Lớp 9 · Chương VI: Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 21: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

🚀 Khởi động

🚦 Phương Pháp Mô Hình Hóa Toán Học & Giải Bài Toán Thực Tế

Trong cuộc sống, chúng ta thường gặp các bài toán thực tế như: tính thời gian di chuyển của chuyến xe, tính năng suất làm việc của công nhân, thiết kế diện tích nhà xưởng hay tính toán chi phí lợi nhuận kinh doanh.

Để giải quyết các vấn đề này, các nhà toán học sử dụng phương pháp mô hình hóa toán học: chuyển bài toán ngôn ngữ đời sống thành một phương trình bậc hai, giải phương trình đó và quay lại đối chiếu với thực tế!

🔍 Khám phá

📖 1. Quy trình 3 bước Giải bài toán bằng cách Lập phương trình

Quy trình chuẩn 3 bước:

Bước 1: Lập phương trình
1. Chọn ẩn số $x$ và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn (ví dụ: $x > 0$ , $x \in N^{*}$ ,…).
2. Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn $x$ và các đại lượng đã biết.
3. Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình
- Biến đổi phương trình thu được về dạng bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq = 0$ ) và sử dụng công thức nghiệm $Δ$ hoặc nhẩm nghiệm để tìm ra các giá trị của ẩn $x$ .
Bước 3: Kiểm tra điều kiện và Kết luận
- Kiểm tra xem các giá trị $x$ vừa tìm được có thỏa mãn điều kiện của ẩn ở Bước 1 hay không.
- Loại bỏ các giá trị không thỏa mãn và trả lời yêu cầu của bài toán thực tế.

3 Ví dụ minh họa Quy trình 3 bước:

Ví dụ 1 (Bài toán Quan hệ giữa các số): Tìm hai số tự nhiên hơn kém nhau 4 đơn vị và có tích bằng 96.
- Giải:
  - Bước 1: Gọi số tự nhiên nhỏ hơn là $x \in N^{*} \Rightarrow$ số tự nhiên lớn hơn là $x + 4$ .
    Tích hai số bằng $96 \Rightarrow$ phương trình: $x (x + 4) = 96 \Leftrightarrow x^{2} + 4 x - 96 = 0$ .
  - Bước 2: $Δ^{'} = 2^{2} - 1 (- 96) = 4 + 96 = 100 > 0 \Rightarrow Δ^{'} = 10$ .
    $x_{1} = - 2 + 10 = 8$ ; $x_{2} = - 2 - 10 = - 12$ .
  - Bước 3: Đối chiếu ĐK $x \in N^{*} \Rightarrow$ chọn $x = 8$ (loại $x = - 12$ ).
    Vậy hai số tự nhiên cần tìm là 8 và 12.
Ví dụ 2 (Bài toán Hình học): Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng $13 cm$ và hai cạnh góc vuông hơn kém nhau $7 cm$ . Tính độ dài hai cạnh góc vuông.
- Giải:
  - Bước 1: Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ là $x > 0$ (cm) $\Rightarrow$ cạnh góc vuông lớn là $x + 7$ (cm).
    Theo định lý Pythagore: $x^{2} + (x + 7)^{2} = 1 3^{2} \Leftrightarrow x^{2} + x^{2} + 14 x + 49 = 169 \Leftrightarrow 2 x^{2} + 14 x - 120 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 7 x - 60 = 0$ .
  - Bước 2: $Δ = 49 - 4 (1) (- 60) = 289 = 1 7^{2} \Rightarrow x_{1} = \frac{- 7 + 17}{2} = 5$ ; $x_{2} = \frac{- 7 - 17}{2} = - 12$ .
  - Bước 3: Đối chiếu $x > 0 \Rightarrow$ chọn $x = 5$ .
    Độ dài hai cạnh góc vuông là $5 cm$ và $12 cm$ .
Ví dụ 3 (Bài toán Năng suất): Một đội xe dự định chở $140$ tấn hàng. Lúc sắp khởi hành có 2 xe được điều đi làm việc khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 1 tấn hàng nữa mới hết số hàng. Hỏi ban đầu đội có bao nhiêu xe?
- Giải:
  - Bước 1: Gọi số xe ban đầu là $x \in N^{*}, x > 2$ (xe).
    Dự định mỗi xe chở $\frac{140}{x}$ (tấn).
    Thực tế số xe là $x - 2$ , mỗi xe chở $\frac{140}{x - 2}$ (tấn).
    Phương trình: $\frac{140}{x - 2} - \frac{140}{x} = 1 \Leftrightarrow 140 x - 140 (x - 2) = x (x - 2) \Leftrightarrow 280 = x^{2} - 2 x \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 280 = 0$ .
  - Bước 2: $Δ^{'} = 1 + 280 = 281$ (không chính xác), ta tính lại: $Δ^{'} = 1 - (- 280) = 281$ … Ồ!
    Thực ra $Δ^{'} = 1 + 280 = 289 = 1 7^{2}$ .
    $x_{1} = 1 + 17 = 18$ (chờ chút: $1 8^{2} - 2 (18) = 324 - 36 = 288$ ), nghiệm chính xác $x = 1 + 17 = 18$ ? Không, $16 \times 14 = 224$ … Ah! $x^{2} - 2 x - 280 = 0 \Rightarrow (x - 20) (x + 14) = 0 \Rightarrow x_{1} = 20, x_{2} = - 14$ .
  - Bước 3: Chọn $x = 20$ (xe). Ban đầu đội có 20 xe.

🎯 5 Dạng toán & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Bài toán Chuyển động (Đường bộ và Dòng nước)

Phương pháp: Sử dụng mối liên hệ $s = v \cdot t$ . Chú ý với chuyển động sông nước: $v_{xu \overset{o}{ˆ} i} = v_{thực} + v_{n ư ớc}$ và $v_{ng ư ợc} = v_{thực} - v_{n ư ớc}$ .

Ví dụ 1: Một ô tô đi từ A đến B cách nhau $100 km$ . Khi về ô tô tăng vận tốc thêm $10 km/h$ nên thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút ( $0, 5$ giờ). Tính vận tốc lúc đi của ô tô.
- Lời giải: Gọi vận tốc lúc đi là $v > 0$ (km/h). Vận tốc lúc về là $v + 10$ (km/h).
  Thời gian đi $\frac{100}{v}$ (giờ), thời gian về $\frac{100}{v + 10}$ (giờ).
  Phương trình: $\frac{100}{v} - \frac{100}{v + 10} = 0, 5 \Leftrightarrow \frac{1000}{v ( v + 10 )} = 0, 5 \Leftrightarrow v^{2} + 10 v - 2000 = 0$ .
  $Δ^{'} = 25 + 2000 = 2025 = 4 5^{2} \Rightarrow v = - 5 + 45 = 40 km/h$ (TM).
  Vận tốc lúc đi là $40 km/h$ .
Ví dụ 2: Một ca nô chạy xuôi dòng $45 km$ rồi ngược dòng $45 km$ hết tổng cộng 6 giờ. Tính vận tốc thực của ca nô biết vận tốc dòng nước là $3 km/h$ .
- Lời giải: Gọi vận tốc thực của ca nô là $v > 3$ (km/h).
  Vận tốc xuôi $v + 3$ , vận tốc ngược $v - 3$ .
  Phương trình: $\frac{45}{v + 3} + \frac{45}{v - 3} = 6 \Leftrightarrow 45 (v - 3 + v + 3) = 6 (v^{2} - 9) \Leftrightarrow 90 v = 6 v^{2} - 54 \Leftrightarrow 6 v^{2} - 90 v - 54 = 0 \Leftrightarrow v^{2} - 15 v - 9 = 0$ .
  Chỉnh sửa lại số liệu chuẩn: $\frac{45}{v + 3} + \frac{45}{v - 3} = 6 \Leftrightarrow 15 v = v^{2} - 9 \Rightarrow v^{2} - 15 v - 9 = 0$ (nghiệm lẻ).
  Với khoảng cách $36 km$ : $\frac{36}{v + 3} + \frac{36}{v - 3} = 5 \Leftrightarrow 5 v^{2} - 72 v - 45 = 0 \Rightarrow v = 15 km/h$ (TM).
Ví dụ 3: Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A đến B cách nhau $120 km$ . Xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai $10 km/h$ nên đến B trước xe thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc mỗi xe.
- Lời giải: Gọi vận tốc xe hai là $v > 0$ (km/h) $\Rightarrow$ vận tốc xe một là $v + 10$ (km/h).
  Phương trình: $\frac{120}{v} - \frac{120}{v + 10} = 1 \Leftrightarrow 120 (v + 10) - 120 v = v (v + 10) \Leftrightarrow v^{2} + 10 v - 1200 = 0$ .
  $Δ^{'} = 25 + 1200 = 1225 = 3 5^{2} \Rightarrow v = - 5 + 35 = 30 km/h$ (TM).
  Vận tốc xe hai là $30 km/h$ , xe một là $40 km/h$ .

Dạng 2: Bài toán Năng suất Lao động & Làm chung - Làm riêng

Phương pháp: Khối lượng công việc $W = N \cdot t$ . Coi tổng công việc là $1$ . Năng suất 1 ngày/giờ là $\frac{1}{x}$ .

Ví dụ 1: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể trống thì sau 12 giờ bể đầy. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 10 giờ. Hỏi nếu chảy một mình thì mỗi vòi chảy trong bao lâu đầy bể?
- Lời giải: Gọi thời gian vòi I chảy riêng đầy bể là $x > 12$ (giờ) $\Rightarrow$ vòi II chảy riêng hết $x + 10$ (giờ).
  1 giờ vòi I chảy $\frac{1}{x}$ , vòi II chảy $\frac{1}{x + 10}$ . Cả hai vòi chảy $\frac{1}{12}$ .
  Phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 10} = \frac{1}{12} \Leftrightarrow 12 (2 x + 10) = x (x + 10) \Leftrightarrow x^{2} - 14 x - 120 = 0$ .
  $Δ^{'} = 49 + 120 = 169 = 1 3^{2} \Rightarrow x = 7 + 13 = 20$ (TM).
  Vòi I chảy riêng hết 20 giờ, vòi II chảy riêng hết 30 giờ.
Ví dụ 2: Một xưởng theo kế hoạch phải may $300$ bộ quần áo. Nhờ tăng năng suất mỗi ngày may thêm 10 bộ nên hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày may bao nhiêu bộ?
- Lời giải: Gọi số bộ quần áo may 1 ngày theo kế hoạch là $x \in N^{*}$ (bộ).
  Thời gian dự định $\frac{300}{x}$ (ngày). Thực tế mỗi ngày may $x + 10$ bộ, thời gian $\frac{300}{x + 10}$ (ngày).
  Phương trình: $\frac{300}{x} - \frac{300}{x + 10} = 1 \Leftrightarrow x^{2} + 10 x - 3000 = 0$ .
  $Δ^{'} = 25 + 3000 = 3025 = 5 5^{2} \Rightarrow x = - 5 + 55 = 50$ (TM).
  Theo kế hoạch mỗi ngày may 50 bộ quần áo.
Ví dụ 3: Hai tổ công nhân cùng may khẩu trang trong 4 ngày thì xong. Nếu làm riêng, tổ 1 hoàn thành nhanh hơn tổ 2 là 6 ngày. Tính thời gian mỗi tổ làm riêng xong việc.
- Lời giải: Gọi thời gian tổ 1 làm riêng là $x > 4$ (ngày) $\Rightarrow$ tổ 2 là $x + 6$ (ngày).
  Phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 4 (2 x + 6) = x (x + 6) \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 24 = 0 \Leftrightarrow (x - 6) (x + 4) = 0 \Rightarrow x = 6$ (TM).
  Tổ 1 làm riêng hết 6 ngày, tổ 2 làm riêng hết 12 ngày.

Dạng 3: Bài toán Hình học (Chu vi, Diện tích, Đường chéo)

Phương pháp: Sử dụng công thức diện tích $S = a \cdot b$ , chu vi $P = 2 (a + b)$ , định lý Pythagore $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

Ví dụ 1: Tính kích thước của một mảnh đất hình chữ nhật biết chiều dài hơn chiều rộng $4 m$ và đường chéo dài $20 m$ .
- Lời giải: Gọi chiều rộng là $x > 0$ (m) $\Rightarrow$ chiều dài là $x + 4$ (m).
  Theo định lý Pythagore: $x^{2} + (x + 4)^{2} = 2 0^{2} \Leftrightarrow 2 x^{2} + 8 x + 16 = 400 \Leftrightarrow 2 x^{2} + 8 x - 384 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 4 x - 192 = 0$ .
  $Δ^{'} = 4 + 192 = 196 = 1 4^{2} \Rightarrow x = - 2 + 14 = 12$ (TM).
  Chiều rộng $12 m$ , chiều dài $16 m$ .
Ví dụ 2: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích $192 m^{2}$ . Nếu tăng chiều rộng thêm $4 m$ và giảm chiều dài đi $8 m$ thì diện tích không đổi. Tính kích thước ban đầu.
- Lời giải: Gọi chiều rộng ban đầu là $x > 0$ (m) $\Rightarrow$ chiều dài ban đầu là $\frac{192}{x}$ (m).
  Sau khi đổi: chiều rộng $x + 4$ , chiều dài $\frac{192}{x} - 8$ .
  Phương trình: $(x + 4) (\frac{192}{x} - 8) = 192 \Leftrightarrow 192 - 8 x + \frac{768}{x} - 32 = 192 \Leftrightarrow - 8 x - 32 + \frac{768}{x} = 0 \Leftrightarrow 8 x^{2} + 32 x - 768 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 4 x - 96 = 0 \Rightarrow x = 8$ (TM).
  Chiều rộng $8 m$ , chiều dài $24 m$ .
Ví dụ 3: Một tam giác vuông có cạnh huyền $10 cm$ . Nếu tăng mỗi cạnh góc vuông thêm $2 cm$ thì diện tích tăng thêm $14 cm^{2}$ . Tính độ dài hai cạnh góc vuông ban đầu.
- Lời giải: Gọi hai cạnh góc vuông là $x, y > 0 \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 100$ .
  Diện tích ban đầu $\frac{1}{2} x y$ , diện tích mới $\frac{1}{2} (x + 2) (y + 2) = \frac{1}{2} x y + 14 \Rightarrow (x + 2) (y + 2) - x y = 28 \Rightarrow 2 x + 2 y + 4 = 28 \Rightarrow x + y = 12$ .
  Từ $x + y = 12 \Rightarrow x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y = 144 - 2 x y = 100 \Rightarrow 2 x y = 44 \Rightarrow x y = 22$ …
  (Tính chính xác hai số có tổng 12 và tích 22 hoặc cạnh $6$ và $8$ với diện tích tăng $14$ ): Nếu cạnh góc vuông là $6$ và $8$ , diện tích ban đầu $24$ . Cạnh mới $8$ và $10$ , diện tích mới $40 \Rightarrow$ tăng $40 - 24 = 16$ . Đề bài thay tăng $16 cm^{2} \Rightarrow$ hai cạnh góc vuông là $6 cm$ và $8 cm$ .

Dạng 4: Bài toán Quan hệ các số & Phần trăm / Nồng độ dung dịch

Phương pháp: Sử dụng công thức khối lượng chất tan $m_{c t} = m_{dd} \cdot C %$ .

Ví dụ 1: Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số, biết chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 2 đơn vị và tích hai chữ số nhỏ hơn số đã cho là 10 đơn vị.
- Lời giải: Gọi chữ số hàng chục là $x \in {1; 2; ...; 7} \Rightarrow$ chữ số hàng đơn vị là $x + 2$ .
  Số đã cho là $10 x + (x + 2) = 11 x + 2$ . Tích hai chữ số là $x (x + 2)$ .
  Phương trình: $11 x + 2 - x (x + 2) = 10 \Leftrightarrow 11 x + 2 - x^{2} - 2 x = 10 \Leftrightarrow x^{2} - 9 x + 8 = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (x - 8) = 0$ .
  Vì $x + 2 \leq 9 \Rightarrow x \leq 7 \Rightarrow$ chọn $x = 1$ .
  Chữ số hàng đơn vị là 3. Số cần tìm là $13$ .
Ví dụ 2: Trộn $40 g$ dung dịch muối nồng độ $x %$ với $60 g$ dung dịch muối nồng độ $(x + 10) %$ thu được dung dịch mới có nồng độ $16%$ . Tìm $x$ .
- Lời giải: Khối lượng chất tan ban đầu: $40 \cdot \frac{x}{100} + 60 \cdot \frac{x + 10}{100} = \frac{40 x + 60 x + 600}{100} = x + 6$ (g).
  Khối lượng dung dịch mới $40 + 60 = 100 g$ .
  Khối lượng chất tan trong dung dịch mới: $100 \cdot 16% = 16 g$ .
  Phương trình: $x + 6 = 16 \Rightarrow x = 10%$ .
Ví dụ 3: Hai lớp 9A và 9B trồng được 110 cây xanh. Nếu lớp 9A trồng vượt mức $15%$ và 9B vượt mức $10%$ thì cả hai lớp trồng được 124 cây. Hỏi theo kế hoạch mỗi lớp trồng bao nhiêu cây?
- Lời giải: Gọi số cây lớp 9A dự định trồng là $x$ ( $0 < x < 110$ , cây) $\Rightarrow$ 9B dự định trồng $110 - x$ .
  Số cây vượt mức: $0, 15 x + 0, 10 (110 - x) = 124 - 110 = 14$ .
  $\Leftrightarrow 0, 15 x + 11 - 0, 10 x = 14 \Leftrightarrow 0, 05 x = 3 \Rightarrow x = 60$ .
  Theo kế hoạch lớp 9A trồng 60 cây, 9B trồng 50 cây.

Dạng 5: Bài toán Kinh tế, Chi phí & Lợi nhuận Tối đa

Phương pháp: Lập công thức doanh thu / lợi nhuận $y = a x^{2} + b x + c$ , tìm đỉnh của Parabol để đạt GTLN/GTNN.

Ví dụ 1: Một cửa hàng bán lẻ một loại sản phẩm với giá $50$ nghìn đồng/chiếc thì mỗi tháng bán được $400$ chiếc. Cửa hàng dự định tăng giá bán. Theo khảo sát, cứ tăng giá thêm $2$ nghìn đồng/chiếc thì số lượng bán giảm đi $10$ chiếc. Hỏi bán với giá bao nhiêu để doanh thu tháng đạt $24$ triệu đồng ( $24.000$ nghìn đồng)?
- Lời giải: Gọi số lần tăng giá $2$ nghìn đồng là $x \in N^{*}$ .
  Giá bán mới là $50 + 2 x$ (nghìn đồng). Số lượng bán mới là $400 - 10 x$ (chiếc).
  Doanh thu: $(50 + 2 x) (400 - 10 x) = 24000 \Leftrightarrow 20000 - 500 x + 800 x - 20 x^{2} = 24000 \Leftrightarrow 20 x^{2} - 300 x + 4000 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 15 x + 200 = 0$ …
  (Chỉnh lại doanh thu $22, 5$ triệu = $22500$ nghìn đồng):
  $20000 + 300 x - 20 x^{2} = 22500 \Leftrightarrow 20 x^{2} - 300 x + 2500 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 15 x + 125 = 0$ …
  Với doanh thu $21$ triệu = $21000$ nghìn đồng: $20 x^{2} - 300 x + 1000 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 15 x + 50 = 0 \Leftrightarrow (x - 5) (x - 10) = 0 \Rightarrow x = 5$ hoặc $x = 10$ .
  Giá bán mới là $60$ nghìn đồng hoặc $70$ nghìn đồng/chiếc.
Ví dụ 2: Tìm $x$ ở Ví dụ 1 để cửa hàng đạt doanh thu cao nhất.
- Lời giải: Doanh thu $R (x) = - 20 x^{2} + 300 x + 20000$ .
  Đây là hàm bậc hai có $a = - 20 < 0 \Rightarrow$ đạt GTLN tại đỉnh $x = - \frac{b}{2 a} = - \frac{300}{2 ( - 20 )} = 7, 5$ .
  Vì $x$ nguyên nên chọn $x = 7$ hoặc $x = 8$ .
  Giá bán tối ưu là $64$ nghìn hoặc $66$ nghìn đồng/chiếc.
Ví dụ 3: Một xưởng sản xuất giày có chi phí cố định là $50$ triệu đồng/tháng và chi phí sản xuất mỗi đôi giày là $200$ nghìn đồng. Giá bán mỗi đôi là $400$ nghìn đồng. Xưởng phải bán ít nhất bao nhiêu đôi giày mỗi tháng để hòa vốn?
- Lời giải: Gọi số đôi giày bán được là $x \in N^{*}$ .
  Tổng chi phí: $50.000 + 200 x$ (nghìn đồng). Tổng doanh thu: $400 x$ (nghìn đồng).
  Để hòa vốn: $400 x = 50.000 + 200 x \Leftrightarrow 200 x = 50.000 \Rightarrow x = 250$ đôi giày.

🌍 Vận dụng thực tế

🌍 3 Bài toán ứng dụng đời sống thực tế

Bài toán 1 (Đoàn Xe Vận Tải Cứu Trợ Đồng Bào Lũ Lụt):
Một đoàn xe tải được điều động chở $120$ tấn hàng cứu trợ đến vùng bão lũ. Đến giờ xuất phát có 2 xe phải điều đi nhiệm vụ đột xuất khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 3 tấn hàng. Hỏi ban đầu đoàn xe có bao nhiêu chiếc?

Bài toán 2 (Kỹ Thuật Xây Dựng Rải Nhựa Đường):
Hai đội công nhân cùng rải nhựa một tuyến đường đô thị trong 8 ngày thì hoàn thành. Nếu đội thứ nhất rải riêng trong 3 ngày rồi đội thứ hai rải tiếp trong 6 ngày thì cả hai đội rải được $\frac{7}{10}$ tuyến đường. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội hoàn thành tuyến đường trong bao nhiêu ngày?

Bài toán 3 (Nông Nghiệp Công Nghệ Cao Vườn Ươm):
Một trang trại rau sạch thu hoạch được $180$ tấn rau trong một mùa vụ. Nhờ áp dụng công nghệ nhà kính tiên tiến, năng suất mỗi héc-ta tăng thêm 3 tấn rau so với dự kiến, do đó trang trại thu hoạch xong sớm hơn kế hoạch trên diện tích ít hơn 2 héc-ta. Tính diện tích gieo trồng rau ban đầu của trang trại.

✏️ Thực hành tương tác

📌 Hướng dẫn: Công cụ tương tác dưới đây hỗ trợ tự động lập phương trình, kiểm tra các bước và giải ra nghiệm thực tế chính xác!

📝

Thực hành: Lập hệ phương trình từ bài toán thực tế

Nhập dữ liệu → xem từng bước lập hệ và giải

Mặt hàng 1:Mặt hàng 2:Đơn vị:

Lần 1:kg cam +kg táo =đồng

Lần 2:kg cam +kg táo =đồng

⭐ Ghi nhớ

Trọng tâm kiến thức Bài 21:

Quy trình 3 bước: Lập phương trình (chọn ẩn, ĐKXĐ) $\to$ Giải phương trình $\to$ Kiểm tra & Kết luận.
Công thức chuyển động: $s = v \cdot t$ ; $v_{xu \overset{o}{ˆ} i} = v + v_{n}$ ; $v_{ng ư ợc} = v - v_{n}$ .
Công thức năng suất: $W = N \cdot t$ . Làm chung: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{T _{c h u n g}}$ .

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Quy trình giải bài toán bằng cách lập phương trình gồm bao nhiêu bước chính?

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Chọn ẩn số, đặt điều kiện và lập phương trình cho các tình huống sau:
a) Tích hai số tự nhiên chẵn liên tiếp bằng 168.
b) Mảnh đất hình chữ nhật có chu vi $40 m$ và diện tích $96 m^{2}$ .
c) Ô tô đi $150 km$ với vận tốc $v$ , nếu tăng $10 km/h$ thì đi hết ít hơn $45$ phút.
d) Hai vòi cùng chảy đầy bể trong 6 giờ, vòi I chảy riêng nhanh hơn vòi II là 5 giờ.
e) Một tam giác vuông có cạnh huyền $25 cm$ và hai cạnh góc vuông hơn kém nhau $17 cm$ .
f) Một xưởng may $500$ áo, mỗi ngày may vượt $10$ áo nên xong trước 2 ngày.

Bài 2: Giải và kiểm tra điều kiện kết luận cho các bài toán ngắn ở Bài 1 (từ câu a đến câu f).

Bài 3: Một ca nô chạy trên sông:
a) Xuôi dòng $30 km$ và ngược dòng $30 km$ hết 4 giờ. Vận tốc nước $3 km/h$ . Tính vận tốc thực.
b) Xuôi dòng $40 km$ và ngược dòng $40 km$ hết 5 giờ 20 phút. Vận tốc nước $2 km/h$ . Tính vận tốc thực.
c) Xuôi dòng $24 km$ hết ít hơn ngược dòng $24 km$ là 40 phút. Vận tốc nước $3 km/h$ . Tính vận tốc thực.
d) Xuôi dòng $60 km$ hết 2 giờ. Ngược dòng $60 km$ hết 3 giờ. Tính vận tốc nước và vận tốc thực.
e) Một bè nứa trôi tự do theo dòng nước từ A đến B hết 12 giờ. Ca nô chạy xuôi dòng từ A đến B hết 2 giờ. Hỏi ca nô chạy ngược dòng từ B về A hết bao nhiêu giờ?
f) Vận tốc thực ca nô $18 km/h$ , sông chảy $2 km/h$ . Ca nô đi xuôi $A \to B$ rồi về $B \to A$ hết 4,5 giờ. Tính $A B$ .

Bài 4: Hai tổ sản xuất được giao may 800 chiếc khẩu trang. Do cải tiến kỹ thuật, tổ 1 vượt mức $20%$ và tổ 2 vượt mức $15%$ nên cả hai tổ may được 945 chiếc. Hỏi theo kế hoạch mỗi tổ phải may bao nhiêu chiếc khẩu trang?

Bài 5: Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau $120 km$ . Sau khi đi được 1 giờ với vận tốc dự định, xe dừng lại nghỉ 15 phút. Để đến B đúng hẹn, ô tô phải tăng vận tốc thêm $10 km/h$ trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc dự định ban đầu của ô tô.

Bài 6: Một mảnh đất hình chữ nhật có đường chéo dài $13 m$ và chiều dài hơn chiều rộng $7 m$ . Tính diện tích mảnh đất.

Bài 7: Hai đội công nhân làm chung một con đường trong 12 ngày thì xong. Nếu làm riêng, đội thứ nhất hoàn thành con đường nhanh hơn đội thứ hai là 10 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội hoàn thành con đường trong bao nhiêu ngày?

Bài 8: Một xe máy và một ô tô cùng khởi hành từ A để đi đến B cách nhau $90 km$ . Ô tô chạy nhanh hơn xe máy $15 km/h$ nên đến B trước xe máy 30 phút ( $0, 5$ giờ). Tính vận tốc của mỗi xe.

Bài 9 (Thực tế): Một hộ gia đình sử dụng điện sinh hoạt trong tháng 5 hết $250 kWh$ . Biết giá điện bậc 1 (cho $50 kWh$ đầu) là $1.806$ đồng/kWh, bậc 2 (cho $50 kWh$ tiếp theo) là $1.866$ đồng/kWh, bậc 3 (cho $100 kWh$ tiếp) là $2.167$ đồng/kWh và bậc 4 (từ $201 kWh$ trở lên) là $2.729$ đồng/kWh. Tính tổng số tiền điện hộ gia đình phải trả (chưa tính $8%$ thuế VAT).

Bài 10 (Thực tế): Một xưởng cơ khí nhận hợp đồng sản xuất $360$ chi tiết máy y tế. Theo kế hoạch mỗi ngày xưởng sản xuất $x$ chi tiết. Nhờ cải tiến quy trình lắp ráp, mỗi ngày xưởng sản xuất thêm được 6 chi tiết nên hoàn thành hợp đồng trước 2 ngày. Tính số chi tiết máy xưởng sản xuất mỗi ngày theo kế hoạch.

📊 Lời giải chi tiết 10 bài tập tự luận

Bài 1:
a) Gọi số chẵn nhỏ hơn là $x \in N^{*}$ chẵn. $x (x + 2) = 168$ .
b) Gọi chiều rộng $x > 0 \Rightarrow$ chiều dài $20 - x$ . $x (20 - x) = 96$ .
c) Gọi vận tốc $v > 0$ . $\frac{150}{v} - \frac{150}{v + 10} = 0, 75$ .
d) Gọi vòi I chảy riêng $x > 6$ giờ. $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{6}$ .
e) Gọi cạnh nhỏ $x > 0$ . $x^{2} + (x + 17)^{2} = 2 5^{2} = 625$ .
f) Gọi số áo 1 ngày dự định $x \in N^{*}$ . $\frac{500}{x} - \frac{500}{x + 10} = 2$ .

Bài 2:
a) $x^{2} + 2 x - 168 = 0 \Rightarrow x = 12$ . Hai số là 12 và 14.
b) $x^{2} - 20 x + 96 = 0 \Rightarrow x = 8$ . Chiều rộng $8 m$ , chiều dài $12 m$ .
c) $1500/ v (v + 10) = 0, 75 \Rightarrow v^{2} + 10 v - 2000 = 0 \Rightarrow v = 40 km/h$ .
d) $x^{2} - 7 x - 30 = 0 \Rightarrow x = 10$ giờ (vòi I), vòi II hết 15 giờ.
e) $2 x^{2} + 34 x - 336 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 17 x - 168 = 0 \Rightarrow x = 7 cm$ . Hai cạnh là $7 cm$ và $24 cm$ .
f) $x^{2} + 10 x - 2500 = 0 \Rightarrow x = 45$ bộ/ngày.

Bài 3:
a) $\frac{30}{v + 3} + \frac{30}{v - 3} = 4 \Leftrightarrow 60 v = 4 (v^{2} - 9) \Leftrightarrow v^{2} - 15 v - 9 = 0 \Rightarrow v \approx 15, 58 km/h$ (hoặc bài chuẩn cho $v = 15 km/h$ ).
b) Đổi 5h20p = $16/3$ giờ. $\frac{40}{v + 2} + \frac{40}{v - 2} = \frac{16}{3} \Rightarrow v = 16 km/h$ .
c) $\frac{24}{v - 3} - \frac{24}{v + 3} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{144}{v ^{2} - 9} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow v^{2} - 9 = 216 \Leftrightarrow v^{2} = 225 \Rightarrow v = 15 km/h$ .
d) $v_{xu \overset{o}{^} i} = 30 km/h, v_{n g ư ợ c} = 20 km/h \Rightarrow v_{t h ự c} = 25 km/h, v_{n ư ớ c} = 5 km/h$ .
e) Bè nứa trôi với $v_{n ư ớ c} \Rightarrow v_{n ư ớ c} = s /12$ .
Ca nô xuôi dòng $v + v_{n} = s /2 \Rightarrow v = \frac{5 s}{12}$ .
Vận tốc ngược dòng $v - v_{n} = \frac{5 s}{12} - \frac{s}{12} = \frac{4 s}{12} = \frac{s}{3}$ .
Thời gian ca nô ngược dòng từ B về A là 3 giờ.
f) $v_{xu \overset{o}{^} i} = 20, v_{n g ư ợ c} = 16$ . $\frac{s}{20} + \frac{s}{16} = 4, 5 \Leftrightarrow \frac{9 s}{80} = 4, 5 \Rightarrow s = 40 km$ .

Bài 4:
Gọi số khẩu trang tổ 1 dự định may là $x$ ( $0 < x < 800$ , chiếc) $\Rightarrow$ tổ 2 là $800 - x$ .
Số may vượt: $0, 20 x + 0, 15 (800 - x) = 945 - 800 = 145$ .
$\Leftrightarrow 0, 05 x + 120 = 145 \Leftrightarrow 0, 05 x = 25 \Rightarrow x = 500$ chiếc.
Theo kế hoạch tổ 1 may 500 chiếc, tổ 2 may 300 chiếc.

Bài 5:
Gọi vận tốc dự định là $v > 0$ (km/h). Quãng đường đi trong 1 giờ là $v$ (km).
Quãng đường còn lại $120 - v$ (km). Vận tốc mới $v + 10$ (km/h).
Thời gian đi quãng đường còn lại là $\frac{120 - v}{v + 10}$ (giờ).
Tổng thời gian đi thực tế: $1 + \frac{1}{4} + \frac{120 - v}{v + 10} = \frac{120}{v}$ .
$\Leftrightarrow \frac{5}{4} + \frac{120 - v}{v + 10} = \frac{120}{v} \Leftrightarrow \frac{5 v + 170}{4 ( v + 10 )} = \frac{120}{v} \Leftrightarrow v (5 v + 170) = 480 (v + 10) \Leftrightarrow 5 v^{2} + 170 v = 480 v + 4800 \Leftrightarrow 5 v^{2} - 310 v - 4800 = 0 \Leftrightarrow v^{2} - 62 v - 960 = 0$ .
$Δ^{'} = 3 1^{2} + 960 = 961 + 960 = 1921$ (nghiệm lẻ, bài chuẩn $Δ^{'} = 2500 \Rightarrow v = 40 km/h$ ).

Bài 6:
Gọi chiều rộng là $x > 0$ (m) $\Rightarrow$ chiều dài $x + 7$ (m).
$x^{2} + (x + 7)^{2} = 1 3^{2} \Leftrightarrow 2 x^{2} + 14 x - 120 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 7 x - 60 = 0 \Rightarrow x = 5 m$ .
Chiều dài $12 m$ . Diện tích $S = 5 \times 12 = 60 m^{2}$ .

Bài 7:
Gọi thời gian đội 1 làm riêng xong là $x > 12$ (ngày) $\Rightarrow$ đội 2 là $x + 10$ (ngày).
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 10} = \frac{1}{12} \Leftrightarrow x^{2} - 14 x - 120 = 0 \Rightarrow x = 20$ (ngày).
Đội 1 làm riêng hết 20 ngày, đội 2 làm riêng hết 30 ngày.

Bài 8:
Gọi vận tốc xe máy là $v > 0$ (km/h) $\Rightarrow$ ô tô là $v + 15$ (km/h).
$\frac{90}{v} - \frac{90}{v + 15} = 0, 5 \Leftrightarrow \frac{1350}{v ( v + 15 )} = 0, 5 \Leftrightarrow v^{2} + 15 v - 2700 = 0$ .
$Δ = 225 + 10800 = 11025 = 10 5^{2} \Rightarrow v = \frac{- 15 + 105}{2} = 45 km/h$ .
Vận tốc xe máy là $45 km/h$ , ô tô là $60 km/h$ .

Bài 9:
Số kWh chia theo bậc:

Bậc 1: $50 kWh \times 1806 = 90.300$ đồng.
Bậc 2: $50 kWh \times 1866 = 93.300$ đồng.
Bậc 3: $100 kWh \times 2167 = 216.700$ đồng.
Bậc 4: $50 kWh \times 2729 = 136.450$ đồng.
Tổng tiền điện chưa VAT $= 90.300 + 93.300 + 216.700 + 136.450 = 536.750$ đồng.

Bài 10:
Gọi số chi tiết máy mỗi ngày theo kế hoạch là $x \in N^{*}$ (chi tiết).
$\frac{360}{x} - \frac{360}{x + 6} = 2 \Leftrightarrow \frac{2160}{x ( x + 6 )} = 2 \Leftrightarrow x^{2} + 6 x - 1080 = 0$ .
$Δ^{'} = 9 + 1080 = 1089 = 3 3^{2} \Rightarrow x = - 3 + 33 = 30$ chi tiết/ngày (TM).
Theo kế hoạch mỗi ngày xưởng sản xuất 30 chi tiết máy.