Bài 28: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác

3 Ví dụ minh họa Đường tròn Ngoại tiếp:

• Ví dụ 1: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ của tam giác vuông $ABC$ (A = 90^^\circ) có $AB=6\text{ cm},AC=8\text{ cm}$.

  • Giải: Cạnh huyền $BC=\sqrt{6^2+8^2}=10\text{ cm}$.
    Tâm $O$ là trung điểm $BC\Rightarrow R=\frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5\text{ cm}$.

• Ví dụ 2: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ của tam giác $ABC$ đều cạnh $a=9\text{ cm}$.

  • Giải: Theo công thức bán kính ngoại tiếp tam giác đều:
    $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}\text{ cm}\approx 5,2\text{ cm}$.

• Ví dụ 3: Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có $AB=AC=4\text{ cm}$. Tính bán kính $R$.

  • Giải: Cạnh huyền $BC=4\sqrt{2}\text{ cm}\Rightarrow R=\frac{BC}{2}=2\sqrt{2}\text{ cm}$.

3 Ví dụ minh họa Đường tròn Nội tiếp:

• Ví dụ 1: Tính bán kính đường tròn nội tiếp $r$ của tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=5\text{ cm},AC=12\text{ cm}$.

  • Giải: Cạnh huyền $BC=\sqrt{5^2+12^2}=13\text{ cm}$.
    Bán kính nội tiếp $r=\frac{AB+AC-BC}{2}=\frac{5+12-13}{2}=\frac{4}{2}=2\text{ cm}$.

• Ví dụ 2: Tính bán kính đường tròn nội tiếp $r$ của tam giác $ABC$ đều cạnh $a=12\text{ cm}$.

  • Giải: $r=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{12\sqrt{3}}{6}=2\sqrt{3}\text{ cm}$.

• Ví dụ 3: Cho tam giác $ABC$ có diện tích $S=54{\text{ cm}}^2$ và chu vi $P=36\text{ cm}$. Tính bán kính nội tiếp $r$.

  • Giải: Nửa chu vi $p=P/2=36/2=18\text{ cm}$.
    Bán kính nội tiếp $r=\frac{S}{p}=\frac{54}{18}=3\text{ cm}$.

• Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=9,AC=12$. Tính $R$ và $r$.

  • Lời giải: Cạnh huyền $BC=\sqrt{9^2+12^2}=15$.
    $R=\frac{BC}{2}=\frac{15}{2}=7,5$.
    $r=\frac{9+12-15}{2}=\frac{6}{2}=3$.

• Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có cạnh huyền $BC=10\sqrt{2}\text{ cm}$. Tính $R,r$.

  • Lời giải: $R=\frac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}\text{ cm}$.
    Hai cạnh góc vuông $AB=AC=10\text{ cm}$.
    $r=\frac{10+10-10\sqrt{2}}{2}=10-5\sqrt{2}\text{ cm}$.

• Ví dụ 3: Khoảng cách giữa tâm $O$ (ngoại tiếp) và tâm $I$ (nội tiếp) của tam giác vuông tính theo công thức Euler: $OI=\sqrt{R(R-2r)}$. Áp dụng cho Ví dụ 1.

  • Lời giải: Thay $R=7,5$ và $r=3$:
    $OI=\sqrt{7,5(7,5-2\times 3)}=\sqrt{7,5\times 1,5}=\sqrt{11,25}\approx 3,35\text{ cm}$.

• Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ đều có bán kính nội tiếp $r=4\text{ cm}$. Tính độ dài cạnh $a$ và bán kính ngoại tiếp $R$.

  • Lời giải: $R=2r=2\times 4=8\text{ cm}$.
    $r=\frac{a\sqrt{3}}{6}=4\Rightarrow a\sqrt{3}=24\Rightarrow a=\frac{24}{\sqrt{3}}=8\sqrt{3}\text{ cm}$.

• Ví dụ 2: Tính diện tích hình vành khăn nằm giữa đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh $a=6\text{ cm}$.

  • Lời giải: $R=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\text{ cm}\Rightarrow S_{\text{ngoại}}=\pi R^2=12\pi$.
    $r=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}\text{ cm}\Rightarrow S_{\text{nội}}=\pi r^2=3\pi$.
    Diện tích hình vành khăn $S_{\text{vk}}=12\pi -3\pi =9\pi {\text{ cm}}^2$.

• Ví dụ 3: Tỉ số diện tích $S_{\text{ngoại}}/S_{\text{nội}}$ của tam giác đều bằng bao nhiêu?

  • Lời giải: $\frac{S_{\text{ngoại}}}{S_{\text{nội}}}=\frac{\pi R^2}{\pi r^2}={\left(\frac{R}{r}\right)}^2=2^2=4$. Tỉ số luôn luôn bằng 4.

• Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AB=AC=10\text{ cm},BC=12\text{ cm}$. Tính $R$.

  • Lời giải: Kẻ đường cao $AH\perp BC\Rightarrow H$ là trung điểm $BC\Rightarrow BH=6\text{ cm}$.
    $AH=\sqrt{10^2-6^2}=8\text{ cm}$.
    Gọi $O$ là tâm ngoại tiếp $\in AH$. $OB=R,OH=8-R$.
    In $\Delta OBH$ vuông tại $H$: $O{B}^2=B{H}^2+O{H}^2\iff R^2=6^2+(8-R{)}^2\iff R^2=36+64-16R+R^2\iff 16R=100\Rightarrow R=6,25\text{ cm}$.

• Ví dụ 2: Tính bán kính nội tiếp $r$ của tam giác $ABC$ ở Ví dụ 1.

  • Lời giải: $S_{ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AH=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 8=48{\text{ cm}}^2$.
    Nửa chu vi $p=\frac{10+10+12}{2}=16\text{ cm}$.
    Bán kính nội tiếp $r=\frac{S}{p}=\frac{48}{16}=3\text{ cm}$.

• Ví dụ 3: Tính khoảng cách $AH$ và tỉ số $r/AH$ trong Ví dụ 2.

  • Lời giải: $r/AH=3/8=0,375$.

• Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ có 3 cạnh $a=7,b=8,c=9$. Tính diện tích $S$, $R$ và $r$.

  • Lời giải: $p=\frac{7+8+9}{2}=12$.
    $S=\sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)}=\sqrt{12\times 5\times 4\times 3}=\sqrt{720}=12\sqrt{5}\approx 26,83$.
    $R=\frac{7\times 8\times 9}{4\times 12\sqrt{5}}=\frac{504}{48\sqrt{5}}=\frac{10,5}{\sqrt{5}}=\frac{21\sqrt{5}}{10}\approx 4,69$.
    $r=\frac{S}{p}=\frac{12\sqrt{5}}{12}=\sqrt{5}\approx 2,24$.

• Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC$ có $a=4,b=13,c=15$. Tính $R,r$.

  • Lời giải: $p=\frac{4+13+15}{2}=16$.
    $S=\sqrt{16(12)(3)(1)}=\sqrt{576}=24$.
    $R=\frac{4\times 13\times 15}{4\times 24}=\frac{780}{96}=8,125$.
    $r=\frac{24}{16}=1,5$.

• Ví dụ 3: Cho tam giác $ABC$ có $a=5,b=5,c=6$. Tính $R,r$.

  • Lời giải: $p=8$. $S=\sqrt{8(3)(3)(2)}=12$.
    $R=\frac{5\times 5\times 6}{4\times 12}=\frac{150}{48}=3,125$.
    $r=\frac{12}{8}=1,5$.

• Ví dụ 1: Một mảnh vườn hình tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $6\text{ m}$ và $8\text{ m}$. Người ta muốn trồng một bồn hoa hình tròn nội tiếp mảnh vườn. Tính diện tích lớn nhất của bồn hoa.

  • Lời giải: Bán kính bồn hoa tròn nội tiếp $r=\frac{6+8-10}{2}=2\text{ m}$.
    Diện tích bồn hoa $S=\pi r^2=\pi (2{)}^2=4\pi \approx 12,57{\text{ m}}^2$.

• Ví dụ 2: Một tấm sắt hình tam giác đều cạnh $a=60\text{ cm}$. Người ta cắt ra một phôi tròn ngoại tiếp tam giác đó. Tính bán kính tấm phôi tròn.

  • Lời giải: Bán kính phôi tròn ngoại tiếp $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{60\sqrt{3}}{3}=20\sqrt{3}\approx 34,64\text{ cm}$.

• Ví dụ 3: Một công viên hình tam giác có 3 cạnh $30\text{ m},40\text{ m},50\text{ m}$. Đặt một vòi phun nước tròn nội tiếp công viên. Tính bán kính vòi phun phủ sóng tối đa.

  • Lời giải: $30^2+40^2=50^2\Rightarrow$ công viên tam giác vuông.
    Bán kính vòi phun $r=\frac{30+40-50}{2}=10\text{ m}$.