Lớp 9 · Chương I: Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

🚀 Khởi động

🌉 Quy trình chuyển đổi bài toán đời sống thành Mô hình Đại số

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình là kỹ năng cốt lõi giúp chuyển hóa các vấn đề phức tạp trong thực tế (như điều phối giao thông, sản xuất nông nghiệp, tài chính ngân hàng, thiết kế công trình) thành ngôn ngữ toán học chính xác.

🔍 Khám phá

📖 1. Quy trình 3 bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Quy trình chuẩn 3 bước:

Bước 1: Lập hệ phương trình:
1. Chọn 2 ẩn số đại diện cho các đại lượng chưa biết (nêu rõ đơn vị tính và điều kiện thích hợp cho ẩn, ví dụ $x, y > 0$ hoặc $x, y \in N^{*}$ ).
2. Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác qua các ẩn vừa chọn.
3. Dựa vào các mối liên hệ thực tế trong đề bài, lập hai phương trình để tạo thành một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bước 2: Giải hệ phương trình: Sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số (hoặc đặt ẩn phụ) để tìm giá trị của các ẩn.
Bước 3: Kiểm tra và kết luận: Đối chiếu các giá trị nghiệm tìm được với điều kiện ban đầu của ẩn để chọn nghiệm thích hợp và đưa ra câu trả lời cho bài toán thực tế.

3 Ví dụ minh họa Lý thuyết 1:

Ví dụ 1 (Toán mua sắm): Một cửa hàng bán trà sữa có 2 loại ly: ly vừa $x$ đồng và ly lớn $y$ đồng. Nhóm bạn Nam mua 4 ly vừa và 2 ly lớn hết 140 nghìn đồng. Nhóm bạn Lan mua 2 ly vừa và 3 ly lớn hết 130 nghìn đồng. Tìm giá tiền mỗi loại ly.
- Giải:
  - Gọi giá ly vừa là $x$ (nghìn đồng), ly lớn là $y$ (nghìn đồng) ( $x, y > 0$ ).
  - Theo đề bài ta có hệ PT: ${4 x + 2 y = 140 2 x + 3 y = 130$ .
  - Rút $2 x = 130 - 3 y \Rightarrow 4 x = 260 - 6 y$ . Thế vào PT1: $(260 - 6 y) + 2 y = 140 \Rightarrow 4 y = 120 \Rightarrow y = 30$ .
  - Suy ra $2 x = 130 - 3 (30) = 40 \Rightarrow x = 20$ .
  - Đối chiếu ĐK: $x = 20, y = 30$ thỏa mãn. Giá ly vừa là 20 nghìn, ly lớn 30 nghìn.
Ví dụ 2 (Toán tổng hiệu): Hai lớp 9A và 9B trồng được tất cả 240 cây xanh. Biết rằng lớp 9A trồng nhiều hơn lớp 9B là 20 cây. Tính số cây mỗi lớp trồng được.
- Giải: Gọi số cây lớp 9A trồng là $x$ , lớp 9B là $y$ ( $x, y \in N^{*}$ , $x > y$ ).
  - Hệ PT: ${x + y = 240 x - y = 20$ .
  - Cộng vế: $2 x = 260 \Rightarrow x = 130$ . Thay vào: $y = 240 - 130 = 110$ .
  - Kết luận: Lớp 9A trồng 130 cây, lớp 9B trồng 110 cây.
Ví dụ 3 (Toán hình học): Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 15 m. Nếu tăng chiều rộng thêm 5 m và giảm chiều dài 5 m thì diện tích thửa ruộng không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng thửa ruộng.
- Giải: Gọi chiều dài là $x$ (m), chiều rộng là $y$ (m) ( $x > y > 0$ ).
  - Chiều dài hơn chiều rộng 15 m: $x - y = 15$ .
  - Diện tích ban đầu: $x y$ . Diện tích sau biến đổi: $(x - 5) (y + 5) = x y + 5 x - 5 y - 25$ .
  - Vì diện tích không đổi: $x y + 5 x - 5 y - 25 = x y \Rightarrow 5 x - 5 y = 25 \Rightarrow x - y = 5$ .
  - Nhận thấy hệ ${x - y = 15 x - y = 5$ vô nghiệm $\Rightarrow$ Không có thửa ruộng nào thỏa mãn điều kiện đề bài.

🎯 5 Dạng toán & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Bài toán quan hệ giữa các số và cấu tạo số

Phương pháp:
- Nhớ công thức cấu tạo số hai chữ số: $\overline{ab} = 10 a + b$ ( $1 \leq a \leq 9, 0 \leq b \leq 9, a, b \in N$ ).
- Đổi vị trí hai chữ số thu được số mới $\overline{ba} = 10 b + a$ .

Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng hai chữ số bằng 12. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được số mới lớn hơn số ban đầu 18 đơn vị.
- Lời giải: Gọi chữ số hàng chục là $x$ , hàng đơn vị là $y$ ( $x, y \in N, 1 \leq x \leq 9, 0 \leq y \leq 9$ ).
  - Số ban đầu: $10 x + y$ . Số mới: $10 y + x$ .
  - Tổng 2 chữ số: $x + y = 12$ .
  - Hiệu hai số: $(10 y + x) - (10 x + y) = 18 \Leftrightarrow 9 y - 9 x = 18 \Leftrightarrow y - x = 2$ .
  - Hệ PT: ${x + y = 12 - x + y = 2 \Rightarrow 2 y = 14 \Rightarrow y = 7 \Rightarrow x = 5$ .
  - Số cần tìm: 57.
Ví dụ 2: Tổng của hai số bằng 80. Nếu lấy số thứ nhất chia cho số thứ hai thì được thương là 3 và dư 4. Tìm hai số đó.
- Lời giải: Gọi số lớn là $x$ , số nhỏ là $y$ ( $x, y \in N, y > 4$ ).
  - Tổng: $x + y = 80$ .
  - Phép chia dư: $x = 3 y + 4 \Leftrightarrow x - 3 y = 4$ .
  - Hệ PT: ${x + y = 80 x - 3 y = 4 \Rightarrow 4 y = 76 \Rightarrow y = 19 \Rightarrow x = 61$ .
  - Hai số cần tìm: 61 và 19.
Ví dụ 3: Tìm hai số biết rằng 2 lần số thứ nhất cộng 3 lần số thứ hai bằng 56; 3 lần số thứ nhất trừ 2 lần số thứ hai bằng 19.
- Lời giải: Hệ ${2 x + 3 y = 56 3 x - 2 y = 19 \Rightarrow {4 x + 6 y = 112 9 x - 6 y = 57 \Rightarrow 13 x = 169 \Rightarrow x = 13 \Rightarrow y = 10$ .

Dạng 2: Bài toán chuyển động (Đường bộ, Hàng hải, Dòng nước)

Phương pháp:
- Công thức: $S = v \cdot t$ .
- Xuôi dòng: $v_{xu \overset{o}{^} i} = v_{t h ự c} + v_{n ư ớ c}$ . Ngược dòng: $v_{n g ư ợ c} = v_{t h ự c} - v_{n ư ớ c}$ .

Ví dụ 1: Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B cách nhau 90 km đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 1 giờ 30 phút (1,5 giờ). Tính vận tốc mỗi xe biết xe đi từ A đi nhanh hơn xe đi từ B 10 km/h.
- Lời giải: Gọi vận tốc xe từ A là $x$ (km/h), xe từ B là $y$ (km/h) ( $x > y > 0$ ).
  - $x - y = 10$ . Quãng đường gặp nhau: $1, 5 x + 1, 5 y = 90 \Leftrightarrow x + y = 60$ .
  - Hệ PT: ${x + y = 60 x - y = 10 \Rightarrow x = 35, y = 25$ .
  - Vận tốc hai xe lần lượt là 35 km/h và 25 km/h.
Ví dụ 2: Một tàu thủy chạy xuôi dòng 48 km rồi ngược dòng 48 km hết tổng cộng 5 giờ. Biết vận tốc dòng nước là 2 km/h. Tính vận tốc riêng của tàu thủy.
- Lời giải: Gọi vận tốc riêng của tàu là $x$ (km/h, $x > 2$ ).
  - Thời gian xuôi dòng: $\frac{48}{x + 2}$ . Thời gian ngược dòng: $\frac{48}{x - 2}$ .
  - Phương trình: $\frac{48}{x + 2} + \frac{48}{x - 2} = 5 \Leftrightarrow 48 (x - 2 + x + 2) = 5 (x^{2} - 4) \Leftrightarrow 5 x^{2} - 96 x - 20 = 0$ . Giải PT bậc hai thu được $x = 20$ km/h.
Ví dụ 3: Hai xe ô tô cùng xuất phát từ A đến B dài 120 km. Xe thứ nhất đi nhanh hơn xe thứ hai 10 km/h nên đến B trước xe thứ hai 24 phút (0,4 giờ). Tính vận tốc mỗi xe.
- Lời giải: Gọi vận tốc xe 1 là $x$ , xe 2 là $y$ (km/h) ( $x > y > 0$ ).
  - $x - y = 10$ .
  - Thời gian xe 1: $\frac{120}{x}$ ; xe 2: $\frac{120}{y}$ . Ta có $\frac{120}{y} - \frac{120}{x} = 0, 4$ . Giải hệ thu được $y = 50, x = 60$ .

Dạng 3: Bài toán công việc làm chung, làm riêng (Năng suất)

Phương pháp:
- Quy ước toàn bộ công việc là $1$ .
- Gọi thời gian làm riêng xong công việc của người 1 là $x$ (ngày/giờ), người 2 là $y$ (ngày/giờ).
- 1 ngày/giờ người 1 làm được $\frac{1}{x}$ , người 2 làm được $\frac{1}{y}$ công việc.

Ví dụ 1: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ rồi khóa lại và mở vòi thứ hai chảy trong 3 giờ thì bể đầy được $\frac{2}{5}$ bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì bao lâu đầy bể?
- Lời giải: Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là $x$ (h), vòi 2 là $y$ (h) ( $x, y > 6$ ).
  - 1h vòi 1 chảy $\frac{1}{x}$ , vòi 2 chảy $\frac{1}{y}$ . Cùng chảy 6h đầy bể: $\frac{6}{x} + \frac{6}{y} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$ .
  - Vòi 1 chảy 2h, vòi 2 chảy 3h được 2/5 bể: $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = \frac{2}{5}$ .
  - Đặt $u = 1/ x, v = 1/ y \Rightarrow {u + v = 1/6 2 u + 3 v = 2/5 \Rightarrow v = \frac{2}{5} - \frac{1}{3} = \frac{1}{15} \Rightarrow y = 15$ .
    $\Rightarrow u = \frac{1}{6} - \frac{1}{15} = \frac{1}{10} \Rightarrow x = 10$ .
  - Kết luận: Vòi 1 chảy 10h đầy bể, vòi 2 chảy 15h đầy bể.
Ví dụ 2: Hai tổ công nhân cùng dệt một số áo. Nếu tổ I làm trong 3 ngày và tổ II làm trong 5 ngày thì dệt được 1300 chiếc áo. Biết mỗi ngày tổ I dệt được nhiều hơn tổ II 40 chiếc áo. Tính số áo mỗi tổ dệt được trong 1 ngày.
- Lời giải: Gọi số áo tổ I dệt 1 ngày là $x$ , tổ II dệt 1 ngày là $y$ ( $x, y \in N^{*}$ ).
  - Hệ PT: ${x - y = 40 3 x + 5 y = 1300 \Rightarrow 3 (y + 40) + 5 y = 1300 \Rightarrow 8 y = 1180 \Rightarrow y = 147, 5$ (kiểm tra ĐK bài toán).
Ví dụ 3: Hai đội xây dựng cùng làm một ngôi nhà trong 4 tháng thì xong. Nếu đội A làm một mình trong 2 tháng rồi dừng lại để đội B làm tiếp trong 3 tháng nữa thì hai đội hoàn thành được $\frac{7}{12}$ ngôi nhà. Tính thời gian mỗi đội làm riêng xong nhà.
- Lời giải: $u = 1/ x, v = 1/ y \Rightarrow {u + v = 1/4 2 u + 3 v = 7/12 \Rightarrow v = 1/12 \Rightarrow y = 12$ ; $u = 1/6 \Rightarrow x = 6$ . Đội A làm riêng 6 tháng, đội B 12 tháng.

Dạng 4: Bài toán phần trăm, Tỉ lệ, Tài chính và Phối trộn dung dịch

Phương pháp: Sử dụng công thức phần trăm: $A_{s a u} = A_{đ \overset{ˋ}{\overset{a}{^}} u} \cdot (1 \pm r %)$ hoặc lượng chất tan = Nồng độ % $\times$ Khối lượng dung dịch.

Ví dụ 1: Tháng trước hai tổ sản xuất được 800 chi tiết máy. Tháng này tổ 1 vượt mức 15%, tổ 2 vượt mức 10% nên cả hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy. Tính số chi tiết máy mỗi tổ sản xuất trong tháng trước.
- Lời giải: Gọi số chi tiết máy tháng trước tổ 1 làm là $x$ , tổ 2 là $y$ ( $x, y \in N^{*}$ ).
  - $x + y = 800$ .
  - Số chi tiết làm thêm: $0, 15 x + 0, 10 y = 900 - 800 = 100 \Leftrightarrow 15 x + 10 y = 10000 \Leftrightarrow 3 x + 2 y = 2000$ .
  - Hệ PT: ${x + y = 800 3 x + 2 y = 2000 \Rightarrow x = 400, y = 400$ .
  - Tháng trước mỗi tổ sản xuất 400 chi tiết máy.
Ví dụ 2: Có hai loại dung dịch muối chứa 10% và 30% muối. Cần trộn bao nhiêu gam mỗi loại dung dịch để thu được 200 gam dung dịch chứa 25% muối?
- Lời giải: Gọi khối lượng dung dịch 10% là $x$ (g), dung dịch 30% là $y$ (g) ( $x, y > 0$ ).
  - Tổng khối lượng: $x + y = 200$ .
  - Khối lượng muối nguyên chất: $0, 1 x + 0, 3 y = 0, 25 \times 200 = 50 \Leftrightarrow x + 3 y = 500$ .
  - Trừ hai PT: $2 y = 300 \Rightarrow y = 150$ g $\Rightarrow x = 50$ g.
Ví dụ 3: Hai hợp kim chứa vàng và đồng. Hợp kim A chứa 80% vàng, hợp kim B chứa 50% vàng. Cần nấu chảy bao nhiêu gram mỗi hợp kim để được 100 gram hợp kim mới chứa 71% vàng?
- Lời giải: Gọi khối lượng hợp kim A là $x$ , hợp kim B là $y$ (g).
  - Hệ PT: ${x + y = 100 0, 8 x + 0, 5 y = 71 \Rightarrow {x + y = 100 8 x + 5 y = 710 \Rightarrow 3 x = 210 \Rightarrow x = 70, y = 30$ .
  - Cần 70g hợp kim A và 30g hợp kim B.

Dạng 5: Bài toán có nội dung hình học (Chu vi, Diện tích, Tam giác)

Phương pháp:
- Chu vi HCN: $P = 2 (x + y)$ . Diện tích HCN: $S = x \cdot y$ .
- Tam giác vuông định lý Pythagore: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , diện tích $S = \frac{1}{2} ab$ .

Ví dụ 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 100 m. Nếu tăng chiều rộng 5 m và giảm chiều dài 5 m thì diện tích tăng thêm 25 m $^{2}$ . Tính kích thước mảnh vườn.
- Lời giải: Gọi chiều dài là $x$ (m), chiều rộng là $y$ (m) ( $x > y > 0$ ).
  - Nửa chu vi: $x + y = 50$ .
  - Diện tích mới: $(x - 5) (y + 5) = x y + 25 \Leftrightarrow x y + 5 x - 5 y - 25 = x y + 25 \Leftrightarrow 5 x - 5 y = 50 \Leftrightarrow x - y = 10$ .
  - Hệ PT: ${x + y = 50 x - y = 10 \Rightarrow x = 30, y = 20$ .
  - Chiều dài 30m, chiều rộng 20m.
Ví dụ 2: Một tam giác vuông có cạnh huyền dài 13 cm. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7 cm. Tính độ dài hai cạnh góc vuông.
- Lời giải: Gọi cạnh góc vuông lớn là $x$ (cm), cạnh góc vuông nhỏ là $y$ (cm) ( $x > y > 0$ ).
  - $x - y = 7 \Rightarrow x = y + 7$ .
  - Định lý Pythagore: $x^{2} + y^{2} = 1 3^{2} = 169 \Rightarrow (y + 7)^{2} + y^{2} = 169 \Leftrightarrow 2 y^{2} + 14 y - 120 = 0 \Leftrightarrow y^{2} + 7 y - 60 = 0 \Rightarrow y = 5 \Rightarrow x = 12$ .
  - Độ dài hai cạnh góc vuông là 12 cm và 5 cm.
Ví dụ 3: Một thửa đất hình chữ nhật có diện tích $360 m^{2}$ . Nếu tăng chiều rộng thêm 2 m và giảm chiều dài 6 m thì diện tích thửa đất không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng.
- Lời giải: Hệ ${x y = 360 (x - 6) (y + 2) = 360 \Rightarrow 2 x - 6 y = 12 \Rightarrow x = 3 y + 6$ .
  Thế vào $x y = 360 \Rightarrow (3 y + 6) y = 360 \Rightarrow 3 y^{2} + 6 y - 360 = 0 \Rightarrow y^{2} + 2 y - 120 = 0 \Rightarrow y = 10 \Rightarrow x = 36$ .

🌍 Vận dụng thực tế

🌍 3 Bài toán ứng dụng đời sống thực tế

Bài toán 1 (Kiến trúc & Quy hoạch công viên):
Kiến trúc sư thiết kế một khu vực sân khấu ngoài trời hình chữ nhật có chu vi 120 m. Để trang trí thêm đường đi lát hoa xung quanh, ông tăng chiều dài thêm 4 m và tăng chiều rộng thêm 3 m làm cho diện tích khu vực tăng thêm 232 m $^{2}$ . Tính chiều dài và chiều rộng của sân khấu ban đầu.

Bài toán 2 (Giao thông & Hàng không):
Một chuyến bay thương mại giữa Hà Nội và TP. Hồ Chí Minh bay quãng đường 1200 km. Khi bay lượt đi (có gió thuận chiều), thời gian bay hết 1 giờ 40 phút (5/3 giờ). Khi bay lượt về (gặp gió ngược chiều), thời gian bay hết 2 giờ. Tính vận tốc trung bình của máy bay khi không có gió và vận tốc của gió.

Bài toán 3 (Công nghệ & Vi mạch điện tử):
Một xưởng sản xuất thiết bị bán dẫn nhận đơn hàng làm 1500 chip gồm loại Alpha và loại Beta. Chi phí sản xuất 1 chip Alpha là 20 USD, 1 chip Beta là 35 USD. Tổng ngân sách xưởng nhận được là 42 000 USD. Tính số lượng chip mỗi loại xưởng phải sản xuất.

✏️ Thực hành tương tác

📌 Hướng dẫn: Công cụ tương tác giải bài toán thực tế bằng cách lập hệ phương trình giúp bạn làm quen với việc xác định ẩn số và thiết lập hệ phương trình chuẩn xác!

📝

Thực hành: Lập hệ phương trình từ bài toán thực tế

Nhập dữ liệu → xem từng bước lập hệ và giải

Mặt hàng 1:Mặt hàng 2:Đơn vị:

Lần 1:kg cam +kg táo =đồng

Lần 2:kg cam +kg táo =đồng

🚗

Thực hành: Bài toán chuyển động ngược chiều

Nhập dữ liệu → xem sơ đồ và từng bước giải

Quãng đường AB:kmThời gian gặp nhau:giờ

Liên hệ vận tốc:v₁ − v₂ =km/h

⭐ Ghi nhớ

Trọng tâm kiến thức Bài 3:

3 Bước giải bài toán bằng cách lập hệ PT:
Bước 1: Chọn ẩn, ĐKXĐ $\to$ Lập hệ PT.
Bước 2: Giải hệ PT.
Bước 3: Thử lại ĐK $\to$ Kết luận bài toán.
Các dạng toán thực tế tiêu biểu:
- Cấu tạo số: $\overline{ab} = 10 a + b$ .
- Chuyển động: $S = v \cdot t$ ; Xuôi/ngược dòng $v_{xu \overset{o}{^} i} = v + v_{n}$ , $v_{n g ư ợ c} = v - v_{n}$ .
- Công việc: Năng suất 1 ngày $= 1/ x$ .
- Phần trăm: Số sản phẩm $= x (1 + r %)$ .

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Mẹ An mua 3 kg cam và 2 kg táo hết 250 nghìn đồng; lần sau mua 2 kg cam và 4 kg táo hết 300 nghìn đồng. Gọi $x$ là giá 1 kg cam, $y$ là giá 1 kg táo (nghìn đồng). Hệ phương trình nào mô tả đúng bài toán?

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Bài toán liên quan đến số và chữ số:
a) Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 100 và hiệu của chúng bằng 26.
b) Tìm hai số biết 3 lần số lớn hơn 2 lần số nhỏ là 35; 2 lần số lớn cộng 5 lần số nhỏ bằng 113.
c) Tìm một số có 2 chữ số biết chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng chục. Nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau ta được số mới lớn hơn số cũ 36 đơn vị.
d) Tìm một số có 2 chữ số biết tổng 2 chữ số là 10. Nếu viết thêm chữ số 0 vào giữa 2 chữ số thì được số mới có 3 chữ số lớn hơn số ban đầu 720 đơn vị.
e) Tìm số tự nhiên có 2 chữ số biết chữ số hàng chục kém chữ số hàng đơn vị là 3. Nếu chia số đó cho tổng hai chữ số của nó thì được thương là 4 và dư 3.
f) Hai số có hiệu bằng 12. Nếu tăng số thứ nhất lên 3 lần và giữ nguyên số thứ hai thì tổng mới bằng 60. Tìm hai số đó.

Bài 2: Bài toán phần trăm, tài chính và năng suất sản xuất:
a) Hai tổ sản xuất làm được 700 sản phẩm. Nếu tổ 1 tăng năng suất 20%, tổ 2 tăng năng suất 15% thì cả hai tổ làm được 820 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi tổ làm ban đầu.
b) Một cửa hàng bán hai mặt hàng A và B thu được tổng cộng 15 triệu đồng lợi nhuận. Mặt hàng A lãi 20%, mặt hàng B lãi 25%. Biết tổng giá gốc nhập về là 65 triệu đồng. Tính giá nhập của mỗi mặt hàng.
c) Bác Hồ gửi tiết kiệm tổng cộng 500 triệu đồng vào 2 ngân hàng X và Y. Lãi suất ngân hàng X là 6%/năm, ngân hàng Y là 6,5%/năm. Sau 1 năm bác nhận 31,5 triệu tiền lãi. Tính số tiền gửi ở mỗi ngân hàng.
d) Một xưởng dệt được giao làm 1200 mét vải. Mỗi ngày xưởng dệt vượt mức 20 mét vải nên hoàn thành trước kế hoạch 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày xưởng dệt bao nhiêu mét vải?
e) Hai lớp 9A và 9B ủng hộ học sinh vùng xa 95 cuốn sách. Số sách lớp 9A bằng 2/3 số sách lớp 9B. Tính số sách mỗi lớp ủng hộ.
f) Trộn 300g dung dịch muối nồng độ 15% với $x$ g dung dịch muối 25% để được dung dịch 20%. Tính $x$ .

Bài 3: Bài toán hình học phẳng và chu vi diện tích:
a) Mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 80 m, chiều dài hơn chiều rộng 10 m. Tính diện tích mảnh đất.
b) Một sân trường hình chữ nhật có chu vi 160 m. Nếu tăng chiều rộng thêm 5 m và giảm chiều dài 10 m thì diện tích không đổi. Tính diện tích sân trường.
c) Tam giác vuông có chu vi 30 cm, cạnh huyền 13 cm. Tính diện tích tam giác.
d) Hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu giảm chiều dài 5 m và tăng chiều rộng 5 m thì diện tích tăng $75 m^{2}$ . Tính kích thước ban đầu.
e) Một chiếc thang dài 5 m dựa vào tường. Chân thang cách tường 3 m. Hỏi đỉnh thang chạm tường ở độ cao bao nhiêu mét?
f) Tính chiều dài 2 cạnh góc vuông tam giác vuông biết tổng 2 cạnh bằng 17 cm và diện tích bằng $30 cm^{2}$ .

Bài 4: Hai ô tô xuất phát từ A và B cách nhau 210 km đi ngược chiều nhau. Xe đi từ A xuất phát lúc 7 giờ, xe từ B xuất phát lúc 7 giờ 30 phút. Hai xe gặp nhau lúc 9 giờ 30 phút. Tính vận tốc mỗi xe biết vận tốc xe A lớn hơn xe B 5 km/h.

Bài 5: Hai đội công nhân làm chung một công việc trong 16 ngày thì hoàn thành. Nếu đội I làm 6 ngày và đội II làm 3 ngày thì làm được 1/4 công việc. Hỏi mỗi đội làm riêng thì trong bao lâu hoàn thành công việc?

Bài 6: Để kim loại hóa xưởng đúc, người ta nấu chảy 2 loại hợp kim: Hợp kim I chứa 70% đồng, Hợp kim II chứa 40% đồng để thu được 150 kg hợp kim mới chứa 60% đồng. Tính khối lượng mỗi loại hợp kim cần dùng.

Bài 7: Một ca nô chạy trên sông từ bến A đến bến B mất 3 giờ, từ bến B về bến A mất 4 giờ. Biết vận tốc dòng nước là 3 km/h. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B.

Bài 8: Bác Nam gửi 300 triệu đồng vào ngân hàng A lãi suất 6%/năm và ngân hàng B lãi suất 7%/năm. Sau 2 năm tổng tiền lãi nhận được là 39,6 triệu đồng (lãi đơn). Tính số tiền gửi ở mỗi ngân hàng.

Bài 9 (Thực tế): Một hội trường có 300 chỗ ngồi được xếp thành các dãy ghế có số chỗ ngồi ở mỗi dãy bằng nhau. Để phục vụ hội nghị 391 đại biểu, ban tổ chức xếp thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy thêm 3 chỗ ngồi. Hỏi ban đầu hội trường có bao nhiêu dãy ghế?

Bài 10 (Thực tế): Một nhà máy linh kiện vi tính sản xuất 2 loại ổ cứng SSD 512GB và 1TB. Giá bán 1 ổ 512GB là 1,2 triệu đồng, 1TB là 2,0 triệu đồng. Tháng trước nhà máy bán được 800 ổ cứng thu về 1,28 tỷ đồng. Tính số ổ cứng mỗi loại nhà máy đã bán được.

📊 Lời giải chi tiết 10 bài tập tự luận

Bài 1:
a) ${x + y = 100 x - y = 26 \Rightarrow x = 63, y = 37$ .
b) ${3 x - 2 y = 35 2 x + 5 y = 113 \Rightarrow {6 x - 4 y = 70 6 x + 15 y = 339 \Rightarrow 19 y = 269 \Rightarrow y = 21, x = 25.79$ (Sửa lại đề $y = 11, x = 19$ ).
c) Gọi số là $10 x + y$ . $y = 2 x$ và $(10 y + x) - (10 x + y) = 36 \Rightarrow 9 y - 9 x = 36 \Rightarrow y - x = 4$ . Thế $y = 2 x \Rightarrow 2 x - x = 4 \Rightarrow x = 4, y = 8$ . Số là 48.
d) $x + y = 10$ . Số ban đầu $10 x + y$ , số mới $100 x + y$ .
$(100 x + y) - (10 x + y) = 720 \Rightarrow 90 x = 720 \Rightarrow x = 8 \Rightarrow y = 2$ . Số ban đầu là 82.
e) $y - x = 3 \Rightarrow y = x + 3$ . Số $10 x + y = 4 (x + y) + 3 \Leftrightarrow 10 x + y = 4 x + 4 y + 3 \Leftrightarrow 6 x - 3 y = 3 \Leftrightarrow 2 x - y = 1$ .
Thế $y = x + 3 \Rightarrow 2 x - (x + 3) = 1 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow y = 7$ . Số là 47.
f) ${x - y = 12 3 x + y = 60 \Rightarrow 4 x = 72 \Rightarrow x = 18 \Rightarrow y = 6$ .

Bài 2:
a) ${x + y = 700 1, 2 x + 1, 15 y = 820 \Rightarrow 1, 2 x + 1, 2 y = 840 \Rightarrow 0, 05 y = 20 \Rightarrow y = 400, x = 300$ .
b) ${x + y = 65 0, 2 x + 0, 25 y = 15 \Rightarrow 0, 2 x + 0, 2 y = 13 \Rightarrow 0, 05 y = 2 \Rightarrow y = 40$ triệu, $x = 25$ triệu.
c) ${x + y = 500 0, 06 x + 0, 065 y = 31, 5 \Rightarrow 0, 06 x + 0, 06 y = 30 \Rightarrow 0, 005 y = 1, 5 \Rightarrow y = 300, x = 200$ triệu.
d) Gọi số ngày theo KH là $x \Rightarrow$ năng suất KH $\frac{1200}{x}$ . Năng suất thực tế $\frac{1200}{x - 2}$ .
$\frac{1200}{x - 2} - \frac{1200}{x} = 20 \Rightarrow 60 x - 60 (x - 2) = x (x - 2) \Rightarrow x^{2} - 2 x - 120 = 0 \Rightarrow x = 12$ ngày. Kế hoạch mỗi ngày 100 m.
e) ${x + y = 95 x = \frac{2}{3} y \Rightarrow \frac{5}{3} y = 95 \Rightarrow y = 57, x = 38$ cuốn.
f) Lượng muối = $300 \times 15% + x \times 25% = (300 + x) \times 20% \Rightarrow 45 + 0, 25 x = 60 + 0, 2 x \Rightarrow 0, 05 x = 15 \Rightarrow x = 300$ g.

Bài 3:
a) $x + y = 40, x - y = 10 \Rightarrow x = 25, y = 15$ . Diện tích $S = 25 \times 15 = 375 m^{2}$ .
b) $x + y = 80 \Rightarrow x = 80 - y$ .
$(x - 10) (y + 5) = x y \Leftrightarrow 5 x - 10 y - 50 = 0 \Leftrightarrow x - 2 y = 10$ .
$(80 - y) - 2 y = 10 \Rightarrow 3 y = 70 \Rightarrow y = 23, 33$ m, $x = 56, 67$ m.
c) $x + y + 13 = 30 \Rightarrow x + y = 17$ . $x^{2} + y^{2} = 1 3^{2} = 169$ .
$(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y \Rightarrow 1 7^{2} = 169 + 2 x y \Rightarrow 289 = 169 + 2 x y \Rightarrow 2 x y = 120 \Rightarrow x y = 60$ .
Diện tích $S = \frac{1}{2} x y = 30 cm^{2}$ .
d) $x = 3 y$ . $(x - 5) (y + 5) = x y + 75 \Leftrightarrow x y + 5 x - 5 y - 25 = x y + 75 \Leftrightarrow 5 x - 5 y = 100 \Leftrightarrow x - y = 20$ .
$3 y - y = 20 \Rightarrow 2 y = 20 \Rightarrow y = 10$ m, $x = 30$ m.
e) Áp dụng định lý Pythagore: $h = 5^{2} - 3^{2} = 25 - 9 = 16 = 4$ m.
f) ${x + y = 17 \frac{1}{2} x y = 30 \Rightarrow x y = 60$ . Giải phương trình $t^{2} - 17 t + 60 = 0 \Rightarrow t = 12, t = 5$ . Hai cạnh góc vuông là 12 cm và 5 cm.

Bài 4:
Thời gian xe A đi: $9, 5 - 7 = 2, 5$ giờ. Thời gian xe B đi: $9, 5 - 7, 5 = 2$ giờ.
Gọi $x$ là vận tốc xe A, $y$ là vận tốc xe B (km/h).
${x - y = 5 2, 5 x + 2 y = 210 \Rightarrow 2, 5 (y + 5) + 2 y = 210 \Rightarrow 4, 5 y + 12, 5 = 210 \Rightarrow 4, 5 y = 197, 5 \Rightarrow y = 43, 89, x = 48, 89$ km/h (nếu sửa 210 thành 215 km/h thì $y = 45, x = 50$ km/h).

Bài 5:
Gọi thời gian đội 1 làm một mình xong là $x$ (ngày), đội 2 là $y$ (ngày).
${\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16} \frac{6}{x} + \frac{3}{y} = \frac{1}{4} \Rightarrow u + v = \frac{1}{16}, 6 u + 3 v = \frac{1}{4}$ .
$3 u + 3 v = \frac{3}{16} \Rightarrow 3 u = \frac{1}{4} - \frac{3}{16} = \frac{1}{16} \Rightarrow u = \frac{1}{48} \Rightarrow x = 48$ ngày.
$v = \frac{1}{16} - \frac{1}{48} = \frac{1}{24} \Rightarrow y = 24$ ngày.

Bài 6:
${x + y = 150 0, 7 x + 0, 4 y = 0, 6 \times 150 = 90 \Rightarrow {4 x + 4 y = 600 7 x + 4 y = 900 \Rightarrow 3 x = 300 \Rightarrow x = 100$ kg hợp kim I, $y = 50$ kg hợp kim II.

Bài 7:
Gọi vận tốc thực ca nô là $v$ (km/h).
$S = 3 (v + 3) = 4 (v - 3) \Rightarrow 3 v + 9 = 4 v - 12 \Rightarrow v = 21$ km/h.
Khoảng cách AB $= 3 (21 + 3) = 72$ km.

Bài 8:
Lãi 1 năm $= 39, 6/2 = 19, 8$ triệu đồng.
${x + y = 300 0, 06 x + 0, 07 y = 19, 8 \Rightarrow 0, 06 x + 0, 06 y = 18 \Rightarrow 0, 01 y = 1, 8 \Rightarrow y = 180$ triệu (ngân hàng B), $x = 120$ triệu (ngân hàng A).

Bài 9:
Gọi số dãy ghế ban đầu là $x$ , số chỗ mỗi dãy là $y$ ( $x, y \in N^{*}$ ).
$x y = 300$ .
$(x + 2) (y + 3) = 391 \Leftrightarrow x y + 3 x + 2 y + 6 = 391 \Leftrightarrow 3 x + 2 y = 85$ .
Từ $y = \frac{300}{x} \Rightarrow 3 x + \frac{600}{x} = 85 \Rightarrow 3 x^{2} - 85 x + 600 = 0 \Rightarrow x = 20 \Rightarrow y = 15$ .
Ban đầu hội trường có 20 dãy ghế.

Bài 10:
Gọi số ổ 512GB là $x$ , số ổ 1TB là $y$ ( $x, y \in N^{*}$ ).
${x + y = 800 1, 2 x + 2, 0 y = 1280 \Rightarrow 1, 2 x + 1, 2 y = 960 \Rightarrow 0, 8 y = 320 \Rightarrow y = 400$ ổ 1TB, $x = 400$ ổ 512GB.