Lớp 9 · Chương IX: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

Bài 27: Góc nội tiếp

🚀 Khởi động

🏟️ Góc Quan Sát Khán Đài & Khái Niệm Góc Nội Tiếp

Khi các kiến sư thiết kế sân vận động bóng đá, các vị trí khán đài nằm trên cùng một đường cung tròn có cùng góc nhìn $α$ hướng về hai cột gôn $A$ và $B$ .

Về mặt hình học:

Đỉnh của góc quan sát $C$ nằm trên đường tròn.
Hai cạnh $C A$ và $C B$ cắt đường tròn tại hai điểm $A$ và $B$ .
Góc $A C B$ chính là một Góc nội tiếp chắn cung $A B$ !

🔍 Khám phá

📖 1. Định nghĩa và Định lý Góc nội tiếp

1. Định nghĩa:

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn.

2. Định lý số đo góc nội tiếp: In a circle, the measure of an inscribed angle equals half the measure of its intercepted arc: $B A C = \frac{1}{2} s đ \overparen B C = \frac{1}{2} B O C$

3 Ví dụ minh họa Định lý Góc nội tiếp:

Ví dụ 1: Cho đường tròn $(O)$ và góc ở tâm $\widehat{BOC} = 100^^\circ$ . Tính số đo góc nội tiếp $B A C$ cùng chắn cung nhỏ $B C$ .
- Giải: Theo định lý góc nội tiếp: $\widehat{BAC} = \frac{1}{2} \widehat{BOC} = \frac{1}{2} \times 100^^\circ = 50^^\circ$ .
Ví dụ 2: Cho đường tròn $(O)$ có sđ $\overparen{AB} = 120^^\circ$ . Lấy điểm $C$ trên cung lớn $A B$ . Tính số đo góc $A C B$ .
- Giải: $\widehat{ACB} = \frac{1}{2} \text{sđ}\overparen{AB} = \frac{1}{2} \times 120^^\circ = 60^^\circ$ .
Ví dụ 3: Cho tam giác $A B C$ đều nội tiếp đường tròn $(O)$ . Tính số đo các góc ở tâm $A O B, B O C, C O A$ .
- Giải: Tam giác $A B C$ đều $\Rightarrow \widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = 60^^\circ$ .
  Các góc ở tâm gấp đôi các góc nội tiếp tương ứng $\Rightarrow \widehat{AOB} = \widehat{BOC} = \widehat{COA} = 2 \times 60^^\circ = 120^^\circ$ .

📖 2. Các Hệ quả quan trọng & Góc tạo bởi Tiếp tuyến và Dây cung

1. Các hệ quả của Góc nội tiếp: Trong một đường tròn:

Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng $90^^\circ$ ) có số đo bằng một nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung.
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông ( $\widehat{ACB} = 90^^\circ$ khi $A B$ là đường kính).

2. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung:

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến $A x$ và dây cung $A B$ có đỉnh tại tiếp điểm $A$ .
Số đo: $x A B = \frac{1}{2} s đ \overparen A B = A C B$ (bằng góc nội tiếp cùng chắn cung $A B$ ).

3 Ví dụ minh họa Hệ quả & Tiếp tuyến dây cung:

Ví dụ 1: Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $A B = 10 cm$ . Lấy điểm $C$ trên nửa đường tròn sao cho $A C = 6 cm$ . Tính độ dài $B C$ và số đo góc $A B C$ .
- Giải: Vì góc $A C B$ chắn nửa đường tròn $\Rightarrow \widehat{ACB} = 90^^\circ \Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $C$ .
  Theo Pythagore: $B C = A B^{2} - A C^{2} = 1 0^{2} - 6^{2} = 8 cm$ .
  $\sin \widehat{ABC} = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} = 0,6 \Rightarrow \widehat{ABC} \approx 36,87^^\circ$ .
Ví dụ 2: Cho đường tròn $(O)$ và điểm $A \in (O)$ . Vẽ tiếp tuyến $A x$ và dây cung $A B$ sao cho $\widehat{xAB} = 40^^\circ$ . Tính số đo góc $A O B$ và số đo góc nội tiếp $A C B$ .
- Giải: Theo tính chất tiếp tuyến dây cung: $\text{sđ}\overparen{AB} = 2 \times \widehat{xAB} = 2 \times 40^^\circ = 80^^\circ$ .
  Góc ở tâm $\widehat{AOB} = \text{sđ}\overparen{AB} = 80^^\circ$ .
  Góc nội tiếp $\widehat{ACB} = \widehat{xAB} = 40^^\circ$ .
Ví dụ 3: Từ điểm $M$ ngoài $(O)$ , kẻ tiếp tuyến $M A$ ( $A$ là tiếp điểm) và cát tuyến $M B C$ . Chứng minh $M A^{2} = M B \cdot M C$ .
- Giải: Xét $Δ M A B$ và $Δ M C A$ :
  $M$ chung; $M A B = M C A$ (góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung $A B$ ).
  $\Rightarrow Δ M A B \sim Δ M C A$ (g.g) $\Rightarrow \frac{M A}{M C} = \frac{M B}{M A} \Rightarrow M A^{2} = M B \cdot M C$ (ĐPCM).

🎯 5 Dạng toán & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Tính số đo góc nội tiếp, góc ở tâm và số đo cung

Phương pháp: Áp dụng định lý $N ộ i_t i \overset{ˊ}{\overset{e}{^}} p = \frac{1}{2} s đ \overparen C h \overset{ˊ}{\overset{a}{˘}} n = \frac{1}{2} Ở_t \overset{a}{^} m$ .

Ví dụ 1: Cho $(O)$ có $\widehat{AOB} = 140^^\circ$ . Tính số đo góc nội tiếp $A C B$ trên cung lớn $A B$ .
- Lời giải: $\widehat{ACB} = \frac{1}{2} \widehat{AOB} = \frac{1}{2} \times 140^^\circ = 70^^\circ$ .
Ví dụ 2: Cho góc nội tiếp $\widehat{MAN} = 35^^\circ$ . Tính sđ $\overparen M N$ và góc ở tâm $M O N$ .
- Lời giải: sđ $\overparen{MN} = 2 \times 35^^\circ = 70^^\circ \Rightarrow \widehat{MON} = 70^^\circ$ .
Ví dụ 3: Cho đường tròn $(O)$ có 4 điểm $A, B, C, D$ theo thứ tự. Biết sđ $\overparen{AB} = 60^^\circ$ , sđ $\overparen{BC} = 80^^\circ$ , sđ $\overparen{CD} = 100^^\circ$ . Tính góc nội tiếp $A D C$ và $A B C$ .
- Lời giải: sđ $\overparen{ADC} = \text{sđ}\overparen{AB} + \text{sđ}\overparen{BC} = 60^^\circ + 80^^\circ = 140^^\circ \Rightarrow \widehat{ADC} = \frac{140^^\circ}{2} = 70^^\circ$ .
  sđ $\overparen{AD} = 360^^\circ - (60+80+100) = 120^^\circ$ .
  sđ $\overparen{ADC} = 140^^\circ \Rightarrow \widehat{ABC} = \frac{360^^\circ - 140^^\circ}{2} = 110^^\circ$ .

Dạng 2: Bài toán Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ( $\widehat{ACB} = 90^^\circ$ )

Phương pháp: Nhận biết tam giác vuông nội tiếp đường tròn nhận cạnh huyền làm đường kính, áp dụng định lý Pythagore và hệ thức lượng.

Ví dụ 1: Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $A B = 20 cm$ . Điểm $C$ thuộc nửa đường tròn sao cho $A C = 12 cm$ . Kẻ $C H ⊥ A B$ . Tính $C H, H B$ .
- Lời giải: $\widehat{ACB} = 90^^\circ \Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $C$ .
  $B C = 2 0^{2} - 1 2^{2} = 16 cm$ .
  $C H = \frac{A C \cdot B C}{A B} = \frac{12 \cdot 16}{20} = 9, 6 cm$ .
  $H B = \frac{B C ^{2}}{A B} = \frac{1 6 ^{2}}{20} = 12, 8 cm$ .
Ví dụ 2: Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $A B$ . Gọi $C, D$ là hai điểm trên nửa đường tròn. $A C$ cắt $B D$ tại $E$ . Chứng minh $E$ là trực tâm tam giác có 2 đường cao $A C, B D$ .
- Lời giải: $\widehat{ACB} = 90^^\circ \Rightarrow AC \perp BE$ ; $\widehat{ADB} = 90^^\circ \Rightarrow BD \perp AE$ .
  Hai đường cao $A C, B D$ cắt nhau tại $E \Rightarrow E$ chính là trực tâm của tam giác $E A B$ (ĐPCM).
Ví dụ 3: Chứng minh rằng từ điểm $C$ nằm ngoài đường tròn đường kính $A B$ , hai tiếp tuyến kẻ từ $C$ tiếp xúc với đường tròn tại $M, N$ thì $C M = C N$ .
- Lời giải: Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.

Dạng 3: Bài toán Góc tạo bởi Tiếp tuyến và Dây cung

Phương pháp: Sử dụng hệ thức $x A B = \frac{1}{2} s đ \overparen A B = A C B$ để chứng minh hai góc bằng nhau hoặc tam giác đồng dạng.

Ví dụ 1: Cho đường tròn $(O)$ và tiếp tuyến $A x$ . Gọi $B, C$ là hai điểm thuộc $(O)$ . Chứng minh $x A B = A C B$ .
- Lời giải: Theo định lý góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, góc $x A B$ chắn cung $A B$ nên $x A B = \frac{1}{2} s đ \overparen A B$ .
  Góc nội tiếp $A C B$ cũng chắn cung $A B$ nên $A C B = \frac{1}{2} s đ \overparen A B \Rightarrow x A B = A C B$ (ĐPCM).
Ví dụ 2: Cho đường tròn $(O)$ và hai tiếp tuyến $M A, M B$ ( $A, B$ là tiếp điểm). Kẻ dây $A C // M B$ . Đọạn $M C$ cắt $(O)$ tại $D$ . Chứng minh $Δ M A D \sim Δ M C A$ .
- Lời giải: $M A D = A C D$ (tiếp tuyến dây cung và góc nội tiếp cùng chắn $\overparen A D$ ).
  $Δ M A D$ và $Δ M C A$ có $M$ chung và $M A D = M C A \Rightarrow Δ M A D \sim Δ M C A$ (g.g) (ĐPCM).
Ví dụ 3: Từ kết quả Ví dụ 2, chứng minh $M A^{2} = M D \cdot M C$ .
- Lời giải: Từ $Δ M A D \sim Δ M C A \Rightarrow \frac{M A}{M C} = \frac{M D}{M A} \Rightarrow M A^{2} = M D \cdot M C$ (ĐPCM).

Dạng 4: Chứng minh Hai góc bằng nhau & Tam giác đồng dạng

Phương pháp: Chứng minh hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Ví dụ 1: Cho hai dây $A B$ và $C D$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $I$ bên trong đường tròn. Chứng minh $I A \cdot I B = I C \cdot I D$ .
- Lời giải: Xét $Δ I A D$ và $Δ I C B$ :
  $A I D = C I B$ (đối đỉnh).
  $I A D = I C B$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $B D$ ).
  $\Rightarrow Δ I A D \sim Δ I C B$ (g.g) $\Rightarrow \frac{I A}{I C} = \frac{I D}{I B} \Rightarrow I A \cdot I B = I C \cdot I D$ (ĐPCM).
Ví dụ 2: Cho tam giác $A B C$ nhọn nội tiếp $(O)$ . Hai đường cao $B D, C E$ cắt nhau tại $H$ . Chứng minh $E D H = E C B$ .
- Lời giải: Tứ giác $B E D C$ nội tiếp (hoặc 4 điểm $B, E, D, C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $B C$ ).
  Suy ra $E D H = E C B$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $E B$ ) (ĐPCM).
Ví dụ 3: Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$ nội tiếp $(O)$ . Kẻ đường thẳng $d // B C$ cắt $(O)$ tại $D, E$ . Chứng minh tứ giác $B D E C$ là hình thang cân.
- Lời giải: $d // B C \Rightarrow B D E C$ là hình thang.
  $Δ A B C$ cân tại $A \Rightarrow B = C \Rightarrow B D E C$ là hình thang cân (ĐPCM).

Dạng 5: Bài toán Tổng hợp Chứng minh Tiếp tuyến và Vuông góc

Phương pháp: Kết hợp góc nội tiếp chắn nửa đường tròn và tính chất hai đường thẳng vuông góc.

Ví dụ 1: Cho đường tròn $(O)$ đường kính $A B$ . Trên tiếp tuyến $A x$ của $(O)$ lấy điểm $M$ . Đoạn $M B$ cắt $(O)$ tại $C$ . Chứng minh $M A^{2} = M C \cdot M B$ .
- Lời giải: $\widehat{ACB} = 90^^\circ$ (chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow A C ⊥ M B$ .
  In $Δ M A B$ vuông tại $A$ , đường cao $A C ⊥ M B$ :
  Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông: $M A^{2} = M C \cdot M B$ (ĐPCM).
Ví dụ 2: Chứng minh $A C^{2} = B C \cdot B M$ trong bài toán trên.
- Lời giải: Theo hệ thức lượng: $A C^{2} = M C \cdot C B$ … (hoặc $A B^{2} = B C \cdot B M$ ).
Ví dụ 3: Gọi $I$ là trung điểm $M A$ . Chứng minh $I C$ là tiếp tuyến của $(O)$ .
- Lời giải: $Δ M A C$ vuông tại $C$ , $C I$ là trung tuyến $\Rightarrow C I = I A = M A /2 \Rightarrow Δ I A C$ cân tại $I \Rightarrow I C A = I A C$ .
  $Δ O A C$ cân tại $O \Rightarrow O C A = O A C$ .
  $\widehat{ICO} = \widehat{ICA} + \widehat{OCA} = \widehat{IAC} + \widehat{OAC} = \widehat{IAO} = 90^^\circ \Rightarrow IC \perp OC$ tại $C \Rightarrow I C$ là tiếp tuyến của $(O)$ (ĐPCM).

🌍 Vận dụng thực tế

🌍 3 Bài toán ứng dụng đời sống thực tế

Bài toán 1 (Thiết Kế Khán Đài Sân Vận Động):
Trong thiết kế sân vận động thể thao, góc quan sát $α = A C B$ hướng về hai cột gôn $A, B$ của một khán giả ngồi tại ghế $C$ trên đường bờ cong tròn. Biết khoảng cách giữa hai cột gôn là $A B = 7, 32 m$ và khán giả $C$ cách tâm sân $O$ đúng bằng bán kính khán đài $R = 20 m$ .
a) Tính góc ở tâm $A O B$ tạo bởi hai cột gôn.
b) Tính góc quan sát $A C B$ của khán giả tại ghế $C$ .

Bài toán 2 (Hàng Hải & Tầm Nhìn An Toàn Hải Đăng):
Hai hải đăng $A$ và $B$ đặt cách nhau $12 hải l \overset{y}{ˊ}$ . Một tàu biển $C$ di chuyển ngoài biển sao cho luôn nhìn hai hải đăng dưới một góc không đổi $\widehat{ACB} = 45^^\circ$ .
a) Chứng minh con tàu $C$ luôn di chuyển trên một cung tròn cố định nhận $A B$ làm dây cung.
b) Tính bán kính $R$ của đường cung tròn chuyển động của con tàu.

Bài toán 3 (Công Nghiệp & Thước Kẹp Kiểm Tra Góc Vuông Cữ Tròn):
Kỹ sư cơ khí dùng một thước góc vuông chữ L đặt vào một chi tiết máy hình tròn đường kính $A B = 50 mm$ . Hai cạnh thước cắt đường tròn tại $A, B$ và đỉnh thước $C$ chạm vào đường tròn.
a) Giải thích vì sao đoạn $A B$ nối hai tiếp điểm chính là đường kính của chi tiết máy.
b) Tính độ dài đoạn $B C$ nếu biết $A C = 30 mm$ .

✏️ Thực hành tương tác

📌 Hướng dẫn: Công cụ dưới đây giúp bạn thực hành tính toán số đo góc nội tiếp, góc ở tâm và kiểm tra tính chất góc vuông chắn nửa đường tròn!

√

Thực hành tương tác: Căn bậc hai số học

Nhập giá trị của √144:

⭐ Điểm: 0Đã trả lời: 0 câu

💡 Gợi ý: 1²=1, 2²=4, 3²=9, 4²=16, 5²=25, 6²=36, 7²=49, 8²=64, 9²=81, 10²=100, 11²=121, 12²=144, 13²=169, 14²=196, 15²=225.

⭐ Ghi nhớ

Trọng tâm kiến thức Bài 27:

Định lý Góc nội tiếp: $B A C = \frac{1}{2} s đ \overparen B C = \frac{1}{2} B O C$ .
Hệ quả quan trọng: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông ( $\widehat{ACB} = 90^^\circ$ ).
Tiếp tuyến & Dây cung: $x A B = \frac{1}{2} s đ \overparen A B = A C B$ .

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Góc nội tiếp là góc có đặc điểm gì?

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $B, C \in (O)$ . Tính số đo góc nội tiếp $B A C$ biết:
a) $\widehat{BOC} = 80^^\circ$
b) $\widehat{BOC} = 150^^\circ$
c) sđ $\overparen{BC}_{nhỏ} = 110^^\circ$
d) sđ $\overparen{BC}_{lớn} = 220^^\circ$
e) Tam giác $O B C$ là tam giác đều
f) Tam giác $O B C$ vuông cân tại $O$

Bài 2: Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $A B = 2 R$ . Lấy điểm $C$ trên nửa đường tròn sao cho $\widehat{CAB} = 30^^\circ$ .
a) Tính số đo góc $A C B$ và $A B C$ .
b) Tính độ dài các cạnh $A C$ và $B C$ theo $R$ .
c) Kẻ đường cao $C H ⊥ A B$ . Tính $C H, A H, H B$ theo $R$ .
d) Gọi $M$ là trung điểm $A C$ . Tính $O M$ .
e) Tính diện tích tam giác $A B C$ theo $R$ .
f) Tính chu vi tam giác $A B C$ theo $R$ .

Bài 3: Cho đường tròn $(O)$ và tiếp tuyến $A x$ . Gọi $B, C$ là hai điểm trên $(O)$ .
a) Tính $x A B$ biết $\widehat{ACB} = 55^^\circ$ .
b) Tính $x A B$ biết $\widehat{AOB} = 110^^\circ$ .
c) Tính sđ $\overparen A B$ biết $\widehat{xAB} = 75^^\circ$ .
d) Kẻ dây $A C // A x$ . Chứng minh tam giác $A B C$ cân tại $A$ .
e) Kẻ đường kính $A D$ . Chứng minh $x A B = A D B$ .
f) Chứng minh $A x ⊥ O A$ .

Bài 4: Từ điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O; R)$ , kẻ tiếp tuyến $M A$ ( $A$ là tiếp điểm) và cát tuyến $M B C$ ( $B$ nằm giữa $M$ và $C$ ).
a) Chứng minh $Δ M A B \sim Δ M C A$ .
b) Chứng minh $M A^{2} = M B \cdot M C$ .
c) Biết $M A = 12 cm, M B = 8 cm$ . Tính $B C$ .

Bài 5: Cho tam giác $A B C$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ . Hai đường cao $B D$ và $C E$ cắt nhau tại $H$ .
a) Chứng minh 4 điểm $B, E, D, C$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh $A D E = A B C$ .
c) Kẻ đường kính $A K$ của $(O)$ . Chứng minh tứ giác $B H C K$ là hình bình hành.

Bài 6: Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $A B$ . Kẻ tiếp tuyến $A x$ . Trên $A x$ lấy điểm $M$ , kẻ tiếp tuyến thứ hai $M C$ với nửa đường tròn ( $C$ là tiếp điểm).
a) Chứng minh $O M ⊥ A C$ .
b) Chứng minh $M B // O C$ (hoặc $M C = M A$ ).
c) Đoạn $M B$ cắt nửa đường tròn tại $D$ . Chứng minh $M D \cdot M B = M A^{2}$ .

Bài 7: Cho hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$ cắt nhau tại $A$ và $B$ . Kẻ dây $A C$ của $(O_{1})$ tiếp xúc với $(O_{2})$ tại $A$ . Kẻ dây $A D$ của $(O_{2})$ tiếp xúc với $(O_{1})$ tại $A$ .
a) Chứng minh $A B C = C A D$ .
b) Chứng minh $A B^{2} = B C \cdot B D$ .

Bài 8: Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai dây song song thì chắn hai cung bằng nhau.

Bài 9 (Thực tế): Trong một thiết kế sân khấu vòng tròn, hai đèn chiếu $A$ và $B$ hướng vào tâm sân khấu $O$ tạo góc $\widehat{AOB} = 120^^\circ$ . Diễn viên đứng tại điểm $C$ trên viền sân khấu sao cho nhìn hai đèn chiếu dưới góc $A C B$ . Tính góc nhìn $A C B$ của diễn viên.

Bài 10 (Thực tế): Thợ kim hoàn dùng một thước đo đường kính dạng cữ góc vuông đặt vào chiếc nhẫn vàng hình tròn. Hai cạnh thước tiếp xúc với nhẫn tại $A$ và $B$ . Đỉnh góc vuông $C$ nằm trên đường tròn nhẫn. Biết $A C = 12 mm, B C = 16 mm$ . Tính đường kính chiếc nhẫn.

📊 Lời giải chi tiết 10 bài tập tự luận

Bài 1:
a) $\widehat{BAC} = \frac{80^^\circ}{2} = 40^^\circ$ .
b) $\widehat{BAC} = \frac{150^^\circ}{2} = 75^^\circ$ .
c) $\widehat{BAC} = \frac{110^^\circ}{2} = 55^^\circ$ .
d) sđ $\overparen{BC}_{nhỏ} = 360^^\circ - 220^^\circ = 140^^\circ \Rightarrow \widehat{BAC} = \frac{140^^\circ}{2} = 70^^\circ$ .
e) $Δ O B C$ đều $\Rightarrow \widehat{BOC} = 60^^\circ \Rightarrow \widehat{BAC} = 30^^\circ$ .
f) $Δ O B C$ vuông cân $\Rightarrow \widehat{BOC} = 90^^\circ \Rightarrow \widehat{BAC} = 45^^\circ$ .

Bài 2:
a) $\widehat{ACB} = 90^^\circ$ (chắn nửa đường tròn). $\widehat{ABC} = 90^^\circ - 30^^\circ = 60^^\circ$ .
b) $BC = AB \cdot \sin 30^^\circ = 2R \cdot 0,5 = R$ . $AC = AB \cdot \cos 30^^\circ = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$ .
c) $C H = \frac{A C \cdot B C}{A B} = \frac{R 3 \cdot R}{2 R} = \frac{R 3}{2}$ .
$A H = \frac{A C ^{2}}{A B} = \frac{3 R ^{2}}{2 R} = \frac{3 R}{2}$ ; $H B = 2 R - \frac{3 R}{2} = \frac{R}{2}$ .
d) $O M ⊥ A C$ (đường trung bình $Δ A B C$ ) $\Rightarrow O M = \frac{B C}{2} = \frac{R}{2}$ .
e) $S_{A B C} = \frac{1}{2} A C \cdot B C = \frac{1}{2} \cdot R 3 \cdot R = \frac{R ^{2} 3}{2}$ .
f) Chu vi $P = A B + B C + C A = 2 R + R + R 3 = R (3 + 3)$ .

Bài 3:
a) $\widehat{xAB} = \widehat{ACB} = 55^^\circ$ .
b) $\widehat{xAB} = \frac{1}{2} \widehat{AOB} = \frac{110^^\circ}{2} = 55^^\circ$ .
c) sđ $\overparen{AB} = 2 \times 75^^\circ = 150^^\circ$ .
d) $A C // A x \Rightarrow A C B = x A B$ (so le trong). Mà $x A B = A B C \Rightarrow A C B = A B C \Rightarrow Δ A B C$ cân tại $A$ .
e) $\widehat{ADB} = 90^^\circ - \widehat{DAB} = \widehat{xAB}$ (do $A x ⊥ A D$ ).
f) Vì $A x$ là tiếp tuyến tại $A$ nên $A x ⊥ O A$ .

Bài 4:
a) $Δ M A B$ và $Δ M C A$ có $M$ chung, $M A B = M C A \Rightarrow Δ M A B \sim Δ M C A$ (g.g).
b) Từ đồng dạng $\Rightarrow \frac{M A}{M C} = \frac{M B}{M A} \Rightarrow M A^{2} = M B \cdot M C$ .
c) $1 2^{2} = 8 \cdot M C \Rightarrow 144 = 8 \cdot M C \Rightarrow M C = 18 cm$ .
$B C = M C - M B = 18 - 8 = 10 cm$ .

Bài 5:
a) $\widehat{BEC} = \widehat{BDC} = 90^^\circ \Rightarrow B, E, D, C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $B C$ .
b) Trong đường tròn đường kính $B C$ : $A D E = A B C$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $E C$ ).
c) $\widehat{ACK} = 90^^\circ \Rightarrow CK \perp AC \Rightarrow CK // BH$ .
$\widehat{ABK} = 90^^\circ \Rightarrow BK \perp AB \Rightarrow BK // CH$ .
Tứ giác $B H C K$ có 2 cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành (ĐPCM).

Bài 6:
a) $M A = M C$ và $O A = O C = R \Rightarrow O M$ là đường trung trực của $A C \Rightarrow O M ⊥ A C$ .
b) $\widehat{ACB} = 90^^\circ \Rightarrow BC \perp AC$ . Mà $O M ⊥ A C \Rightarrow O M // B C$ .
c) $\widehat{ADM} = 90^^\circ$ (chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow A D ⊥ M B$ .
In $Δ M A B$ vuông tại $A$ , đường cao $A D ⊥ M B$ : $M A^{2} = M D \cdot M B$ (ĐPCM).

Bài 7:
a) Trong $(O_{1})$ : $C A B = A C B$ . Trong $(O_{2})$ : $D A B = A B D$ .
Cộng vế với vế: $A B C = A B D + D B C = C A D$ (ĐPCM).
b) $Δ A B C \sim Δ D B A$ (g.g) $\Rightarrow \frac{A B}{D B} = \frac{B C}{B A} \Rightarrow A B^{2} = B C \cdot B D$ (ĐPCM).

Bài 8:
Giả sử $A B // C D$ . Vẽ đường kính $E F ⊥ A B \Rightarrow E F ⊥ C D$ .
Do tính chất đối xứng qua đường kính $E F$ , cung $A C$ đối xứng với cung $B D \Rightarrow$ sđ $\overparen A C =$ sđ $\overparen B D$ (ĐPCM).

Bài 9:
Diễn viên $C$ đứng trên viền sân khấu (đường tròn) nhìn 2 đèn $A, B$ dưới góc nội tiếp $A C B$ .
$\widehat{ACB} = \frac{1}{2} \widehat{AOB} = \frac{120^^\circ}{2} = 60^^\circ$ .

Bài 10:
Đỉnh $C$ vuông ( $90^^\circ$ ) nội tiếp chiếc nhẫn $\Rightarrow A B$ chính là đường kính của chiếc nhẫn.
Trong tam giác vuông $A B C$ ( $C = 90^^\circ$ ):
Đường kính $A B = A C^{2} + B C^{2} = 1 2^{2} + 1 6^{2} = 144 + 256 = 400 = 20 mm$ .
Đường kính chiếc nhẫn là $20 mm$ .