích không khí chứa trong bóng.
- Giải: Diện tích vỏ da $S = π d^{2} = π (22)^{2} = 484 π \approx 1520, 5 cm^{2} = 0, 152 m^{2}$ .
  Thể tích không khí $V = \frac{1}{6} π d^{3} = \frac{1}{6} π (22)^{3} = \frac{10648}{6} π = \frac{5324}{3} π \approx 5575, 3 cm^{3} \approx 5, 58 l \overset{ı}{ˊ} t$ .
Ví dụ 3: Cho mặt cầu có diện tích $S = 36 π cm^{2}$ . Tính bán kính $R$ và thể tích khối cầu $V$ .
- Giải: $S = 4 π R^{2} \Rightarrow 4 π R^{2} = 36 π \Rightarrow R^{2} = 9 \Rightarrow R = 3 cm$ .
  $V = \frac{4}{3} π (3)^{3} = 36 π cm^{3}$ .

📖 2. Mặt Cắt của Hình Cầu bởi Mặt Phẳng

Định lý Mặt cắt: Cắt một hình cầu tâm $O$ bán kính $R$ bởi một mặt phẳng $(P)$ cách tâm $O$ một khoảng $h = d (O, P)$ :

Mặt cắt thu được luôn là một hình tròn.
Gọi $r$ là bán kính của hình tròn mặt cắt, ta có mối liên hệ Pythagore: $r = R^{2} - h^{2} \Leftrightarrow R^{2} = r^{2} + h^{2}$
Các trường hợp đặc biệt:
- Nếu $h = 0$ (mặt phẳng đi qua tâm $O$ ): Mặt cắt là Hình tròn lớn có bán kính $r = R$ .
- Nếu $h = R$ : Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại 1 điểm (tiếp tuyến mặt cầu).
- Nếu $h > R$ : Mặt phẳng không cắt mặt cầu.

3 Ví dụ minh họa Mặt Cắt Hình Cầu:

Ví dụ 1: Cắt mặt cầu $(O; R = 10 cm)$ bởi mặt phẳng $(P)$ cách tâm $O$ một khoảng $h = 6 cm$ . Tính bán kính $r$ và diện tích $S_{c \overset{ˊ}{\overset{a}{˘}} t}$ của đường tròn mặt cắt.
- Giải: Bán kính mặt cắt $r = R^{2} - h^{2} = 1 0^{2} - 6^{2} = 8 cm$ .
  Diện tích mặt cắt $S_{c \overset{ˊ}{\overset{a}{˘}} t} = π r^{2} = π (8)^{2} = 64 π cm^{2} \approx 201, 1 cm^{2}$ .
Ví dụ 2: Mặt cắt của một hình cầu bởi mặt phẳng cách tâm $h = 4 cm$ là một hình tròn có chu vi $C = 6 π cm$ . Tính bán kính $R$ và thể tích khối cầu.
- Giải: $C = 2 π r = 6 π \Rightarrow r = 3 cm$ .
  Bán kính hình cầu $R = r^{2} + h^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 5 cm$ .
  Thể tích khối cầu $V = \frac{4}{3} π (5)^{3} = \frac{500}{3} π cm^{3} \approx 523, 6 cm^{3}$ .
Ví dụ 3: Một bát nước thuỷ tinh hình bán cầu bán kính $R = 12 cm$ chứa nước có chiều cao mực nước $h_{n ư ớc} = 9 cm$ . Tính diện tích mặt nước lộ ra trên bát.
- Giải: Khoảng cách từ tâm bát đến mặt nước $h = R - h_{n ư ớc} = 12 - 9 = 3 cm$ .
  Bán kính mặt nước $r = 1 2^{2} - 3^{2} = 135 = 315 cm$ .
  Diện tích mặt nước $S = π r^{2} = 135 π cm^{2}$ .

🎯 5 Dạng toán & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Tính Diện tích và Thể tích khi biết $R$ hoặc $d$

Phương pháp: Thay trực tiếp vào $S = 4 π R^{2}$ và $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ .

Ví dụ 1: Tính $S$ và $V$ của trái búp bê hình cầu bán kính $R = 1, 5 dm$ .
- Lời giải: $S = 4 π (1, 5)^{2} = 9 π dm^{2} \approx 28, 27 dm^{2}$ .
  $V = \frac{4}{3} π (1, 5)^{3} = 4, 5 π dm^{3} \approx 14, 14 l \overset{ı}{ˊ} t$ .
Ví dụ 2: Tính diện tích mặt cầu có đường kính $d = 10 cm$ .
- Lời giải: $S = π d^{2} = π (10)^{2} = 100 π cm^{2} \approx 314, 16 cm^{2}$ .
Ví dụ 3: Tính thể tích khối cầu có đường kính $d = 12 cm$ ( $R = 6 cm$ ).
- Lời giải: $V = \frac{4}{3} π (6)^{3} = 288 π cm^{3} \approx 904, 78 cm^{3}$ .

Dạng 2: Tìm $R, d$ khi biết Diện tích $S$ hoặc Thể tích $V$

Phương pháp: Biến đổi $R = \frac{S}{4 π}$ hoặc $R = 3 \frac{3 V}{4 π}$ .

Ví dụ 1: Một khối cầu có thể tích $V = 288 π cm^{3}$ . Tính diện tích mặt cầu $S$ .
- Lời giải: $\frac{4}{3} π R^{3} = 288 π \Rightarrow R^{3} = 216 \Rightarrow R = 6 cm$ .
  $S = 4 π (6)^{2} = 144 π cm^{2}$ .
Ví dụ 2: Một mặt cầu có diện tích $S = 64 π cm^{2}$ . Tính thể tích khối cầu $V$ .
- Lời giải: $4 π R^{2} = 64 π \Rightarrow R^{2} = 16 \Rightarrow R = 4 cm$ .
  $V = \frac{4}{3} π (4)^{3} = \frac{256}{3} π cm^{3}$ .
Ví dụ 3: Cho thể tích khối cầu $V = \frac{32}{3} π cm^{3}$ . Tính đường kính $d$ .
- Lời giải: $\frac{4}{3} π R^{3} = \frac{32}{3} π \Rightarrow 4 R^{3} = 32 \Rightarrow R^{3} = 8 \Rightarrow R = 2 cm \Rightarrow d = 4 cm$ .

Dạng 3: Bài toán Mặt cắt và Bán kính Lát cắt $r = R^{2} - h^{2}$

Phương pháp: Sử dụng hệ thức tam giác vuông giữa bán kính cầu $R$ , bán kính cắt $r$ và khoảng cách $h$ .

Ví dụ 1: Cắt mặt cầu $(O; R = 13 cm)$ bằng mặt phẳng $(P)$ tạo đường tròn mặt cắt có bán kính $r = 5 cm$ . Tính khoảng cách $h$ từ $O$ đến $(P)$ .
- Lời giải: $h = R^{2} - r^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 144 = 12 cm$ .
Ví dụ 2: Một mặt phẳng cắt khối cầu thành hai phần. Biết khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng là $h = 8 cm$ và diện tích hình tròn mặt cắt là $S = 225 π cm^{2}$ . Tính thể tích khối cầu.
- Lời giải: $S = π r^{2} = 225 π \Rightarrow r = 15 cm$ .
  Bán kính cầu $R = 1 5^{2} + 8^{2} = 289 = 17 cm$ .
  $V = \frac{4}{3} π (17)^{3} = \frac{4}{3} π (4913) = \frac{19652}{3} π cm^{3}$ .
Ví dụ 3: Cho mặt cầu $(O; R = 25 cm)$ . Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song cắt mặt cầu tạo 2 hình tròn mặt cắt có bán kính lần lượt là $r_{1} = 20 cm$ và $r_{2} = 15 cm$ . Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ .
- Lời giải: $h_{1} = 2 5^{2} - 2 0^{2} = 15 cm$ . $h_{2} = 2 5^{2} - 1 5^{2} = 20 cm$ .
  - Nếu $(P), (Q)$ nằm 2 phía tâm $O$ : $d = h_{1} + h_{2} = 15 + 20 = 35 cm$ .
  - Nếu $(P), (Q)$ nằm cùng phía tâm $O$ : $d = h_{2} - h_{1} = 20 - 15 = 5 cm$ .

Dạng 4: Bài toán Tiếp xúc & Tỉ số Thể tích (Định lý Archimedes)

Phương pháp: So sánh $V_{n \overset{o}{ˊ} n} = \frac{2}{3} π R^{3}$ , $V_{c \overset{ˋ}{\overset{a}{ˆ}} u} = \frac{4}{3} π R^{3}$ , $V_{trụ} = 2 π R^{3}$ .

Ví dụ 1: Cho hình cầu bán kính $R$ nội tiếp hình trụ (2 đáy trụ tiếp xúc hình cầu, chiều cao $h = 2 R$ ). Tính tỉ số thể tích $V_{c \overset{ˋ}{\overset{a}{ˆ}} u} / V_{trụ}$ .
- Lời giải: $V_{c \overset{ˋ}{\overset{a}{ˆ}} u} = \frac{4}{3} π R^{3}$ . $V_{trụ} = π R^{2} (2 R) = 2 π R^{3}$ .
  Tỉ số $\frac{V _{c \overset{ˋ}{\overset{a}{ˆ}} u}}{V _{trụ}} = \frac{\frac{4}{3} π R ^{3}}{2 π R ^{3}} = \frac{2}{3}$ .
Ví dụ 2: Thả 3 viên bi thép hình cầu đường kính $d = 4 cm$ ( $R = 2 cm$ ) vào một cốc nước hình trụ bán kính đáy $r = 4 cm$ . Hỏi mực nước dâng lên bao nhiêu cm?
- Lời giải: Tổng thể tích 3 viên bi $V_{bi} = 3 \times \frac{4}{3} π (2)^{3} = 32 π cm^{3}$ .
  Thể tích nước dâng lên $V = π r^{2} \cdot h_{d \overset{a}{ˆ} ng} \Rightarrow 32 π = π (4)^{2} \cdot h_{d \overset{a}{ˆ} ng} \Rightarrow 16 h_{d \overset{a}{ˆ} ng} = 32 \Rightarrow h_{d \overset{a}{ˆ} ng} = 2 cm$ .
Ví dụ 3: Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh $a = 6 cm$ .
- Lời giải: Đường chéo hình lập phương $d = a 3 = 63 cm \Rightarrow$ Bán kính cầu $R = 33 cm$ .
  $S = 4 π R^{2} = 4 π (33)^{2} = 4 π (27) = 108 π cm^{2}$ .

Dạng 5: Bài toán Vận dụng Thực tế Đời sống & Khoa học

Phương pháp: Mô hình hóa các vật thể tròn xoay thực tế thành khối cầu.

Ví dụ 1 (Diện tích Bề mặt Trái Đất): Coi Trái Đất là một hình cầu có bán kính $R = 6371 km$ . Tính diện tích bề mặt Trái Đất ( $mi l l i o n km^{2}$ ).
- Lời giải: $S = 4 π R^{2} = 4 \times 3, 1416 \times (6371)^{2} \approx 510.064.472 km^{2} \approx 510 triệu km^{2}$ .
Ví dụ 2 (Bồn Chứa Khí Hoá Lỏng Hình Cầu): Một bồn chứa khí hoá lỏng LPG hình cầu có đường kính $d = 12 m$ . Tính thể tích khí LPG chứa đầy bồn ( $m^{3}$ ) và diện tích sơn phủ ngoài vỏ bồn.
- Lời giải: $R = 6 m$ . Thể tích $V = \frac{4}{3} π (6)^{3} = 288 π \approx 904, 78 m^{3}$ .
  Diện tích sơn bọc $S = 4 π (6)^{2} = 144 π \approx 452, 39 m^{2}$ .
Ví dụ 3 (Bể Cá Thuỷ Tinh Hình Cầu): Một bể cá cảnh hình cầu bán kính $R = 20 cm$ chứa nước đến $80%$ thể tích bể. Tính số lít nước trong bể cá.
- Lời giải: $V_{bể} = \frac{4}{3} π (20)^{3} = \frac{32000}{3} π \approx 33.510 cm^{3} = 33, 51 l \overset{ı}{ˊ} t$ .
  Số lít nước $= 33, 51 \times 80% \approx 26, 8 l \overset{ı}{ˊ} t$ .

🌍 Vận dụng thực tế

🌍 3 Bài toán ứng dụng đời sống thực tế

Bài toán 1 (Địa Lý & Bề Mặt Trái Đất):
Trái Đất được xem như một hình cầu bán kính $R = 6371 km$ . Biết đại dương chiếm $71%$ diện tích bề mặt Trái Đất.
a) Tính tổng diện tích bề mặt Trái Đất ( $k m^{2}$ ).
b) Tính diện tích phần phần đất liền trên Trái Đất ( $k m^{2}$ ).

Bài toán 2 (Kỹ Thuật Bồn Khí LPG Hình Cầu):
Kỹ sư thiết kế một bồn chứa khí hoá lỏng LPG hình cầu dung tích $V = 500 m^{3}$ .
a) Tính bán kính $R$ của bồn chứa khí hoá lỏng.
b) Tính diện tích thép tấm phủ bọc xung quanh vỏ bồn.

Bài toán 3 (Y Tế & Viên Thuốc Nang Cầu):
Một công ty dược phẩm sản xuất viên thuốc bổ sung Vitamin E hình cầu có bán kính $r = 3 mm$ .
a) Tính thể tích một viên thuốc ( $m m^{3}$ ).
b) Để sản xuất 1 triệu viên thuốc cần bao nhiêu lít dung dịch dược chất?

✏️ Thực hành tương tác

📌 Hướng dẫn: Công cụ máy tính hình học 3D dưới đây giúp bạn tính toán diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu và bán kính lát cắt một cách trực quan!

Máy Tính Không Gian 3D (Trụ - Nón - Cầu)

Bán kính đáy (R):

Chiều cao (h):

📊 Kết Quả Tính Toán:

Diện tích xung quanh (S_xq):314.16 (≈ 100π)

Diện tích toàn phần (S_tp):471.24 (≈ 150π)

Thể tích (V):785.4 (≈ 250π)

⭐ Ghi nhớ

Trọng tâm kiến thức Bài 32:

Diện tích mặt cầu: $S = 4 π R^{2} = π d^{2}$ .
Thể tích khối cầu: $V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{1}{6} π d^{3}$ .
Mặt cắt: Lát cắt bởi mặt phẳng luôn là hình tròn có bán kính $r = R^{2} - h^{2}$ .

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Công thức tính diện tích mặt cầu $S$ bán kính $R$ là:

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho hình cầu bán kính $R$ hoặc đường kính $d$ . Tính diện tích mặt cầu $S$ và thể tích khối cầu $V$ khi:
a) $R = 3 cm$
b) $R = 6 cm$
c) $R = 9 cm$
d) Đường kính $d = 8 cm$
e) Đường kính $d = 10 cm$
f) Bán kính $R = 1, 2 m$

Bài 2: Tính bán kính $R$ và đại lượng còn lại của hình cầu khi biết:
a) Diện tích mặt cầu $S = 64 π cm^{2}$
b) Diện tích mặt cầu $S = 144 π cm^{2}$
c) Thể tích khối cầu $V = 36 π cm^{3}$
d) Thể tích khối cầu $V = 288 π cm^{3}$
e) Thể tích khối cầu $V = \frac{500}{3} π cm^{3}$
f) Diện tích mặt cầu $S = 100 π dm^{2}$

Bài 3: Bài toán mặt cắt hình cầu $(O; R)$ :
a) $R = 10 cm$ , mặt phẳng $(P)$ cách $O$ khoảng $h = 6 cm$ . Tính bán kính $r$ và diện tích mặt cắt.
b) $R = 15 cm$ , bán kính mặt cắt $r = 12 cm$ . Tính khoảng cách $h$ từ $O$ đến mặt phẳng cắt.
c) $h = 8 cm$ , diện tích mặt cắt $S_{c \overset{ˊ}{\overset{a}{˘}} t} = 225 π cm^{2}$ . Tính bán kính $R$ và thể tích khối cầu.
d) $R = 20 cm$ , diện tích mặt cắt bằng một nửa diện tích đường tròn lớn ( $S_{c \overset{ˊ}{\overset{a}{˘}} t} = \frac{1}{2} π R^{2}$ ). Tính khoảng cách $h$ .
e) $R = 13 cm$ , hai mặt phẳng song song cách tâm $O$ lần lượt $h_{1} = 5 cm$ và $h_{2} = 12 cm$ . Tính tổng diện tích 2 hình tròn mặt cắt.
f) Mặt cầu tiếp xúc với hai mặt phẳng song song $(P)$ và $(Q)$ . Khoảng cách giữa $(P)$ và $(Q)$ là $16 cm$ . Tính diện tích mặt cầu.

Bài 4: Quả bóng đá tiêu chuẩn có đường kính $d = 22 cm$ .
a) Tính diện tích vỏ da khâu bóng ( $S$ ).
b) Tính thể tích không khí chứa đầy bóng ( $V$ ).

Bài 5: Thả 5 viên bi thuỷ tinh hình cầu đường kính $d = 2 cm$ vào một bình thuỷ tinh hình trụ có bán kính đáy $R = 5 cm$ đang chứa nước. Tính độ dâng lên của mực nước trong bình.

Bài 6: Một khối cầu có cùng bán kính $R$ với một hình trụ và chiều cao hình trụ $h = 2 R$ .
a) Chứng minh diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh hình trụ.
b) Chứng minh thể tích khối cầu bằng $\frac{2}{3}$ thể tích khối trụ.

Bài 7: Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh $a = 4 cm$ .

Bài 8: Chiếc bể cá thuỷ tinh hình cầu bán kính $R = 18 cm$ chứa đầy nước. Người ta gạn bớt nước ra ngoài sao cho mực nước giảm đi $9 cm$ . Tính diện tích mặt nước lộ ra.

Bài 9 (Thực tế): Bồn chứa khí hoá lỏng LPG hình cầu có đường kính $d = 14 m$ .
a) Tính thể tích khí LPG chứa đầy bồn ( $m^{3}$ ).
b) Tính diện tích vỏ bồn cần sơn bọc chống gỉ.

Bài 10 (Thực tế): Một chao đèn thuỷ tinh trang trí hình cầu có đường kính $30 cm$ . Người ta cắt bỏ hai chỏm cầu đối diện qua hai mặt phẳng song song cách tâm $9 cm$ để làm lỗ lắp bóng đèn và dây treo. Tính bán kính của hai lỗ cắt tròn đó.

📊 Lời giải chi tiết 10 bài tập tự luận

Bài 1:
a) $S = 4 π (3)^{2} = 36 π cm^{2}; V = \frac{4}{3} π (27) = 36 π cm^{3}$ .
b) $S = 4 π (36) = 144 π cm^{2}; V = \frac{4}{3} π (216) = 288 π cm^{3}$ .
c) $S = 4 π (81) = 324 π cm^{2}; V = \frac{4}{3} π (729) = 972 π cm^{3}$ .
d) $R = 4 \Rightarrow S = 4 π (16) = 64 π cm^{2}; V = \frac{4}{3} π (64) = \frac{256}{3} π cm^{3}$ .
e) $R = 5 \Rightarrow S = 100 π cm^{2}; V = \frac{500}{3} π cm^{3}$ .
f) $R = 1, 2 m \Rightarrow S = 4 π (1, 44) = 5, 76 π m^{2}; V = \frac{4}{3} π (1, 728) = 2, 304 π m^{3}$ .

Bài 2:
a) $4 π R^{2} = 64 π \Rightarrow R = 4 cm \Rightarrow V = \frac{256}{3} π cm^{3}$ .
b) $4 π R^{2} = 144 π \Rightarrow R = 6 cm \Rightarrow V = 288 π cm^{3}$ .
c) $\frac{4}{3} π R^{3} = 36 π \Rightarrow R^{3} = 27 \Rightarrow R = 3 cm \Rightarrow S = 36 π cm^{2}$ .
d) $\frac{4}{3} π R^{3} = 288 π \Rightarrow R^{3} = 216 \Rightarrow R = 6 cm \Rightarrow S = 144 π cm^{2}$ .
e) $\frac{4}{3} π R^{3} = \frac{500}{3} π \Rightarrow R^{3} = 125 \Rightarrow R = 5 cm \Rightarrow S = 100 π cm^{2}$ .
f) $4 π R^{2} = 100 π \Rightarrow R = 5 dm \Rightarrow V = \frac{500}{3} π dm^{3}$ .

Bài 3:
a) $r = 1 0^{2} - 6^{2} = 8 cm \Rightarrow S_{c \overset{ˊ}{\overset{a}{˘}} t} = π (8)^{2} = 64 π cm^{2}$ .
b) $h = 1 5^{2} - 1 2^{2} = 81 = 9 cm$ .
c) $π r^{2} = 225 π \Rightarrow r = 15 \Rightarrow R = 1 5^{2} + 8^{2} = 17 cm \Rightarrow V = \frac{19652}{3} π cm^{3}$ .
d) $π r^{2} = \frac{1}{2} π R^{2} \Rightarrow r^{2} = R^{2} /2 = 200 \Rightarrow h = R^{2} - r^{2} = 400 - 200 = 102 cm$ .
e) $r_{1} = 1 3^{2} - 5^{2} = 12 cm; r_{2} = 1 3^{2} - 1 2^{2} = 5 cm$ . Tổng $S = 144 π + 25 π = 169 π cm^{2}$ .
f) Đường kính $d = 16 cm \Rightarrow R = 8 cm \Rightarrow S = 4 π (8)^{2} = 256 π cm^{2}$ .

Bài 4:
$d = 22 cm \Rightarrow R = 11 cm$ .
a) $S = π (22)^{2} = 484 π \approx 1520, 53 cm^{2}$ .
b) $V = \frac{4}{3} π (11)^{3} = \frac{5324}{3} π \approx 5575, 28 cm^{3} \approx 5, 58 l \overset{ı}{ˊ} t$ .

Bài 5:
$d = 2 cm \Rightarrow R_{bi} = 1 cm$ .
Thể tích 5 viên bi $V = 5 \times \frac{4}{3} π (1)^{3} = \frac{20}{3} π cm^{3}$ .
$V_{n ư ớc_d \overset{a}{ˆ} ng} = π R_{b \overset{ı}{ˋ} nh}^{2} \cdot h_{d \overset{a}{ˆ} ng} \Rightarrow \frac{20}{3} π = π (25) \cdot h_{d \overset{a}{ˆ} ng} \Rightarrow h_{d \overset{a}{ˆ} ng} = \frac{20}{75} = \frac{4}{15} \approx 0, 267 cm$ .

Bài 6:
Hình cầu $(R)$ , hình trụ $(R, h = 2 R)$ .
a) $S_{c \overset{ˋ}{\overset{a}{ˆ}} u} = 4 π R^{2}$ . $S_{x q, trụ} = 2 π R h = 2 π R (2 R) = 4 π R^{2} \Rightarrow S_{c \overset{ˋ}{\overset{a}{ˆ}} u} = S_{x q, trụ}$ (ĐPCM).
b) $V_{c \overset{ˋ}{\overset{a}{ˆ}} u} = \frac{4}{3} π R^{3}$ . $V_{trụ} = π R^{2} h = π R^{2} (2 R) = 2 π R^{3} \Rightarrow \frac{V _{c \overset{ˋ}{\overset{a}{ˆ}} u}}{V _{trụ}} = \frac{\frac{4}{3}}{2} = \frac{2}{3}$ (ĐPCM).

Bài 7:
Hình lập phương cạnh $a = 4 cm \Rightarrow$ Đường chéo $d = 43 cm \Rightarrow R = 23 cm$ .
$S = 4 π (23)^{2} = 48 π cm^{2}$ .
$V = \frac{4}{3} π (23)^{3} = \frac{4}{3} π (243) = 323 π cm^{3}$ .

Bài 8:
$R = 18 cm$ . Mực nước giảm $9 cm \Rightarrow$ khoảng cách từ tâm đến mặt nước $h = 18 - 9 = 9 cm$ .
Bán kính mặt nước $r = 1 8^{2} - 9^{2} = 243 = 93 cm$ .
Diện tích mặt nước $S = π r^{2} = 243 π cm^{2} \approx 763, 4 cm^{2}$ .

Bài 9:
$d = 14 m \Rightarrow R = 7 m$ .
a) $V = \frac{4}{3} π (7)^{3} = \frac{1372}{3} π \approx 1436, 76 m^{3}$ .
b) $S = 4 π (7)^{2} = 196 π \approx 615, 75 m^{2}$ .

Bài 10:
$R = 15 cm, h = 9 cm$ .
Bán kính của hai lỗ cắt tròn $r = 1 5^{2} - 9^{2} = 12 cm$ .