Lớp 9 · Chương IX: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

Bài 30: Đa giác đều

🚀 Khởi động

🧱 Gạch Nghệ Thuật Lát Nền & Vẻ Đẹp Của Đa Giác Đều

Khi quan sát các hoa văn lát gạch nền nhà, mặt tổ ong thiên nhiên hay thiết kế kim cương lấp lánh, chúng ta luôn bắt gặp các hình tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều và lục giác đều.

Đó là những Đa giác đều — các hình hình học phẳng có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau. Sự cân đối hoàn hảo này đem lại ứng dụng vô cùng rộng rãi trong kiến trúc, cơ khí chế tạo và mỹ thuật thiết kế!

🔍 Khám phá

📖 1. Khái niệm và Các công thức cơ bản của Đa giác đều

1. Định nghĩa:

Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

2. Công thức góc và số đường chéo: Cho đa giác đều $n$ cạnh ( $n \geq 3$ ):

Tổng các góc trong: $S_n = (n - 2) \cdot 180^^\circ$
Số đo mỗi góc trong ( $α$ ): $\alpha = \frac{(n - 2) \cdot 180^^\circ}{n}$
Số đo mỗi góc ở tâm ( $β$ ): $\beta = \frac{360^^\circ}{n}$
Số đường chéo ( $N_{ch \overset{e}{ˊ} o}$ ): $N_{ch \overset{e}{ˊ} o} = \frac{n ( n - 3 )}{2}$

3 Ví dụ minh họa Công thức Đa giác đều:

Ví dụ 1: Tính số đo mỗi góc trong của ngũ giác đều ( $n = 5$ ) và bát giác đều ( $n = 8$ ).
- Giải:
  - Ngũ giác đều ( $n = 5$ ): $\alpha = \frac{(5-2) \cdot 180^^\circ}{5} = \frac{540^^\circ}{5} = 108^^\circ$ .
  - Bát giác đều ( $n = 8$ ): $\alpha = \frac{(8-2) \cdot 180^^\circ}{8} = \frac{1080^^\circ}{8} = 135^^\circ$ .
Ví dụ 2: Tính số đường chéo của lục giác ( $n = 6$ ) và thập giác ( $n = 10$ ).
- Giải:
  - Lục giác ( $n = 6$ ): $N_{ch \overset{e}{ˊ} o} = \frac{6 ( 6 - 3 )}{2} = \frac{18}{2} = 9$ đường chéo.
  - Thập giác ( $n = 10$ ): $N_{ch \overset{e}{ˊ} o} = \frac{10 ( 10 - 3 )}{2} = \frac{70}{2} = 35$ đường chéo.
Ví dụ 3: Tìm số cạnh $n$ của đa giác đều có mỗi góc trong bằng $150^^\circ$ .
- Giải: Phương trình: $\frac{(n-2) \cdot 180^^\circ}{n} = 150^^\circ \Leftrightarrow 180n - 360 = 150n \Leftrightarrow 30n = 360 \Rightarrow n = 12$ .
  Đó là một thập nhị giác đều (12 cạnh).

📖 2. Đường tròn Ngoại tiếp, Nội tiếp & Diện tích Đa giác đều

1. Tâm và Bán kính: Mọi đa giác đều luôn có duy nhất một tâm $O$ , đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp (bán kính $R$ ) và tâm đường tròn nội tiếp (bán kính $r$ ).

Bán kính nội tiếp $r$ (gọi là trung đoạn của đa giác đều): $r = R \cdot \cos \frac{180^^\circ}{n}$
Độ dài cạnh $a$ : $a = 2 R \cdot \sin \frac{180^^\circ}{n}$

2. Công thức tính Diện tích Đa giác đều: $S = \frac{1}{2} P \cdot r = n \cdot (\frac{1}{2} a r)$ trong đó $P = n \cdot a$ là chu vi của đa giác đều.

3 Ví dụ minh họa Bán kính & Diện tích:

Ví dụ 1: Cho lục giác đều cạnh $a = 8 cm$ . Tính $R, r$ và diện tích $S$ .
- Giải: Đối với lục giác đều ( $n = 6$ ):
  $R = a = 8 cm$ .
  $r = R \cdot \cos 30^^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\text{ cm}$ .
  Chu vi $P = 6 \times 8 = 48 cm$ .
  Diện tích $S = \frac{1}{2} P \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 43 = 963 cm^{2} \approx 166, 28 cm^{2}$ .
Ví dụ 2: Cho hình vuông ( $n = 4$ ) nội tiếp đường tròn $(O; R = 6 cm)$ . Tính cạnh $a$ và bán kính nội tiếp $r$ .
- Giải: $a = 2 R \sin 45^^\circ = 2(6) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\text{ cm}$ .
  $r = R \cos 45^^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\text{ cm}$ .
Ví dụ 3: Tính diện tích tam giác đều ( $n = 3$ ) nội tiếp đường tròn $(O; R = 4 cm)$ .
- Giải: Cạnh $a = R 3 = 43 cm$ .
  $r = \frac{R}{2} = 2 cm$ . Chu vi $P = 3 \times 43 = 123 cm$ .
  Diện tích $S = \frac{1}{2} P r = \frac{1}{2} (123) (2) = 123 cm^{2}$ .

🎯 5 Dạng toán & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Tính Góc và Số đường chéo của Đa giác đều

Phương pháp: Áp dụng $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^^\circ}{n}$ và $N_{ch \overset{e}{ˊ} o} = \frac{n ( n - 3 )}{2}$ .

Ví dụ 1: Tính góc $α$ và số đường chéo của đa giác đều 12 cạnh.
- Lời giải: $\alpha = \frac{(12-2) \cdot 180^^\circ}{12} = \frac{1800^^\circ}{12} = 150^^\circ$ .
  $N_{ch \overset{e}{ˊ} o} = \frac{12 ( 12 - 3 )}{2} = \frac{108}{2} = 54$ đường chéo.
Ví dụ 2: Tìm số cạnh $n$ của đa giác có tổng các góc trong bằng $1080^^\circ$ .
- Lời giải: $(n-2) \cdot 180^^\circ = 1080^^\circ \Leftrightarrow n - 2 = 6 \Rightarrow n = 8$ (bát giác).
Ví dụ 3: Đa giác nào có số đường chéo bằng số cạnh?
- Lời giải: $N_{ch \overset{e}{ˊ} o} = n \Leftrightarrow \frac{n ( n - 3 )}{2} = n \Leftrightarrow n - 3 = 2 \Rightarrow n = 5$ (ngũ giác).

Dạng 2: Bộ ba Đa giác đều Đặc biệt ( $n = 3, 4, 6$ )

Phương pháp: Sử dụng các công thức nhanh cho 3 đa giác đều thường gặp nhất:
- Tam giác đều ( $n = 3$ ): $a = R 3, r = \frac{R}{2}$ .
- Hình vuông ( $n = 4$ ): $a = R 2, r = \frac{R 2}{2}$ .
- Lục giác đều ( $n = 6$ ): $a = R, r = \frac{R 3}{2}$ .

Ví dụ 1: Cho $(O; 10 cm)$ . Tính cạnh $a$ của tam giác đều, hình vuông, lục giác đều nội tiếp $(O)$ .
- Lời giải:
  - Tam giác đều: $a_{3} = 103 \approx 17, 32 cm$ .
  - Hình vuông: $a_{4} = 102 \approx 14, 14 cm$ .
  - Lục giác đều: $a_{6} = 10 cm$ .
Ví dụ 2: Tính bán kính nội tiếp $r$ tương ứng cho 3 hình ở Ví dụ 1.
- Lời giải: $r_{3} = 5 cm$ ; $r_{4} = 52 \approx 7, 07 cm$ ; $r_{6} = 53 \approx 8, 66 cm$ .
Ví dụ 3: So sánh diện tích của hình vuông và lục giác đều cùng nội tiếp đường tròn $(O; R)$ .
- Lời giải: $S_{4} = a_{4}^{2} = (R 2)^{2} = 2 R^{2}$ .
  $S_{6} = \frac{1}{2} P r = \frac{1}{2} (6 R) (\frac{R 3}{2}) = \frac{3 3}{2} R^{2} \approx 2, 598 R^{2}$ .
  Diện tích lục giác đều lớn hơn diện tích hình vuông cùng nội tiếp $(O)$ .

Dạng 3: Tính Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi Đa giác và Đường tròn

Phương pháp: Tính $S_{tr \overset{o}{ˋ} n} = π R^{2}$ và $S_{đ a_gi \overset{a}{ˊ} c}$ , lấy hiệu $S_{ph \overset{ˋ}{\overset{a}{ˆ}} n_c \overset{o}{ˋ} n_lại} = S_{tr \overset{o}{ˋ} n} - S_{đ a_gi \overset{a}{ˊ} c}$ .

Ví dụ 1: Cho đường tròn $(O; R = 6 cm)$ . Tính diện tích phần hình tròn nằm bên ngoài hình vuông nội tiếp $(O)$ .
- Lời giải: $S_{tr \overset{o}{ˋ} n} = π (6)^{2} = 36 π cm^{2}$ .
  Cạnh hình vuông $a = 62 \Rightarrow S_{vu \overset{o}{ˆ} ng} = a^{2} = 72 cm^{2}$ .
  Diện tích phần nằm ngoài hình vuông là $S = 36 π - 72 \approx 113, 1 - 72 = 41, 1 cm^{2}$ .
Ví dụ 2: Cho đường tròn $(O; R = 4 cm)$ . Tính diện tích nằm ngoài lục giác đều nội tiếp $(O)$ .
- Lời giải: $S_{tr \overset{o}{ˋ} n} = 16 π cm^{2}$ .
  $S_{lục_gi \overset{a}{ˊ} c} = \frac{3 3}{2} R^{2} = \frac{3 3}{2} (16) = 243 cm^{2}$ .
  Diện tích phần nằm ngoài $S = 16 π - 243 \approx 50, 27 - 41, 57 = 8, 7 cm^{2}$ .
Ví dụ 3: Tính diện tích phần hình tròn nội tiếp nằm bên trong hình vuông ngoại tiếp cạnh $a = 10 cm$ .
- Lời giải: Bán kính nội tiếp $r = a /2 = 5 cm$ . $S_{vu \overset{o}{ˆ} ng} = 100 cm^{2}$ .
  $S_{nội} = π (5)^{2} = 25 π cm^{2}$ .
  Diện tích 4 góc thừa $S = 100 - 25 π \approx 21, 46 cm^{2}$ .

Dạng 4: Chứng minh Tính chất Đối xứng và Đồng quy của Đa giác đều

Phương pháp: Sử dụng các đường chéo chính qua tâm và góc ở tâm bằng nhau.

Ví dụ 1: Cho lục giác đều $A B C D E F$ tâm $O$ . Chứng minh $A D, B E, C F$ là 3 đường kính của đường tròn ngoại tiếp $(O)$ và chúng đồng quy tại $O$ .
- Lời giải: Các tam giác $O A B, O B C, O C D, O D E, O E F, O F A$ là 6 tam giác đều bằng nhau.
  $\widehat{AOD} = \widehat{AOB} + \widehat{BOC} + \widehat{COD} = 60^^\circ + 60^^\circ + 60^^\circ = 180^^\circ \Rightarrow A, O, D$ thẳng hàng.
  Do đó $A D$ là đường kính qua $O$ . Tương tự $B E, C F$ là đường kính qua $O \Rightarrow$ chúng đồng quy tại $O$ (ĐPCM).
Ví dụ 2: Chứng minh tứ giác $A B D E$ là hình chữ nhật trong lục giác đều $A B C D E F$ .
- Lời giải: $A D, B E$ là hai đường kính của $(O) \Rightarrow$ tứ giác $A B D E$ có 2 đường chéo $A D = B E$ cắt nhau tại trung điểm $O$ mỗi đường $\Rightarrow A B D E$ là hình chữ nhật (ĐPCM).
Ví dụ 3: Chứng minh tam giác $A C E$ là tam giác đều trong lục giác đều $A B C D E F$ .
- Lời giải: $A B = B C = C D = D E = E F = F A \Rightarrow$ các dây $A C = C E = E A \Rightarrow Δ A C E$ có 3 cạnh bằng nhau nên là tam giác đều (ĐPCM).

Dạng 5: Bài toán Thực tế Lát Gạch và Cơ Khí Chế Tạo

Phương pháp:
- Đa giác đều lát kín mặt phẳng xung quanh 1 đỉnh khi tổng các góc bằng $360^^\circ$ : $k \cdot \alpha = 360^^\circ$ .

Ví dụ 1: Giải thích vì sao gạch lục giác đều ( $\alpha = 120^^\circ$ ) có thể lát kín nền nhà mà không bị hở.
- Lời giải: Tại mỗi đỉnh chung của các viên gạch, 3 góc của 3 viên lục giác đều ghép lại: $3 \times 120^^\circ = 360^^\circ$ đúng bằng một vòng tròn khép kín, nên lát kín hoàn toàn không hở hố (ĐPCM).
Ví dụ 2: Giải thích vì sao gạch ngũ giác đều ( $\alpha = 108^^\circ$ ) KHÔNG THỂ lát kín nền nhà.
- Lời giải: Vì $360^^\circ / 108^^\circ = 3,33$ không phải là số nguyên (3 viên ghép lại được $324^^\circ < 360^^\circ$ , 4 viên ghép được $432^^\circ > 360^^\circ$ ) nên luôn bị hở hoặc đè lên nhau!
Ví dụ 3 (Cơ khí - Đai ốc Lục giác): Thợ cơ khí dùng cờ-lê để vặn một bu-lông đai ốc lục giác đều cạnh $a = 10 mm$ . Bề rộng dẹt $d$ của cờ-lê (khoảng cách giữa 2 cạnh đối song song) phải bằng bao nhiêu mm?
- Lời giải: Bề rộng dẹt $d = 2 r = 2 \cdot \frac{a 3}{2} = a 3 = 103 \approx 17, 32 mm$ .
  (Người ta dùng cờ-lê size 17mm hoặc 18mm để vặn bu-lông này).

🌍 Vận dụng thực tế

🌍 3 Bài toán ứng dụng đời sống thực tế

Bài toán 1 (Thiết Kế Nền Nhà Lát Gạch Lục Giác Đều):
Một phòng khách diện tích $S = 24 m^{2}$ được lát bằng các viên gạch hoa hình lục giác đều cạnh $a = 20 cm = 0, 2 m$ .
a) Tính diện tích của một viên gạch lục giác đều.
b) Tính số lượng viên gạch tối thiểu cần dùng để lát kín phòng khách.

Bài toán 2 (Kỹ Thuật Chế Tạo Đai Ốc Lục Giác Cờ-lê):
Một bulông có đầu mũ đai ốc hình lục giác đều nội tiếp đường tròn bán kính $R = 12 mm$ .
a) Tính độ dài cạnh $a$ của đai ốc lục giác đều.
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song đối diện của đai ốc (kích thước cờ-lê vặn).

Bài toán 3 (Trang Sức Mặt Dây Chuyền Bát Giác Đều):
Một thợ kim hoàn chế tác mặt dây chuyền hình bát giác đều ( $n = 8$ ) nội tiếp vòng tròn vàng bán kính $R = 15 mm$ .
a) Tính số đo mỗi góc trong của mặt dây chuyền bát giác đều.
b) Tính độ dài cạnh $a$ của bát giác đều ( $a = 2 R \sin 22,5^^\circ$ ).

✏️ Thực hành tương tác

📌 Hướng dẫn: Công cụ dưới đây hỗ trợ tính số đo góc, số đường chéo, bán kính ngoại/nội tiếp và diện tích các đa giác đều!

√

Thực hành tương tác: Căn bậc hai số học

Nhập giá trị của √144:

⭐ Điểm: 0Đã trả lời: 0 câu

💡 Gợi ý: 1²=1, 2²=4, 3²=9, 4²=16, 5²=25, 6²=36, 7²=49, 8²=64, 9²=81, 10²=100, 11²=121, 12²=144, 13²=169, 14²=196, 15²=225.

⭐ Ghi nhớ

Trọng tâm kiến thức Bài 30:

Góc trong: $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^^\circ}{n}$ . Số đường chéo: $N = \frac{n ( n - 3 )}{2}$ .
Bộ ba đa giác đều đặc biệt:
- $n = 3$ (Tam giác đều): $a = R 3, r = R /2$ .
- $n = 4$ (Hình vuông): $a = R 2, r = R 2 /2$ .
- $n = 6$ (Lục giác đều): $a = R, r = R 3 /2$ .
Diện tích: $S = \frac{1}{2} P \cdot r$ .

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Đa giác đều là đa giác có đặc điểm gì?

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Tính số đo mỗi góc trong $α$ của các đa giác đều $n$ cạnh sau:
a) Tam giác đều ( $n = 3$ )
b) Hình vuông ( $n = 4$ )
c) Ngũ giác đều ( $n = 5$ )
d) Lục giác đều ( $n = 6$ )
e) Bát giác đều ( $n = 8$ )
f) Thập nhị giác đều ( $n = 12$ )

Bài 2: Tính số đường chéo của các đa giác sau:
a) Tứ giác ( $n = 4$ )
b) Ngũ giác ( $n = 5$ )
c) Lục giác ( $n = 6$ )
d) Bát giác ( $n = 8$ )
e) Thập giác ( $n = 10$ )
f) Đa giác 15 cạnh ( $n = 15$ )

Bài 3: Cho đường tròn ngoại tiếp $(O; R = 12 cm)$ . Tính cạnh $a$ và bán kính nội tiếp $r$ của:
a) Tam giác đều nội tiếp $(O)$
b) Hình vuông nội tiếp $(O)$
c) Lục giác đều nội tiếp $(O)$
d) Ngũ giác đều nội tiếp $(O)$ (dùng $\sin 36^^\circ \approx 0,5878$ )
e) Bát giác đều nội tiếp $(O)$ (dùng $\sin 22,5^^\circ \approx 0,3827$ )
f) Thập giác đều nội tiếp $(O)$ (dùng $\sin 18^^\circ \approx 0,3090$ )

Bài 4: Cho lục giác đều $A B C D E F$ cạnh $a = 10 cm$ .
a) Tính bán kính ngoại tiếp $R$ và bán kính nội tiếp $r$ .
b) Tính chu vi $P$ và diện tích $S$ của lục giác đều.

Bài 5: Cho hình vuông $A B C D$ nội tiếp đường tròn $(O; R = 8 cm)$ .
a) Tính diện tích hình vuông $A B C D$ .
b) Tính diện tích hình tròn $(O)$ .
c) Tính diện tích phần hình tròn nằm bên ngoài hình vuông.

Bài 6: Tìm số cạnh $n$ của đa giác đều biết mỗi góc trong có số đo bằng:
a) $108^^\circ$
b) $120^^\circ$
c) $135^^\circ$
d) $144^^\circ$
e) $150^^\circ$
f) $160^^\circ$

Bài 7: Cho lục giác đều $A B C D E F$ tâm $O$ . Chứng minh rằng:
a) $A D, B E, C F$ là 3 đường kính đồng quy tại $O$ .
b) Tứ giác $A B D E$ là hình chữ nhật.
c) Tam giác $A C E$ là tam giác đều.

Bài 8: Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ một điểm $M$ bất kỳ bên trong tam giác đều $A B C$ đến 3 cạnh của tam giác đúng bằng chiều cao $h$ của tam giác đó.

Bài 9 (Thực tế): Một lều hội trại hình bát giác đều ( $n = 8$ ) có bán kính đường tròn bao ngoài $R = 4 m$ .
a) Tính số đo mỗi góc ở đỉnh lều.
b) Tính diện tích mặt sàn lều bát giác đều ( $S = 22 R^{2}$ ).

Bài 10 (Thực tế): Thiết kế tấm huy chương hình ngũ giác đều nội tiếp vòng tròn $R = 5 cm$ . Tính độ dài cạnh của tấm huy chương ( $a = 2R \sin 36^^\circ$ ).

📊 Lời giải chi tiết 10 bài tập tự luận

Bài 1:
a) $n=3 \Rightarrow \alpha = \frac{180^^\circ}{3} = 60^^\circ$ .
b) $n=4 \Rightarrow \alpha = \frac{360^^\circ}{4} = 90^^\circ$ .
c) $n=5 \Rightarrow \alpha = \frac{540^^\circ}{5} = 108^^\circ$ .
d) $n=6 \Rightarrow \alpha = \frac{720^^\circ}{6} = 120^^\circ$ .
e) $n=8 \Rightarrow \alpha = \frac{1080^^\circ}{8} = 135^^\circ$ .
f) $n=12 \Rightarrow \alpha = \frac{1800^^\circ}{12} = 150^^\circ$ .

Bài 2:
a) $N = \frac{4 ( 1 )}{2} = 2$ .
b) $N = \frac{5 ( 2 )}{2} = 5$ .
c) $N = \frac{6 ( 3 )}{2} = 9$ .
d) $N = \frac{8 ( 5 )}{2} = 20$ .
e) $N = \frac{10 ( 7 )}{2} = 35$ .
f) $N = \frac{15 ( 12 )}{2} = 90$ .

Bài 3:
$R = 12 cm$ .
a) Tam giác đều: $a = 123 \approx 20, 78 cm, r = 6 cm$ .
b) Hình vuông: $a = 122 \approx 16, 97 cm, r = 62 \approx 8, 49 cm$ .
c) Lục giác đều: $a = 12 cm, r = 63 \approx 10, 39 cm$ .
d) Ngũ giác đều: $a = 24 \sin 36^^\circ \approx 14,11\text{ cm}, r = 12 \cos 36^^\circ \approx 9,71\text{ cm}$ .
e) Bát giác đều: $a = 24 \sin 22,5^^\circ \approx 9,18\text{ cm}, r = 12 \cos 22,5^^\circ \approx 11,09\text{ cm}$ .
f) Thập giác đều: $a = 24 \sin 18^^\circ \approx 7,42\text{ cm}, r = 12 \cos 18^^\circ \approx 11,41\text{ cm}$ .

Bài 4:
a) $R = a = 10 cm$ ; $r = \frac{10 3}{2} = 53 cm$ .
b) Chu vi $P = 6 \times 10 = 60 cm$ .
Diện tích $S = \frac{1}{2} P r = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 53 = 1503 \approx 259, 81 cm^{2}$ .

Bài 5:
a) Cạnh hình vuông $a = 82 cm \Rightarrow S_{vu \overset{o}{ˆ} ng} = a^{2} = (82)^{2} = 128 cm^{2}$ .
b) $S_{tr \overset{o}{ˋ} n} = π R^{2} = π (8)^{2} = 64 π \approx 201, 06 cm^{2}$ .
c) $S_{ngo \overset{a}{ˋ} i} = 64 π - 128 \approx 201, 06 - 128 = 73, 06 cm^{2}$ .

Bài 6:
$\frac{(n-2) \cdot 180^^\circ}{n} = \alpha \Rightarrow 180(n-2) = \alpha n \Rightarrow (180 - \alpha)n = 360 \Rightarrow n = \frac{360}{180 - \alpha}$ .
a) $n = \frac{360}{180 - 108} = \frac{360}{72} = 5$ (Ngũ giác).
b) $n = \frac{360}{180 - 120} = \frac{360}{60} = 6$ (Lục giác).
c) $n = \frac{360}{180 - 135} = \frac{360}{45} = 8$ (Bát giác).
d) $n = \frac{360}{180 - 144} = \frac{360}{36} = 10$ (Thập giác).
e) $n = \frac{360}{180 - 150} = \frac{360}{30} = 12$ (Thập nhị giác).
f) $n = \frac{360}{180 - 160} = \frac{360}{20} = 18$ (Đa giác 18 cạnh).

Bài 7:
a) 6 tam giác $O A B, O B C, O C D, O D E, O E F, O F A$ đều bằng nhau $\Rightarrow \widehat{AOD} = 180^^\circ \Rightarrow A, O, D$ thẳng hàng $\Rightarrow A D$ là đường kính. Tương tự $B E, C F$ là đường kính qua $O$ .
b) Tứ giác $A B D E$ có 2 đường chéo $A D = B E$ cắt nhau tại trung điểm $O$ $\Rightarrow A B D E$ là hình chữ nhật.
c) $A B = B C = C D = D E = E F = F A \Rightarrow A C = C E = E A \Rightarrow Δ A C E$ đều.

Bài 8:
Nối $M$ với các đỉnh $A, B, C$ .
$S_{A B C} = S_{M A B} + S_{M B C} + S_{M C A} = \frac{1}{2} a \cdot h_{1} + \frac{1}{2} a \cdot h_{2} + \frac{1}{2} a \cdot h_{3} = \frac{1}{2} a (h_{1} + h_{2} + h_{3})$ .
Mặt khác $S_{A B C} = \frac{1}{2} a \cdot h \Rightarrow h_{1} + h_{2} + h_{3} = h$ (không đổi) (ĐPCM).

Bài 9:
a) Mỗi góc trong của bát giác đều $\alpha = 135^^\circ$ .
b) Diện tích mặt sàn lều $S = 22 R^{2} = 22 (4)^{2} = 322 \approx 45, 25 m^{2}$ .

Bài 10:
Cạnh huy chương ngũ giác đều $a = 2R \sin 36^^\circ = 2(5) \times 0,5878 = 10 \times 0,5878 = 5,88\text{ cm}$ .