Bài 29: Tứ giác nội tiếp

3 Ví dụ minh họa Định lý Tứ giác nội tiếp:

• Ví dụ 1: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn. Biết \widehat{A} = 80^^\circ, \widehat{B} = 105^^\circ. Tính số đo các góc $\hat{C}$ và $\hat{D}$.

  • Giải: Vì $ABCD$ nội tiếp \Rightarrow \widehat{A} + \widehat{C} = 180^^\circ \Rightarrow \widehat{C} = 180^^\circ - 80^^\circ = 100^^\circ.
    \widehat{B} + \widehat{D} = 180^^\circ \Rightarrow \widehat{D} = 180^^\circ - 105^^\circ = 75^^\circ.

• Ví dụ 2: Chứng minh hình chữ nhật và hình vuông luôn nội tiếp được đường tròn.

  • Giải: Hình chữ nhật $ABCD$ có \widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{D} = 90^^\circ.
    Tổng hai góc đối \widehat{A} + \widehat{C} = 90^^\circ + 90^^\circ = 180^^\circ \Rightarrow ABCD nội tiếp đường tròn (tâm $O$ là giao điểm 2 đường chéo).

• Ví dụ 3: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp có góc ngoài tại đỉnh $A$ là \widehat{xAB} = 70^^\circ. Tính số đo góc trong đối diện $\hat{C}$.

  • Giải: Ta có \widehat{DAB} = 180^^\circ - \widehat{xAB} = 180^^\circ - 70^^\circ = 110^^\circ.
    Vì $ABCD$ nội tiếp \Rightarrow \widehat{C} = 180^^\circ - \widehat{DAB} = 180^^\circ - 110^^\circ = 70^^\circ.
    (Chú ý: Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện!)

3 Ví dụ minh họa Dấu hiệu nhận biết:

• Ví dụ 1 (Hai góc vuông đối diện): Cho tam giác $ABC$ nhọn. Hai đường cao $BD,CE$ cắt nhau tại $H$. Chứng minh tứ giác $ADHE$ nội tiếp.

  • Giải: BD \perp AC \Rightarrow \widehat{ADH} = 90^^\circ. CE \perp AB \Rightarrow \widehat{AEH} = 90^^\circ.
    Xét tứ giác $ADHE$ có tổng hai góc đối: \widehat{ADH} + \widehat{AEH} = 90^^\circ + 90^^\circ = 180^^\circ.
    Do đó tứ giác $ADHE$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$ (Dấu hiệu 1).

• Ví dụ 2 (Hai góc vuông cùng nhìn 1 cạnh): Chứng minh tứ giác $BEDC$ ở Ví dụ 1 nội tiếp.

  • Giải: \widehat{BEC} = 90^^\circ (do $CE\perp AB$), \widehat{BDC} = 90^^\circ (do $BD\perp AC$).
    Hai đỉnh $E$ và $D$ kề nhau cùng nhìn cạnh $BC$ dưới góc vuông 90^^\circ.
    Do đó tứ giác $BEDC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$ (Dấu hiệu 2).

• Ví dụ 3 (Hai tiếp tuyến cắt nhau): Từ điểm $M$ nằm ngoài $(O)$, kẻ 2 tiếp tuyến $MA,MB$ ($A,B$ là tiếp điểm). Chứng minh tứ giác $MAOB$ nội tiếp.

  • Giải: \widehat{MAO} = 90^^\circ (tiếp tuyến $MA\perp OA$), \widehat{MBO} = 90^^\circ (tiếp tuyến $MB\perp OB$).
    Tổng hai góc đối \widehat{MAO} + \widehat{MBO} = 90^^\circ + 90^^\circ = 180^^\circ \Rightarrow MAOB nội tiếp đường tròn đường kính $MO$.

• Ví dụ 1: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp có $\hat{A}=2\hat{C}$. Tính $\hat{A}$ và $\hat{C}$.

  • Lời giải: \widehat{A} + \widehat{C} = 180^^\circ \Rightarrow 2\widehat{C} + \widehat{C} = 180^^\circ \Rightarrow 3\widehat{C} = 180^^\circ \Rightarrow \widehat{C} = 60^^\circ, \widehat{A} = 120^^\circ.

• Ví dụ 2: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp. Biết tỉ lệ các góc $\hat{A}:\hat{B}:\hat{C}=2:3:4$. Tính các góc của tứ giác.

  • Lời giải: \widehat{A} + \widehat{C} = 180^^\circ. Đặt \widehat{A} = 2k, \widehat{C} = 4k \Rightarrow 6k = 180^^\circ \Rightarrow k = 30^^\circ.
    \widehat{A} = 60^^\circ, \widehat{C} = 120^^\circ. \widehat{B} = 3k = 90^^\circ \Rightarrow \widehat{D} = 180^^\circ - 90^^\circ = 90^^\circ.

• Ví dụ 3: Cho hai đường chéo $AC$ và $BD$ của tứ giác nội tiếp $ABCD$ cắt nhau tại $I$. Biết \widehat{ABD} = 40^^\circ, \widehat{DBC} = 30^^\circ. Tính $\widehat{ACD}$ và $\widehat{CAD}$.

  • Lời giải: \widehat{ACD} = \widehat{ABD} = 40^^\circ (cùng chắn cung $AD$).
    \widehat{CAD} = \widehat{CBD} = 30^^\circ (cùng chắn cung $CD$).

• Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Trên cạnh $AC$ lấy điểm $M$. Kẻ $MN\perp BC$ ($N\in BC$). Chứng minh tứ giác $ABNM$ nội tiếp.

  • Lời giải: \widehat{MAB} = 90^^\circ ($\Delta ABC$ vuông tại $A$).
    \widehat{MNB} = 90^^\circ (do $MN\perp BC$).
    Tứ giác $ABNM$ có \widehat{MAB} + \widehat{MNB} = 90^^\circ + 90^^\circ = 180^^\circ \Rightarrow ABNM nội tiếp (ĐPCM).

• Ví dụ 2: Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Từ điểm $C$ trên tiếp tuyến $Ax$ vẽ tiếp tuyến $CD$ với nửa đường tròn ($D$ là tiếp điểm). Chứng minh tứ giác $AODC$ nội tiếp.

  • Lời giải: \widehat{CAO} = 90^^\circ (tiếp tuyến $Ax\perp AB$), \widehat{CDO} = 90^^\circ (tiếp tuyến $CD\perp OD$).
    \widehat{CAO} + \widehat{CDO} = 90^^\circ + 90^^\circ = 180^^\circ \Rightarrow AODC nội tiếp đường tròn đường kính $CO$ (ĐPCM).

• Ví dụ 3: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Hai đường cao $AD$ và $BE$ cắt nhau tại $H$. Chứng minh tứ giác $CDHE$ nội tiếp.

  • Lời giải: \widehat{CDH} = 90^^\circ ($AD\perp BC$), \widehat{CEH} = 90^^\circ ($BE\perp AC$).
    \widehat{CDH} + \widehat{CEH} = 180^^\circ \Rightarrow CDHE nội tiếp (ĐPCM).

• Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ nhọn. Hai đường cao $BD,CE$ cắt nhau tại $H$. Chứng minh tứ giác $BEDC$ nội tiếp.

  • Lời giải: \widehat{BEC} = 90^^\circ ($CE\perp AB$), \widehat{BDC} = 90^^\circ ($BD\perp AC$).
    Hai đỉnh $E,D$ kề nhau cùng nhìn cạnh $BC$ dưới góc 90^^\circ \Rightarrow BEDC nội tiếp đường tròn đường kính $BC$ (ĐPCM).

• Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Hai đường cao $BD,CE$. Chứng minh tứ giác $BEDC$ nội tiếp.

  • Lời giải: Tương tự Ví dụ 1, $E,D$ cùng nhìn $BC$ dưới góc 90^^\circ \Rightarrow BEDC nội tiếp.

• Ví dụ 3: Cho hình vuông $ABCD$. Trên cạnh $BC$ lấy $M$, trên $CD$ lấy $N$ sao cho \widehat{MAN} = 45^^\circ. Kẻ $AH\perp MN$. Chứng minh 5 điểm $A,B,M,H,D$ cùng thuộc một đường tròn.

  • Lời giải: \widehat{ABM} = 90^^\circ, \widehat{AHM} = 90^^\circ \Rightarrow A, B, H, M thuộc đường tròn đường kính $AM$.
    Tương tự $A,D,N,H$ thuộc đường tròn đường kính $AN$…

• Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ có 3 đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Chứng minh $\widehat{AFE}=\widehat{ACB}$.

  • Lời giải: Tứ giác $BFEC$ nội tiếp (hai đỉnh $F,E$ cùng nhìn $BC$ dưới góc 90^^\circ).
    Suy ra góc ngoài $\widehat{AFE}$ bằng góc trong đỉnh đối $\widehat{ACB}$ (ĐPCM).

• Ví dụ 2: Chứng minh $\Delta AEF\sim \Delta ABC$ trong bài toán trên.

  • Lời giải: $\Delta AEF$ và $\Delta ABC$ có $\hat{A}$ chung và $\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\Rightarrow \Delta AEF\sim \Delta ABC$ (g.g) (ĐPCM).

• Ví dụ 3: Cho đường tròn $(O)$ và cát tuyến $MAB,MCD$. Chứng minh $\Delta MAC\sim \Delta MDB$ và tứ giác $ACDB$ nội tiếp.

  • Lời giải: $\widehat{MCA}=\widehat{MBD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AD$).
    $\Delta MAC\sim \Delta MDB$ (g.g) $\Rightarrow$ góc ngoài $\widehat{MCA}$ bằng góc trong đối diện $\widehat{MBD}\Rightarrow ACDB$ nội tiếp (ĐPCM).

• Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ nhọn có 3 đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Chứng minh $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $DEF$ (tức $DA$ là phân giác góc $\widehat{EDF}$).

  • Lời giải: Tứ giác $DHEC$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{EDH}=\widehat{ECH}$.
    Tứ giác $DHFB$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{FDH}=\widehat{FBH}$.
    Mặt khác $\widehat{ECH}=\widehat{FBH}$ (cùng phụ với góc $\hat{A}$) $\Rightarrow \widehat{EDH}=\widehat{FDH}\Rightarrow DH$ (tức $DA$) là tia phân giác góc $\widehat{EDF}$ (ĐPCM).

• Ví dụ 2: Cho đường tròn $(O)$ và điểm $M$ ngoài $(O)$. Kẻ tiếp tuyến $MA$ và cát tuyến $MBC$. Gọi $I$ là trung điểm $BC$. Chứng minh 5 điểm $M,A,O,I,B$… (hoặc $M,A,O,I$) cùng thuộc một đường tròn.

  • Lời giải: $I$ là trung điểm dây BC \Rightarrow OI \perp BC \Rightarrow \widehat{MIO} = 90^^\circ.
    \widehat{MAO} = 90^^\circ (tiếp tuyến).
    Do đó 4 điểm $M,A,O,I$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MO$ (ĐPCM).

• Ví dụ 3: Chứng minh $M{A}^2=MB\cdot MC$ bằng phương tích tứ giác nội tiếp.

  • Lời giải: Áp dụng tam giác đồng dạng $\Delta MAB\sim \Delta MCA\Rightarrow M{A}^2=MB\cdot MC$.