Lớp 9 · Chương V: Đường tròn

Bài 17: Vị trí tương đối của hai đường tròn

🚀 Khởi động

⚙️ Hệ Thống Bánh Răng Truyền Động Cơ Khí

Trong các máy móc cơ khí, đồng hồ đeo tay hay hộp số xe máy, các bánh răng hình tròn có bán kính $R_{1}$ và $R_{2}$ được ăn khớp với nhau để truyền lực quay.

Về mặt hình học:

Hai bánh răng quay ăn khớp với nhau chính là hình ảnh hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại đúng một điểm chung $A$ .
Khoảng cách giữa hai tâm trục quay đúng bằng tổng bán kính hai bánh răng: $O_{1} O_{2} = R_{1} + R_{2}$ .
Điểm tiếp xúc $A$ luôn nằm trên đường thẳng nối hai tâm $O_{1} O_{2}$ .

🔍 Khám phá

📖 1. Ba vị trí tương đối của Hai đường tròn

Cho hai đường tròn $(O_{1}; R_{1})$ và $(O_{2}; R_{2})$ với $R_{1} \geq R_{2}$ . Gọi $d = O_{1} O_{2}$ là khoảng cách giữa hai tâm.

Vị trí tương đối	Số điểm chung	Hệ thức giữa $d, R_{1}, R_{2}$
1. Hai đường tròn cắt nhau	2	$R_{1} - R_{2} < d < R_{1} + R_{2}$
2. Hai đường tròn tiếp xúc nhau	1
- Tiếp xúc ngoài	1	$d = R_{1} + R_{2}$
- Tiếp xúc trong	1	$d = R_{1} - R_{2} > 0$
3. Hai đường tròn không giao nhau	0
- Ở ngoài nhau	0	$d > R_{1} + R_{2}$
- Đựng nhau (nằm trong nhau)	0	$d < R_{1} - R_{2}$
- Đồng tâm	0	$d = 0$

3 Ví dụ minh họa Các Vị trí tương đối:

Ví dụ 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn $(O_{1}; 7 cm)$ và $(O_{2}; 4 cm)$ khi khoảng cách $d = O_{1} O_{2}$ bằng: $12 cm, 11 cm, 8 cm, 3 cm, 2 cm$ .
- Giải:
  - $d = 12 > 7 + 4 = 11 \Rightarrow$ Hai đường tròn ở ngoài nhau.
  - $d = 11 = 7 + 4 \Rightarrow$ Hai đường tròn tiếp xúc ngoài.
  - $d = 8$ (thỏa mãn $7 - 4 = 3 < 8 < 11$ ) $\Rightarrow$ Hai đường tròn cắt nhau.
  - $d = 3 = 7 - 4 \Rightarrow$ Hai đường tròn tiếp xúc trong.
  - $d = 2 < 7 - 4 = 3 \Rightarrow$ Đường tròn $(O_{1})$ đựng $(O_{2})$ .
Ví dụ 2: Cho hai đường tròn $(O_{1}; 10 cm)$ và $(O_{2}; R_{2})$ tiếp xúc ngoài với nhau. Biết $O_{1} O_{2} = 16 cm$ . Tính bán kính $R_{2}$ .
- Giải: Vì tiếp xúc ngoài $\Rightarrow O_{1} O_{2} = R_{1} + R_{2} \Rightarrow 16 = 10 + R_{2} \Rightarrow R_{2} = 6 cm$ .
Ví dụ 3: Cho hai đường tròn $(O_{1}; 9 cm)$ và $(O_{2}; 3 cm)$ tiếp xúc trong với nhau. Tính khoảng cách nối tâm $O_{1} O_{2}$ .
- Giải: Vì tiếp xúc trong $\Rightarrow O_{1} O_{2} = R_{1} - R_{2} = 9 - 3 = 6 cm$ .

📖 2. Tính chất Đường nối tâm & Tiếp tuyến chung

1. Tính chất đường nối tâm:

Đường nối tâm $O_{1} O_{2}$ là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đường tròn.
Nếu hai đường tròn cắt nhau tại $A$ và $B$ : Đường nối tâm $O_{1} O_{2}$ là đường trung trực của dây chung $A B$ ( $O_{1} O_{2} ⊥ A B$ tại trung điểm $H$ của $A B$ ).
Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau: Tiếp điểm $A$ nằm trên đường nối tâm $O_{1} O_{2}$ ( $O_{1}, A, O_{2}$ thẳng hàng).

2. Tiếp tuyến chung:

Tiếp tuyến chung ngoài: Không cắt đoạn nối tâm $O_{1} O_{2}$ .
Tiếp tuyến chung trong: Cắt đoạn nối tâm $O_{1} O_{2}$ .

Vị trí tương đối	Số tiếp tuyến chung	Số TTC ngoài	Số TTC trong
Ở ngoài nhau	4	2	2
Tiếp xúc ngoài	3	2	1
Cắt nhau	2	2	0
Tiếp xúc trong	1	1	0
Đựng nhau / Đồng tâm	0	0	0

3 Ví dụ minh họa Tính chất Đường nối tâm:

Ví dụ 1: Cho hai đường tròn $(O_{1}; 10 cm)$ và $(O_{2}; 8 cm)$ cắt nhau tại $A$ và $B$ . Biết $A B = 12 cm$ . Tính độ dài đường nối tâm $O_{1} O_{2}$ (trong trường hợp hai tâm nằm khác phía so với dây $A B$ ).
- Giải: Gọi $H$ là giao điểm của $O_{1} O_{2}$ và $A B \Rightarrow O_{1} O_{2} ⊥ A B$ tại $H$ và $H A = H B = 6 cm$ .
  $O_{1} H = O_{1} A^{2} - H A^{2} = 1 0^{2} - 6^{2} = 8 cm$ .
  $O_{2} H = O_{2} A^{2} - H A^{2} = 8^{2} - 6^{2} = 28 = 27 cm$ .
  Do hai tâm nằm khác phía nên $O_{1} O_{2} = O_{1} H + O_{2} H = 8 + 27 \approx 13, 29 cm$ .
Ví dụ 2: Cho hai đường tròn $(O_{1}; 9 cm)$ và $(O_{2}; 4 cm)$ tiếp xúc ngoài tại $A$ . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài $M N$ ( $M \in (O_{1}), N \in (O_{2})$ ). Tính độ dài tiếp tuyến $M N$ .
- Giải: Kẻ $O_{2} K ⊥ O_{1} M$ ( $K \in O_{1} M$ ). Tứ giác $M N O_{2} K$ là hình chữ nhật $\Rightarrow M N = O_{2} K$ .
  $O_{1} K = R_{1} - R_{2} = 9 - 4 = 5 cm$ . Cạnh huyền $O_{1} O_{2} = R_{1} + R_{2} = 9 + 4 = 13 cm$ .
  Trong $Δ O_{1} K O_{2}$ vuông tại $K$ : $M N = O_{2} K = O_{1} O_{2}^{2} - O_{1} K^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 12 cm$ .
Ví dụ 3: Cho hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$ tiếp xúc ngoài tại $A$ . Kẻ tiếp tuyến chung trong $A x$ và tiếp tuyến chung ngoài $M N$ . Chứng minh $\widehat{MAN} = 90^^\circ$ .
- Giải: Tia $A x$ cắt $M N$ tại $I$ . Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau: $I A = I M$ và $I A = I N$ .
  Suy ra $I A = I M = I N = \frac{M N}{2} \Rightarrow Δ M A N$ có đường trung tuyến $A I = \frac{M N}{2} \Rightarrow Δ M A N$ vuông tại $A \Rightarrow \widehat{MAN} = 90^^\circ$ (ĐPCM).

🎯 5 Dạng toán & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Nhận biết vị trí tương đối của hai đường tròn

Phương pháp: So sánh $d = O_{1} O_{2}$ với $R_{1} + R_{2}$ và $∣ R_{1} - R_{2} ∣$ .

Ví dụ 1: Điền vị trí tương đối của $(O_{1}; R_{1})$ và $(O_{2}; R_{2})$ :
- a) $R_{1} = 5, R_{2} = 3, d = 9 \Rightarrow$ …
- b) $R_{1} = 6, R_{2} = 2, d = 4 \Rightarrow$ …
- c) $R_{1} = 8, R_{2} = 3, d = 7 \Rightarrow$ …
- Lời giải: a) Ở ngoài nhau ( $9 > 8$ ); b) Tiếp xúc trong ( $4 = 6 - 2$ ); c) Cắt nhau ( $5 < 7 < 11$ ).
Ví dụ 2: Cho hai đường tròn $(O_{1}; 8 cm)$ và $(O_{2}; 6 cm)$ . Tìm khoảng cách $d = O_{1} O_{2}$ để hai đường tròn cắt nhau.
- Lời giải: $R_{1} - R_{2} < d < R_{1} + R_{2} \Leftrightarrow 8 - 6 < d < 8 + 6 \Leftrightarrow 2 cm < d < 14 cm$ .
Ví dụ 3: Cho hai đường tròn $(O_{1}; 12)$ và $(O_{2}; R_{2})$ tiếp xúc ngoài khi $O_{1} O_{2} = 20$ . Tính $R_{2}$ .
- Lời giải: $R_{1} + R_{2} = d \Rightarrow 12 + R_{2} = 20 \Rightarrow R_{2} = 8$ .

Dạng 2: Bài toán Hai đường tròn Cắt nhau

Phương pháp: Sử dụng tính chất $O_{1} O_{2} ⊥ A B$ tại trung điểm $H$ của dây chung $A B$ .

Ví dụ 1: Cho hai đường tròn $(O_{1}; 15 cm)$ và $(O_{2}; 13 cm)$ cắt nhau tại $A, B$ . Biết dây chung $A B = 24 cm$ . Tính $O_{1} O_{2}$ .
- Lời giải: $A H = 12 cm$ .
  $O_{1} H = 1 5^{2} - 1 2^{2} = 9 cm$ .
  $O_{2} H = 1 3^{2} - 1 2^{2} = 5 cm$ .
  Nếu $O_{1}, O_{2}$ khác phía so với $A B \Rightarrow O_{1} O_{2} = 9 + 5 = 14 cm$ .
  Nếu $O_{1}, O_{2}$ cùng phía so với $A B \Rightarrow O_{1} O_{2} = 9 - 5 = 4 cm$ .
Ví dụ 2: Cho hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$ cắt nhau tại $A, B$ . Qua $A$ vẽ đường thẳng song song với $O_{1} O_{2}$ cắt $(O_{1})$ tại $C$ và cắt $(O_{2})$ tại $D$ . Chứng minh $C D = 2 O_{1} O_{2}$ .
- Lời giải: Kẻ $O_{1} M ⊥ C D, O_{2} N ⊥ C D \Rightarrow M$ là trung điểm $A C, N$ là trung điểm $A D$ .
  Tứ giác $M N O_{2} O_{1}$ là hình chữ nhật $\Rightarrow M N = O_{1} O_{2}$ .
  Mà $C D = C A + A D = 2 M A + 2 A N = 2 (M A + A N) = 2 M N = 2 O_{1} O_{2}$ (ĐPCM).
Ví dụ 3: Cho hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$ cắt nhau tại $A, B$ . Kẻ đường kính $A C$ của $(O_{1})$ và đường kính $A D$ của $(O_{2})$ . Chứng minh 3 điểm $C, B, D$ thẳng hàng.
- Lời giải: $\widehat{ABC} = 90^^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(O_{1})$ ).
  $\widehat{ABD} = 90^^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(O_{2})$ ).
  $\widehat{CBD} = \widehat{ABC} + \widehat{ABD} = 90^^\circ + 90^^\circ = 180^^\circ \Rightarrow C, B, D$ thẳng hàng (ĐPCM).

Dạng 3: Bài toán Hai đường tròn Tiếp xúc

Phương pháp: Tiếp điểm $A$ luôn nằm trên đường nối tâm $O_{1} O_{2}$ . Áp dụng tính chất tiếp tuyến chung.

Ví dụ 1: Cho 3 đường tròn $(A), (B), (C)$ đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Biết khoảng cách các tâm $A B = 8 cm, B C = 10 cm, C A = 6 cm$ . Tính bán kính của 3 đường tròn.
- Lời giải: Gọi bán kính 3 đường tròn là $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ .
  $r_{1} + r_{2} = 8$ ; $r_{2} + r_{3} = 10$ ; $r_{1} + r_{3} = 6$ .
  Cộng vế với vế: $2 (r_{1} + r_{2} + r_{3}) = 24 \Rightarrow r_{1} + r_{2} + r_{3} = 12$ .
  Suy ra $r_{3} = 12 - 8 = 4 cm$ ; $r_{1} = 12 - 10 = 2 cm$ ; $r_{2} = 12 - 6 = 6 cm$ .
Ví dụ 2: Cho hai đường tròn $(O_{1}; R_{1})$ và $(O_{2}; R_{2})$ tiếp xúc ngoài tại $A$ . Một đường thẳng đi qua $A$ cắt $(O_{1})$ tại $B$ và cắt $(O_{2})$ tại $C$ . Chứng minh $O_{1} B // O_{2} C$ .
- Lời giải: $Δ O_{1} A B$ cân tại $O_{1} \Rightarrow O_{1} B A = O_{1} A B$ .
  $Δ O_{2} A C$ cân tại $O_{2} \Rightarrow O_{2} C A = O_{2} A C$ .
  Mà $O_{1} A B = O_{2} A C$ (đối đỉnh) $\Rightarrow O_{1} B A = O_{2} C A$ .
  Hai góc này ở vị trí so le trong $\Rightarrow O_{1} B // O_{2} C$ (ĐPCM).
Ví dụ 3: Cho hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$ tiếp xúc trong tại $A$ ( $R_{1} > R_{2}$ ). Một dây $A B$ của $(O_{1})$ cắt $(O_{2})$ tại $C$ . Chứng minh $O_{2} C // O_{1} B$ .
- Lời giải: Hoàn toàn tương tự dùng hai tam giác cân $O_{1} A B$ và $O_{2} A C$ có góc đỉnh $A$ chung.

Dạng 4: Tính Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

Phương pháp:
- TTC ngoài: $d_{tt} = d^{2} - (R_{1} - R_{2})^{2}$ . (Đặc biệt tiếp xúc ngoài: $d_{tt} = 2 R_{1} R_{2}$ ).
- TTC trong: $d_{tt} = d^{2} - (R_{1} + R_{2})^{2}$ .

Ví dụ 1: Cho hai đường tròn $(O_{1}; 8 cm)$ và $(O_{2}; 3 cm)$ có $O_{1} O_{2} = 13 cm$ . Tính độ dài tiếp tuyến chung ngoài $M N$ .
- Lời giải: $M N = O_{1} O_{2}^{2} - (R_{1} - R_{2})^{2} = 1 3^{2} - (8 - 3)^{2} = 169 - 25 = 144 = 12 cm$ .
Ví dụ 2: Cho hai đường tròn $(O_{1}; 7 cm)$ và $(O_{2}; 2 cm)$ có $O_{1} O_{2} = 15 cm$ . Tính độ dài tiếp tuyến chung trong $P Q$ .
- Lời giải: $P Q = O_{1} O_{2}^{2} - (R_{1} + R_{2})^{2} = 1 5^{2} - (7 + 2)^{2} = 225 - 81 = 144 = 12 cm$ .
Ví dụ 3: Cho hai đường tròn tiếp xúc ngoài $(O_{1}; 16 cm)$ và $(O_{2}; 9 cm)$ . Tính độ dài tiếp tuyến chung ngoài $A B$ .
- Lời giải: $A B = 2 R_{1} R_{2} = 2 16 \times 9 = 2144 = 2 \times 12 = 24 cm$ .

Dạng 5: Bài toán Tổng hợp Tiếp xúc và Đồng quy

Phương pháp: Kết hợp tính chất tiếp tuyến cắt nhau và các tỉ số đồng dạng.

Ví dụ 1: Cho hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$ tiếp xúc ngoài tại $A$ . Vẽ tiếp tuyến chung ngoài $M N$ ( $M \in (O_{1}), N \in (O_{2})$ ). Tiếp tuyến chung trong tại $A$ cắt $M N$ tại $I$ . Chứng minh đường tròn đường kính $O_{1} O_{2}$ tiếp xúc với đường thẳng $M N$ tại $I$ .
- Lời giải: $\widehat{O_1 I O_2} = 90^^\circ \Rightarrow I$ thuộc đường tròn đường kính $O_{1} O_{2}$ .
  Mặt khác $A I = I M = I N \Rightarrow I$ là trung điểm $M N$ .
  $I O_{1} O_{2}$ là tam giác vuông tại $I$ , khoảng cách từ trung điểm $O_{1} O_{2}$ đến $M N$ đúng bằng $R_{I} \Rightarrow M N$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $O_{1} O_{2}$ tại $I$ .
Ví dụ 2: Cho hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$ cắt nhau tại $A, B$ . Chứng minh đường thẳng $A B$ đi qua trung điểm của tiếp tuyến chung ngoài $M N$ .
- Lời giải: Gọi $K$ là giao điểm của $A B$ và $M N$ .
  Theo tính chất phương tích: $K M^{2} = K A \cdot K B$ và $K N^{2} = K A \cdot K B$ .
  Suy ra $K M^{2} = K N^{2} \Rightarrow K M = K N \Rightarrow K$ là trung điểm $M N$ (ĐPCM).
Ví dụ 3: Cho hai đường tròn $(O_{1}; R_{1})$ và $(O_{2}; R_{2})$ ở ngoài nhau. Chứng minh hai tiếp tuyến chung ngoài cắt nhau tại một điểm $P$ nằm trên đường nối tâm $O_{1} O_{2}$ .
- Lời giải: Do tính chất đối xứng của hai đường tròn qua đường nối tâm $O_{1} O_{2}$ , hai tiếp tuyến chung ngoài đối xứng qua $O_{1} O_{2}$ nên phải cắt nhau tại một điểm $P$ thuộc $O_{1} O_{2}$ (ĐPCM).

🌍 Vận dụng thực tế

🌍 3 Bài toán ứng dụng đời sống thực tế

Bài toán 1 (Tỉ số Quay Bộ Bánh răng Máy cơ khí):
Hai bánh răng hình tròn có bán kính $R_{1} = 15 cm$ và $R_{2} = 5 cm$ ăn khớp tiếp xúc ngoài với nhau.
a) Tính khoảng cách giữa hai trục quay $O_{1} O_{2}$ .
b) Khi bánh răng lớn quay được 10 vòng thì bánh răng nhỏ quay được bao nhiêu vòng?

Bài toán 2 (Giao thoa Vùng phủ sóng Ra-đa Hải quân):
Hai trạm ra-đa hải quân đặt tại hai vị trí $O_{1}$ và $O_{2}$ cách nhau $d = 100 km$ . Trạm $O_{1}$ có bán kính quét ra-đa $R_{1} = 70 km$ , trạm $O_{2}$ có bán kính quét $R_{2} = 50 km$ .
a) Xác định vị trí tương đối của hai vùng quét ra-đa.
b) Tính độ dài đoạn giao nối tâm $H_{1} H_{2}$ thuộc cả hai vùng quét ra-đa.

Bài toán 3 (Kiến trúc Biểu tượng 5 Vòng tròn Olympic):
Trong thiết kế biểu tượng 5 vòng tròn Olympic, hai vòng tròn kề nhau có bán kính bằng nhau $R_{1} = R_{2} = 40 cm$ và cắt nhau sao cho khoảng cách hai tâm $O_{1} O_{2} = 60 cm$ . Tính độ dài dây chung $A B$ nối hai điểm giao nhau của hai vòng tròn.

✏️ Thực hành tương tác

📌 Hướng dẫn: Công cụ tương tác dưới đây giúp bạn tự kiểm tra vị trí tương đối của hai đường tròn dựa trên khoảng cách nối tâm $d$ và bán kính $R_{1}, R_{2}$ !

√

Thực hành tương tác: Căn bậc hai số học

Nhập giá trị của √144:

⭐ Điểm: 0Đã trả lời: 0 câu

💡 Gợi ý: 1²=1, 2²=4, 3²=9, 4²=16, 5²=25, 6²=36, 7²=49, 8²=64, 9²=81, 10²=100, 11²=121, 12²=144, 13²=169, 14²=196, 15²=225.

⭐ Ghi nhớ

Trọng tâm kiến thức Bài 17:

Cắt nhau (2 điểm chung): $R_{1} - R_{2} < d < R_{1} + R_{2}$ .
Tiếp xúc (1 điểm chung):
- Tiếp xúc ngoài: $d = R_{1} + R_{2}$ .
- Tiếp xúc trong: $d = R_{1} - R_{2}$ .
Đường nối tâm: Là đường trung trực của dây chung (khi cắt nhau); đi qua tiếp điểm (khi tiếp xúc).

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Hai đường tròn $(O_1; R_1)$ và $(O_2; R_2)$ (với $R_1 > R_2$ ) cắt nhau khi khoảng cách nối tâm $d = O_1 O_2$ thỏa mãn:

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn $(O_{1}; R_{1})$ và $(O_{2}; R_{2})$ khi biết:
a) $R_{1} = 10, R_{2} = 6, O_{1} O_{2} = 16$
b) $R_{1} = 12, R_{2} = 5, O_{1} O_{2} = 7$
c) $R_{1} = 9, R_{2} = 4, O_{1} O_{2} = 10$
d) $R_{1} = 8, R_{2} = 3, O_{1} O_{2} = 12$
e) $R_{1} = 15, R_{2} = 6, O_{1} O_{2} = 7$
f) $R_{1} = 10, R_{2} = 4, O_{1} O_{2} = 0$

Bài 2: Cho hai đường tròn $(O_{1}; 12 cm)$ và $(O_{2}; R_{2})$ . Tìm $R_{2}$ hoặc khoảng cách $d = O_{1} O_{2}$ trong các trường hợp:
a) $d = 20 cm$ , hai đường tròn tiếp xúc ngoài.
b) $d = 5 cm$ , hai đường tròn tiếp xúc trong.
c) $R_{2} = 5 cm$ , hai đường tròn cắt nhau. Tìm khoảng giá trị của $d$ .
d) $R_{2} = 4 cm$ , hai đường tròn ở ngoài nhau. Tìm khoảng giá trị của $d$ .
e) $R_{2} = 6 cm$ , hai đường tròn đựng nhau. Tìm khoảng giá trị của $d$ .
f) Tiếp xúc ngoài có tiếp tuyến chung ngoài $M N = 12 cm$ . Tính $R_{2}$ .

Bài 3: Tính độ dài tiếp tuyến chung ngoài $M N$ của hai đường tròn $(O_{1}; R_{1})$ và $(O_{2}; R_{2})$ trong các trường hợp:
a) $R_{1} = 16, R_{2} = 9$ , tiếp xúc ngoài
b) $R_{1} = 25, R_{2} = 4$ , tiếp xúc ngoài
c) $R_{1} = 11, R_{2} = 3, O_{1} O_{2} = 17$
d) $R_{1} = 10, R_{2} = 2, O_{1} O_{2} = 10$
e) $R_{1} = 7, R_{2} = 1, O_{1} O_{2} = 10$
f) $R_{1} = 9, R_{2} = 1$ , tiếp xúc ngoài

Bài 4: Cho hai đường tròn $(O_{1}; 10 cm)$ và $(O_{2}; 6 cm)$ cắt nhau tại $A, B$ . Biết $O_{1} O_{2} = 12 cm$ .
a) Chứng minh $O_{1} O_{2} ⊥ A B$ tại trung điểm $H$ của $A B$ .
b) Tính độ dài dây chung $A B$ .

Bài 5: Cho hai đường tròn $(O_{1}; R_{1})$ và $(O_{2}; R_{2})$ tiếp xúc ngoài tại $A$ . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài $M N$ ( $M \in (O_{1}), N \in (O_{2})$ ). Tiếp tuyến chung trong tại $A$ cắt $M N$ tại $I$ .
a) Chứng minh $I$ là trung điểm $M N$ .
b) Chứng minh $\widehat{MAN} = 90^^\circ$ .
c) Chứng minh $\widehat{O_1 I O_2} = 90^^\circ$ và $M N = 2 R_{1} R_{2}$ .

Bài 6: Cho hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$ cắt nhau tại $A$ và $B$ . Qua $A$ kẻ đường thẳng vuông góc với $A B$ cắt $(O_{1})$ tại $C$ và cắt $(O_{2})$ tại $D$ .
a) Chứng minh $A C$ và $A D$ lần lượt là đường kính của $(O_{1})$ và $(O_{2})$ .
b) Chứng minh 3 điểm $C, B, D$ thẳng hàng và $C D = 2 O_{1} O_{2}$ .

Bài 7: Cho hai đường tròn $(O_{1}; 9 cm)$ và $(O_{2}; 4 cm)$ tiếp xúc ngoài tại $A$ . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài $B C$ ( $B \in (O_{1}), C \in (O_{2})$ ).
a) Tính độ dài $B C$ .
b) Tính diện tích tứ giác $O_{1} B C O_{2}$ .

Bài 8: Cho hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$ tiếp xúc ngoài tại $A$ . Kẻ đường thẳng qua $A$ cắt $(O_{1})$ tại $B$ và cắt $(O_{2})$ tại $C$ . Chứng minh hai bán kính $O_{1} B // O_{2} C$ và hai tiếp tuyến tại $B$ và $C$ song song với nhau.

Bài 9 (Thực tế): Một bộ bánh răng truyền động cơ khí gồm hai bánh răng tròn tiếp xúc ngoài có bán kính $R_{1} = 20 cm$ và $R_{2} = 8 cm$ .
a) Tính khoảng cách hai trục quay $O_{1} O_{2}$ .
b) Khi bánh răng nhỏ quay được 50 vòng thì bánh răng lớn quay được bao nhiêu vòng?

Bài 10 (Thực tế): Trong thiết kế hồ sơ quy hoạch công viên, hai hồ nước hình tròn $(O_{1}; 30 m)$ và $(O_{2}; 20 m)$ cắt nhau có khoảng cách nối tâm $O_{1} O_{2} = 40 m$ . Tính độ rộng dây cầu đi bộ $A B$ nối hai điểm giao nhau của hai hồ nước.

📊 Lời giải chi tiết 10 bài tập tự luận

Bài 1:
a) $10 + 6 = 16 \Rightarrow$ Tiếp xúc ngoài.
b) $12 - 5 = 7 \Rightarrow$ Tiếp xúc trong.
c) $9 - 4 = 5 < 10 < 9 + 4 = 13 \Rightarrow$ Cắt nhau.
d) $12 > 8 + 3 = 11 \Rightarrow$ Ở ngoài nhau.
e) $7 < 15 - 6 = 9 \Rightarrow$ Đựng nhau.
f) $d = 0 \Rightarrow$ Đồng tâm.

Bài 2:
a) $R_{1} + R_{2} = d \Rightarrow 12 + R_{2} = 20 \Rightarrow R_{2} = 8 cm$ .
b) $R_{1} - R_{2} = d \Rightarrow 12 - R_{2} = 5 \Rightarrow R_{2} = 7 cm$ .
c) $12 - 5 < d < 12 + 5 \Rightarrow 7 cm < d < 17 cm$ .
d) $d > 12 + 4 \Rightarrow d > 16 cm$ .
e) $d < 12 - 6 \Rightarrow d < 6 cm$ .
f) $M N = 2 12 R_{2} = 12 \Rightarrow 12 R_{2} = 6 \Rightarrow 12 R_{2} = 36 \Rightarrow R_{2} = 3 cm$ .

Bài 3:
a) $M N = 2 16 \times 9 = 2 \times 12 = 24 cm$ .
b) $M N = 2 25 \times 4 = 2 \times 10 = 20 cm$ .
c) $M N = 1 7^{2} - (11 - 3)^{2} = 289 - 64 = 225 = 15 cm$ .
d) $M N = 1 0^{2} - (10 - 2)^{2} = 100 - 64 = 6 cm$ .
e) $M N = 1 0^{2} - (7 - 1)^{2} = 100 - 36 = 8 cm$ .
f) $M N = 2 9 \times 1 = 6 cm$ .

Bài 4:
a) Vì $O_{1} A = O_{1} B = 10$ và $O_{2} A = O_{2} B = 6$ nên $O_{1} O_{2}$ là đường trung trực của $A B \Rightarrow O_{1} O_{2} ⊥ A B$ tại trung điểm $H$ của $A B$ .
b) Đặt $O_{1} H = x \Rightarrow O_{2} H = 12 - x$ .
$1 0^{2} - x^{2} = 6^{2} - (12 - x)^{2} \Rightarrow 100 - x^{2} = 36 - 144 + 24 x - x^{2} \Rightarrow 24 x = 208 \Rightarrow x = 26/3 cm$ .
$A H = 100 - (26/3)^{2} = \frac{4 14}{3} \approx 4, 96 cm$ .
Dây chung $A B = 2 A H = \frac{8 14}{3} \approx 9, 92 cm$ .

Bài 5:
a) $I A = I M$ và $I A = I N \Rightarrow I M = I N = \frac{M N}{2} \Rightarrow I$ là trung điểm $M N$ .
b) Trong $Δ M A N$ , đường trung tuyến $A I = \frac{M N}{2} \Rightarrow Δ M A N$ vuông tại $A \Rightarrow \widehat{MAN} = 90^^\circ$ .
c) $I O_{1}$ là phân giác $A I M$ , $I O_{2}$ là phân giác $\widehat{AIN} \Rightarrow \widehat{O_1 I O_2} = 90^^\circ$ .
In $Δ O_{1} I O_{2}$ vuông tại $I$ , đường cao $I A ⊥ O_{1} O_{2}$ : $I A^{2} = O_{1} A \cdot O_{2} A = R_{1} R_{2} \Rightarrow I A = R_{1} R_{2}$ .
Do đó $M N = 2 I A = 2 R_{1} R_{2}$ (ĐPCM).

Bài 6:
a) $\widehat{ABC} = 90^^\circ$ (do $A B ⊥ C D$ tại $A$ ). Tam giác $A B C$ có góc $\widehat{ABC} = 90^^\circ$ nội tiếp $(O_{1}) \Rightarrow A C$ là đường kính.
Tương tự $\widehat{ABD} = 90^^\circ \Rightarrow AD$ là đường kính của $(O_{2})$ .
b) $\widehat{CBD} = \widehat{ABC} + \widehat{ABD} = 90^^\circ + 90^^\circ = 180^^\circ \Rightarrow C, B, D$ thẳng hàng.
Kẻ $O_{1} M ⊥ C D, O_{2} N ⊥ C D \Rightarrow C D = 2 M N = 2 O_{1} O_{2}$ (do $M N O_{2} O_{1}$ là hình chữ nhật).

Bài 7:
a) $B C = 2 R_{1} R_{2} = 2 9 \times 4 = 2 \times 6 = 12 cm$ .
b) $O_{1} B C O_{2}$ là hình thang vuông ( $O_{1} B // O_{2} C ⊥ B C$ ).
$S = \frac{( O _{1} B + O _{2} C ) \cdot B C}{2} = \frac{( 9 + 4 ) \cdot 12}{2} = 13 \times 6 = 78 cm^{2}$ .

Bài 8:
$Δ O_{1} A B$ cân tại $O_{1} \Rightarrow O_{1} B A = O_{1} A B$ .
$Δ O_{2} A C$ cân tại $O_{2} \Rightarrow O_{2} C A = O_{2} A C$ .
Mà $O_{1} A B = O_{2} A C$ (đối đỉnh) $\Rightarrow O_{1} B A = O_{2} C A \Rightarrow O_{1} B // O_{2} C$ .
Do $O_{1} B // O_{2} C$ , hai tiếp tuyến tại $B$ và $C$ vuông góc với $O_{1} B$ và $O_{2} C$ nên chúng song song với nhau.

Bài 9:
a) $O_{1} O_{2} = R_{1} + R_{2} = 20 + 8 = 28 cm$ .
b) Chu vi bánh lớn $C_{1} = 2 π (20) = 40 π$ . Chu vi bánh nhỏ $C_{2} = 2 π (8) = 16 π$ .
Khi bánh nhỏ quay 50 vòng, tổng quãng đường = $50 \times 16 π = 800 π cm$ .
Số vòng quay bánh lớn = $\frac{800 π}{40 π} = 20 v \overset{o}{ˋ} ng$ .

Bài 10:
Gọi $H$ là trung điểm $A B \Rightarrow O_{1} H ⊥ A B$ . Đặt $O_{1} H = x \Rightarrow O_{2} H = 40 - x$ .
$3 0^{2} - x^{2} = 2 0^{2} - (40 - x)^{2} \Rightarrow 900 - x^{2} = 400 - 1600 + 80 x - x^{2} \Rightarrow 80 x = 2100 \Rightarrow x = 26, 25 m$ .
$A H = 3 0^{2} - 26, 2 5^{2} = 900 - 689, 0625 = 210, 9375 \approx 14, 52 m$ .
Độ dài cầu đi bộ $A B = 2 A H \approx 29, 04 m$ .