Lớp 9 · Chương VI: Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 19: Phương trình bậc hai một ẩn

🚀 Khởi động

📐 Bài toán Diện tích Mãnh đất & Phương trình Bạc hai

Một bác nông dân muốn rào một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng $6 m$ . Biết diện tích khu vườn là $S = 216 m^{2}$ .

Nếu gọi chiều rộng khu vườn là $x > 0$ (mét), thì chiều dài là $x + 6$ (mét).
Theo công thức diện tích: $x (x + 6) = 216 \Leftrightarrow x^{2} + 6 x - 216 = 0$

Đây chính là một phương trình bậc hai một ẩn! Làm thế nào để giải phương trình này và tìm ra kích thước thực tế của khu vườn?

🔍 Khám phá

📖 1. Định nghĩa và Phương pháp giải Phương trình khuyết

1. Định nghĩa:

Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng: $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq = 0)$ trong đó $x$ là ẩn; $a, b, c$ là những số cho trước gọi là các hệ số ( $a$ là hệ số bậc hai, $b$ là hệ số bậc nhất, $c$ là tự do).

2. Giải các phương trình khuyết đặc biệt:

Phương trình khuyết $c$ ( $a x^{2} + b x = 0$ ):
Đặt nhân tử chung $x (a x + b) = 0 \Leftrightarrow [x = 0 x = - \frac{b}{a}$ .
Phương trình khuyết $b$ ( $a x^{2} + c = 0$ ):
$a x^{2} = - c \Leftrightarrow x^{2} = - \frac{c}{a}$ .
- Nếu $- \frac{c}{a} > 0 \Rightarrow x = \pm - \frac{c}{a}$ .
- Nếu $- \frac{c}{a} < 0 \Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm.

3 Ví dụ minh họa Giải phương trình khuyết:

Ví dụ 1: Giải phương trình $3 x^{2} - 12 x = 0$ .
- Giải: $3 x (x - 4) = 0 \Leftrightarrow [3 x = 0 x - 4 = 0 \Leftrightarrow [x = 0 x = 4$ . Tập nghiệm $S = {0; 4}$ .
Ví dụ 2: Giải phương trình $2 x^{2} - 18 = 0$ .
- Giải: $2 x^{2} = 18 \Leftrightarrow x^{2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3$ . Tập nghiệm $S = {- 3; 3}$ .
Ví dụ 3: Giải phương trình $5 x^{2} + 20 = 0$ .
- Giải: $5 x^{2} = - 20 \Leftrightarrow x^{2} = - 4 < 0$ . Phương trình vô nghiệm.

📖 2. Công thức nghiệm Tổng quát ( $Δ$ ) và Thu gọn ( $Δ^{'}$ )

1. Công thức nghiệm tổng quát ( $Δ = b^{2} - 4 a c$ ): Đối với phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq = 0$ ), xét biệt thức $Δ = b^{2} - 4 a c$ :

Nếu $Δ > 0$ : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: $x_{1} = \frac{- b + Δ}{2 a} x_{2} = \frac{- b - Δ}{2 a}$
Nếu $Δ = 0$ : Phương trình có nghiệm kép: $x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a}$
Nếu $Δ < 0$ : Phương trình vô nghiệm.

2. Công thức nghiệm thu gọn ( $Δ^{'} = b^{'2} - a c$ với $b = 2 b^{'}$ ): Khi hệ số $b$ chẵn ( $b = 2 b^{'}$ ), ta tính $Δ^{'} = b^{'2} - a c$ :

Nếu $Δ^{'} > 0$ : Có 2 nghiệm phân biệt: $x_{1} = \frac{- b ^{'} + Δ ^{'}}{a}$ , $x_{2} = \frac{- b ^{'} - Δ ^{'}}{a}$ .
Nếu $Δ^{'} = 0$ : Có nghiệm kép: $x_{1} = x_{2} = - \frac{b ^{'}}{a}$ .
Nếu $Δ^{'} < 0$ : Phương trình vô nghiệm.

3 Ví dụ minh họa Công thức nghiệm:

Ví dụ 1: Giải phương trình $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ .
- Giải: $a = 1, b = - 7, c = 12$ .
  $Δ = (- 7)^{2} - 4 (1) (12) = 49 - 48 = 1 > 0 \Rightarrow Δ = 1$ .
  Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
  $x_{1} = \frac{7 + 1}{2} = 4$ ; $x_{2} = \frac{7 - 1}{2} = 3$ . Tập nghiệm $S = {3; 4}$ .
Ví dụ 2: Giải phương trình $3 x^{2} - 6 x + 3 = 0$ .
- Giải: $a = 3, b = - 6 \Rightarrow b^{'} = - 3, c = 3$ .
  $Δ^{'} = (- 3)^{2} - 3 (3) = 9 - 9 = 0$ .
  Phương trình có nghiệm kép: $x_{1} = x_{2} = - \frac{- 3}{3} = 1$ . Tập nghiệm $S = {1}$ .
Ví dụ 3: Giải phương trình $2 x^{2} - 3 x + 5 = 0$ .
- Giải: $a = 2, b = - 3, c = 5$ .
  $Δ = (- 3)^{2} - 4 (2) (5) = 9 - 40 = - 31 < 0$ .
  Phương trình vô nghiệm.

🎯 5 Dạng toán & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Giải phương trình bậc hai không chứa tham số

Phương pháp: Xác định các hệ số $a, b, c$ (hoặc $b^{'}$ ), tính biệt thức $Δ$ (hoặc $Δ^{'}$ ), rồi tính nghiệm.

Ví dụ 1: Giải phương trình $x^{2} - 8 x + 15 = 0$ .
- Lời giải: $b^{'} = - 4 \Rightarrow Δ^{'} = (- 4)^{2} - 1 (15) = 16 - 15 = 1 > 0$ .
  $x_{1} = 4 + 1 = 5$ ; $x_{2} = 4 - 1 = 3$ . Tập nghiệm $S = {3; 5}$ .
Ví dụ 2: Giải phương trình $2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$ .
- Lời giải: $Δ = 5^{2} - 4 (2) (- 3) = 25 + 24 = 49 > 0 \Rightarrow Δ = 7$ .
  $x_{1} = \frac{- 5 + 7}{4} = \frac{1}{2}$ ; $x_{2} = \frac{- 5 - 7}{4} = - 3$ . Tập nghiệm $S = {- 3; 1/2}$ .
Ví dụ 3: Giải phương trình $x^{2} - 23 x + 3 = 0$ .
- Lời giải: $b^{'} = - 3 \Rightarrow Δ^{'} = (- 3)^{2} - 1 (3) = 3 - 3 = 0$ .
  Nghiệm kép $x_{1} = x_{2} = 3$ . Tập nghiệm $S = {3}$ .

Dạng 2: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc hai theo tham số $m$

Phương pháp: Tính $Δ$ (hoặc $Δ^{'}$ ) theo $m$ :
- Có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow Δ > 0$ .
- Có nghiệm kép $\Leftrightarrow Δ = 0$ .
- Vô nghiệm $\Leftrightarrow Δ < 0$ .

Ví dụ 1: Tìm $m$ để phương trình $x^{2} - 2 (m - 1) x + m^{2} = 0$ có 2 nghiệm phân biệt.
- Lời giải: $b^{'} = - (m - 1) \Rightarrow Δ^{'} = (m - 1)^{2} - 1 (m^{2}) = m^{2} - 2 m + 1 - m^{2} = 1 - 2 m$ .
  Phương trình có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow Δ^{'} > 0 \Leftrightarrow 1 - 2 m > 0 \Leftrightarrow m < 0, 5$ .
Ví dụ 2: Tìm $m$ để phương trình $x^{2} - 6 x + m + 1 = 0$ có nghiệm kép.
- Lời giải: $b^{'} = - 3 \Rightarrow Δ^{'} = (- 3)^{2} - 1 (m + 1) = 9 - m - 1 = 8 - m$ .
  Phương trình có nghiệm kép $\Leftrightarrow Δ^{'} = 0 \Leftrightarrow 8 - m = 0 \Leftrightarrow m = 8$ .
  Nghiệm kép khi đó $x_{1} = x_{2} = 3$ .
Ví dụ 3: Tìm $m$ để phương trình $x^{2} + 4 x + 2 m - 1 = 0$ vô nghiệm.
- Lời giải: $Δ^{'} = 2^{2} - 1 (2 m - 1) = 4 - 2 m + 1 = 5 - 2 m$ .
  Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow Δ^{'} < 0 \Leftrightarrow 5 - 2 m < 0 \Leftrightarrow m > 2, 5$ .

Dạng 3: Tìm $m$ khi biết một nghiệm $x = x_{0}$

Phương pháp: Thay $x = x_{0}$ vào phương trình để giải ra $m$ . Sau đó thay $m$ lại phương trình để tìm nghiệm còn lại (hoặc dùng $x_{1} + x_{2} = - b / a$ ).

Ví dụ 1: Cho phương trình $x^{2} - m x + 6 = 0$ . Biết $x_{1} = 2$ là một nghiệm. Tìm $m$ và nghiệm $x_{2}$ còn lại.
- Lời giải: Thay $x = 2$ : $2^{2} - 2 m + 6 = 0 \Leftrightarrow 10 - 2 m = 0 \Rightarrow m = 5$ .
  Phương trình trở thành $x^{2} - 5 x + 6 = 0 \Leftrightarrow (x - 2) (x - 3) = 0 \Rightarrow x_{2} = 3$ .
Ví dụ 2: Cho phương trình $x^{2} - 2 (m + 1) x + 4 = 0$ . Tìm $m$ để phương trình có một nghiệm $x_{1} = 1$ .
- Lời giải: Thay $x = 1$ : $1^{2} - 2 (m + 1) (1) + 4 = 0 \Leftrightarrow 1 - 2 m - 2 + 4 = 0 \Leftrightarrow 3 - 2 m = 0 \Rightarrow m = 1, 5$ .
Ví dụ 3: Cho phương trình $m x^{2} - 3 x + 1 = 0$ . Tìm $m$ để phương trình có nghiệm $x = 1$ .
- Lời giải: Điều kiện $m \neq = 0$ . Thay $x = 1$ : $m (1)^{2} - 3 (1) + 1 = 0 \Leftrightarrow m - 2 = 0 \Rightarrow m = 2$ (TMĐK).

Dạng 4: Giải phương trình Quy về Phương trình bậc hai

Phương pháp:
- Phương trình trùng phương ( $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ ): Đặt $t = x^{2} \geq 0 \Rightarrow a t^{2} + b t + c = 0$ .
- Phương trình chứa ẩn ở mẫu: ĐKXĐ, quy đồng khử mẫu, đưa về phương trình bậc hai.
- Phương trình tích: Đặt ẩn phụ $t = f (x)$ .

Ví dụ 1: Giải phương trình trùng phương $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ .
- Lời giải: Đặt $t = x^{2} \geq 0$ . Phương trình trở thành $t^{2} - 5 t + 4 = 0$ .
  $Δ = 25 - 16 = 9 \Rightarrow t_{1} = 4$ (TM), $t_{2} = 1$ (TM).
  - Với $t = 4 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ .
  - Với $t = 1 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1$ .
    Tập nghiệm $S = {- 2; - 1; 1; 2}$ .
Ví dụ 2: Giải phương trình $\frac{x + 2}{x - 1} + \frac{x}{x + 1} = \frac{4}{x ^{2} - 1}$ .
- Lời giải: ĐKXĐ: $x \neq = \pm 1$ . Quy đồng khử mẫu:
  $(x + 2) (x + 1) + x (x - 1) = 4 \Leftrightarrow x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - x = 4 \Leftrightarrow 2 x^{2} + 2 x - 2 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + x - 1 = 0$ .
  $Δ = 1^{2} - 4 (1) (- 1) = 5 > 0 \Rightarrow x = \frac{- 1 \pm 5}{2}$ (TM ĐKXĐ).
Ví dụ 3: Giải phương trình $(x^{2} - x)^{2} - 8 (x^{2} - x) + 12 = 0$ .
- Lời giải: Đặt $t = x^{2} - x$ . Phương trình trở thành $t^{2} - 8 t + 12 = 0 \Leftrightarrow (t - 2) (t - 6) = 0 \Rightarrow t = 2$ hoặc $t = 6$ .
  - Với $t = 2 \Rightarrow x^{2} - x - 2 = 0 \Rightarrow x = - 1$ hoặc $x = 2$ .
  - Với $t = 6 \Rightarrow x^{2} - x - 6 = 0 \Rightarrow x = - 2$ hoặc $x = 3$ .
    Tập nghiệm $S = {- 2; - 1; 2; 3}$ .

Dạng 5: Bài toán Thực tế lập Phương trình bậc hai một ẩn

Phương pháp: Chọn ẩn $x$ (kèm ĐKXĐ), lập phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ , giải ra $x$ và đối chiếu ĐKXĐ.

Ví dụ 1: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 19. Tìm hai số đó.
- Lời giải: Gọi số thứ nhất là $x \in N^{*}$ . Số thứ hai là $x + 1$ .
  Tích hai số $x (x + 1)$ , tổng hai số $x + (x + 1) = 2 x + 1$ .
  Theo bài ra: $x (x + 1) - (2 x + 1) = 19 \Leftrightarrow x^{2} + x - 2 x - 1 - 19 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - x - 20 = 0$ .
  $Δ = 1 + 80 = 81 \Rightarrow x_{1} = \frac{1 + 9}{2} = 5$ (TM), $x_{2} = - 4$ (loại).
  Vậy hai số tự nhiên liên tiếp là 5 và 6.
Ví dụ 2: Một hình chữ nhật có chu vi $52 m$ và diện tích $160 m^{2}$ . Tính các kích thước của hình chữ nhật.
- Lời giải: Nửa chu vi là $52/2 = 26 m$ . Gọi chiều rộng là $x$ ( $0 < x < 13$ , mét) $\Rightarrow$ chiều dài là $26 - x$ .
  Phương trình diện tích: $x (26 - x) = 160 \Leftrightarrow 26 x - x^{2} = 160 \Leftrightarrow x^{2} - 26 x + 160 = 0$ .
  $Δ^{'} = 169 - 160 = 9 \Rightarrow x_{1} = 13 - 3 = 10$ (TM), $x_{2} = 13 + 3 = 16$ (loại vì $x < 13$ ).
  Chiều rộng là $10 m$ , chiều dài là $16 m$ .
Ví dụ 3: Một ca nô chạy trên sông từ bến A đến bến B cách nhau $40 km$ rồi quay về bến A hết tổng thời gian 4 giờ 30 phút ( $4, 5$ giờ). Biết vận tốc dòng nước là $2 km/h$ . Tính vận tốc thực của ca nô khi nước yên lặng.
- Lời giải: Gọi vận tốc thực của ca nô là $v > 2$ (km/h).
  Vận tốc xuôi dòng $v + 2$ , thời gian xuôi $\frac{40}{v + 2}$ .
  Vận tốc ngược dòng $v - 2$ , thời gian ngược $\frac{40}{v - 2}$ .
  Phương trình: $\frac{40}{v + 2} + \frac{40}{v - 2} = 4, 5 \Leftrightarrow 40 (v - 2 + v + 2) = 4, 5 (v^{2} - 4) \Leftrightarrow 80 v = 4, 5 v^{2} - 18 \Leftrightarrow 4, 5 v^{2} - 80 v - 18 = 0 \Leftrightarrow 9 v^{2} - 160 v - 36 = 0$ .
  $Δ^{'} = 6400 + 324 = 6724 = 8 2^{2} \Rightarrow v = \frac{80 + 82}{9} = 18 km/h$ (TM).
  Vận tốc thực của ca nô là $18 km/h$ .

🌍 Vận dụng thực tế

🌍 3 Bài toán ứng dụng đời sống thực tế

Bài toán 1 (Vật lý & Độ cao Quả bóng):
Một quả bóng được sút thẳng đứng lên không trung từ mặt đất với vận tốc ban đầu $v_{0} = 20 m/s$ . Độ cao $h$ (mét) của quả bóng sau $t$ (giây) được tính theo công thức $h = 20 t - 5 t^{2}$ . Hỏi sau bao lâu kể từ khi sút, quả bóng đạt độ cao $15 m$ ?

Bài toán 2 (Kiến trúc & Đường đi Sân vườn):
Một khu vườn hình chữ nhật có kích thước $15 m \times 20 m$ . KTS thiết kế một đường đi xung quanh bên trong khu vườn có bề rộng $x$ (mét) như nhau. Diện tích phần đất còn lại làm thảm cỏ là $204 m^{2}$ . Tính bề rộng $x$ của đường đi.

Bài toán 3 (Tài chính & Lãi suất Kép):
Một người gửi $100$ triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi suất kép kỳ hạn 1 năm. Sau 2 năm, tổng số tiền cả gốc lẫn lãi người đó nhận được là $116, 64$ triệu đồng. Tính lãi suất năm $r %$ của ngân hàng.

✏️ Thực hành tương tác

📌 Hướng dẫn: Công cụ tương tác dưới đây hỗ trợ tính biệt thức $Δ$ , giải tự động các dạng phương trình bậc hai và tìm nghiệm chính xác!

Máy Tính Phương Trình Bậc 2 & Định Lí Viète

Nhập các hệ số a, b, c của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0).

x² +

x +

= 0

⭐ Ghi nhớ

Trọng tâm kiến thức Bài 19:

PT Bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq = 0$ ): Biệt thức $Δ = b^{2} - 4 a c$ .
- $Δ > 0$ : 2 nghiệm $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ .
- $Δ = 0$ : Nghiệm kép $x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a}$ .
- $Δ < 0$ : Vô nghiệm.
Công thức $Δ^{'}$ ( $b = 2 b^{'}$ ): $Δ^{'} = b^{'2} - a c$ . Nghiệm $x_{1, 2} = \frac{- b ^{'} \pm Δ ^{'}}{a}$ .

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Phương trình nào sau đây là phương trình bậc hai một ẩn?

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Giải các phương trình bậc hai khuyết:
a) $2 x^{2} - 8 x = 0$
b) $5 x^{2} + 15 x = 0$
c) $3 x^{2} - 27 = 0$
d) $4 x^{2} - 25 = 0$
e) $x^{2} + 9 = 0$
f) $2 x^{2} - 8 = 0$

Bài 2: Giải các phương trình bậc hai sử dụng công thức nghiệm $Δ$ hoặc $Δ^{'}$ :
a) $x^{2} - 5 x + 4 = 0$
b) $x^{2} - 6 x + 9 = 0$
c) $3 x^{2} - 4 x + 2 = 0$
d) $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$
e) $x^{2} - 22 x + 2 = 0$
f) $5 x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Bài 3: Giải các phương trình trùng phương $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ :
a) $x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$
b) $x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$
c) $2 x^{4} - 7 x^{2} + 3 = 0$
d) $x^{4} + 5 x^{2} + 6 = 0$
e) $x^{4} - 16 = 0$
f) $3 x^{4} - 12 x^{2} = 0$

Bài 4: Giải phương trình $(x^{2} - 2 x)^{2} - 3 (x^{2} - 2 x) - 4 = 0$ bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Bài 5: Cho phương trình $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} + 2 m = 0$ .
a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$ .
b) Tính hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ theo $m$ .

Bài 6: Cho phương trình $x^{2} - 2 m x + m^{2} - 4 = 0$ .
a) Tìm $m$ để phương trình có một nghiệm $x = 3$ .
b) Với $m$ vừa tìm được, tính nghiệm còn lại của phương trình.

Bài 7: Cho phương trình $(m - 1) x^{2} - 2 m x + m + 1 = 0$ . Tìm các giá trị của $m$ để:
a) Phương trình là phương trình bậc hai.
b) Phương trình có nghiệm kép.
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bài 8: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu $\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{4}{x ^{2} - 1}$ .

Bài 9 (Thực tế): Một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng $8 m$ và diện tích bằng $240 m^{2}$ . Tính chu vi thửa đất.

Bài 10 (Thực tế): Một công ty dự định chia quỹ thưởng $120$ triệu đồng cho các nhân viên xuất sắc. Đến ngày khen thưởng có 2 nhân viên xin rút tên nên mỗi nhân viên còn lại nhận thêm $3$ triệu đồng. Hỏi ban đầu có bao nhiêu nhân viên dự định khen thưởng?

📊 Lời giải chi tiết 10 bài tập tự luận

Bài 1:
a) $2 x (x - 4) = 0 \Rightarrow S = {0; 4}$ .
b) $5 x (x + 3) = 0 \Rightarrow S = {- 3; 0}$ .
c) $3 x^{2} = 27 \Leftrightarrow x^{2} = 9 \Rightarrow S = {- 3; 3}$ .
d) $4 x^{2} = 25 \Leftrightarrow x^{2} = 25/4 \Rightarrow S = {- 2, 5; 2, 5}$ .
e) $x^{2} = - 9 < 0 \Rightarrow S = \emptyset$ .
f) $2 x^{2} = 22 \Leftrightarrow x^{2} = 2 \Rightarrow S = {- 2; 2}$ .

Bài 2:
a) $Δ = 25 - 16 = 9 \Rightarrow x_{1} = 4, x_{2} = 1$ .
b) $Δ^{'} = 9 - 9 = 0 \Rightarrow x_{1} = x_{2} = 3$ .
c) $Δ^{'} = 4 - 6 = - 2 < 0 \Rightarrow V \overset{o}{^} n g hi ệ m$ .
d) $Δ = 49 - 24 = 25 \Rightarrow x_{1} = 3, x_{2} = 1/2$ .
e) $Δ^{'} = 2 - 2 = 0 \Rightarrow x_{1} = x_{2} = 2$ .
f) $Δ^{'} = 1 - 5 (- 3) = 16 \Rightarrow x_{1} = 1, x_{2} = - 3/5$ .

Bài 3:
a) $t = x^{2} \geq 0 \Rightarrow t^{2} - 10 t + 9 = 0 \Rightarrow t = 9, t = 1 \Rightarrow x = \pm 3, x = \pm 1$ .
b) $t^{2} - 3 t - 4 = 0 \Rightarrow t = 4$ (TM), $t = - 1$ (loại) $\Rightarrow x = \pm 2$ .
c) $2 t^{2} - 7 t + 3 = 0 \Rightarrow t = 3, t = 1/2 \Rightarrow x = \pm 3, x = \pm \frac{2}{2}$ .
d) $t^{2} + 5 t + 6 = 0 \Rightarrow t = - 2, t = - 3$ (loại cả 2) $\Rightarrow V \overset{o}{^} n g hi ệ m$ .
e) $x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ .
f) $3 x^{2} (x^{2} - 4) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \pm 2$ .

Bài 4:
Đặt $t = x^{2} - 2 x$ . Phương trình trở thành $t^{2} - 3 t - 4 = 0 \Leftrightarrow (t + 1) (t - 4) = 0 \Rightarrow t = - 1$ hoặc $t = 4$ .

Với $t = - 1 \Rightarrow x^{2} - 2 x + 1 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{2} = 0 \Rightarrow x = 1$ .
Với $t = 4 \Rightarrow x^{2} - 2 x - 4 = 0 \Rightarrow Δ^{'} = 1 + 4 = 5 \Rightarrow x = 1 \pm 5$ .
Tập nghiệm $S = {1; 1 - 5; 1 + 5}$ .

Bài 5:
a) $Δ^{'} = (m + 1)^{2} - (m^{2} + 2 m) = m^{2} + 2 m + 1 - m^{2} - 2 m = 1 > 0$ với mọi $m$ .
Do đó phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m$ .
b) $x_{1} = (m + 1) + 1 = m + 2$ ; $x_{2} = (m + 1) - 1 = m$ .

Bài 6:
a) Thay $x = 3 : 3^{2} - 2 m (3) + m^{2} - 4 = 0 \Leftrightarrow m^{2} - 6 m + 5 = 0 \Leftrightarrow (m - 1) (m - 5) = 0 \Rightarrow m = 1$ hoặc $m = 5$ .
b) With $m = 1 \Rightarrow x^{2} - 2 x - 3 = 0 \Rightarrow$ nghiệm còn lại $x_{2} = - 1$ .
With $m = 5 \Rightarrow x^{2} - 10 x + 21 = 0 \Rightarrow$ nghiệm còn lại $x_{2} = 7$ .

Bài 7:
a) Phương trình bậc hai $\Leftrightarrow a \neq = 0 \Leftrightarrow m - 1 \neq = 0 \Leftrightarrow m \neq = 1$ .
b) $Δ^{'} = (- m)^{2} - (m - 1) (m + 1) = m^{2} - (m^{2} - 1) = 1 > 0$ với mọi $m \neq = 1$ .
Do $Δ^{'} = 1 > 0$ cố định nên phương trình KHÔNG THỂ có nghiệm kép với bất kỳ $m$ nào.
c) Với mọi $m \neq = 1$ , phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 8:
ĐKXĐ: $x \neq = \pm 1$ .
Quy đồng khử mẫu: $(x + 1)^{2} - (x - 1)^{2} = 4 \Leftrightarrow (x^{2} + 2 x + 1) - (x^{2} - 2 x + 1) = 4 \Leftrightarrow 4 x = 4 \Rightarrow x = 1$ .
Đối chiếu ĐKXĐ: $x = 1$ bị loại. Phương trình vô nghiệm.

Bài 9:
Gọi chiều rộng là $x > 0$ (m) $\Rightarrow$ chiều dài là $x + 8$ (m).
Phương trình diện tích: $x (x + 8) = 240 \Leftrightarrow x^{2} + 8 x - 240 = 0$ .
$Δ^{'} = 16 + 240 = 256 \Rightarrow x = - 4 + 16 = 12 m$ (TM).
Chiều dài $12 + 8 = 20 m$ . Chu vi $P = 2 (12 + 20) = 64 m$ .

Bài 10:
Gọi số nhân viên ban đầu là $x > 2, x \in N^{*}$ .
Số tiền mỗi người dự định nhận là $\frac{120}{x}$ (triệu đồng).
Số nhân viên thực tế nhận thưởng là $x - 2$ , mỗi người nhận $\frac{120}{x - 2}$ (triệu đồng).
Phương trình: $\frac{120}{x - 2} - \frac{120}{x} = 3 \Leftrightarrow \frac{120 x - 120 ( x - 2 )}{x ( x - 2 )} = 3 \Leftrightarrow \frac{240}{x ^{2} - 2 x} = 3 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 80 = 0$ .
$Δ^{'} = 1 + 80 = 81 \Rightarrow x = 1 + 9 = 10$ (TM), $x = 1 - 9 = - 8$ (loại).
Ban đầu có 10 nhân viên dự định khen thưởng.