Lớp 9 · Chương VII: Tần số và tần số tương đối

Bài 24: Bảng tần số, tần số tương đối ghép nhóm và biểu đồ ghép nhóm

🚀 Khởi động

📏 Dữ Liệu Liên Tục & Tại Sao Cần Ghép Nhóm?

Khi đo chiều cao của 100 học sinh, các số đo thường lẻ đến milimét: $155, 4 cm; 162, 1 cm; 158, 7 cm, ...$ Nếu lập bảng tần số thông thường, hầu như mỗi giá trị chỉ xuất hiện đúng 1 lần ( $n_{i} = 1$ ), bảng sẽ kéo dài hàng trăm dòng và hoàn toàn mất tác dụng tổng hợp!

Để giải quyết các dữ liệu liên tục hoặc dữ liệu có quá nhiều giá trị khác nhau, người ta gom các số liệu thành các Khoảng / Nhóm kề nhau $[a; b)$ — hình thành Bảng tần số ghép nhóm và Biểu đồ cột ghép nhóm kề nhau (Histogram)!

🔍 Khám phá

📖 1. Bảng Tần số và Tần số tương đối Ghép nhóm

1. Cấu trúc Mẫu số liệu ghép nhóm:

Mẫu số liệu được phân chia thành $k$ nhóm dạng nửa khoảng $[a_{1}; a_{2}), [a_{2}; a_{3}), ..., [a_{k}; a_{k + 1})$ .
Mỗi giá trị $x$ thuộc nhóm $[a_{i}; a_{i + 1}) \Leftrightarrow a_{i} \leq x < a_{i + 1}$ (nhóm cuối cùng có thể bao gồm cả mút phải $[a_{k}; a_{k + 1}]$ ).

2. Giá trị đại diện của nhóm ( $x_{i}$ ):

Mỗi nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ được đại diện bởi điểm chính giữa của nhóm: $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$

3. Tần số tương đối của nhóm ( $f_{i}$ ): $f_{i} = \frac{n _{i}}{N} \cdot 100%$

3 Ví dụ minh họa Bảng ghép nhóm:

Ví dụ 1: Kết quả đo khối lượng (kg) của 40 học sinh được ghép thành 4 nhóm. Tìm giá trị đại diện $x_{i}$ của mỗi nhóm:
$[40; 45), [45; 50), [50; 55), [55; 60)$ .
- Giải:
  - Nhóm 1 $[40; 45) \Rightarrow x_{1} = \frac{40 + 45}{2} = 42, 5 kg$ .
  - Nhóm 2 $[45; 50) \Rightarrow x_{2} = \frac{45 + 50}{2} = 47, 5 kg$ .
  - Nhóm 3 $[50; 55) \Rightarrow x_{3} = \frac{50 + 55}{2} = 52, 5 kg$ .
  - Nhóm 4 $[55; 60) \Rightarrow x_{4} = \frac{55 + 60}{2} = 57, 5 kg$ .
Ví dụ 2: Cho bảng tần số ghép nhóm có 40 học sinh trên:

Nhóm khối lượng (kg)	$[40; 45)$	$[45; 50)$	$[50; 55)$	$[55; 60)$	Tổng
Tần số ( $n_{i}$ )	6	16	12	6	$N = 40$

Tính tần số tương đối $f_{i}$ của từng nhóm.

Giải:
- $f_{1} = \frac{6}{40} \cdot 100% = 15%$ .
- $f_{2} = \frac{16}{40} \cdot 100% = 40%$ .
- $f_{3} = \frac{12}{40} \cdot 100% = 30%$ .
- $f_{4} = \frac{6}{40} \cdot 100% = 15%$ .
Ví dụ 3: Tính số trung bình cộng khối lượng $\overset{ˉ}{X}$ của 40 học sinh ở Ví dụ 2.
- Giải: Thay thế các giá trị trong mỗi nhóm bằng giá trị đại diện $x_{i}$ : $\overset{ˉ}{X} \approx \frac{42 , 5 ( 6 ) + 47 , 5 ( 16 ) + 52 , 5 ( 12 ) + 57 , 5 ( 6 )}{40} = \frac{255 + 760 + 630 + 345}{40} = \frac{1990}{40} = 49, 75 kg$

📖 2. Biểu đồ Cột ghép nhóm kề nhau (Histogram)

Biểu đồ tần số ghép nhóm kề nhau (Histogram):

Trục hoành $O x$ : Ghi các mút khoảng $a_{1}, a_{2}, ..., a_{k + 1}$ của các nhóm.
Trục tung $O y$ : Ghi tần số $n$ (hoặc tần số tương đối $%$ ).
Với mỗi nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ , ta dựng một hình chữ nhật có đáy là đoạn $[a_{i}; a_{i + 1}]$ trên trục hoành và chiều cao bằng tần số $n_{i}$ (hoặc $f_{i}$ ).
Đặc điểm: Các cột hình chữ nhật đứng sát liền kề nhau, không có khoảng trống ngăn cách giữa các nhóm kề nhau.

3 Ví dụ minh họa Biểu đồ Histogram:

Ví dụ 1: Quan sát biểu đồ cột kề nhau biểu diễn tốc độ (km/h) của 100 ô tô trên đường cao tốc. Nhóm tốc độ nào có số xe chạy nhiều nhất?
- Giải: Tìm cột cao nhất trên biểu đồ Histogram. Nếu cột cao nhất nằm trên khoảng $[80; 90)$ với chiều cao $n = 45$ , vậy nhóm tốc độ $[80; 90) km/h$ có số xe chạy nhiều nhất.
Ví dụ 2: Từ biểu đồ trên, cho biết có bao nhiêu xe ô tô vi phạm tốc độ vượt quá $90 km/h$ ?
- Giải: Cộng tần số các cột ứng với các khoảng từ $90 km/h$ trở lên: $[90; 100)$ và $[100; 110)$ .
  $N_{v i_p h ạ m} = n_{[90; 100)} + n_{[100; 110)}$ .
Ví dụ 3: Phân biệt sự khác nhau giữa Biểu đồ cột thông thường (Bài 22) và Biểu đồ cột ghép nhóm kề nhau (Histogram).
- Giải:
  - Biểu đồ cột thông thường: Biểu diễn các giá trị rời rạc, giữa các cột có khoảng cách trống.
  - Biểu đồ Histogram: Biểu diễn các nhóm số liệu liên tục kề nhau $[a_{i}; a_{i + 1})$ , các cột đứng sát dính liền nhau.

🎯 5 Dạng toán & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Ghép nhóm số liệu thô và Lập Bảng tần số ghép nhóm

Phương pháp: Xác định $min, ma x$ , chia dải giá trị thành $k$ nhóm có độ rộng $h = \frac{ma x - min}{k}$ bằng nhau. Đếm số lượng thuộc từng khoảng $[a_{i}; a_{i + 1})$ .

Ví dụ 1: Ghép dãy số liệu 20 thời gian tự học (phút): $45, 52, 60, 48, 65, 70, 55, 58, 62, 75, 50, 68, 54, 63, 59, 72, 49, 56, 61, 67$ thành 3 nhóm: $[40; 55), [55; 70), [70; 85)$ .
- Lời giải:
  - Nhóm $[40; 55)$ : có 6 giá trị ( $45, 52, 48, 50, 54, 49$ ) $\Rightarrow n_{1} = 6$ .
  - Nhóm $[55; 70)$ : có 11 giá trị ( $60, 65, 55, 58, 62, 68, 63, 59, 61, 67, 56$ ) $\Rightarrow n_{2} = 11$ .
  - Nhóm $[70; 85)$ : có 3 giá trị ( $70, 75, 72$ ) $\Rightarrow n_{3} = 3$ .
    Bảng tần số ghép nhóm:

Khoảng thời gian (phút)	$[40; 55)$	$[55; 70)$	$[70; 85)$	Tổng
Tần số ( $n_{i}$ )	6	11	3	$N = 20$

Ví dụ 2: Tính tần số tương đối $(%)$ của 3 nhóm ở Ví dụ 1.
- Lời giải: $f_{1} = \frac{6}{20} \cdot 100% = 30%$ ; $f_{2} = \frac{11}{20} \cdot 100% = 55%$ ; $f_{3} = \frac{3}{20} \cdot 100% = 15%$ .
Ví dụ 3: Xác định nhóm chứa mốt trong Ví dụ 1.
- Lời giải: Nhóm $[55; 70)$ có tần số lớn nhất $n = 11 \Rightarrow$ nhóm chứa mốt là $[55; 70)$ .

Dạng 2: Tính Số Trung bình cộng ghép nhóm $\overset{ˉ}{X}$

Phương pháp: Tính giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ , áp dụng công thức $\overset{ˉ}{X} \approx \frac{\sum x _{i} n _{i}}{N}$ .

Ví dụ 1: Tính số trung bình cộng thời gian tự học $\overset{ˉ}{X}$ ở Ví dụ 1 trên.
- Lời giải: Giá trị đại diện các nhóm:
  $x_{1} = \frac{40 + 55}{2} = 47, 5$ ; $x_{2} = \frac{55 + 70}{2} = 62, 5$ ; $x_{3} = \frac{70 + 85}{2} = 77, 5$ .
  $\overset{ˉ}{X} \approx \frac{47 , 5 ( 6 ) + 62 , 5 ( 11 ) + 77 , 5 ( 3 )}{20} = \frac{285 + 687 , 5 + 232 , 5}{20} = \frac{1205}{20} = 60, 25$ phút.
Ví dụ 2: Cho bảng tần số ghép nhóm nhiệt độ ngày ( $^{\circ} C$ ): $[20; 25)$ có 5 ngày; $[25; 30)$ có 15 ngày; $[30; 35)$ có 10 ngày. Tính nhiệt độ trung bình.
- Lời giải: $N = 30$ ngày.
  Giá trị đại diện: $x_{1} = 22, 5; x_{2} = 27, 5; x_{3} = 32, 5$ .
  $\overset{ˉ}{X} = \frac{22 , 5 ( 5 ) + 27 , 5 ( 15 ) + 32 , 5 ( 10 )}{30} = \frac{112 , 5 + 412 , 5 + 325}{30} = \frac{850}{30} \approx 28, 3 3^{\circ} C$ .
Ví dụ 3: Tính nhiệt độ trung bình nếu dùng đơn vị $f_{i} %$ : $\overset{ˉ}{X} = \sum x_{i} f_{i} %$ . Thử lại với Ví dụ 2.
- Lời giải: $f_{1} = 16, 67%, f_{2} = 50%, f_{3} = 33, 33%$ .
  $\overset{ˉ}{X} = 22, 5 (0, 1667) + 27, 5 (0, 50) + 32, 5 (0, 3333) = 3, 75 + 13, 75 + 10, 83 = 28, 3 3^{\circ} C$ .

Dạng 3: Xác định Nhóm chứa Mốt $M_{0}$ và Nhóm chứa Trung vị

Phương pháp: Nhóm chứa mốt là nhóm có tần số $n_{i}$ lớn nhất. Nhóm chứa trung vị là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\geq \frac{N}{2}$ .

Ví dụ 1: Cho bảng ghép nhóm tuổi thọ pin (giờ): $[100; 150)$ có 12 pin; $[150; 200)$ có 38 pin; $[200; 250)$ me 30 pin; $[250; 300)$ có 20 pin. Xác định nhóm chứa mốt và nhóm chứa trung vị.
- Lời giải:
  - Tần số lớn nhất $n = 38 \Rightarrow$ Nhóm chứa mốt là $[150; 200)$ .
  - Tổng $N = 100 \Rightarrow N /2 = 50$ .
    Tích lũy nhóm 1: 12. Tích lũy nhóm 2: $12 + 38 = 50 \geq 50 \Rightarrow$ Nhóm chứa trung vị là $[150; 200)$ .
Ví dụ 2: Cho bảng ghép nhóm điểm thi của 60 học sinh: $[4; 6)$ có 10 HS; $[6; 8)$ có 35 HS; $[8; 10]$ có 15 HS. Tìm nhóm chứa mốt.
- Lời giải: Tần số lớn nhất $n = 35 \Rightarrow$ nhóm chứa mốt là $[6; 8)$ .
Ví dụ 3: Tìm nhóm chứa trung vị ở Ví dụ 2.
- Lời giải: $N = 60 \Rightarrow N /2 = 30$ .
  Tích lũy nhóm 1: 10. Tích lũy nhóm 2: $10 + 35 = 45 \geq 30 \Rightarrow$ Nhóm chứa trung vị là $[6; 8)$ .

Dạng 4: Vẽ và Đọc Biểu đồ Histogram

Phương pháp: Xác định các mút đoạn $[a_{i}; a_{i + 1}]$ trên $O x$ , chiều cao $n_{i}$ trên $O y$ . Vẽ các cột đứng dính liền nhau.

Ví dụ 1: Cho biểu đồ Histogram có 4 cột kề nhau $[0; 5), [5; 10), [10; 15), [15; 20]$ có chiều cao $4, 12, 18, 6$ . Lập bảng tần số ghép nhóm.
- Lời giải: Bảng tần số ghép nhóm:

Nhóm	$[0; 5)$	$[5; 10)$	$[10; 15)$	$[15; 20]$	Tổng
Tần số ( $n$ )	4	12	18	6	$N = 40$

Ví dụ 2: Tính số trung bình cộng ghép nhóm từ biểu đồ ở Ví dụ 1.
- Lời giải: Giá trị đại diện $x_{i} = 2, 5; 7, 5; 12, 5; 17, 5$ .
  $\overset{ˉ}{X} = \frac{2 , 5 ( 4 ) + 7 , 5 ( 12 ) + 12 , 5 ( 18 ) + 17 , 5 ( 6 )}{40} = \frac{10 + 90 + 225 + 105}{40} = \frac{430}{40} = 10, 75$ .
Ví dụ 3: Tính tỉ lệ phần trăm số liệu thuộc nhóm $[10; 15)$ .
- Lời giải: $f = \frac{18}{40} \cdot 100% = 45%$ .

Dạng 5: Bài toán Thống kê Thực tế Ghép nhóm trong Y tế và Kinh tế

Phương pháp: Nhóm dữ liệu đo lường thực tế thành các khoảng hợp lý và phân tích kết luận theo chỉ số y tế/kinh tế.

Ví dụ 1 (Y tế - Chỉ số Đường huyết): Thống kê nồng độ đường huyết lúc đói (mg/dL) của 100 người cao tuổi thu được: $[70; 100)$ có 45 người (Bình thường); $[100; 126)$ có 35 người (Tiền tiểu đường); $[126; 160)$ có 20 người (Tiểu đường). Tính tỉ lệ phần trăm người bị tiền tiểu đường và tiểu đường.
- Lời giải:
  - Tiền tiểu đường: $35%$ . Tiểu đường: $20%$ .
  - Tổng tỉ lệ người có nguy cơ và bị tiểu đường là $35% + 20% = 55%$ .
Ví dụ 2: Tính chỉ số đường huyết trung bình của 100 người trên.
- Lời giải: Giá trị đại diện: $x_{1} = 85; x_{2} = 113; x_{3} = 143$ .
  $\overset{ˉ}{X} = \frac{85 ( 45 ) + 113 ( 35 ) + 143 ( 20 )}{100} = \frac{3825 + 3955 + 2860}{100} = \frac{10640}{100} = 106, 4 mg/dL$ .
Ví dụ 3 (Tài chính - Thu nhập Hộ gia đình): Khảo sát thu nhập (triệu đồng/tháng) của 50 hộ gia đình: $[5; 10)$ có 10 hộ; $[10; 15)$ có 25 hộ; $[15; 20)$ có 15 hộ. Tìm thu nhập trung bình của mỗi hộ gia đình.
- Lời giải: Giá trị đại diện $x_{i} = 7, 5; 12, 5; 17, 5$ .
  $\overset{ˉ}{X} = \frac{7 , 5 ( 10 ) + 12 , 5 ( 25 ) + 17 , 5 ( 15 )}{50} = \frac{75 + 312 , 5 + 262 , 5}{50} = \frac{650}{50} = 13 triệu đ \overset{ˋ}{\overset{o}{ˆ}} ng/th \overset{a}{ˊ} ng$ .

🌍 Vận dụng thực tế

🌍 3 Bài toán ứng dụng đời sống thực tế

Bài toán 1 (Y tế & Chỉ số Đường huyết Bệnh nhân):
Khảo sát nồng độ đường huyết lúc đói (mg/dL) của 100 bệnh nhân tại một phòng khám thu được bảng tần số ghép nhóm:

Nồng độ đường huyết	$[70; 100)$	$[100; 126)$	$[126; 160)$	$[160; 200)$	Tổng
Số bệnh nhân ( $n_{i}$ )	40	35	18	7	$N = 100$

a) Vẽ biểu đồ cột ghép nhóm kề nhau (Histogram).
b) Tính nồng độ đường huyết trung bình $\overset{ˉ}{X}$ của 100 bệnh nhân.

Bài toán 2 (Giao thông & Kiểm soát Tốc độ Xe chạy):
Thống kê tốc độ (km/h) của 120 phương tiện ô tô lưu thông qua trạm bắn tốc độ trên đường cao tốc (tốc độ tối đa cho phép là $90 km/h$ ):

Tốc độ (km/h)	$[60; 70)$	$[70; 80)$	$[80; 90)$	$[90; 100)$	$[100; 110]$
Số ô tô ( $n_{i}$ )	15	35	50	15	5

a) Tính tỉ lệ phần trăm số xe vi phạm chạy quá tốc độ cho phép ( $> 90 km/h$ ).
b) Tính tốc độ trung bình của 120 phương tiện ô tô.

Bài toán 3 (Năng lượng & Tiêu thụ Điện Sinh hoạt Chung cư):
Khảo sát điện năng tiêu thụ (kWh) trong tháng của 200 hộ gia đình tại một khu chung cư:

Sản lượng điện (kWh)	$[0; 100)$	$[100; 200)$	$[200; 300)$	$[300; 400)$
Số hộ gia đình ( $n_{i}$ )	30	80	60	30

a) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm (%).
b) Tính số điện trung bình mỗi hộ gia đình tiêu thụ trong tháng.

✏️ Thực hành tương tác

📌 Hướng dẫn: Công cụ tương tác dưới đây hỗ trợ tự động tính giá trị đại diện nhóm $x_{i}$ , tính số trung bình cộng ghép nhóm $\overset{ˉ}{X}$ và vẽ biểu đồ Histogram chuẩn xác!

Máy Tính Thống Kê & Tần Số

Nhập dãy số liệu thống kê, cách nhau bởi dấu phẩy hoặc khoảng trắng.

Cỡ Mẫu (N)

Số Trung Bình (x̄)

7.3

Bảng Phân Bố Tần Số & Tần Số Tương Đối:

Giá trị (x)	Tần số (n)	Tần số tương đối (f)
5	1	10.0%
6	2	20.0%
7	3	30.0%
8	2	20.0%
9	1	10.0%
10	1	10.0%
Tổng	N = 10	100%

⭐ Ghi nhớ

Trọng tâm kiến thức Bài 24:

Mẫu ghép nhóm: Chia dữ liệu thành các khoảng kề nhau $[a_{i}; a_{i + 1})$ .
Giá trị đại diện nhóm: $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ .
Số trung bình cộng ghép nhóm: $\overset{ˉ}{X} \approx \frac{\sum x _{i} n _{i}}{N}$ .
Biểu đồ Histogram: Các cột hình chữ nhật đứng sát dính liền kề nhau trên trục hoành.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Mẫu số liệu ghép nhóm là mẫu số liệu được cho dưới dạng:

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Xác định giá trị đại diện $x_{i}$ của các nhóm nửa khoảng sau:
a) $[10; 20)$
b) $[25; 35)$
c) $[150; 160)$
d) $[0; 50)$
e) $[4, 5; 5, 5)$
f) $[100; 150)$

Bài 2: Cho dãy số liệu khối lượng (kg) của 15 học sinh: $42, 46, 51, 55, 48, 44, 53, 58, 49, 45, 52, 57, 43, 50, 47$ . Hãy ghép nhóm dãy số liệu trên thành 3 nhóm có độ rộng bằng nhau: $[40; 47), [47; 54), [54; 61)$ .

Bài 3: Tính số trung bình cộng ghép nhóm $\overset{ˉ}{X}$ cho các bảng tần số ghép nhóm sau:
a) $[0; 10)$ ( $n = 4$ ), $[10; 20)$ ( $n = 6$ ).
b) $[10; 20)$ ( $n = 5$ ), $[20; 30)$ ( $n = 10$ ), $[30; 40)$ ( $n = 5$ ).
c) $[100; 200)$ ( $n = 12$ ), $[200; 300)$ ( $n = 28$ ).
d) $[1; 3)$ ( $n = 10$ ), $[3; 5)$ ( $n = 20$ ), $[5; 7)$ ( $n = 10$ ).
e) $[50; 70)$ ( $n = 8$ ), $[70; 90)$ ( $n = 12$ ).
f) $[0; 100)$ ( $n = 15$ ), $[100; 200)$ ( $n = 25$ ), $[200; 300)$ ( $n = 10$ ).

Bài 4: Khảo sát khối lượng (kg) của 40 kiện hàng ký gửi chuyến bay:
$[10; 15)$ ( $n = 8$ ), $[15; 20)$ ( $n = 18$ ), $[20; 25)$ ( $n = 10$ ), $[25; 30]$ ( $n = 4$ ).
a) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm (%).
b) Tính khối lượng trung bình của 40 kiện hàng.
c) Vẽ biểu đồ cột ghép nhóm kề nhau (Histogram).

Bài 5: Thống kê thời gian (giây) chạy $100 m$ của 50 học sinh lớp 9:
$[12; 13)$ ( $n = 5$ ), $[13; 14)$ ( $n = 15$ ), $[14; 15)$ ( $n = 20$ ), $[15; 16]$ ( $n = 10$ ).
a) Tìm nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm.
b) Tính thời gian chạy trung bình $\overset{ˉ}{X}$ của 50 học sinh.

Bài 6: Thống kê thu nhập tháng (triệu đồng) của 60 hộ gia đình trong một khu phố:
$[6; 10)$ ( $n = 12$ ), $[10; 14)$ ( $n = 28$ ), $[14; 18)$ ( $n = 15$ ), $[18; 22]$ ( $n = 5$ ).
a) Tìm nhóm chứa mốt và nhóm chứa trung vị.
b) Tính thu nhập trung bình của mỗi hộ gia đình.

Bài 7: Khảo sát tuổi thọ (tháng) của 80 linh kiện điện tử trong phòng thí nghiệm:
$[20; 30)$ ( $n = 10$ ), $[30; 40)$ ( $n = 30$ ), $[40; 50)$ ( $n = 25$ ), $[50; 60]$ ( $n = 15$ ).
a) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm.
b) Tính tuổi thọ trung bình của linh kiện điện tử.

Bài 8: Khảo sát lượng mưa (mm) của 30 ngày trong mùa mưa tại một trạm khí tượng:
$[0; 20)$ ( $n = 6$ ), $[20; 40)$ ( $n = 12$ ), $[40; 60)$ ( $n = 9$ ), $[60; 80]$ ( $n = 3$ ).
a) Vẽ biểu đồ Histogram biểu diễn lượng mưa.
b) Tính lượng mưa trung bình mỗi ngày trong tháng.

Bài 9 (Thực tế): Khảo sát thời gian sử dụng smartphone mỗi ngày (giờ) của 100 học sinh THCS:
$[0; 1)$ ( $n = 20$ ), $[1; 2)$ ( $n = 45$ ), $[2; 3)$ ( $n = 25$ ), $[3; 4]$ ( $n = 10$ ).
a) Tính tỉ lệ học sinh sử dụng smartphone từ 2 giờ trở lên mỗi ngày.
b) Tính thời gian sử dụng smartphone trung bình của học sinh.

Bài 10 (Thực tế): Khảo sát chỉ số khối cơ thể BMI ( $k g / m^{2}$ ) của 150 người trưởng thành:
$[16; 18, 5)$ gầy ( $n = 15$ ), $[18, 5; 23)$ bình thường ( $n = 90$ ), $[23; 25)$ nguy cơ béo phì ( $n = 30$ ), $[25; 30]$ béo phì ( $n = 15$ ).
a) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm (%).
b) Nhóm chỉ số BMI nào có tỉ lệ cao nhất? Tính chỉ số BMI trung bình của 150 người.

📊 Lời giải chi tiết 10 bài tập tự luận

Bài 1:
a) $x_{1} = \frac{10 + 20}{2} = 15$ .
b) $x_{2} = \frac{25 + 35}{2} = 30$ .
c) $x_{3} = \frac{150 + 160}{2} = 155$ .
d) $x_{4} = \frac{0 + 50}{2} = 25$ .
e) $x_{5} = \frac{4 , 5 + 5 , 5}{2} = 5, 0$ .
f) $x_{6} = \frac{100 + 150}{2} = 125$ .

Bài 2:

Nhóm $[40; 47)$ : có các số $42, 46, 44, 45, 43 \Rightarrow n_{1} = 5$ .
Nhóm $[47; 54)$ : có các số $51, 48, 53, 49, 52, 50, 47 \Rightarrow n_{2} = 7$ .
Nhóm $[54; 61)$ : có các số $55, 58, 57 \Rightarrow n_{3} = 3$ .
Tổng $N = 5 + 7 + 3 = 15$ .

Bài 3:
a) $x_{i} = 5, 15$ . $\overset{ˉ}{X} = \frac{5 ( 4 ) + 15 ( 6 )}{10} = \frac{20 + 90}{10} = 11$ .
b) $x_{i} = 15, 25, 35$ . $\overset{ˉ}{X} = \frac{15 ( 5 ) + 25 ( 10 ) + 35 ( 5 )}{20} = \frac{75 + 250 + 175}{20} = \frac{500}{20} = 25$ .
c) $x_{i} = 150, 250$ . $\overset{ˉ}{X} = \frac{150 ( 12 ) + 250 ( 28 )}{40} = \frac{1800 + 7000}{40} = \frac{8800}{40} = 220$ .
d) $x_{i} = 2, 4, 6$ . $\overset{ˉ}{X} = \frac{2 ( 10 ) + 4 ( 20 ) + 6 ( 10 )}{40} = \frac{20 + 80 + 60}{40} = 4$ .
e) $x_{i} = 60, 80$ . $\overset{ˉ}{X} = \frac{60 ( 8 ) + 80 ( 12 )}{20} = \frac{480 + 960}{20} = 72$ .
f) $x_{i} = 50, 150, 250$ . $\overset{ˉ}{X} = \frac{50 ( 15 ) + 150 ( 25 ) + 250 ( 10 )}{50} = \frac{750 + 3750 + 2500}{50} = \frac{7000}{50} = 140$ .

Bài 4:
a) $N = 40$ .

$[10; 15) : f_{1} = \frac{8}{40} = 20%$ .
$[15; 20) : f_{2} = \frac{18}{40} = 45%$ .
$[20; 25) : f_{3} = \frac{10}{40} = 25%$ .
$[25; 30] : f_{4} = \frac{4}{40} = 10%$ .
b) $x_{i} = 12, 5; 17, 5; 22, 5; 27, 5$ .
$\overset{ˉ}{X} = \frac{12 , 5 ( 8 ) + 17 , 5 ( 18 ) + 22 , 5 ( 10 ) + 27 , 5 ( 4 )}{40} = \frac{100 + 315 + 225 + 110}{40} = \frac{750}{40} = 18, 75 kg$ .
c) Vẽ biểu đồ Histogram với các cột kề nhau chiều cao $8, 18, 10, 4$ .

Bài 5:
a) Tần số lớn nhất $n = 20 \Rightarrow$ Nhóm chứa mốt là $[14; 15)$ .
b) $x_{i} = 12, 5; 13, 5; 14, 5; 15, 5$ .
$\overset{ˉ}{X} = \frac{12 , 5 ( 5 ) + 13 , 5 ( 15 ) + 14 , 5 ( 20 ) + 15 , 5 ( 10 )}{50} = \frac{62 , 5 + 202 , 5 + 290 + 155}{50} = \frac{710}{50} = 14, 2 gi \overset{a}{ˆ} y$ .

Bài 6:
a) $N = 60$ .

Tần số lớn nhất $n = 28 \Rightarrow$ Nhóm chứa mốt là $[10; 14)$ .
$N /2 = 30$ . Tích lũy nhóm 1: 12. Tích lũy nhóm 2: $12 + 28 = 40 \geq 30 \Rightarrow$ Nhóm chứa trung vị là $[10; 14)$ .
b) $x_{i} = 8; 12; 16; 20$ .
$\overset{ˉ}{X} = \frac{8 ( 12 ) + 12 ( 28 ) + 16 ( 15 ) + 20 ( 5 )}{60} = \frac{96 + 336 + 240 + 100}{60} = \frac{772}{60} \approx 12, 87 triệu đ \overset{ˋ}{\overset{o}{ˆ}} ng$ .

Bài 7:
a) $N = 80$ .

$[20; 30) : f_{1} = \frac{10}{80} = 12, 5%$ .
$[30; 40) : f_{2} = \frac{30}{80} = 37, 5%$ .
$[40; 50) : f_{3} = \frac{25}{80} = 31, 25%$ .
$[50; 60] : f_{4} = \frac{15}{80} = 18, 75%$ .
b) $x_{i} = 25, 35, 45, 55$ .
$\overset{ˉ}{X} = \frac{25 ( 10 ) + 35 ( 30 ) + 45 ( 25 ) + 55 ( 15 )}{80} = \frac{250 + 1050 + 1125 + 825}{80} = \frac{3250}{80} = 40, 625 th \overset{a}{ˊ} ng$ .

Bài 8:
a) Dựng biểu đồ Histogram có 4 cột kề nhau chiều cao $6, 12, 9, 3$ .
b) $x_{i} = 10, 30, 50, 70$ .
$\overset{ˉ}{X} = \frac{10 ( 6 ) + 30 ( 12 ) + 50 ( 9 ) + 70 ( 3 )}{30} = \frac{60 + 360 + 450 + 210}{30} = \frac{1080}{30} = 36 mm$ .

Bài 9:
a) Tỉ lệ từ 2 giờ trở lên ứng với $[2; 3)$ và $[3; 4] \Rightarrow n = 25 + 10 = 35 \Rightarrow f = \frac{35}{100} \cdot 100% = 35%$ .
b) $x_{i} = 0, 5; 1, 5; 2, 5; 3, 5$ .
$\overset{ˉ}{X} = \frac{0 , 5 ( 20 ) + 1 , 5 ( 45 ) + 2 , 5 ( 25 ) + 3 , 5 ( 10 )}{100} = \frac{10 + 67 , 5 + 62 , 5 + 35}{100} = \frac{175}{100} = 1, 75 giờ$ .

Bài 10:
a) $N = 150$ .

Gầy $[16; 18, 5) : \frac{15}{150} = 10%$ .
Bình thường $[18, 5; 23) : \frac{90}{150} = 60%$ .
Nguy cơ béo phì $[23; 25) : \frac{30}{150} = 20%$ .
Béo phì $[25; 30] : \frac{15}{150} = 10%$ .
b) Nhóm “Bình thường” $[18, 5; 23)$ có tỉ lệ cao nhất ( $60%$ ).
$x_{i} = 17, 25; 20, 75; 24, 0; 27, 5$ .
$\overset{ˉ}{X} = \frac{17 , 25 ( 15 ) + 20 , 75 ( 90 ) + 24 ( 30 ) + 27 , 5 ( 15 )}{150} = \frac{258 , 75 + 1867 , 5 + 720 + 412 , 5}{150} = \frac{3258 , 75}{150} = 21, 725 kg/m^{2}$ .