Lớp 9 · Chương VI: Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 18: Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

🚀 Khởi động

⚽ Quỹ Đạo Đường Bay Của Quả Bóng Đá & Hàm Số $y = a x^{2}$

Khi một cầu thủ thực hiện cú sút phạt cầu môn, quả bóng bay vút lên không trung rồi hạ xuống tạo thành một đường cong tuyệt đẹp. Trong vật lý và toán học, đường cong chuyển động của quả bóng dưới tác dụng của trọng lực chính là một đường Parabol — đồ thị của hàm số bậc hai $y = a x^{2}$ ( $a \neq = 0$ ).

Hàm số $y = a x^{2}$ đóng vai trò nền tảng trong nghiên cứu chuyển động rơi tự do, thiết kế chảo vệ tinh ra-đa, xây dựng cầu vòm parabol và các bài toán tối ưu hóa trong đời sống thực tế!

🔍 Khám phá

📖 1. Tính chất biến thiên của Hàm số $y = a x^{2}$ ( $a \neq = 0$ )

Tập xác định: Hàm số $y = a x^{2}$ ( $a \neq = 0$ ) xác định với mọi giá trị $x \in R$ .

Tính chất biến thiên:

Khi $a > 0$ :
- Hàm số nghịch biến khi $x < 0$ (khi $x$ tăng thì $y$ giảm).
- Hàm số đồng biến khi $x > 0$ (khi $x$ tăng thì $y$ tăng).
- Giá trị nhỏ nhất là $y = 0$ tại $x = 0$ ( $y \geq 0$ với mọi $x$ ).
Khi $a < 0$ :
- Hàm số đồng biến khi $x < 0$ (khi $x$ tăng thì $y$ tăng).
- Hàm số nghịch biến khi $x > 0$ (khi $x$ tăng thì $y$ giảm).
- Giá trị lớn nhất là $y = 0$ tại $x = 0$ ( $y \leq 0$ với mọi $x$ ).

3 Ví dụ minh họa Tính chất biến thiên:

Ví dụ 1: Cho hàm số $y = 2 x^{2}$ . Xét sự biến thiên của hàm số khi $x$ tăng từ $- 3$ đến $- 1$ và khi $x$ tăng từ $1$ đến $4$ .
- Giải: Vì $a = 2 > 0$ :
  - Trên khoảng $(- \infty; 0)$ , hàm số nghịch biến. Khi $x$ tăng từ $- 3$ đến $- 1$ , giá trị $y$ giảm từ $y (- 3) = 18$ xuống $y (- 1) = 2$ .
  - Trên khoảng $(0; + \infty)$ , hàm số đồng biến. Khi $x$ tăng từ $1$ đến $4$ , giá trị $y$ tăng từ $y (1) = 2$ lên $y (4) = 32$ .
Ví dụ 2: Cho hàm số $y = - 0, 5 x^{2}$ . So sánh $y (- 4)$ và $y (- 2)$ ; so sánh $y (3)$ và $y (5)$ .
- Giải: Vì $a = - 0, 5 < 0$ :
  - Với $x < 0$ , hàm số đồng biến. Vì $- 4 < - 2 \Rightarrow y (- 4) < y (- 2)$ (cụ thể: $- 8 < - 2$ ).
  - Với $x > 0$ , hàm số nghịch biến. Vì $3 < 5 \Rightarrow y (3) > y (5)$ (cụ thể: $- 4, 5 > - 12, 5$ ).
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 3 x^{2}$ và giá trị lớn nhất của hàm số $y = - 4 x^{2}$ .
- Giải:
  - Với $y = 3 x^{2}$ ( $a = 3 > 0$ ), vì $x^{2} \geq 0 \Rightarrow y \geq 0$ . Vậy $min y = 0$ tại $x = 0$ .
  - Với $y = - 4 x^{2}$ ( $a = - 4 < 0$ ), vì $x^{2} \geq 0 \Rightarrow - 4 x^{2} \leq 0 \Rightarrow y \leq 0$ . Vậy $max y = 0$ tại $x = 0$ .

📖 2. Đồ thị của Hàm số $y = a x^{2}$ (Đường Parabol)

Đồ thị của hàm số $y = a x^{2}$ ( $a \neq = 0$ ) là một đường cong đi qua gốc tọa độ, nhận trục $O y$ làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một Parabol có đỉnh $O$ .

Đặc điểm hình học của Parabol:

Khi $a > 0$ : Đồ thị nằm phía trên trục hoành ( $y \geq 0$ ). Gốc $O (0; 0)$ là điểm thấp nhất của đồ thị. Bề lõm quay lên trên.
Khi $a < 0$ : Đồ thị nằm phía dưới trục hoành ( $y \leq 0$ ). Gốc $O (0; 0)$ là điểm cao nhất của đồ thị. Bề lõm quay xuống dưới.
Tính đối xứng: Nếu điểm $M (x_{0}; y_{0})$ thuộc đồ thị thì điểm $M^{'} (- x_{0}; y_{0})$ cũng thuộc đồ thị.

Các bước vẽ đồ thị (Parabol):

Bước 1: Lập bảng giá trị tương ứng của $x$ và $y$ (thường lấy 5 điểm: $x = 0, \pm x_{1}, \pm x_{2}$ ).
Bước 2: Biểu diễn 5 điểm đó trên mặt phẳng tọa độ $O x y$ .
Bước 3: Vẽ đường cong Parabol đi qua các điểm, chú ý tính đối xứng qua $O y$ .

3 Ví dụ minh họa Đồ thị Parabol:

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị của hàm số $y = x^{2}$ .
- Giải: Lập bảng 5 giá trị:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y = x^{2}$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

Biểu diễn các điểm $(- 2; 4), (- 1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4)$ và nối bằng đường cong Parabol quay bề lõm lên trên.

Ví dụ 2: Cho hàm số $y = - \frac{1}{2} x^{2}$ . Tìm tọa độ các điểm thuộc đồ thị có hoành độ lần lượt là $x = - 4, - 2, 0, 2, 4$ .
- Giải: Thay các giá trị $x$ :
  $y (- 4) = - \frac{1}{2} (- 4)^{2} = - 8 \Rightarrow A (- 4; - 8)$ .
  $y (- 2) = - \frac{1}{2} (- 2)^{2} = - 2 \Rightarrow B (- 2; - 2)$ .
  $y (0) = 0 \Rightarrow O (0; 0)$ .
  $y (2) = - 2 \Rightarrow B^{'} (2; - 2)$ .
  $y (4) = - 8 \Rightarrow A^{'} (4; - 8)$ .
Ví dụ 3: Cho điểm $M (2; 6)$ thuộc đồ thị hàm số $y = a x^{2}$ . Tìm $a$ và xác định xem điểm $N (- 3; 13, 5)$ có thuộc đồ thị hàm số đó không.
- Giải:
  - Thay $M (2; 6)$ vào $y = a x^{2} \Rightarrow 6 = a (2)^{2} \Rightarrow 4 a = 6 \Rightarrow a = 1, 5$ .
    Vậy hàm số là $y = 1, 5 x^{2}$ .
  - Thay $x = - 3$ vào $y = 1, 5 x^{2} \Rightarrow y = 1, 5 (- 3)^{2} = 1, 5 \times 9 = 13, 5$ .
    Vì $y (- 3) = 13, 5$ đúng bằng tung độ của $N$ nên điểm $N (- 3; 13, 5)$ thuộc đồ thị hàm số.

🎯 5 Dạng toán & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Tính giá trị của hàm số và kiểm tra điểm thuộc đồ thị

Phương pháp: Để tính $y_{0}$ , thay $x = x_{0}$ vào $y = a x^{2}$ . Điểm $M (x_{0}; y_{0})$ thuộc đồ thị $\Leftrightarrow y_{0} = a x_{0}^{2}$ .

Ví dụ 1: Cho hàm số $y = 3 x^{2}$ . Tính giá trị của $y$ khi $x = - 2; 0; 3$ .
- Lời giải:
  - Với $x = - 2 \Rightarrow y = 3 (- 2)^{2} = 12$ .
  - Với $x = 0 \Rightarrow y = 3 (0)^{2} = 0$ .
  - Với $x = 3 \Rightarrow y = 3 (3)^{2} = 3 \times 3 = 9$ .
Ví dụ 2: Cho hàm số $y = - 2 x^{2}$ . Trong các điểm $A (1; - 2), B (- 2; 8), C (\frac{1}{2}; - \frac{1}{2})$ , điểm nào thuộc đồ thị hàm số?
- Lời giải:
  - Thay $A (1; - 2) : - 2 = - 2 (1)^{2}$ (đúng) $\Rightarrow A$ thuộc đồ thị.
  - Thay $B (- 2; 8) : 8 \neq = - 2 (- 2)^{2} = - 8$ (sai) $\Rightarrow B$ không thuộc đồ thị.
  - Thay $C (1/2; - 1/2) : - 2 (1/2)^{2} = - 2 (1/4) = - 1/2$ (đúng) $\Rightarrow C$ thuộc đồ thị.
Ví dụ 3: Cho hàm số $y = a x^{2}$ . Biết đồ thị hàm số đi qua điểm $P (- 3; 18)$ . Tìm hệ số $a$ .
- Lời giải: Thay $x = - 3, y = 18$ vào $y = a x^{2}$ :
  $18 = a (- 3)^{2} \Leftrightarrow 9 a = 18 \Leftrightarrow a = 2$ . Vậy hàm số là $y = 2 x^{2}$ .

Dạng 2: Tìm tham số $a, m$ thỏa mãn điều kiện bài toán

Phương pháp: Thay tọa độ điểm hoặc sử dụng điều kiện đồng biến/nghịch biến để lập phương trình tìm tham số.

Ví dụ 1: Tìm $m$ để hàm số $y = (m - 2) x^{2}$ đồng biến khi $x > 0$ .
- Lời giải: Hàm số $y = a x^{2}$ đồng biến khi $x > 0 \Leftrightarrow a > 0$ .
  Do đó $m - 2 > 0 \Leftrightarrow m > 2$ .
Ví dụ 2: Tìm $m$ để hàm số $y = (3 - m) x^{2}$ nghịch biến khi $x > 0$ .
- Lời giải: Hàm số nghịch biến khi $x > 0 \Leftrightarrow a < 0$ .
  Do đó $3 - m < 0 \Leftrightarrow m > 3$ .
Ví dụ 3: Cho hàm số $y = (m^{2} - 1) x^{2}$ . Tìm $m$ để đồ thị hàm số đi qua điểm $A (1; 3)$ .
- Lời giải: ĐKXĐ của hàm bậc hai: $m^{2} - 1 \neq = 0 \Leftrightarrow m \neq = \pm 1$ .
  Thay $x = 1, y = 3$ : $3 = (m^{2} - 1) (1)^{2} \Leftrightarrow m^{2} - 1 = 3 \Leftrightarrow m^{2} = 4 \Rightarrow m = 2$ hoặc $m = - 2$ (TMĐK).

Dạng 3: Tương giao giữa Đường thẳng $y = m x + n$ và Parabol $y = a x^{2}$

Phương pháp: Lập phương trình hoành độ giao điểm: $a x^{2} = m x + n \Leftrightarrow a x^{2} - m x - n = 0$ .
- Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị ( $Δ > 0$ : 2 giao điểm, $Δ = 0$ : tiếp xúc, $Δ < 0$ : không giao nhau).

Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của Parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = 2 x + 3$ .
- Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm:
  $x^{2} = 2 x + 3 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 3 = 0 \Leftrightarrow (x + 1) (x - 3) = 0 \Rightarrow x = - 1$ hoặc $x = 3$ .
  - Với $x = - 1 \Rightarrow y = (- 1)^{2} = 1 \Rightarrow A (- 1; 1)$ .
  - Với $x = 3 \Rightarrow y = 3^{2} = 9 \Rightarrow B (3; 9)$ .
    Tọa độ giao điểm là $A (- 1; 1)$ và $B (3; 9)$ .
Ví dụ 2: Tìm $m$ để đường thẳng $(d) : y = 4 x + m$ tiếp xúc với Parabol $(P) : y = x^{2}$ .
- Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: $x^{2} - 4 x - m = 0$ .
  $(d)$ tiếp xúc $(P) \Leftrightarrow$ phương trình có nghiệm kép $\Leftrightarrow Δ^{'} = (- 2)^{2} - 1 (- m) = 0 \Leftrightarrow 4 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 4$ .
Ví dụ 3: Tìm $m$ để đường thẳng $(d) : y = 2 x - m + 1$ và Parabol $(P) : y = 2 x^{2}$ không có điểm chung.
- Lời giải: PTHĐGĐ: $2 x^{2} - 2 x + m - 1 = 0$ .
  $(d)$ và $(P)$ không giao nhau $\Leftrightarrow Δ^{'} < 0 \Leftrightarrow (- 1)^{2} - 2 (m - 1) < 0 \Leftrightarrow 1 - 2 m + 2 < 0 \Leftrightarrow 3 - 2 m < 0 \Leftrightarrow m > 1, 5$ .

Dạng 4: Tìm Giá trị lớn nhất (GTLN) và Giá trị nhỏ nhất (GTNN)

Phương pháp: Dựa vào $a > 0 \Rightarrow y \geq 0$ (GTNN bằng 0 tại $x = 0$ ) và $a < 0 \Rightarrow y \leq 0$ (GTLN bằng 0 tại $x = 0$ ). Nếu xét trên đoạn $[x_{1}; x_{2}]$ , tính giá trị tại 2 đầu mút và $x = 0$ .

Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = 2 x^{2}$ trên đoạn $[- 2; 3]$ .
- Lời giải: Vì $a = 2 > 0 \Rightarrow y \geq 0$ .
  Tại $x = 0 \in [- 2; 3] \Rightarrow y (0) = 0$ .
  Tính $y (- 2) = 2 (- 2)^{2} = 8$ ; $y (3) = 2 (3)^{2} = 18$ .
  Vậy GTNN $min y = 0$ tại $x = 0$ ; GTLN $max y = 18$ tại $x = 3$ .
Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = - x^{2}$ trên đoạn $[1; 4]$ .
- Lời giải: Vì $a = - 1 < 0$ và trên $[1; 4]$ hàm số nghịch biến ( $x > 0$ ).
  $y (1) = - (1)^{2} = - 1$ ; $y (4) = - (4)^{2} = - 16$ .
  Vậy GTLN $max y = - 1$ tại $x = 1$ ; GTNN $min y = - 16$ tại $x = 4$ .
Ví dụ 3: Cho hàm số $y = - 3 x^{2}$ . Tìm tập giá trị của $y$ khi $x \in [- 1; 2]$ .
- Lời giải: Vì $a = - 3 < 0$ , giá trị lớn nhất đạt tại $x = 0 \Rightarrow y (0) = 0$ .
  Tính $y (- 1) = - 3$ ; $y (2) = - 3 (2)^{2} = - 12$ .
  Tập giá trị của $y$ trên $[- 1; 2]$ là $[- 12; 0]$ .

Dạng 5: Bài toán Ứng dụng Thực tế Đồ thị Parabol

Phương pháp: Thiết lập trục tọa độ $O x y$ sao cho gốc $O$ là đỉnh Parabol, lập công thức $y = a x^{2}$ rồi tính các kích thước theo yêu cầu.

Ví dụ 1: Một cổng chào hình Parabol có chiều cao $H = 8 m$ và khoảng cách giữa hai chân cổng là $L = 8 m$ . Chọn hệ trục $O x y$ có gốc $O$ tại đỉnh cổng Parabol (như hình vẽ), tìm phương trình của cổng Parabol.
- Lời giải: Chọn gốc $O (0; 0)$ tại đỉnh cổng $\Rightarrow (P) : y = a x^{2}$ .
  Do hai chân cổng cách nhau $8 m$ nên hoành độ chân cổng là $x = 4$ và $x = - 4$ .
  Chiều cao cổng $8 m \Rightarrow$ tung độ chân cổng là $y = - 8$ .
  Thay điểm $(4; - 8)$ vào $y = a x^{2} \Rightarrow - 8 = a (4)^{2} \Rightarrow 16 a = - 8 \Rightarrow a = - 0, 5$ .
  Phương trình cổng Parabol là $y = - 0, 5 x^{2}$ .
Ví dụ 2: Tính chiều cao của cổng Parabol ở Ví dụ 1 tại vị trí cách chân cổng $2 m$ (tức cách trục tung $2 m$ ).
- Lời giải: Tại vị trí cách trục tung $x = 2 m$ :
  $y = - 0, 5 (2)^{2} = - 2 m$ .
  Chiều cao cổng tại vị trí đó so với mặt đất là $h = 8 - ∣ - 2∣ = 8 - 2 = 6 m$ .
Ví dụ 3: Một chảo ăng-ten vệ tinh parabol có mặt cắt là đường Parabol $y = 0, 05 x^{2}$ . Tìm độ sâu của chảo tại điểm cách tâm $x = 40 cm$ .
- Lời giải: Thay $x = 40 cm$ vào phương trình $y = 0, 05 (40)^{2} = 0, 05 \times 1600 = 80 cm$ .
  Độ sâu của chảo tại vị trí đó là $80 cm$ .

🌍 Vận dụng thực tế

🌍 3 Bài toán ứng dụng đời sống thực tế

Bài toán 1 (Vật lý Rơi tự do & Khoảng cách Phanh xe):
Trong giao thông đường bộ, khoảng cách phanh xe an toàn $d$ (mét) của một xe ô tô chạy với vận tốc $v$ (km/h) trên mặt đường khô ráo được tính theo công thức gần đúng $d = 0, 005 v^{2}$ .
a) Tính khoảng cách phanh an toàn khi xe chạy với vận tốc $v = 60 km/h$ và $v = 100 km/h$ .
b) Nếu khoảng cách từ xe đến chướng ngại vật là $20 m$ , vận tốc tối đa của xe để phanh kịp không xảy ra va chạm là bao nhiêu km/h?

Bài toán 2 (Kiến trúc Cầu Vòm Parabol):
Cầu vòm Parabol qua sông có khoảng cách giữa hai chân cầu trên bờ sông là $A B = 120 m$ . Chiều cao từ đỉnh vòm cầu xuống mặt nước sông là $H = 18 m$ .
Chọn hệ trục tọa độ $O x y$ với gốc $O$ tại đỉnh vòm cầu.
a) Viết phương trình đồ thị Parabol $y = a x^{2}$ biểu diễn vòm cầu.
b) Tính khoảng cách từ mặt nước sông lên vòm cầu tại điểm $M$ cách bờ sông $30 m$ .

Bài toán 3 (Thiết kế Chảo Vệ tinh Ra-đa):
Một chảo thu sóng vệ tinh hình Parabol có đường kính miệng chảo là $D = 120 cm$ và độ sâu ở chính giữa lòng chảo là $h = 30 cm$ .
a) Tìm hệ số $a$ của phương trình Parabol $y = a x^{2}$ biểu diễn mặt cắt lòng chảo.
b) Tính độ sâu của lòng chảo tại điểm cách mép chảo $15 cm$ .

✏️ Thực hành tương tác

📌 Hướng dẫn: Công cụ dưới đây giúp bạn luyện tập giải phương trình bậc hai và khảo sát đồ thị Parabol $y = a x^{2}$ một cách trực quan!

Máy Tính Phương Trình Bậc 2 & Định Lí Viète

Nhập các hệ số a, b, c của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0).

x² +

x +

= 0

⭐ Ghi nhớ

Trọng tâm kiến thức Bài 18:

Hàm số $y = a x^{2}$ ( $a \neq = 0$ ): Tập xác định $R$ .
- $a > 0$ : Nghịch biến khi $x < 0$ , đồng biến khi $x > 0$ . $min y = 0$ tại $x = 0$ .
- $a < 0$ : Đồng biến khi $x < 0$ , nghịch biến khi $x > 0$ . $max y = 0$ tại $x = 0$ .
Đồ thị Parabol: Đỉnh $O (0; 0)$ , nhận trục $O y$ làm trục đối xứng.
Tương giao $(P)$ và $(d)$ : Dựa vào số nghiệm của PTHĐGĐ $a x^{2} - m x - n = 0$ .

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Tập xác định của hàm số $y = ax^2$ ( $a \neq 0$ ) là:

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho hàm số $y = 2 x^{2}$ .
a) Tính các giá trị $y$ tương ứng với $x = - 3; - 1; 0; 1; 3$
b) Hàm số đồng biến trên khoảng nào, nghịch biến trên khoảng nào?
c) Tìm các điểm thuộc đồ thị có tung độ $y = 8$
d) Tìm các điểm thuộc đồ thị có tung độ $y = 18$
e) Tìm $m$ để điểm $A (m; 32)$ thuộc đồ thị
f) Điểm $B (- 2; 10)$ có thuộc đồ thị hàm số không?

Bài 2: Vẽ đồ thị các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ $O x y$ :
a) $(P_{1}) : y = x^{2}$
b) $(P_{2}) : y = - x^{2}$
c) $(P_{3}) : y = \frac{1}{2} x^{2}$
d) $(P_{4}) : y = - 2 x^{2}$
e) Tìm tọa độ giao điểm của $(P_{1})$ và $(P_{3})$
f) Tìm $m$ để $(P_{1})$ và $(P_{4})$ cắt nhau tại điểm thứ hai khác $O (0; 0)$

Bài 3: Cho Parabol $(P) : y = a x^{2}$ .
a) Tìm $a$ biết $(P)$ đi qua điểm $A (2; 4)$
b) Tìm $a$ biết $(P)$ đi qua điểm $B (- 3; 9)$
c) Tìm $a$ biết $(P)$ đi qua điểm $C (4; - 8)$
d) Tìm $a$ biết $(P)$ tiếp xúc với đường thẳng $y = 4 x - 4$
e) Với $a = 1$ , tìm $m$ để đường thẳng $(d) : y = 2 x + m$ cắt $(P)$ tại 2 điểm phân biệt
f) Với $a = 1$ , tìm $m$ để $(d) : y = 2 x + m$ và $(P)$ tiếp xúc nhau

Bài 4: Cho Parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = 2 x + 3$ .
a) Tìm tọa độ giao điểm $A, B$ của $(P)$ và $(d)$ .
b) Tính diện tích tam giác $O A B$ (với $O$ là gốc tọa độ).
c) Gọi $A^{'}, B^{'}$ lần lượt là hình chiếu của $A, B$ trên trục $O x$ . Tính diện tích hình thang $A A^{'} B^{'} B$ .

Bài 5: Cho Parabol $(P) : y = - \frac{1}{2} x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = m x - 2$ .
a) Chứng minh với mọi $m$ , đường thẳng $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ .
b) Tìm $m$ để hoành độ hai giao điểm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 12$ .

Bài 6: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = - 2 x^{2}$ trên các đoạn:
a) $[- 1; 3]$
b) $[2; 5]$
c) $[- 4; - 1]$

Bài 7: Cho hàm số $y = (m - 1) x^{2}$ với $m \neq = 1$ .
a) Tìm $m$ để hàm số đồng biến khi $x < 0$ .
b) Tìm $m$ để đồ thị hàm số đi qua điểm $M (2; 4)$ .

Bài 8: Cho Parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = (2 m + 1) x - m^{2} - m$ .
a) Chứng minh $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ với mọi $m$ .
b) Tìm $m$ để $x_{1}, x_{2}$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng $5$ .

Bài 9 (Thực tế): Cổng chào Parabol có phương trình $y = - 0, 4 x^{2}$ ( $x, y$ tính bằng mét). Chiều cao cổng chào là $10 m$ .
a) Tính khoảng cách giữa hai chân cổng trên mặt đất.
b) Một xe tải thùng vuông rộng $3 m$ , cao $6 m$ đi đúng chính giữa cổng chào có chui qua được cổng không?

Bài 10 (Thực tế): Quãng đường rơi tự do của một vật $s$ (mét) theo thời gian $t$ (giây) được tính bởi $s = 4, 9 t^{2}$ .
a) Tính quãng đường vật rơi sau 2 giây và sau 4 giây.
b) Một hòn đá thả rơi từ đỉnh tháp cao $78, 4 m$ . Hỏi sau bao lâu hòn đá chạm đất?

📊 Lời giải chi tiết 10 bài tập tự luận

Bài 1:
a) $y (- 3) = 18; y (- 1) = 2; y (0) = 0; y (1) = 2; y (3) = 18$ .
b) Vì $a = 2 > 0 \Rightarrow$ nghịch biến khi $x < 0$ , đồng biến khi $x > 0$ .
c) $2 x^{2} = 8 \Leftrightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ . Các điểm là $(2; 8)$ và $(- 2; 8)$ .
d) $2 x^{2} = 18 \Leftrightarrow x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ . Các điểm là $(3; 18)$ và $(- 3; 18)$ .
e) $2 m^{2} = 32 \Leftrightarrow m^{2} = 16 \Rightarrow m = \pm 4$ .
f) $2 (- 2)^{2} = 8 \neq = 10 \Rightarrow B (- 2; 10)$ không thuộc đồ thị.

Bài 2:
a, b, c, d) Lập bảng giá trị 5 điểm cho từng hàm số và vẽ các đường Parabol tương ứng trên mặt phẳng $O x y$ .
e) $x^{2} = \frac{1}{2} x^{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0, y = 0 \Rightarrow$ Giao điểm duy nhất là $O (0; 0)$ .
f) $x^{2} = - 2 x^{2} \Leftrightarrow 3 x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow$ Chỉ cắt nhau tại gốc $O (0; 0)$ , không có điểm thứ hai nào khác.

Bài 3:
a) $4 = a (2)^{2} \Rightarrow 4 a = 4 \Rightarrow a = 1$ .
b) $9 = a (- 3)^{2} \Rightarrow 9 a = 9 \Rightarrow a = 1$ .
c) $- 8 = a (4)^{2} \Rightarrow 16 a = - 8 \Rightarrow a = - 0, 5$ .
d) PTHĐGĐ: $a x^{2} - 4 x + 4 = 0$ . Tiếp xúc $\Leftrightarrow Δ^{'} = 4 - 4 a = 0 \Rightarrow a = 1$ .
e) $x^{2} - 2 x - m = 0$ . Cắt tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow Δ^{'} = 1 + m > 0 \Leftrightarrow m > - 1$ .
f) Tiếp xúc $\Leftrightarrow Δ^{'} = 1 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 1$ .

Bài 4:
a) PTHĐGĐ: $x^{2} - 2 x - 3 = 0 \Leftrightarrow (x + 1) (x - 3) = 0 \Rightarrow A (- 1; 1)$ và $B (3; 9)$ .
b) $(d)$ cắt $O y$ tại $C (0; 3) \Rightarrow O C = 3$ .
$S_{O A B} = S_{O A C} + S_{O B C} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 1, 5 + 4, 5 = 6$ (đvdt).
c) Hình thang $A A^{'} B^{'} B$ có hai đáy $A A^{'} = 1, B B^{'} = 9$ , chiều cao $A^{'} B^{'} = 3 - (- 1) = 4$ .
$S = \frac{( 1 + 9 ) \cdot 4}{2} = 20$ (đvdt).

Bài 5:
a) PTHĐGĐ: $- \frac{1}{2} x^{2} = m x - 2 \Leftrightarrow x^{2} + 2 m x - 4 = 0$ .
$Δ^{'} = m^{2} - 1 (- 4) = m^{2} + 4 > 0$ với mọi $m$ .
Do đó $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt với mọi $m$ .
b) Theo định lý Vi-ét: $x_{1} + x_{2} = - 2 m$ và $x_{1} x_{2} = - 4$ .
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 4 m^{2} + 8 = 12 \Leftrightarrow 4 m^{2} = 4 \Leftrightarrow m^{2} = 1 \Rightarrow m = \pm 1$ .

Bài 6:
a) Trên $[- 1; 3]$ : $y (0) = 0$ là GTLN; $y (3) = - 18$ là GTNN. Vậy $max y = 0, min y = - 18$ .
b) Trên $[2; 5]$ : Hàm số nghịch biến khi $x > 0$ . $y (2) = - 8, y (5) = - 50$ . Vậy $max y = - 8, min y = - 50$ .
c) Trên $[- 4; - 1]$ : Hàm số đồng biến khi $x < 0$ . $y (- 4) = - 32, y (- 1) = - 2$ . Vậy $max y = - 2, min y = - 32$ .

Bài 7:
a) Hàm đồng biến khi $x < 0 \Leftrightarrow a < 0 \Leftrightarrow m - 1 < 0 \Leftrightarrow m < 1$ .
b) Thay $M (2; 4) : 4 = (m - 1) (2)^{2} = 2 (m - 1) \Leftrightarrow m - 1 = 2 \Rightarrow m = 3$ .

Bài 8:
a) PTHĐGĐ: $x^{2} - (2 m + 1) x + m^{2} + m = 0$ .
$Δ = (2 m + 1)^{2} - 4 (m^{2} + m) = 4 m^{2} + 4 m + 1 - 4 m^{2} - 4 m = 1 > 0$ với mọi $m$ .
Do đó phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m$ .
b) Nghiệm $x_{1} = m, x_{2} = m + 1$ .
Để $x_{1}, x_{2}$ là độ dài hai cạnh góc vuông $\Rightarrow x_{1} > 0, x_{2} > 0 \Leftrightarrow m > 0$ .
Theo định lý Pythagore: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 5 \Leftrightarrow m^{2} + (m + 1)^{2} = 5 \Leftrightarrow 2 m^{2} + 2 m - 4 = 0 \Leftrightarrow m^{2} + m - 2 = 0 \Rightarrow m = 1$ (TM) hoặc $m = - 2$ (loại). Vậy $m = 1$ .

Bài 9:
a) Chiều cao $H = 10 m \Rightarrow$ tung độ chân cổng $y = - 10$ .
$- 0, 4 x^{2} = - 10 \Leftrightarrow x^{2} = 25 \Rightarrow x = \pm 5$ .
Khoảng cách hai chân cổng $L = 5 - (- 5) = 10 m$ .
b) Xe tải rộng $3 m$ đi chính giữa $\Rightarrow x = 1, 5 m$ .
Tung độ cổng tại $x = 1, 5$ : $y = - 0, 4 (1, 5)^{2} = - 0, 9 m$ .
Chiều cao cổng tại vị trí đó $h = 10 - 0, 9 = 9, 1 m$ .
Vì chiều cao xe $6 m < 9, 1 m$ nên xe tải chui qua được cổng an toàn.

Bài 10:
a) Sau 2 giây: $s (2) = 4, 9 (2)^{2} = 19, 6 m$ .
Sau 4 giây: $s (4) = 4, 9 (4)^{2} = 78, 4 m$ .
b) $s = 78, 4 m \Leftrightarrow 4, 9 t^{2} = 78, 4 \Leftrightarrow t^{2} = 16 \Rightarrow t = 4$ giây.
Hòn đá chạm đất sau 4 giây.