Lớp 9 · Chương VI: Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 20: Định lý Vi-ét và ứng dụng

🚀 Khởi động

✨ Francois Viète — Nhà Toán học Pháp và Công thức Kì diệu

François Viète (1540 – 1603) là một nhà toán học nổi tiếng người Pháp. Ông là người đầu tiên phát hiện ra mối liên hệ tuyệt đẹp giữa các hệ số $a, b, c$ và các nghiệm $x_{1}, x_{2}$ của phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0$ .

Nhờ Định lý Vi-ét, chúng ta có thể nhẩm nghiệm nhanh chóng trong 3 giây mà không cần tính biệt thức $Δ$ , tính giá trị các biểu thức đối xứng phức tạp và ứng dụng vào giải vô số bài toán thực tế!

🔍 Khám phá

📖 1. Định lý Vi-ét Thuận & Ứng dụng Nhẩm nghiệm

1. Định lý Vi-ét (Thuận): Nếu phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq = 0$ ) có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thì: $⎩ ⎨ ⎧ S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} P = x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

2. Ứng dụng Nhẩm nghiệm đặc biệt:

Trường hợp 1: Nếu $a + b + c = 0$ thì phương trình có 2 nghiệm: $x_{1} = 1 v \overset{a}{ˋ} x_{2} = \frac{c}{a}$
Trường hợp 2: Nếu $a - b + c = 0$ thì phương trình có 2 nghiệm: $x_{1} = - 1 v \overset{a}{ˋ} x_{2} = - \frac{c}{a}$

3 Ví dụ minh họa Định lý Vi-ét thuận & Nhẩm nghiệm:

Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm của phương trình $5 x^{2} - 7 x + 2 = 0$ .
- Giải: Ta có $a = 5, b = - 7, c = 2$ .
  Nhận thấy $a + b + c = 5 + (- 7) + 2 = 0$ .
  Phương trình có 2 nghiệm: $x_{1} = 1$ và $x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{2}{5}$ .
Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm của phương trình $3 x^{2} + 8 x + 5 = 0$ .
- Giải: Ta có $a = 3, b = 8, c = 5$ .
  Nhận thấy $a - b + c = 3 - 8 + 5 = 0$ .
  Phương trình có 2 nghiệm: $x_{1} = - 1$ và $x_{2} = - \frac{c}{a} = - \frac{5}{3}$ .
Ví dụ 3: Không giải phương trình $2 x^{2} - 9 x + 4 = 0$ , hãy tính tổng $S = x_{1} + x_{2}$ và tích $P = x_{1} x_{2}$ của hai nghiệm.
- Giải: Biệt thức $Δ = (- 9)^{2} - 4 (2) (4) = 81 - 32 = 49 > 0 \Rightarrow$ phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
  Theo định lý Vi-ét: $S = x_{1} + x_{2} = - \frac{- 9}{2} = \frac{9}{2} = 4, 5$ và $P = x_{1} x_{2} = \frac{4}{2} = 2$ .

📖 2. Định lý Vi-ét Đảo — Tìm hai số khi biết Tổng và Tích

Định lý Vi-ét (Đảo): Nếu hai số $u$ và $v$ có tổng $u + v = S$ và tích $u \cdot v = P$ thì $u$ và $v$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai: $X^{2} - S X + P = 0$

Điều kiện tồn tại hai số $u$ và $v$ : $S^{2} - 4 P \geq 0$

3 Ví dụ minh họa Định lý Vi-ét đảo:

Ví dụ 1: Tìm hai số $u$ và $v$ biết $u + v = 9$ và $u \cdot v = 20$ .
- Giải: Ta có $S = 9, P = 20$ . Điều kiện $S^{2} - 4 P = 81 - 80 = 1 \geq 0$ .
  Hai số $u, v$ là hai nghiệm của phương trình $X^{2} - 9 X + 20 = 0$ .
  $Δ = 81 - 80 = 1 \Rightarrow X_{1} = \frac{9 + 1}{2} = 5, X_{2} = \frac{9 - 1}{2} = 4$ .
  Vậy hai số cần tìm là $(u; v) = (5; 4)$ hoặc $(u; v) = (4; 5)$ .
Ví dụ 2: Tìm hai số $u$ và $v$ biết $u + v = - 5$ và $u \cdot v = 6$ .
- Giải: Ta có $S = - 5, P = 6$ . Điều kiện $S^{2} - 4 P = (- 5)^{2} - 4 (6) = 25 - 24 = 1 \geq 0$ .
  Hai số $u, v$ là nghiệm của phương trình $X^{2} + 5 X + 6 = 0 \Leftrightarrow (X + 2) (X + 3) = 0$ .
  Vậy hai số là $- 2$ và $- 3$ .
Ví dụ 3: Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông biết chu vi bằng $24 cm$ và cạnh huyền bằng $10 cm$ .
- Giải: Gọi hai cạnh góc vuông là $u, v > 0$ .
  Theo đề bài: $u + v + 10 = 24 \Rightarrow u + v = 14$ ( $S = 14$ ).
  Theo định lý Pythagore: $u^{2} + v^{2} = 1 0^{2} = 100 \Rightarrow (u + v)^{2} - 2 uv = 100 \Rightarrow 1 4^{2} - 2 P = 100 \Rightarrow 196 - 2 P = 100 \Rightarrow P = 48$ .
  Hai số $u, v$ là nghiệm của $X^{2} - 14 X + 48 = 0 \Rightarrow X_{1} = 8, X_{2} = 6$ .
  Vậy hai cạnh góc vuông có độ dài $8 cm$ và $6 cm$ .

🎯 5 Dạng toán & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

Phương pháp: Kiểm tra $a + b + c = 0 \Rightarrow x_{1} = 1, x_{2} = \frac{c}{a}$ hoặc $a - b + c = 0 \Rightarrow x_{1} = - 1, x_{2} = - \frac{c}{a}$ . Nếu không rơi vào 2 TH này, đoán tổng $S$ và tích $P$ .

Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm phương trình $7 x^{2} - 11 x + 4 = 0$ .
- Lời giải: $a + b + c = 7 + (- 11) + 4 = 0 \Rightarrow x_{1} = 1, x_{2} = \frac{4}{7}$ .
Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm phương trình $4 x^{2} + 9 x + 5 = 0$ .
- Lời giải: $a - b + c = 4 - 9 + 5 = 0 \Rightarrow x_{1} = - 1, x_{2} = - \frac{5}{4}$ .
Ví dụ 3: Nhẩm nghiệm phương trình $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ .
- Lời giải: $S = x_{1} + x_{2} = 5$ và $P = x_{1} x_{2} = 6$ . Hai số có tổng 5 và tích 6 là $2$ và $3$ .
  Vậy tập nghiệm $S = {2; 3}$ .

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm

Phương pháp: Biến đổi biểu thức theo tổng $S = x_{1} + x_{2}$ và tích $P = x_{1} x_{2}$ :
- $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = S^{2} - 2 P$
- $(x_{1} - x_{2})^{2} = S^{2} - 4 P$
- $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{S}{P}$
- $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = (x_{1} + x_{2}) (x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}) = S (S^{2} - 3 P)$

Ví dụ 1: Cho phương trình $x^{2} - 4 x + 2 = 0$ có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ . Tính $A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ .
- Lời giải: Vi-ét: $S = 4, P = 2$ .
  $A = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 4^{2} - 2 (2) = 16 - 4 = 12$ .
Ví dụ 2: Cho phương trình $x^{2} - 3 x - 1 = 0$ có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ . Tính $B = \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$ .
- Lời giải: Vi-ét: $S = 3, P = - 1$ .
  $B = \frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}} = \frac{3}{- 1} = - 3$ .
Ví dụ 3: Cho phương trình $2 x^{2} - 6 x + 1 = 0$ có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ . Tính $C = x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$ .
- Lời giải: Vi-ét: $S = \frac{6}{2} = 3, P = \frac{1}{2}$ .
  $C = S (S^{2} - 3 P) = 3 (3^{2} - 3 \times \frac{1}{2}) = 3 (9 - \frac{3}{2}) = 3 \times \frac{15}{2} = \frac{45}{2} = 22, 5$ .

Dạng 3: Tìm tham số $m$ để hai nghiệm thỏa mãn biểu thức cho trước

Phương pháp:
1. Tìm ĐK để phương trình có 2 nghiệm ( $Δ \geq 0$ hoặc $Δ > 0$ ).
2. Viết hệ thức Vi-ét $S, P$ theo $m$ .
3. Biến đổi điều kiện bài ra theo $S$ và $P$ rồi giải ra $m$ (đối chiếu ĐK).

Ví dụ 1: Tìm $m$ để phương trình $x^{2} - 2 (m - 1) x + m^{2} - 3 = 0$ có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 12$ .
- Lời giải: $Δ^{'} = (m - 1)^{2} - (m^{2} - 3) = 4 - 2 m \geq 0 \Leftrightarrow m \leq 2$ .
  Theo Vi-ét: $S = 2 (m - 1), P = m^{2} - 3$ .
  $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = S^{2} - 2 P = 4 (m - 1)^{2} - 2 (m^{2} - 3) = 4 (m^{2} - 2 m + 1) - 2 m^{2} + 6 = 2 m^{2} - 8 m + 10 = 12$ .
  $\Leftrightarrow 2 m^{2} - 8 m - 2 = 0 \Leftrightarrow m^{2} - 4 m - 1 = 0 \Rightarrow m = 2 \pm 5$ .
  Đối chiếu $m \leq 2$ : Chọn $m = 2 - 5$ (vì $2 - 5 \approx - 0, 24 < 2$ ).
Ví dụ 2: Cho phương trình $x^{2} - 5 x + m = 0$ . Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn $x_{1} = 4 x_{2}$ .
- Lời giải: $Δ = 25 - 4 m \geq 0 \Leftrightarrow m \leq 6, 25$ .
  Vi-ét: $x_{1} + x_{2} = 5$ và $x_{1} x_{2} = m$ .
  Kết hợp $x_{1} = 4 x_{2} \Rightarrow 4 x_{2} + x_{2} = 5 \Leftrightarrow 5 x_{2} = 5 \Rightarrow x_{2} = 1 \Rightarrow x_{1} = 4$ .
  Thay vào tích: $m = x_{1} x_{2} = 4 \times 1 = 4$ (TM ĐK $m \leq 6, 25$ ).
Ví dụ 3: Tìm $m$ để phương trình $x^{2} - 2 m x + m - 1 = 0$ có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} + 3 x_{2} = 7$ .
- Lời giải: $Δ^{'} = m^{2} - m + 1 = (m - 0, 5)^{2} + 0, 75 > 0\forall m$ .
  Vi-ét: $x_{1} + x_{2} = 2 m$ (1) và $x_{1} x_{2} = m - 1$ (2).
  Từ $x_{1} + 3 x_{2} = 7$ và (1) $\Rightarrow 2 x_{2} = 7 - 2 m \Rightarrow x_{2} = \frac{7 - 2 m}{2} \Rightarrow x_{1} = 2 m - \frac{7 - 2 m}{2} = \frac{6 m - 7}{2}$ .
  Thay vào (2): $\frac{( 6 m - 7 ) ( 7 - 2 m )}{4} = m - 1 \Leftrightarrow - 12 m^{2} + 56 m - 49 = 4 m - 4 \Leftrightarrow 12 m^{2} - 52 m + 45 = 0$ .
  $Δ^{'} = 676 - 540 = 136 \Rightarrow m = \frac{26 \pm 136}{12} = \frac{13 \pm 34}{6}$ .

Dạng 4: Xét dấu các Nghiệm của Phương trình bậc hai

Phương pháp:
- Hai nghiệm trái dấu: $a c < 0$ (hoặc $P < 0$ ).
- Hai nghiệm cùng dấu: ${Δ \geq 0 P > 0$ .
- Hai nghiệm cùng dương: $⎩ ⎨ ⎧ Δ \geq 0 S > 0 P > 0$ .
- Hai nghiệm cùng âm: $⎩ ⎨ ⎧ Δ \geq 0 S < 0 P > 0$ .

Ví dụ 1: Tìm $m$ để phương trình $x^{2} - 2 m x + 3 m - 2 = 0$ có 2 nghiệm trái dấu.
- Lời giải: Phương trình có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow a c < 0 \Leftrightarrow 1 (3 m - 2) < 0 \Leftrightarrow 3 m < 2 \Leftrightarrow m < \frac{2}{3}$ .
Ví dụ 2: Tìm $m$ để phương trình $x^{2} - 4 x + m - 1 = 0$ có 2 nghiệm cùng dương.
- Lời giải: Điều kiện có 2 nghiệm cùng dương:
  $⎩ ⎨ ⎧ Δ^{'} = 4 - (m - 1) \geq 0 S = 4 > 0 (lu \overset{o}{ˆ} n đ \overset{u}{ˊ} ng) P = m - 1 > 0 \Leftrightarrow {5 - m \geq 0 m - 1 > 0 \Leftrightarrow 1 < m \leq 5$ .
Ví dụ 3: Tìm $m$ để phương trình $x^{2} + 2 (m + 1) x + 4 m = 0$ có 2 nghiệm cùng âm.
- Lời giải: Điều kiện có 2 nghiệm cùng âm:
  $⎩ ⎨ ⎧ Δ^{'} = (m + 1)^{2} - 4 m = (m - 1)^{2} \geq 0 (lu \overset{o}{ˆ} n đ \overset{u}{ˊ} ng) S = - 2 (m + 1) < 0 \Rightarrow m + 1 > 0 \Rightarrow m > - 1 P = 4 m > 0 \Rightarrow m > 0$ .
  Kết hợp điều kiện và $m \neq = 1$ (để có 2 nghiệm phân biệt âm) $\Rightarrow m > 0$ và $m \neq = 1$ .

Dạng 5: Lập Phương trình bậc hai nhận $y_{1}, y_{2}$ làm nghiệm

Phương pháp: Tính tổng $S = y_{1} + y_{2}$ và tích $P = y_{1} y_{2}$ theo các nghiệm $x_{1}, x_{2}$ . Phương trình cần lập là $Y^{2} - S Y + P = 0$ .

Ví dụ 1: Cho $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - 5 x + 3 = 0$ . Lập phương trình bậc hai nhận $y_{1} = 2 x_{1}$ và $y_{2} = 2 x_{2}$ làm nghiệm.
- Lời giải: Vi-ét của $x$ : $x_{1} + x_{2} = 5, x_{1} x_{2} = 3$ .
  $S = y_{1} + y_{2} = 2 (x_{1} + x_{2}) = 2 (5) = 10$ .
  $P = y_{1} y_{2} = 4 x_{1} x_{2} = 4 (3) = 12$ .
  Phương trình cần lập là $Y^{2} - 10 Y + 12 = 0$ .
Ví dụ 2: Lập phương trình bậc hai nhận $y_{1} = x_{1} + 1$ và $y_{2} = x_{2} + 1$ làm nghiệm với $x_{1}, x_{2}$ là nghiệm của $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ .
- Lời giải: $x_{1} + x_{2} = 3, x_{1} x_{2} = 1$ .
  $S = (x_{1} + 1) + (x_{2} + 1) = (x_{1} + x_{2}) + 2 = 3 + 2 = 5$ .
  $P = (x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = x_{1} x_{2} + (x_{1} + x_{2}) + 1 = 1 + 3 + 1 = 5$ .
  Phương trình cần lập là $Y^{2} - 5 Y + 5 = 0$ .
Ví dụ 3: Lập phương trình bậc hai nhận $y_{1} = \frac{1}{x _{1}}$ và $y_{2} = \frac{1}{x _{2}}$ làm nghiệm với $x_{1}, x_{2}$ là nghiệm của $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$ .
- Lời giải: $x_{1} + x_{2} = 7/2, x_{1} x_{2} = 3/2$ .
  $S = \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}} = \frac{7/2}{3/2} = \frac{7}{3}$ .
  $P = \frac{1}{x _{1} x _{2}} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$ .
  Phương trình cần lập: $Y^{2} - \frac{7}{3} Y + \frac{2}{3} = 0 \Leftrightarrow 3 Y^{2} - 7 Y + 2 = 0$ .

🌍 Vận dụng thực tế

🌍 3 Bài toán ứng dụng đời sống thực tế

Bài toán 1 (Thiết kế Kích thước Sân chơi Trẻ em):
Một sân chơi trẻ em hình chữ nhật có chu vi $P = 36 m$ và diện tích $S = 80 m^{2}$ . Áp dụng định lý Vi-ét đảo để tính chiều dài và chiều rộng của sân chơi.

Bài toán 2 (Kỹ thuật Mạch điện Song song):
Hai điện trở $R_{1}$ và $R_{2}$ được mắc song song vào mạch điện có điện trở tương đương $R_{t d} = 2, 4 Ω$ . Khi mắc nối tiếp, điện trở tương đương là $R_{n t} = 10 Ω$ . Tính độ lớn của hai điện trở $R_{1}$ và $R_{2}$ .

Bài toán 3 (Kinh tế & Định giá Bán Sản phẩm):
Một nhà sản xuất bán hai mặt hàng A và B. Biết tổng giá bán hai mặt hàng là 15 triệu đồng và tích giá bán là 50 (đơn vị triệu đồng $^{2}$ ). Tìm giá bán riêng của từng mặt hàng.

✏️ Thực hành tương tác

📌 Hướng dẫn: Công cụ tương tác dưới đây hỗ trợ tự động kiểm tra định lý Vi-ét, nhẩm nghiệm và biến đổi các biểu thức đối xứng!

Máy Tính Phương Trình Bậc 2 & Định Lí Viète

Nhập các hệ số a, b, c của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0).

x² +

x +

= 0

⭐ Ghi nhớ

Trọng tâm kiến thức Bài 20:

Định lý Vi-ét thuận: $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .
Nhẩm nghiệm:
- $a + b + c = 0 \Rightarrow x_{1} = 1, x_{2} = \frac{c}{a}$ .
- $a - b + c = 0 \Rightarrow x_{1} = - 1, x_{2} = - \frac{c}{a}$ .
Định lý Vi-ét đảo: $u + v = S, uv = P \Rightarrow X^{2} - S X + P = 0$ (ĐK: $S^{2} - 4 P \geq 0$ ).

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Cho phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ ( $a \neq 0$ ) có 2 nghiệm $x_1, x_2$ . Theo định lý Vi-ét, tổng $S = x_1 + x_2$ và tích $P = x_1 x_2$ bằng:

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Nhẩm nghiệm các phương trình bậc hai sau (không dùng công thức nghiệm):
a) $3 x^{2} - 8 x + 5 = 0$
b) $7 x^{2} + 12 x + 5 = 0$
c) $11 x^{2} - 13 x + 2 = 0$
d) $x^{2} - 9 x + 20 = 0$
e) $x^{2} + 8 x + 15 = 0$
f) $2024 x^{2} + 2025 x + 1 = 0$

Bài 2: Cho phương trình $x^{2} - 6 x + 4 = 0$ có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ . Không giải phương trình, hãy tính:
a) $A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$
b) $B = (x_{1} - x_{2})^{2}$
c) $C = \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$
d) $D = x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$
e) $E = \frac{x _{1}}{x _{2}} + \frac{x _{2}}{x _{1}}$
f) $F = x_{1}^{2} x_{2} + x_{1} x_{2}^{2}$

Bài 3: Tìm hai số $u$ và $v$ trong các trường hợp sau:
a) $u + v = 11, uv = 28$
b) $u + v = - 7, uv = 12$
c) $u + v = 8, uv = 15$
d) $u + v = - 10, uv = 21$
e) $u - v = 5, uv = 36$
f) $u^{2} + v^{2} = 25, u + v = 7$

Bài 4: Cho phương trình $x^{2} - 2 (m - 1) x + m^{2} - 3 = 0$ .
a) Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Tìm $m$ để hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 12$ .

Bài 5: Cho phương trình $x^{2} - 5 x + m = 0$ .
a) Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ .
b) Tìm $m$ để hai nghiệm thỏa mãn $x_{1} = 4 x_{2}$ .

Bài 6: Cho phương trình $x^{2} - 2 m x + 2 m - 1 = 0$ .
a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ với mọi $m$ .
b) Tìm $m$ để hai nghiệm thỏa mãn $2 x_{1} + 3 x_{2} = 7$ .

Bài 7: Cho phương trình $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ . Lập phương trình bậc hai nhận $y_{1} = 2 x_{1} + 1$ và $y_{2} = 2 x_{2} + 1$ làm nghiệm.

Bài 8: Cho phương trình $x^{2} - 2 (m + 1) x + 2 m + 1 = 0$ . Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu (hoặc cùng dương).

Bài 9 (Thực tế): Hai thợ xây cùng làm chung một bức tường trong 6 giờ thì xong. Nếu làm riêng, người thợ thứ nhất hoàn thành công việc nhanh hơn người thợ thứ hai 5 giờ. Tính thời gian mỗi người làm riêng để xong bức tường.

Bài 10 (Thực tế): Một thảm cỏ hình chữ nhật có chu vi $60 m$ và diện tích $200 m^{2}$ . Dùng định lý Vi-ét đảo để tính chiều dài và chiều rộng của thảm cỏ.

📊 Lời giải chi tiết 10 bài tập tự luận

Bài 1:
a) $a + b + c = 3 - 8 + 5 = 0 \Rightarrow x_{1} = 1, x_{2} = 5/3$ .
b) $a - b + c = 7 - 12 + 5 = 0 \Rightarrow x_{1} = - 1, x_{2} = - 5/7$ .
c) $a + b + c = 11 - 13 + 2 = 0 \Rightarrow x_{1} = 1, x_{2} = 2/11$ .
d) $S = 9, P = 20 \Rightarrow x_{1} = 4, x_{2} = 5$ .
e) $S = - 8, P = 15 \Rightarrow x_{1} = - 3, x_{2} = - 5$ .
f) $a - b + c = 2024 - 2025 + 1 = 0 \Rightarrow x_{1} = - 1, x_{2} = - 1/2024$ .

Bài 2:
Vi-ét: $S = x_{1} + x_{2} = 6, P = x_{1} x_{2} = 4$ .
a) $A = S^{2} - 2 P = 36 - 8 = 28$ .
b) $B = S^{2} - 4 P = 36 - 16 = 20$ .
c) $C = S / P = 6/4 = 1, 5$ .
d) $D = S (S^{2} - 3 P) = 6 (36 - 12) = 6 \times 24 = 144$ .
e) $E = \frac{x _{1}^{2} + x _{2}^{2}}{x _{1} x _{2}} = \frac{28}{4} = 7$ .
f) $F = x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}) = P \cdot S = 4 \times 6 = 24$ .

Bài 3:
a) $X^{2} - 11 X + 28 = 0 \Rightarrow (u; v) = (7; 4)$ hoặc $(4; 7)$ .
b) $X^{2} + 7 X + 12 = 0 \Rightarrow (u; v) = (- 3; - 4)$ hoặc $(- 4; - 3)$ .
c) $X^{2} - 8 X + 15 = 0 \Rightarrow (u; v) = (5; 3)$ hoặc $(3; 5)$ .
d) $X^{2} + 10 X + 21 = 0 \Rightarrow (u; v) = (- 3; - 7)$ hoặc $(- 7; - 3)$ .
e) Đặt $v^{'} = - v \Rightarrow u + v^{'} = 5, u v^{'} = - 36 \Rightarrow X^{2} - 5 X - 36 = 0 \Rightarrow X_{1} = 9, X_{2} = - 4 \Rightarrow (u; v) = (9; 4)$ hoặc $(- 4; - 9)$ .
f) $(u + v)^{2} - 2 uv = 25 \Rightarrow 49 - 2 P = 25 \Rightarrow P = 12$ .
$X^{2} - 7 X + 12 = 0 \Rightarrow (u; v) = (4; 3)$ hoặc $(3; 4)$ .

Bài 4:
a) $Δ^{'} = (m - 1)^{2} - (m^{2} - 3) = 4 - 2 m > 0 \Leftrightarrow m < 2$ .
b) $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = S^{2} - 2 P = 4 (m - 1)^{2} - 2 (m^{2} - 3) = 2 m^{2} - 8 m + 10 = 12$ .
$\Leftrightarrow m^{2} - 4 m - 1 = 0 \Rightarrow m = 2 \pm 5$ .
Đối chiếu $m < 2 \Rightarrow m = 2 - 5$ .

Bài 5:
a) $Δ = 25 - 4 m > 0 \Leftrightarrow m < 6, 25$ .
b) $x_{1} + x_{2} = 5$ và $x_{1} = 4 x_{2} \Rightarrow 5 x_{2} = 5 \Rightarrow x_{2} = 1 \Rightarrow x_{1} = 4$ .
Tích $m = x_{1} x_{2} = 4 \times 1 = 4$ (TM ĐK $m < 6, 25$ ).

Bài 6:
a) $Δ^{'} = m^{2} - (2 m - 1) = (m - 1)^{2} \geq 0$ với mọi $m \Rightarrow$ luôn có nghiệm.
b) Ta thấy $Δ^{'} = (m - 1)^{2} \Rightarrow$ nghiệm là $x_{1} = m + (m - 1) = 2 m - 1, x_{2} = 1$ .

TH1: $x_{1} = 2 m - 1, x_{2} = 1 \Rightarrow 2 (2 m - 1) + 3 (1) = 7 \Leftrightarrow 4 m + 1 = 7 \Rightarrow m = 1, 5$ .
TH2: $x_{1} = 1, x_{2} = 2 m - 1 \Rightarrow 2 (1) + 3 (2 m - 1) = 7 \Leftrightarrow 6 m - 1 = 7 \Rightarrow m = 4/3$ .

Bài 7:
Vi-ét $x$ : $x_{1} + x_{2} = 3, x_{1} x_{2} = 1$ .
$S = y_{1} + y_{2} = 2 (x_{1} + x_{2}) + 2 = 2 (3) + 2 = 8$ .
$P = y_{1} y_{2} = (2 x_{1} + 1) (2 x_{2} + 1) = 4 x_{1} x_{2} + 2 (x_{1} + x_{2}) + 1 = 4 (1) + 2 (3) + 1 = 11$ .
Phương trình cần lập là $Y^{2} - 8 Y + 11 = 0$ .

Bài 8:
$Δ^{'} = (m + 1)^{2} - (2 m + 1) = m^{2} \geq 0$ . ĐK có 2 nghiệm phân biệt $m \neq = 0$ .
Hai nghiệm cùng dấu $\Leftrightarrow P > 0 \Leftrightarrow 2 m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 0, 5$ .
Hai nghiệm cùng dương $\Leftrightarrow {P > 0 S > 0 \Leftrightarrow {m > - 0, 5 2 (m + 1) > 0 \Rightarrow m > - 1 \Leftrightarrow m > - 0, 5$ (và $m \neq = 0$ ).

Bài 9:
Gọi thời gian thợ thứ nhất làm riêng xong việc là $x > 0$ (giờ).
Thợ thứ hai làm riêng xong việc là $x + 5$ (giờ).
Phương trình năng suất: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{6} \Leftrightarrow \frac{2 x + 5}{x ( x + 5 )} = \frac{1}{6} \Leftrightarrow 6 (2 x + 5) = x^{2} + 5 x \Leftrightarrow x^{2} - 7 x - 30 = 0$ .
$Δ = 49 + 120 = 169 \Rightarrow x = \frac{7 + 13}{2} = 10$ (TM).
Thợ 1 làm riêng xong trong 10 giờ, thợ 2 làm riêng xong trong 15 giờ.

Bài 10:
Nửa chu vi $S = u + v = 30 m$ . Diện tích $P = uv = 200 m^{2}$ .
$u, v$ là hai nghiệm của $X^{2} - 30 X + 200 = 0 \Leftrightarrow (X - 20) (X - 10) = 0$ .
Chiều dài thảm cỏ là $20 m$ , chiều rộng là $10 m$ .