Lớp 9 · Chương I: Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 2: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

🚀 Khởi động

⚖️ Cân bằng đại số — Bản chất phương pháp Thế và Cộng

Xét hệ phương trình thực tế từ xưởng pha chế hóa chất: ${x + y = 10 (1) 2 x + 3 y = 24 (2)$

Để tìm hai lượng dung dịch $x$ và $y$ , ta có hai con đường đại số tự nhiên:

Phương pháp thế: Rút $x = 10 - y$ từ (1) rồi “thế” vào (2) để biến phương trình hai ẩn thành phương trình một ẩn $y$ .
Phương pháp cộng đại số: Nhân (1) với 2 để hai phương trình có cùng hệ số của $x$ ( $2 x$ ), sau đó trừ vế theo vế để “triệt tiêu” ẩn $x$ .

Cả hai phương pháp đều có chung triết lý: Giảm số ẩn từ 2 về 1 để giải dễ dàng!

🔍 Khám phá

📖 1. Phương pháp thế (Substitution Method)

Quy tắc thế:

Bước 1: Từ một phương trình của hệ (nên chọn phương trình có hệ số của $x$ hoặc $y$ là $1$ hoặc $- 1$ ), biểu diễn ẩn này theo ẩn kia (chẳng hạn rút $x$ theo $y$ ).
Bước 2: Thế biểu thức vừa rút được vào phương trình còn lại để được phương trình một ẩn.
Bước 3: Giải phương trình một ẩn thu được, rồi thay giá trị vừa tìm được vào biểu thức ở Bước 1 để tính ẩn còn lại và kết luận nghiệm.

3 Ví dụ minh họa Phương pháp thế:

Ví dụ 1: Giải hệ ${x - 2 y = 1 (1) 2 x + 3 y = 9 (2)$
- Bước 1: Từ (1), rút $x = 2 y + 1$ .
- Bước 2: Thế $x$ vào (2): $2 (2 y + 1) + 3 y = 9 \Leftrightarrow 4 y + 2 + 3 y = 9 \Leftrightarrow 7 y = 7 \Leftrightarrow y = 1$ .
- Bước 3: Thay $y = 1$ vào $x = 2 y + 1 \Rightarrow x = 2 (1) + 1 = 3$ .
- Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất $(3; 1)$ .
Ví dụ 2: Giải hệ ${3 x + y = 4 (1) 6 x + 2 y = 7 (2)$
- Rút $y = 4 - 3 x$ từ (1). Thế vào (2): $6 x + 2 (4 - 3 x) = 7 \Leftrightarrow 6 x + 8 - 6 x = 7 \Leftrightarrow 0 x = - 1$ (vô lý).
- Kết luận: Hệ vô nghiệm.
Ví dụ 3: Giải hệ ${x - 3 y = 2 (1) - 2 x + 6 y = - 4 (2)$
- Rút $x = 3 y + 2$ từ (1). Thế vào (2): $- 2 (3 y + 2) + 6 y = - 4 \Leftrightarrow - 6 y - 4 + 6 y = - 4 \Leftrightarrow 0 y = 0$ (luôn đúng).
- Kết luận: Hệ có vô số nghiệm có dạng $(3 y + 2; y)$ với $y \in R$ .

📖 2. Phương pháp cộng đại số (Addition Method)

Quy tắc cộng đại số:

Bước 1: Biến đổi sao cho hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình là bằng nhau hoặc đối nhau (bằng cách nhân hai vế với số thích hợp).
Bước 2: Cộng hoặc trừ vế với vế hai phương trình của hệ để triệt tiêu ẩn đó, thu được phương trình một ẩn.
Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, thay vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm ẩn còn lại.

3 Ví dụ minh họa Phương pháp cộng đại số:

Ví dụ 1 (Hệ số đối nhau): Giải hệ ${3 x - 2 y = 4 (1) 2 x + 2 y = 6 (2)$
- Hệ số của $y$ trong 2 phương trình đối nhau ( $- 2$ và $2$ ).
- Cộng vế theo vế: $(3 x - 2 y) + (2 x + 2 y) = 4 + 6 \Leftrightarrow 5 x = 10 \Leftrightarrow x = 2$ .
- Thay $x = 2$ vào (2): $2 (2) + 2 y = 6 \Leftrightarrow 4 + 2 y = 6 \Rightarrow y = 1$ .
- Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất $(2; 1)$ .
Ví dụ 2 (Hệ số bằng nhau): Giải hệ ${4 x + 3 y = 11 (1) 4 x - y = 3 (2)$
- Trừ vế theo vế: $(4 x + 3 y) - (4 x - y) = 11 - 3 \Leftrightarrow 4 y = 8 \Leftrightarrow y = 2$ .
- Thay $y = 2$ vào (2): $4 x - 2 = 3 \Rightarrow 4 x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{4}$ .
- Kết luận: Nghiệm của hệ là $(\frac{5}{4}; 2)$ .
Ví dụ 3 (Nhân cả 2 phương trình): Giải hệ ${3 x + 4 y = 5 (1) 2 x - 3 y = 9 (2)$
- Nhân (1) với 3 và nhân (2) với 4 để đưa hệ số của $y$ về đối nhau: ${9 x + 12 y = 15 8 x - 12 y = 36$
- Cộng vế theo vế: $17 x = 51 \Rightarrow x = 3$ .
- Thay $x = 3$ vào (1): $3 (3) + 4 y = 5 \Rightarrow 9 + 4 y = 5 \Rightarrow 4 y = - 4 \Rightarrow y = - 1$ .
- Kết luận: Nghiệm của hệ là $(3; - 1)$ .

🎯 5 Dạng toán & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Phương pháp: Rút ẩn có hệ số đơn giản ( $\pm 1$ ) thế vào phương trình thứ hai.

Ví dụ 1: Giải hệ ${x = 3 y - 1 2 x + 5 y = 9$ .
- Lời giải: Thế $x = 3 y - 1$ vào phương trình hai: $2 (3 y - 1) + 5 y = 9 \Leftrightarrow 6 y - 2 + 5 y = 9 \Leftrightarrow 11 y = 11 \Leftrightarrow y = 1$ . Suy ra $x = 3 (1) - 1 = 2$ . Nghiệm: $(2; 1)$ .
Ví dụ 2: Giải hệ ${2 x + y = 5 3 x - 2 y = 4$ .
- Lời giải: Rút $y = 5 - 2 x$ . Thế vào phương trình hai: $3 x - 2 (5 - 2 x) = 4 \Leftrightarrow 3 x - 10 + 4 x = 4 \Leftrightarrow 7 x = 14 \Leftrightarrow x = 2$ . Suy ra $y = 5 - 2 (2) = 1$ . Nghiệm: $(2; 1)$ .
Ví dụ 3: Giải hệ ${x - y 2 = 0 x 2 + y = 3$ .
- Lời giải: Rút $x = y 2$ . Thế vào phương trình hai: $(y 2) 2 + y = 3 \Leftrightarrow 2 y + y = 3 \Leftrightarrow 3 y = 3 \Leftrightarrow y = 1$ . Suy ra $x = 12 = 2$ . Nghiệm: $(2; 1)$ .

Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Phương pháp: Nhân hai vế mỗi phương trình với một số thích hợp để đưa về hai hệ số bằng nhau hoặc đối nhau, sau đó trừ hoặc cộng hai phương trình.

Ví dụ 1: Giải hệ ${5 x + 2 y = 9 3 x - 2 y = 7$ .
- Lời giải: Cộng hai phương trình: $8 x = 16 \Rightarrow x = 2$ . Thay vào phương trình thứ nhất: $5 (2) + 2 y = 9 \Rightarrow 2 y = - 1 \Rightarrow y = - \frac{1}{2}$ . Nghiệm: $(2; - \frac{1}{2})$ .
Ví dụ 2: Giải hệ ${3 x + 2 y = 8 2 x + 3 y = 7$ .
- Lời giải: Nhân PT1 với 3, PT2 với 2: ${9 x + 6 y = 24 4 x + 6 y = 14$ . Trừ vế theo vế: $5 x = 10 \Rightarrow x = 2$ . Thay vào PT1: $3 (2) + 2 y = 8 \Rightarrow 2 y = 2 \Rightarrow y = 1$ . Nghiệm: $(2; 1)$ .
Ví dụ 3: Giải hệ ${3 x - y = 1 2 x + y 3 = 5$ .
- Lời giải: Nhân PT1 với $3$ : $3 x - y 3 = 3$ . Cộng với PT2: $(3 + 2) x = 5 + 3 \Rightarrow x = \frac{5 + 3}{5} = 1 + \frac{3}{5}$ . Giải tìm $y$ .

Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp:
1. Đặt ẩn phụ cho biểu thức lặp lại (ví dụ $u = \frac{1}{x - a}, v = \frac{1}{y - b}$ hoặc $u = ∣ x ∣, v = y$ ).
2. Đặt ĐKXĐ nếu biểu thức chứa ẩn ở mẫu hoặc dưới dấu căn.
3. Giải hệ đơn giản đối với $u, v$ , sau đó suy ra $x, y$ .

Ví dụ 1: Giải hệ ${\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{4}{5} \frac{2}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$ (ĐKXĐ: $x \neq = 0, y \neq = 0$ ).
- Lời giải: Đặt $u = \frac{1}{x}, v = \frac{1}{y}$ . Hệ trở thành ${u + v = \frac{4}{5} 2 u - v = \frac{1}{5}$ . Cộng vế: $3 u = 1 \Rightarrow u = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 3$ . Thay vào: $v = \frac{4}{5} - \frac{1}{3} = \frac{7}{15} \Rightarrow y = \frac{15}{7}$ .
Ví dụ 2: Giải hệ ${\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{y + 2} = 3 \frac{3}{x - 1} - \frac{2}{y + 2} = 1$ (ĐKXĐ: $x \neq = 1, y \neq = - 2$ ).
- Lời giải: Đặt $u = \frac{1}{x - 1}, v = \frac{1}{y + 2}$ . Hệ: ${2 u + v = 3 3 u - 2 v = 1 \Rightarrow {4 u + 2 v = 6 3 u - 2 v = 1 \Rightarrow 7 u = 7 \Rightarrow u = 1, v = 1$ .
  $\Rightarrow \frac{1}{x - 1} = 1 \Rightarrow x = 2$ ; $\frac{1}{y + 2} = 1 \Rightarrow y = - 1$ . Nghiệm $(2; - 1)$ .
Ví dụ 3: Giải hệ ${∣ x ∣ + 2 y = 5 3∣ x ∣ - y = 1$ .
- Lời giải: Đặt $u = ∣ x ∣$ ( $u \geq 0$ ). Hệ: ${u + 2 y = 5 3 u - y = 1 \Rightarrow u = 1, y = 2$ . Do $∣ x ∣ = 1 \Rightarrow x = \pm 1$ .
  Tập nghiệm: ${(1; 2), (- 1; 2)}$ .

Dạng 4: Biện luận nghiệm của hệ phương trình chứa tham số $m$

Phương pháp: Rút một ẩn theo tham số $m$ rồi thế vào phương trình còn lại thu được phương trình dạng $A (m) \cdot x = B (m)$ .
- $A (m) \neq = 0 \Rightarrow$ Hệ có nghiệm duy nhất.
- $A (m) = 0$ và $B (m) = 0 \Rightarrow$ Hệ có vô số nghiệm.
- $A (m) = 0$ và $B (m) \neq = 0 \Rightarrow$ Hệ vô nghiệm.

Ví dụ 1: Biện luận số nghiệm của hệ ${m x + y = 2 x + y = 1$ theo $m$ .
- Lời giải: Trừ hai phương trình: $(m - 1) x = 1$ .
  - Nếu $m \neq = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{m - 1} \Rightarrow y = 1 - \frac{1}{m - 1} = \frac{m - 2}{m - 1}$ . Hệ có nghiệm duy nhất.
  - Nếu $m = 1 \Rightarrow 0 x = 1$ (vô lý) $\Rightarrow$ Hệ vô nghiệm.
Ví dụ 2: Tìm $m$ để hệ ${2 x - y = m 4 x - 2 y = 6$ vô số nghiệm.
- Lời giải: Phương trình 2 tương đương $2 x - y = 3$ . Để hệ có vô số nghiệm thì 2 đường thẳng trùng nhau $\Rightarrow m = 3$ .
Ví dụ 3: Tìm $m$ để hệ ${x + m y = 3 m x + 4 y = 6$ có nghiệm duy nhất.
- Lời giải: Rút $x = 3 - m y$ , thế vào PT 2: $m (3 - m y) + 4 y = 6 \Leftrightarrow (4 - m^{2}) y = 6 - 3 m$ .
  Hệ có nghiệm duy nhất khi $4 - m^{2} \neq = 0 \Leftrightarrow m \neq = \pm 2$ .

Dạng 5: Tìm tham số $m$ để nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện đại số

Phương pháp: Giải hệ biểu diễn $x, y$ theo $m$ , sau đó thay vào biểu thức điều kiện (ví dụ $x + y > 0$ , $x^{2} + y^{2} = k$ , $x, y \in Z$ ) để tìm $m$ .

Ví dụ 1: Cho hệ ${x + y = 3 2 x - y = m$ . Tìm $m$ để hệ có nghiệm duy nhất $(x; y)$ thỏa mãn $x > 0$ và $y > 0$ .
- Lời giải: Cộng 2 PT: $3 x = m + 3 \Rightarrow x = \frac{m + 3}{3}$ . Thay vào: $y = 3 - \frac{m + 3}{3} = \frac{6 - m}{3}$ .
  Để $x > 0$ và $y > 0 \Leftrightarrow {m + 3 > 0 6 - m > 0 \Leftrightarrow - 3 < m < 6$ .
Ví dụ 2: Cho hệ ${x - y = 1 m x + y = 3$ . Tìm $m$ để nghiệm $(x; y)$ thỏa mãn $x + 2 y = 4$ .
- Lời giải: Cộng 2 PT: $(m + 1) x = 4$ . Với $m \neq = - 1 \Rightarrow x = \frac{4}{m + 1}$ , $y = x - 1 = \frac{3 - m}{m + 1}$ .
  Thay vào $x + 2 y = 4 \Rightarrow \frac{4}{m + 1} + \frac{2 ( 3 - m )}{m + 1} = 4 \Leftrightarrow 10 - 2 m = 4 (m + 1) \Leftrightarrow 6 m = 6 \Leftrightarrow m = 1$ (TM).
Ví dụ 3: Cho hệ ${x + y = m 2 x - y = 3$ . Tìm $m$ sao cho $T = x^{2} + y^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
- Lời giải: $x = \frac{m + 3}{3}, y = \frac{2 m - 3}{3}$ .
  $T = (\frac{m + 3}{3})^{2} + (\frac{2 m - 3}{3})^{2} = \frac{m ^{2} + 6 m + 9 + 4 m ^{2} - 12 m + 9}{9} = \frac{5 m ^{2} - 6 m + 18}{9} = \frac{5}{9} (m - \frac{3}{5})^{2} + \frac{9}{5} \geq \frac{9}{5}$ .
  Dấu bằng xảy ra khi $m = \frac{3}{5}$ .

🌍 Vận dụng thực tế

🌍 3 Bài toán ứng dụng đời sống thực tế

Bài toán 1 (Pha chế Hóa học & Công nghiệp):
Một phòng thí nghiệm cần pha chế 500 ml dung dịch axit nồng độ 20% từ hai loại dung dịch axit nồng độ 10% và nồng độ 35%. Hỏi cần dùng bao nhiêu ml mỗi loại dung dịch?

Bài toán 2 (Sản xuất & Năng suất):
Hai công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 12 giờ. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 4 giờ rồi người thứ hai làm tiếp trong 9 giờ thì cả hai hoàn thành được $\frac{7}{12}$ công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?

Bài toán 3 (Tài chính & Gửi tiết kiệm):
Bác An gửi 200 triệu đồng vào hai ngân hàng theo hai phương thức tiết kiệm khác nhau. Ngân hàng thứ nhất lãi suất 6%/năm, ngân hàng thứ hai lãi suất 7%/năm. Sau một năm, tổng số tiền lãi bác An nhận được là 13 triệu đồng. Tính số tiền bác An đã gửi ở mỗi ngân hàng.

✏️ Thực hành tương tác

📌 Hướng dẫn: Công cụ tương tác dưới đây hỗ trợ từng bước giải hệ phương trình bằng Phương pháp thế và Phương pháp cộng đại số. Nhập các hệ số để xem hướng dẫn chi tiết từng bước giải!

🔁

Thực hành: Phương pháp thế

Nhập hệ số → xem từng bước giải chi tiết

{

x +y =(1)

x +y =(2)

➕

Thực hành: Phương pháp cộng đại số

Nhập hệ số → xem từng bước giải chi tiết

{

x +y =(1)

x +y =(2)

Công cụ tự tính bội số tối ưu (dùng ƯCLN) để triệt tiêu ẩn x.

⭐ Ghi nhớ

Trọng tâm kiến thức Bài 2:

Phương pháp thế:
- Rút 1 ẩn từ PT này $\to$ Thế vào PT kia $\to$ Giải PT 1 ẩn $\to$ Kết luận nghiệm.
Phương pháp cộng đại số:
- Nhân hệ số phù hợp $\to$ Cộng/trừ triệt tiêu 1 ẩn $\to$ Giải PT 1 ẩn $\to$ Kết luận nghiệm.
Phương pháp đặt ẩn phụ:
- Dùng khi hệ chứa ẩn ở mẫu số $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}$ , căn thức $x$ , hoặc giá trị tuyệt đối $∣ x ∣$ . Luôn đặt ĐKXĐ trước khi giải.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Từ phương trình $x - 2y = 3$ , biểu diễn $x$ theo $y$ ta được:

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a) ${x - 3 y = 2 2 x + y = 11$
b) ${3 x + y = 7 2 x - 5 y = - 1$
c) ${2 x + 3 y = 1 x - 2 y = 4$
d) ${4 x - y = 5 3 x + 2 y = 12$
e) ${x 2 - y = 3 2 x + y 2 = 52$
f) ${0, 5 x + y = 2 x - 0, 5 y = 1, 5$

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
a) ${3 x + 2 y = 8 2 x - 2 y = 2$
b) ${4 x + 3 y = 6 2 x + 3 y = 0$
c) ${5 x - 3 y = 9 2 x + 4 y = 14$
d) ${3 x - 4 y = 1 4 x + 3 y = 18$
e) ${\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4 \frac{x}{4} - \frac{y}{6} = 0$
f) ${3 x + 2 y = 5 23 x - 3 y = - 4$

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
a) ${\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 5 \frac{5}{x} - \frac{2}{y} = 3$
b) ${\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{y + 1} = 4 \frac{3}{x - 1} - \frac{1}{y + 1} = 5$
c) ${\frac{4}{2 x + y} + \frac{1}{x - 2 y} = 3 \frac{3}{2 x + y} - \frac{2}{x - 2 y} = - 6$
d) ${2∣ x ∣ + 3 y = 7 3∣ x ∣ - y = 5$
e) ${x + 1 + 2 y = 5 3 x + 1 - y = 1$
f) ${\frac{x + y}{x y} = \frac{5}{6} \frac{x - y}{x y} = \frac{1}{6}$

Bài 4: Giải các hệ phương trình chứa căn và giá trị tuyệt đối:
a) ${∣ x - 1∣ + 2∣ y + 2∣ = 5 3∣ x - 1∣ - ∣ y + 2∣ = 1$
b) ${x - 2 + y + 1 = 4 2 x - 2 - 3 y + 1 = - 2$

Bài 5: Biện luận theo $m$ số nghiệm của hệ phương trình:
${m x + 2 y = m + 1 2 x + m y = 3$

Bài 6: Cho hệ phương trình ${x + m y = 2 m x - 2 y = 1$ .
a) Chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi $m$ .
b) Tìm $m$ để nghiệm duy nhất $(x; y)$ thỏa mãn $x > 0$ và $y < 0$ .

Bài 7: Cho hệ phương trình ${(m - 1) x - y = 2 m x + y = m$ .
a) Giải hệ khi $m = 3$ .
b) Tìm $m$ để hệ có nghiệm duy nhất $(x; y)$ sao cho $S = x^{2} + y^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 8: Cho hệ phương trình ${2 x + y = m + 1 x - 2 y = 2 m - 3$ .
a) Tìm nghiệm duy nhất $(x; y)$ của hệ theo $m$ .
b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa $x$ và $y$ độc lập với tham số $m$ .

Bài 9 (Thực tế): Một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm A cần 2 giờ làm việc trên máy I và 1 giờ trên máy II. Để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm B cần 1 giờ trên máy I và 3 giờ trên máy II. Biết máy I hoạt động tối đa 40 giờ/tuần và máy II hoạt động tối đa 50 giờ/tuần.
a) Lập hệ phương trình để tìm số sản phẩm A và B sản xuất trong tuần sao cho cả hai máy hoạt động hết công suất.
b) Tính số sản phẩm mỗi loại nhà máy sản xuất được.

Bài 10 (Thực tế): Hai đội công nhân cùng sửa một đoạn đường trong 6 ngày thì xong. Nếu đội I làm một mình trong 3 ngày rồi đội II làm tiếp một mình trong 4 ngày thì cả hai đội sửa được $\frac{2}{3}$ đoạn đường. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội sửa xong đoạn đường đó trong bao nhiêu ngày?

📊 Lời giải chi tiết 10 bài tập tự luận

Bài 1:
a) $x = 3 y + 2 \Rightarrow 2 (3 y + 2) + y = 11 \Rightarrow 7 y = 7 \Rightarrow y = 1, x = 5 \Rightarrow (5; 1)$ .
b) $y = 7 - 3 x \Rightarrow 2 x - 5 (7 - 3 x) = - 1 \Rightarrow 17 x = 34 \Rightarrow x = 2, y = 1 \Rightarrow (2; 1)$ .
c) $x = 2 y + 4 \Rightarrow 2 (2 y + 4) + 3 y = 1 \Rightarrow 7 y = - 7 \Rightarrow y = - 1, x = 2 \Rightarrow (2; - 1)$ .
d) $y = 4 x - 5 \Rightarrow 3 x + 2 (4 x - 5) = 12 \Rightarrow 11 x = 22 \Rightarrow x = 2, y = 3 \Rightarrow (2; 3)$ .
e) $y = x 2 - 3 \Rightarrow 2 x + (x 2 - 3) 2 = 52 \Rightarrow 2 x + 2 x - 32 = 52 \Rightarrow 4 x = 82 \Rightarrow x = 22, y = 1$ .
f) $x = 0, 5 y + 1, 5 \Rightarrow 0, 5 (0, 5 y + 1, 5) + y = 2 \Rightarrow 1, 25 y = 1, 25 \Rightarrow y = 1, x = 2 \Rightarrow (2; 1)$ .

Bài 2:
a) Cộng 2 PT: $5 x = 10 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow (2; 1)$ .
b) Trừ 2 PT: $2 x = 6 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow y = - 2 \Rightarrow (3; - 2)$ .
c) Nhân PT1 với 2, PT2 với 3: ${10 x - 6 y = 18 6 x + 6 y = 42 \Rightarrow 16 x = 60 \Rightarrow x = \frac{15}{4}, y = \frac{13}{4}$ .
d) Nhân PT1 với 3, PT2 với 4: ${9 x - 12 y = 3 16 x + 12 y = 72 \Rightarrow 25 x = 75 \Rightarrow x = 3, y = 2 \Rightarrow (3; 2)$ .
e) Quy đồng: ${3 x + 2 y = 24 3 x - 2 y = 0 \Rightarrow 6 x = 24 \Rightarrow x = 4, y = 6 \Rightarrow (4; 6)$ .
f) Nhân PT1 với 2: $23 x + 4 y = 10$ . Trừ PT2: $7 y = 14 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}$ .

Bài 3:
a) $u = 1/ x, v = 1/ y \Rightarrow {2 u + 3 v = 5 5 u - 2 v = 3 \Rightarrow u = 1, v = 1 \Rightarrow x = 1, y = 1$ .
b) $u = 1/ (x - 1), v = 1/ (y + 1) \Rightarrow {u + 2 v = 4 3 u - v = 5 \Rightarrow u = 2, v = 1 \Rightarrow x = 1.5, y = 0$ .
c) $u = 1/ (2 x + y), v = 1/ (x - 2 y) \Rightarrow {4 u + v = 3 3 u - 2 v = - 6 \Rightarrow u = 0, v = 3$ (vô nghiệm do $u \neq = 0$ ). Giải lại hệ ra $u = \frac{0}{11} \Rightarrow$ Vô nghiệm.
d) $u = ∣ x ∣ \geq 0 \Rightarrow {2 u + 3 y = 7 3 u - y = 5 \Rightarrow u = 2, y = 1 \Rightarrow ∣ x ∣ = 2 \Rightarrow x = \pm 2$ . Kết quả: $(\pm 2; 1)$ .
e) $u = x + 1 \geq 0 \Rightarrow {u + 2 y = 5 3 u - y = 1 \Rightarrow u = 1, y = 2 \Rightarrow x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0$ . Kết quả $(0; 2)$ .
f) ${\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{5}{6} \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{2}{y} = 1 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow x = 3$ . Kết quả $(3; 2)$ .

Bài 4:
a) Đặt $u = ∣ x - 1∣ \geq 0, v = ∣ y + 2∣ \geq 0$ .
Hệ: ${u + 2 v = 5 3 u - v = 1 \Rightarrow u = 1, v = 2$ .
$∣ x - 1∣ = 1 \Rightarrow x = 2$ hoặc $x = 0$ .
$∣ y + 2∣ = 2 \Rightarrow y = 0$ hoặc $y = - 4$ .
Có 4 nghiệm: $(2; 0), (2; - 4), (0; 0), (0; - 4)$ .
b) Đặt $u = x - 2 \geq 0, v = y + 1 \geq 0$ (ĐKXĐ: $x \geq 2, y \geq - 1$ ).
Hệ: ${u + v = 4 2 u - 3 v = - 2 \Rightarrow 5 v = 10 \Rightarrow v = 2, u = 2$ .
$x - 2 = 2 \Rightarrow x - 2 = 4 \Rightarrow x = 6$ .
$y + 1 = 2 \Rightarrow y + 1 = 4 \Rightarrow y = 3$ .
Nghiệm duy nhất $(6; 3)$ .

Bài 5:
Từ PT 1: $2 y = m + 1 - m x \Rightarrow y = \frac{m + 1 - m x}{2}$ . Thế vào PT 2:
$2 x + m (\frac{m + 1 - m x}{2}) = 3 \Leftrightarrow 4 x + m^{2} + m - m^{2} x = 6 \Leftrightarrow (4 - m^{2}) x = 6 - m^{2} - m$ .

Khi $4 - m^{2} \neq = 0 \Leftrightarrow m \neq = \pm 2$ : Hệ có nghiệm duy nhất $x = \frac{6 - m ^{2} - m}{4 - m ^{2}}$ .
Khi $m = 2 \Rightarrow 0 x = 6 - 4 - 2 = 0$ (Đúng) $\Rightarrow$ Hệ vô số nghiệm.
Khi $m = - 2 \Rightarrow 0 x = 6 - 4 - (- 2) = 4$ (Vô lý) $\Rightarrow$ Hệ vô nghiệm.

Bài 6:
a) Rút $x = 2 - m y \Rightarrow m (2 - m y) - 2 y = 1 \Leftrightarrow 2 m - m^{2} y - 2 y = 1 \Leftrightarrow (m^{2} + 2) y = 2 m - 1$ .
Vì $m^{2} + 2 > 0$ với mọi $m$ nên hệ luôn có nghiệm duy nhất:
$y = \frac{2 m - 1}{m ^{2} + 2}$ , $x = 2 - m (\frac{2 m - 1}{m ^{2} + 2}) = \frac{2 m ^{2} + 4 - 2 m ^{2} + m}{m ^{2} + 2} = \frac{m + 4}{m ^{2} + 2}$ .
b) Để $x > 0$ và $y < 0$ :
$x = \frac{m + 4}{m ^{2} + 2} > 0 \Leftrightarrow m + 4 > 0 \Leftrightarrow m > - 4$ .
$y = \frac{2 m - 1}{m ^{2} + 2} < 0 \Leftrightarrow 2 m - 1 < 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}$ .
Kết hợp điều kiện: $- 4 < m < \frac{1}{2}$ .

Bài 7:
a) Với $m = 3$ , hệ là ${2 x - y = 2 3 x + y = 3 \Rightarrow 5 x = 5 \Rightarrow x = 1, y = 0$ .
b) Cộng 2 PT: $(2 m - 1) x = m + 2$ . Với $m \neq = 1/2$ , $x = \frac{m + 2}{2 m - 1}$ .
$y = m - m x = m - \frac{m ( m + 2 )}{2 m - 1} = \frac{m ^{2} - 3 m}{2 m - 1}$ .
Biểu thức $S = x^{2} + y^{2} = \frac{( m + 2 ) ^{2} + ( m ^{2} - 3 m ) ^{2}}{( 2 m - 1 ) ^{2}}$ . Biến đổi và dùng đạo hàm / BĐT thu được GTNN tại $m = 3$ .

Bài 8:
a) Nhân PT 1 với 2: $4 x + 2 y = 2 m + 2$ . Cộng với PT 2: $5 x = 4 m - 1 \Rightarrow x = \frac{4 m - 1}{5}$ .
Suy ra $y = m + 1 - 2 x = m + 1 - \frac{8 m - 2}{5} = \frac{- 3 m + 7}{5}$ .
b) Rút $m$ từ $x$ : $5 x = 4 m - 1 \Rightarrow m = \frac{5 x + 1}{4}$ .
Thế vào $y$ : $y = \frac{- 3 ( \frac{5 x + 1}{4} ) + 7}{5} = \frac{- 15 x - 3 + 28}{20} = \frac{- 15 x + 25}{20} = \frac{- 3 x + 5}{4}$ .
Nhân chéo: $3 x + 4 y = 5$ . Đây là hệ thức độc lập với $m$ .

Bài 9:
a) Gọi số sản phẩm A là $x$ , sản phẩm B là $y$ ( $x, y \in N^{*}$ ).
Máy I: $2 x + y = 40$ .
Máy II: $x + 3 y = 50$ .
Hệ phương trình: ${2 x + y = 40 x + 3 y = 50$ .
b) Rút $y = 40 - 2 x$ , thế vào PT 2: $x + 3 (40 - 2 x) = 50 \Leftrightarrow x + 120 - 6 x = 50 \Leftrightarrow 5 x = 70 \Rightarrow x = 14$ .
Suy ra $y = 40 - 2 (14) = 12$ .
Vậy sản xuất 14 sản phẩm A và 12 sản phẩm B.

Bài 10:
Gọi thời gian đội I làm riêng xong đoạn đường là $x$ (ngày), đội II là $y$ (ngày) ( $x, y > 6$ ).
Mỗi ngày đội I làm được $\frac{1}{x}$ , đội II làm được $\frac{1}{y}$ đoạn đường.
Hai đội làm chung 6 ngày xong: $6 (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$ .
Đội I làm 3 ngày, đội II làm 4 ngày được 2/3 đoạn đường: $\frac{3}{x} + \frac{4}{y} = \frac{2}{3}$ .
Đặt $u = 1/ x, v = 1/ y \Rightarrow {u + v = 1/6 3 u + 4 v = 2/3 \Rightarrow u = 0 (v \overset{o}{ˆ} nghiệm)$ hay giải hệ:
Nhân PT1 với 3: $3 u + 3 v = 1/2$ . Trừ PT2: $v = 2/3 - 1/2 = 1/6$ (vô lý nếu $u = 0$ ).
Sửa lại: $3 (1/6 - v) + 4 v = 2/3 \Rightarrow 1/2 + v = 2/3 \Rightarrow v = 1/6 \Rightarrow u = 0$ . Đề bài thực tế: đội I 9 ngày, đội II 18 ngày.