Lớp 9 · Chương VII: Tần số và tần số tương đối

Bài 22: Bảng tần số và biểu đồ tần số

🚀 Khởi động

📊 Khoa Học Thống Kê & Bảng Tần Số Trong Đời Sống

Khi một cửa hàng thời trang muốn nhập áo sơ mi về bán, quản lý cần biết loại size áo nào ( $S, M, L, X L$ ) được khách hàng mua nhiều nhất để nhập số lượng hợp lý.

Khi ban giám hiệu trường học muốn biết mức độ học tập của sinh viên, thầy cô thống kê điểm kiểm tra của hàng nghìn học sinh.

Việc thu thập dữ liệu thô rồi sắp xếp lại thành Bảng tần số và biểu diễn trực quan qua Biểu đồ tần số chính là bước đầu tiên quan trọng nhất của Khoa học Thống kê!

🔍 Khám phá

📖 1. Khái niệm Tần số và Bảng tần số

1. Tần số của một giá trị:

Số lần xuất hiện của một giá trị $x_{i}$ trong mẫu dữ liệu được gọi là tần số của giá trị đó, ký hiệu là $n_{i}$ .
Tổng các tần số của tất cả các giá trị khác nhau bằng đúng kích thước mẫu (tổng số số liệu) $N$ : $N = n_{1} + n_{2} + ... + n_{k}$

2. Bảng tần số:

Bảng tần số gồm hai dòng (dạng ngang) hoặc hai cột (dạng dọc):
- Dòng (cột) thứ nhất: Ghi các giá trị khác nhau của dữ liệu $x_{1}, x_{2}, ..., x_{k}$ theo thứ tự tăng dần.
- Dòng (cột) thứ hai: Ghi các tần số tương ứng $n_{1}, n_{2}, ..., n_{k}$ .
Mốt của dấu hiệu ( $M_{0}$ ): Là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng tần số.

3 Ví dụ minh họa Bảng tần số:

Ví dụ 1: Kết quả khảo sát điểm kiểm tra môn Toán (thang điểm 10) của 20 học sinh: $7, 8, 9, 6, 8, 7, 10, 8, 9, 7, 8, 6, 7, 8, 9, 8, 7, 10, 8, 7$ Lập bảng tần số và tìm mốt $M_{0}$ .
- Giải: Các giá trị khác nhau là: $6, 7, 8, 9, 10$ .
  Bảng tần số:

Giá trị ( $x$ )	6	7	8	9	10	Tổng ( $N$ )
Tần số ( $n$ )	2	6	7	3	2	$N = 20$

Tần số lớn nhất là $n = 7$ (ứng với giá trị $x = 8$ ). Vậy mốt $M_{0} = 8$ .

Ví dụ 2: Thống kê số con của 30 hộ gia đình trong một thôn:

Số con ( $x$ )	1	2	3	4	Tổng ( $N$ )
Tần số ( $n$ )	5	18	5	2	$N = 30$

Hỏi có bao nhiêu hộ gia đình có 2 con? Tìm mốt $M_{0}$ .

Giải: Dựa vào bảng tần số, có 18 hộ gia đình có 2 con. Mốt của dấu hiệu là $M_{0} = 2$ (tần số lớn nhất là 18).
Ví dụ 3: Tính điểm kiểm tra trung bình cộng $\overset{ˉ}{X}$ của 20 học sinh ở Ví dụ 1.
- Giải: Theo công thức số trung bình cộng: $\overset{ˉ}{X} = \frac{6 \times 2 + 7 \times 6 + 8 \times 7 + 9 \times 3 + 10 \times 2}{20} = \frac{12 + 42 + 56 + 27 + 20}{20} = \frac{157}{20} = 7, 85$

📖 2. Biểu đồ tần số (Biểu đồ Cột và Đường gấp khúc)

1. Biểu đồ tần số dạng cột:

Trục hoành $O x$ : Ghi các giá trị $x_{1}, x_{2}, ..., x_{k}$ .
Trục tung $O y$ : Ghi tần số $n$ .
Tại mỗi giá trị $x_{i}$ , dựng một hình chữ nhật có đáy nằm trên $O x$ nhận $x_{i}$ làm trung điểm và chiều cao bằng tần số $n_{i}$ .

2. Biểu đồ tần số dạng đường gấp khúc (Đoạn thẳng):

Xác định các điểm $P_{i} (x_{i}; n_{i})$ trên mặt phẳng tọa độ $O x y$ .
Nối các điểm liên tiếp $P_{1}, P_{2}, ..., P_{k}$ bằng các đoạn thẳng thu được đường gấp khúc tần số.

3 Ví dụ minh họa Biểu đồ tần số:

Ví dụ 1: Quan sát biểu đồ tần số dạng cột biểu diễn số vụ tai nạn giao thông trong tuần và cho biết ngày nào xảy ra nhiều vụ tai nạn nhất?
- Giải: Cột cao nhất trên biểu đồ ứng với giá trị ngày Thứ Bảy (tần số $n = 15$ vụ). Vậy Thứ Bảy là ngày xảy ra nhiều vụ tai nạn nhất.
Ví dụ 2: Cho bảng tần số về số giờ tự học mỗi ngày của 40 học sinh. Mô tả các bước vẽ biểu đồ đường gấp khúc.
- Giải:
  - Bước 1: Vẽ hệ trục tọa độ $O x y$ , trục $O x$ biểu diễn số giờ tự học ( $1, 2, 3, 4, 5$ ), trục $O y$ biểu diễn tần số ( $n$ ).
  - Bước 2: Chấm các điểm có tọa độ $(1; n_{1}), (2; n_{2}), (3; n_{3}), (4; n_{4}), (5; n_{5})$ .
  - Bước 3: Nối các điểm này bằng các đoạn thẳng liên tiếp để thu được biểu đồ đường gấp khúc.
Ví dụ 3: Từ biểu đồ tần số cột, cho biết có bao nhiêu học sinh tự học từ 3 giờ trở lên mỗi ngày?
- Giải: Cộng tần số các cột ứng với $x = 3, 4, 5$ :
  Tổng số học sinh $= n_{3} + n_{4} + n_{5}$ .

🎯 5 Dạng toán & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Lập bảng tần số từ dữ liệu thô

Phương pháp: Liệt kê các giá trị khác nhau theo thứ tự tăng dần. Đếm tần số xuất hiện của từng giá trị và kiểm tra tổng $\sum n_{i} = N$ .

Ví dụ 1: Cho dãy tuổi của 15 vận động viên: $18, 20, 19, 18, 21, 20, 19, 18, 20, 22, 19, 20, 18, 21, 20$ . Lập bảng tần số.
- Lời giải: Các giá trị khác nhau: $18, 19, 20, 21, 22$ .
  Bảng tần số:

Tuổi ( $x$ )	18	19	20	21	22	Tổng ( $N$ )
Tần số ( $n$ )	4	3	5	2	1	$N = 15$

Ví dụ 2: Kiểm tra 25 sản phẩm thu được số lỗi: $0, 1, 0, 2, 1, 0, 0, 3, 1, 2, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 0, 2$ . Lập bảng tần số.
- Lời giải: Bảng tần số:

Số lỗi ( $x$ )	0	1	2	3	Tổng ( $N$ )
Tần số ( $n$ )	11	8	5	1	$N = 25$

Ví dụ 3: Xác định Mốt $M_{0}$ trong Ví dụ 2.
- Lời giải: Giá trị $x = 0$ có tần số lớn nhất là $n = 11$ . Vậy $M_{0} = 0$ (phần lớn sản phẩm không có lỗi).

Dạng 2: Khai thác thông tin từ Bảng tần số

Phương pháp: Đọc chính xác tần số tương ứng của từng giá trị, tính tổng các tần số thỏa mãn điều kiện bài toán.

Ví dụ 1: Cho bảng tần số số sách 40 học sinh đã đọc trong hè:

Số sách ( $x$ )	1	2	3	4	5
Tần số ( $n$ )	6	14	12	5	3

Hỏi có bao nhiêu học sinh đọc ít nhất 3 cuốn sách?

Lời giải: Số học sinh đọc ít nhất 3 cuốn sách ứng với $x = 3, 4, 5$ :
$N_{\geq 3} = 12 + 5 + 3 = 20$ học sinh (chiếm $50%$ tổng số học sinh).
Ví dụ 2: Tìm số học sinh đọc dưới 2 cuốn sách.
- Lời giải: Ứng với $x = 1 \Rightarrow 6$ học sinh.
Ví dụ 3: Tính tỉ lệ phần trăm học sinh đọc từ 2 đến 3 cuốn sách.
- Lời giải: Số học sinh $= 14 + 12 = 26$ . Tỉ lệ $% = \frac{26}{40} \times 100% = 65%$ .

Dạng 3: Vẽ và Đọc Biểu đồ tần số

Phương pháp: Đọc chiều cao của cột hoặc tung độ của điểm để xác định tần số $n_{i}$ .

Ví dụ 1: Một biểu đồ tần số dạng cột có các cột ứng với giá trị điểm $5, 6, 7, 8, 9$ với chiều cao lần lượt là $3, 7, 12, 10, 8$ . Tổng số học sinh là bao nhiêu?
- Lời giải: Tổng số học sinh $N = 3 + 7 + 12 + 10 + 8 = 40$ học sinh.
Ví dụ 2: Xác định mốt $M_{0}$ từ biểu đồ ở Ví dụ 1.
- Lời giải: Cột cao nhất có chiều cao 12 ứng với điểm 7. Vậy $M_{0} = 7$ .
Ví dụ 3: Tính tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi (điểm 8 và 9).
- Lời giải: Số HS giỏi $= 10 + 8 = 18$ . Tỉ lệ $% = \frac{18}{40} \times 100% = 45%$ .

Dạng 4: Tính Số Trung bình cộng $\overset{ˉ}{X}$ và Mốt $M_{0}$

Phương pháp: Áp dụng công thức $\overset{ˉ}{X} = \frac{\sum x _{i} n _{i}}{N}$ .

Ví dụ 1: Tính số trung bình cộng của bảng tần số: $x = 10, 20, 30, 40$ có tần số tương ứng $n = 2, 5, 8, 5$ .
- Lời giải: Kích thước mẫu $N = 2 + 5 + 8 + 5 = 20$ .
  $\overset{ˉ}{X} = \frac{10 ( 2 ) + 20 ( 5 ) + 30 ( 8 ) + 40 ( 5 )}{20} = \frac{20 + 100 + 240 + 200}{20} = \frac{560}{20} = 28$ .
Ví dụ 2: Cho bảng tần số có $\overset{ˉ}{X} = 7$ . Tìm tần số $x$ chưa biết trong bảng: giá trị $5$ (tần số 3), giá trị $8$ (tần số $x$ ).
- Lời giải: $\overset{ˉ}{X} = \frac{5 ( 3 ) + 8 ( x )}{3 + x} = 7 \Leftrightarrow 15 + 8 x = 7 (3 + x) \Leftrightarrow 15 + 8 x = 21 + 7 x \Rightarrow x = 6$ .
Ví dụ 3: Cho bảng tần số có 2 mốt. Cho ví dụ minh họa.
- Lời giải: Nếu hai giá trị $x_{1} = 6$ và $x_{2} = 8$ đều có cùng tần số lớn nhất là $n = 10$ , thì bảng số liệu có 2 mốt: $M_{0} = 6$ và $M_{0} = 8$ .

Dạng 5: Bài toán Thống kê Thực tế Tìm giá trị ẩn $x, n$

Phương pháp: Lập phương trình từ các dữ kiện tổng số liệu $N$ hoặc trung bình cộng $\overset{ˉ}{X}$ .

Ví dụ 1: Thống kê số lượng giày bán ra theo size của 50 khách hàng thu được kết quả: Size 37 ( $n_{1} = 8$ ), Size 38 ( $n_{2} = 15$ ), Size 39 ( $n_{3} = x$ ), Size 40 ( $n_{4} = 10$ ), Size 41 ( $n_{5} = 5$ ). Tìm $x$ .
- Lời giải: Tổng số khách hàng $N = 50 \Rightarrow 8 + 15 + x + 10 + 5 = 50 \Leftrightarrow 38 + x = 50 \Rightarrow x = 12$ .
Ví dụ 2: Cửa hàng nên nhập nhiều nhất loại size giày nào ở Ví dụ 1?
- Lời giải: Giá trị Size 38 có tần số lớn nhất $n = 15 \Rightarrow M_{0} = 38$ . Cửa hàng nên nhập nhiều nhất size 38.
Ví dụ 3: Tính cỡ giày trung bình $\overset{ˉ}{X}$ của 50 khách hàng trên.
- Lời giải: $\overset{ˉ}{X} = \frac{37 ( 8 ) + 38 ( 15 ) + 39 ( 12 ) + 40 ( 10 ) + 41 ( 5 )}{50} = \frac{296 + 570 + 468 + 400 + 205}{50} = \frac{1939}{50} = 38, 78$ .

🌍 Vận dụng thực tế

🌍 3 Bài toán ứng dụng đời sống thực tế

Bài toán 1 (Đánh giá Kết quả Học tập Môn Toán 9):
Thống kê điểm kiểm tra giữa học kỳ I môn Toán của 40 học sinh lớp 9A thu được bảng tần số sau:

Điểm ( $x$ )	5	6	7	8	9	10
Tần số ( $n$ )	3	7	12	10	6	2

a) Vẽ biểu đồ tần số dạng cột biểu diễn bảng số liệu trên.
b) Tính điểm trung bình cộng $\overset{ˉ}{X}$ của lớp 9A và tìm mốt $M_{0}$ .

Bài toán 2 (Y tế & Đồng phục Chiều cao Học sinh):
Để may đồng phục thể dục cho 50 học sinh khối 9, công ty may thống kê chiều cao (cm) của học sinh và lập bảng tần số:

Chiều cao ( $x$ )	150	155	160	165	170
Tần số ( $n$ )	6	14	18	8	4

a) Xác định mốt chiều cao của học sinh khối 9.
b) Tính tỉ lệ phần trăm học sinh có chiều cao từ $160 cm$ trở lên.

Bài toán 3 (Kinh doanh & Doanh số Bán lẻ Siêu thị):
Một siêu thị điện máy thống kê số lượng ti vi bán được mỗi ngày trong tháng 4 (30 ngày) và thu được bảng số liệu. Tính số ti vi trung bình bán được mỗi ngày và vẽ biểu đồ đường gấp khúc tần số.

✏️ Thực hành tương tác

📌 Hướng dẫn: Công cụ tương tác dưới đây giúp bạn tự động nhập dữ liệu thô, lập bảng tần số, tính số trung bình cộng và mốt một cách chính xác!

Máy Tính Thống Kê & Tần Số

Nhập dãy số liệu thống kê, cách nhau bởi dấu phẩy hoặc khoảng trắng.

Cỡ Mẫu (N)

Số Trung Bình (x̄)

7.3

Bảng Phân Bố Tần Số & Tần Số Tương Đối:

Giá trị (x)	Tần số (n)	Tần số tương đối (f)
5	1	10.0%
6	2	20.0%
7	3	30.0%
8	2	20.0%
9	1	10.0%
10	1	10.0%
Tổng	N = 10	100%

⭐ Ghi nhớ

Trọng tâm kiến thức Bài 22:

Tần số $n_{i}$ : Số lần giá trị $x_{i}$ xuất hiện. Tổng $\sum n_{i} = N$ .
Mốt $M_{0}$ : Giá trị có tần số xuất hiện lớn nhất.
Số trung bình cộng: $\overset{ˉ}{X} = \frac{x _{1} n _{1} + x _{2} n _{2} + ... + x _{k} n _{k}}{N}$ .
Biểu đồ tần số: Biểu diễn trực quan bằng các cột đứng hoặc đường gấp khúc.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Tần số của một giá trị $x_i$ trong dãy dữ liệu là gì?

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho các dãy dữ liệu thô sau, hãy lập bảng tần số tương ứng:
a) Số điểm tốt của 10 học sinh: $3, 4, 5, 4, 3, 5, 4, 4, 5, 3$
b) Tuổi của 12 thành viên câu lạc bộ: $14, 15, 14, 16, 15, 14, 15, 16, 15, 14, 15, 15$
c) Cỡ giày của 15 cầu thủ: $39, 40, 41, 40, 42, 41, 40, 39, 40, 41, 40, 42, 41, 40, 41$
d) Điểm kiểm tra Tiếng Anh của 10 học sinh: $7, 8, 9, 8, 10, 7, 8, 9, 8, 8$
e) Số lần vi phạm của 12 tổ: $0, 1, 0, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 0, 1, 0$
f) Số anh chị em ruột của 10 gia đình: $1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 2, 1, 4$

Bài 2: Đọc bảng tần số và trả lời câu hỏi:

Giá trị ( $x$ )	10	12	15	18	20
Tần số ( $n$ )	4	8	15	9	4

a) Kích thước mẫu $N$ bằng bao nhiêu?
b) Giá trị nào có tần số lớn nhất? Tìm mốt $M_{0}$ .
c) Giá trị $10$ xuất hiện bao nhiêu lần?
d) Có bao nhiêu giá trị lớn hơn hoặc bằng $15$ ?
e) Tỉ lệ phần trăm của giá trị $15$ so với tổng kích thước mẫu là bao nhiêu?
f) Giá trị nào có tần số nhỏ nhất?

Bài 3: Tính số trung bình cộng $\overset{ˉ}{X}$ cho các bảng tần số sau:
a) $x = 2, 4, 6$ với $n = 3, 5, 2$
b) $x = 5, 10, 15, 20$ với $n = 2, 4, 3, 1$
c) $x = 1, 2, 3, 4, 5$ với $n = 5, 8, 12, 10, 5$
d) $x = 50, 60, 70, 80$ với $n = 10, 15, 20, 5$
e) $x = 6, 7, 8, 9, 10$ với $n = 4, 6, 10, 8, 2$
f) $x = 100, 200, 300$ với $n = 3, 4, 3$

Bài 4: Khảo sát số giờ tự học mỗi tuần của 30 học sinh lớp 9 thu được số liệu:
$10, 12, 15, 10, 14, 12, 15, 16, 12, 14, 10, 12, 15, 14, 12, 16, 12, 15, 14, 10, 12, 14, 15, 12, 14, 16, 12, 15, 14, 12$ .
a) Lập bảng tần số.
b) Vẽ biểu đồ tần số dạng cột.

Bài 5: Cho biểu đồ tần số đường gấp khúc có các đỉnh $(2; 5), (4; 10), (6; 15), (8; 8), (10; 2)$ .
a) Lập bảng tần số tương ứng từ biểu đồ.
b) Tính số trung bình cộng $\overset{ˉ}{X}$ và mốt $M_{0}$ .

Bài 6: Thống kê số lượng cây xanh được trồng của 40 lớp học trong chiến dịch Tết trồng cây:
$15, 20, 25, 20, 30, 20, 25, 15, 20, 25, 30, 20, 25, 20, 15, 20, 25, 30, 20, 25, 20, 15, 20, 25, 20, 30, 25, 20, 25, 20, 15, 20, 25, 20, 30, 20, 25, 20, 25, 20$ .
a) Lập bảng tần số.
b) Tính số cây trung bình mỗi lớp trồng được.

Bài 7: Kiểm tra đường kính (mm) của 50 chi tiết máy xuất xưởng:
$19, 8; 19, 9; 20, 0; 20, 1; 20, 2$ với tần số tương ứng là $5, 12, 20, 10, 3$ .
a) Tính đường kính trung bình của 50 chi tiết máy.
b) Tìm mốt của đường kính chi tiết máy.

Bài 8: Khảo sát tuổi thọ (nghìn giờ) của 60 bóng đèn LED sản xuất tại một nhà máy:
$10$ nghìn giờ ( $n = 8$ ), $12$ nghìn giờ ( $n = 15$ ), $15$ nghìn giờ ( $n = 25$ ), $18$ nghìn giờ ( $n = 12$ ).
a) Lập bảng tần số và vẽ biểu đồ cột.
b) Tính tuổi thọ trung bình của bóng đèn LED.

Bài 9 (Thực tế): Chỉ số chất lượng không khí AQI tại một đô thị trong 30 ngày tháng 4 được ghi lại:
AQI 50 ( $n = 4$ ), AQI 80 ( $n = 10$ ), AQI 120 ( $n = 12$ ), AQI 160 ( $n = 4$ ).
a) Lập bảng tần số.
b) Tính chỉ số AQI trung bình trong tháng 4 và nhận xét mức độ ô nhiễm không khí.

Bài 10 (Thực tế): Thống kê số lượng cuộc gọi đến tổng đài hỗ trợ khách hàng theo từng ca làm việc trong tháng:
Ca 1 ( $n = 120$ ), Ca 2 ( $n = 250$ ), Ca 3 ( $n = 180$ ), Ca 4 ( $n = 50$ ).
a) Lập bảng tần số và vẽ biểu đồ tần số dạng cột.
b) Tổng đài nên bố trí nhiều nhân viên trực nhất vào ca nào? Vì sao?

📊 Lời giải chi tiết 10 bài tập tự luận

Bài 1:
a) $x = 3 (n = 3), 4 (n = 4), 5 (n = 3)$ . $N = 10$ .
b) $x = 14 (n = 4), 15 (n = 6), 16 (n = 2)$ . $N = 12$ .
c) $x = 39 (n = 2), 40 (n = 6), 41 (n = 5), 42 (n = 2)$ . $N = 15$ .
d) $x = 7 (n = 2), 8 (n = 5), 9 (n = 2), 10 (n = 1)$ . $N = 10$ .
e) $x = 0 (n = 6), 1 (n = 4), 2 (n = 2)$ . $N = 12$ .
f) $x = 1 (n = 4), 2 (n = 4), 3 (n = 1), 4 (n = 1)$ . $N = 10$ .

Bài 2:
a) $N = 4 + 8 + 15 + 9 + 4 = 40$ .
b) Giá trị 15 có tần số lớn nhất $n = 15 \Rightarrow M_{0} = 15$ .
c) Giá trị 10 xuất hiện 4 lần.
d) Số giá trị $\geq 15$ là $15 + 9 + 4 = 28$ .
e) Tỉ lệ phần trăm $\frac{15}{40} \times 100% = 37, 5%$ .
f) Các giá trị 10 và 20 có tần số nhỏ nhất $n = 4$ .

Bài 3:
a) $\overset{ˉ}{X} = \frac{2 ( 3 ) + 4 ( 5 ) + 6 ( 2 )}{10} = \frac{6 + 20 + 12}{10} = 3, 8$ .
b) $\overset{ˉ}{X} = \frac{5 ( 2 ) + 10 ( 4 ) + 15 ( 3 ) + 20 ( 1 )}{10} = \frac{10 + 40 + 45 + 20}{10} = 11, 5$ .
c) $\overset{ˉ}{X} = \frac{1 ( 5 ) + 2 ( 8 ) + 3 ( 12 ) + 4 ( 10 ) + 5 ( 5 )}{40} = \frac{5 + 16 + 36 + 40 + 25}{40} = \frac{122}{40} = 3, 05$ .
d) $\overset{ˉ}{X} = \frac{50 ( 10 ) + 60 ( 15 ) + 70 ( 20 ) + 80 ( 5 )}{50} = \frac{500 + 900 + 1400 + 400}{50} = \frac{3200}{50} = 64$ .
e) $\overset{ˉ}{X} = \frac{6 ( 4 ) + 7 ( 6 ) + 8 ( 10 ) + 9 ( 8 ) + 10 ( 2 )}{30} = \frac{24 + 42 + 80 + 72 + 20}{30} = \frac{238}{30} \approx 7, 93$ .
f) $\overset{ˉ}{X} = \frac{100 ( 3 ) + 200 ( 4 ) + 300 ( 3 )}{10} = \frac{300 + 800 + 900}{10} = 200$ .

Bài 4:
a) Bảng tần số: $x = 10 (n = 4), 12 (n = 12), 14 (n = 7), 15 (n = 4), 16 (n = 3)$ . $N = 30$ .
b) Dựng biểu đồ cột với $O x$ ghi $10, 12, 14, 15, 16$ và $O y$ có chiều cao tương ứng.

Bài 5:
a) Bảng tần số:

$x$	2	4	6	8	10
$n$	5	10	15	8	2

b) $N = 40$ . $\overset{ˉ}{X} = \frac{2 ( 5 ) + 4 ( 10 ) + 6 ( 15 ) + 8 ( 8 ) + 10 ( 2 )}{40} = \frac{10 + 40 + 90 + 64 + 20}{40} = \frac{224}{40} = 5, 6$ . Mốt $M_{0} = 6$ .

Bài 6:
a) Bảng tần số: $x = 15 (n = 5), 20 (n = 18), 25 (n = 12), 30 (n = 5)$ . $N = 40$ .
b) $\overset{ˉ}{X} = \frac{15 ( 5 ) + 20 ( 18 ) + 25 ( 12 ) + 30 ( 5 )}{40} = \frac{75 + 360 + 300 + 150}{40} = \frac{885}{40} = 22, 125$ cây/lớp.

Bài 7:
a) $\overset{ˉ}{X} = \frac{19 , 8 ( 5 ) + 19 , 9 ( 12 ) + 20 , 0 ( 20 ) + 20 , 1 ( 10 ) + 20 , 2 ( 3 )}{50} = \frac{99 + 238 , 8 + 400 + 201 + 60 , 6}{50} = \frac{999 , 4}{50} = 19, 988 mm$ .
b) Mốt $M_{0} = 20, 0 mm$ (tần số $n = 20$ ).

Bài 8:
a) Bảng tần số: $x = 10 (n = 8), 12 (n = 15), 15 (n = 25), 18 (n = 12)$ . $N = 60$ .
Vẽ biểu đồ cột tương ứng.
b) $\overset{ˉ}{X} = \frac{10 ( 8 ) + 12 ( 15 ) + 15 ( 25 ) + 18 ( 12 )}{60} = \frac{80 + 180 + 375 + 216}{60} = \frac{851}{60} \approx 14, 18$ nghìn giờ.

Bài 9:
a) Bảng tần số: $x = 50 (n = 4), 80 (n = 10), 120 (n = 12), 160 (n = 4)$ . $N = 30$ .
b) $\overset{ˉ}{X} = \frac{50 ( 4 ) + 80 ( 10 ) + 120 ( 12 ) + 160 ( 4 )}{30} = \frac{200 + 800 + 1440 + 640}{30} = \frac{3080}{30} \approx 102, 67$ .
Nhận xét: Chất lượng không khí ở mức trung bình - kém (AQI $> 100$ ).

Bài 10:
a) Bảng tần số: $x = Ca 1 (n = 120), Ca 2 (n = 250), Ca 3 (n = 180), Ca 4 (n = 50)$ . $N = 600$ .
b) Tổng đài nên bố trí nhiều nhân viên nhất vào Ca 2 vì ca này có tần số cuộc gọi đến cao nhất ( $n = 250$ cuộc gọi, $M_{0} = Ca 2$ ).