Lớp 9 · Chương V: Đường tròn

Bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

🚀 Khởi động

🚴 Bánh Xe Lăn Trên Mặt Đường & Khái niệm Tiếp tuyến

Khi một chiếc bánh xe đạp hình tròn lăn đều trên mặt đường phẳng nằm ngang, tại mỗi thời điểm bánh xe chỉ chạm mặt đường tại đúng một điểm duy nhất $T$ .

Về mặt hình học:

Đường thẳng mặt đường $d$ có đúng 1 điểm chung với đường tròn bánh xe $(O)$ .
Khoảng cách từ tâm bánh xe $O$ đến mặt đường đúng bằng bán kính $R$ ( $d = R$ ).
Bán kính $O T$ vuông góc với đường thẳng mặt đường $d$ tại tiếp điểm $T$ .

Đường thẳng $d$ đó được gọi là tiếp tuyến của đường tròn bánh xe!

🔍 Khám phá

📖 1. Ba vị trí tương đối của Đường thẳng và Đường tròn

Gọi $d$ là khoảng cách từ tâm $O$ của đường tròn $(O; R)$ đến đường thẳng $Δ$ .

Vị trí tương đối	Số điểm chung	Quan hệ $d$ và $R$	Tên gọi đặc trưng
Cắt nhau	2	$d < R$	Đường thẳng gọi là cát tuyến
Tiếp xúc nhau	1	$d = R$	Đường thẳng gọi là tiếp tuyến, điểm chung là tiếp điểm
Không giao nhau	0	$d > R$	Không có điểm chung

3 Ví dụ minh họa Ba vị trí tương đối:

Ví dụ 1: Cho đường tròn $(O; 5 cm)$ và đường thẳng $a$ . Xác định vị trí tương đối của $a$ và $(O)$ biết khoảng cách $d$ từ $O$ đến $a$ lần lượt là: $3 cm, 5 cm, 7 cm$ .
- Giải:
  - Khi $d = 3 cm < 5 cm \Rightarrow a$ và $(O)$ cắt nhau (có 2 điểm chung).
  - Khi $d = 5 cm = 5 cm \Rightarrow a$ và $(O)$ tiếp xúc nhau (có 1 điểm chung).
  - Khi $d = 7 cm > 5 cm \Rightarrow a$ và $(O)$ không giao nhau (0 điểm chung).
Ví dụ 2: Cho đường tròn $(O; R)$ và đường thẳng $Δ$ tiếp xúc với $(O)$ tại $C$ . Biết $O C = 4 cm$ . Tính bán kính $R$ và khoảng cách $d$ từ $O$ đến $Δ$ .
- Giải: Vì $Δ$ tiếp xúc với $(O)$ tại $C$ nên khoảng cách $d = O C = R = 4 cm$ .
Ví dụ 3: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A B = 3 cm, A C = 4 cm$ . Xác định vị trí tương đối của đường thẳng $B C$ đối với đường tròn $(A; 2, 4 cm)$ .
- Giải: Kẻ đường cao $A H ⊥ B C$ . Ta có $B C = 3^{2} + 4^{2} = 5 cm$ .
  Khoảng cách $d = A H = \frac{A B \cdot A C}{B C} = \frac{3 \cdot 4}{5} = 2, 4 cm$ .
  Vì $d = A H = 2, 4 cm = R \Rightarrow$ đường thẳng $B C$ tiếp xúc với đường tròn $(A; 2, 4 cm)$ .

📖 2. Dấu hiệu nhận biết Tiếp tuyến & Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

1. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến:

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó là một tiếp tuyến của đường tròn.

${C \in (O) Δ ⊥ O C tại C \Rightarrow Δ l \overset{a}{ˋ} ti \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} p tuy \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} n của (O) tại C$

2. Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại điểm $M$ ( $A, B$ là hai tiếp điểm):

Bằng nhau: $M A = M B$ (điểm $M$ cách đều hai tiếp điểm).
Phân giác:
- $M O$ là tia phân giác của góc $A M B$ .
- $O M$ là tia phân giác của góc ở tâm $A O B$ .
Vuông góc: Đường thẳng $M O$ là đường trung trực của đoạn thẳng $A B$ ( $M O ⊥ A B$ ).

3 Ví dụ minh họa Tiếp tuyến và Hai tiếp tuyến cắt nhau:

Ví dụ 1: Từ điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O; 6 cm)$ , kẻ hai tiếp tuyến $M A, M B$ với $(O)$ ( $A, B$ là tiếp điểm). Biết $O M = 10 cm$ . Tính độ dài tiếp tuyến $M A$ và chu vi tam giác $M A B$ .
- Giải: Trong $Δ O A M$ vuông tại $A$ : $M A = O M^{2} - O A^{2} = 1 0^{2} - 6^{2} = 8 cm$ .
  Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau $\Rightarrow M B = M A = 8 cm$ .
  Kẻ $M O ⊥ A B$ tại $H \Rightarrow A H = \frac{O A \cdot M A}{O M} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4, 8 cm \Rightarrow A B = 2 A H = 9, 6 cm$ .
  Chu vi $Δ M A B = M A + M B + A B = 8 + 8 + 9, 6 = 25, 6 cm$ .
Ví dụ 2: Cho đường tròn $(O; R)$ và điểm $A$ nằm trên $(O)$ . Qua $A$ kẻ đường thẳng $d ⊥ O A$ . Chứng minh $d$ là tiếp tuyến của $(O)$ .
- Giải: Vì $A \in (O)$ và $d ⊥ O A$ tại $A$ nên theo dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến, $d$ chính là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại tiếp điểm $A$ (ĐPCM).
Ví dụ 3: Cho hai tiếp tuyến $M A, M B$ với đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $M$ tạo với nhau góc $\widehat{AMB} = 60^^\circ$ . Biết bán kính $R = 4 cm$ . Tính $O M$ .
- Giải: Tia $M O$ là phân giác $\widehat{AMB} \Rightarrow \widehat{AMO} = 30^^\circ$ .
  Trong $Δ O A M$ vuông tại $A$ : $OM = \frac{OA}{\sin 30^^\circ} = \frac{4}{0,5} = 8\text{ cm}$ .

🎯 5 Dạng toán & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Nhận biết vị trí tương đối dựa vào khoảng cách $d$ và $R$

Phương pháp: So sánh $d$ với $R$ : $d < R$ (cắt), $d = R$ (tiếp xúc), $d > R$ (không giao).

Ví dụ 1: Cho đường tròn $(O; 4 cm)$ . Điền vào chỗ trống:
- a) Đường thẳng $a$ có $d = 3 cm \Rightarrow$ …
- b) Đường thẳng $b$ có $d = 4 cm \Rightarrow$ …
- c) Đường thẳng $c$ có $d = 5 cm \Rightarrow$ …
- Lời giải: a) Cắt nhau; b) Tiếp xúc nhau; c) Không giao nhau.
Ví dụ 2: Cho hình vuông $A B C D$ cạnh $a = 6 cm$ . Xác định vị trí tương đối của các cạnh $A B, B C, C D, D A$ đối với đường tròn $(O; 3 cm)$ với $O$ là tâm hình vuông.
- Lời giải: Khoảng cách từ tâm $O$ đến mỗi cạnh hình vuông đúng bằng nửa cạnh $d = 3 cm$ .
  Vì $d = R = 3 cm$ nên cả 4 cạnh của hình vuông đều tiếp xúc với đường tròn $(O; 3 cm)$ .
Ví dụ 3: Cho tam giác $A B C$ có $A B = 6, A C = 8, B C = 10$ . Xác định vị trí tương đối của đường thẳng $B C$ với đường tròn $(A; 4, 8)$ .
- Lời giải: $6^{2} + 8^{2} = 1 0^{2} \Rightarrow Δ A B C$ vuông tại $A$ .
  Khoảng cách $d = A H = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4, 8$ .
  Vì $d = R = 4, 8$ nên $B C$ tiếp xúc với đường tròn $(A; 4, 8)$ .

Dạng 2: Chứng minh một đường thẳng là Tiếp tuyến của đường tròn

Phương pháp: Chứng minh đường thẳng đi qua một điểm $C \in (O)$ và vuông góc với bán kính $O C$ tại $C$ .

Ví dụ 1: Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$ . Đường cao $A H$ cắt đường tròn ngoại tiếp $Δ A B C$ tại $D$ . Chứng minh $B C$ là tiếp tuyến của đường tròn $(A; A H)$ .
- Lời giải: Vì $Δ A B C$ cân tại $A$ nên đường cao $A H ⊥ B C$ tại $H$ .
  Điểm $H$ thuộc đường tròn $(A; A H)$ và $B C ⊥ A H$ tại $H$ .
  Do đó theo dấu hiệu nhận biết, $B C$ là tiếp tuyến của $(A; A H)$ tại tiếp điểm $H$ (ĐPCM).
Ví dụ 2: Cho đường tròn $(O)$ đường kính $A B$ . Lấy điểm $C \in (O)$ . Qua $C$ vẽ đường thẳng $Δ ⊥ O C$ . Chứng minh $Δ$ là tiếp tuyến của $(O)$ .
- Lời giải: Vì $C \in (O)$ và $Δ ⊥ O C$ tại $C$ nên $Δ$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại tiếp điểm $C$ .
Ví dụ 3: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ . Đường tròn $(B; B A)$ cắt $B C$ tại $D$ . Qua $D$ kẻ đường thẳng vuông góc với $B C$ cắt $A C$ tại $E$ . Chứng minh $E D$ là tiếp tuyến của đường tròn $(B; B A)$ .
- Lời giải: $D \in (B; B A)$ vì $B D = B A$ . Đường thẳng $E D ⊥ B D$ tại $D$ .
  Do đó $E D$ là tiếp tuyến của đường tròn $(B; B A)$ tại tiếp điểm $D$ .

Dạng 3: Tính toán hình học dựa vào Tính chất Tiếp tuyến

Phương pháp: Sử dụng góc vuông tại tiếp điểm ( $\widehat{OAM} = 90^^\circ$ ) và định lý Pythagore trong tam giác vuông $O A M$ .

Ví dụ 1: Từ điểm $M$ cách tâm $O$ của đường tròn $(O; 5 cm)$ một khoảng $O M = 13 cm$ , kẻ tiếp tuyến $M A$ với $(O)$ . Tính độ dài $M A$ .
- Lời giải: $Δ O A M$ vuông tại $A \Rightarrow M A = O M^{2} - O A^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 12 cm$ .
Ví dụ 2: Cho đường tròn $(O; R)$ và tiếp tuyến $M A$ ( $A$ là tiếp điểm). Biết $M A = R 3$ . Tính số đo góc $A O M$ .
- Lời giải: Trong $Δ O A M$ vuông tại $A$ : $\tan \widehat{AOM} = \frac{MA}{OA} = \frac{R\sqrt{3}}{R} = \sqrt{3} \Rightarrow \widehat{AOM} = 60^^\circ$ .
Ví dụ 3: Cho tiếp tuyến $M A$ với $(O; R)$ . Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $O M$ . Biết $R = 6, O M = 10$ . Tính $A H$ .
- Lời giải: $M A = 1 0^{2} - 6^{2} = 8$ .
  $A H = \frac{O A \cdot M A}{O M} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4, 8$ .

Dạng 4: Bài toán Hai tiếp tuyến cắt nhau

Phương pháp: Sử dụng $M A = M B$ , $M O$ là phân giác $A M B$ , $M O ⊥ A B$ .

Ví dụ 1: Từ $M$ ngoài $(O; R)$ kẻ 2 tiếp tuyến $M A, M B$ . Biết $\widehat{AMB} = 80^^\circ$ . Tính $A O B$ .
- Lời giải: Tứ giác $O A M B$ có $\widehat{OAM} = \widehat{OBM} = 90^^\circ$ .
  Tổng các góc trong tứ giác bằng $360^^\circ \Rightarrow \widehat{AOB} = 360^^\circ - 90^^\circ - 90^^\circ - 80^^\circ = 100^^\circ$ .
Ví dụ 2: Cho 2 tiếp tuyến $M A, M B$ với $(O; R)$ . Biết $O M = 2 R$ . Tính các góc của tam giác $M A B$ .
- Lời giải: In $Δ O A M$ vuông tại $A$ : $\sin \widehat{AMO} = \frac{OA}{OM} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{AMO} = 30^^\circ$ .
  Do $M O$ là phân giác $\Rightarrow \widehat{AMB} = 2 \times 30^^\circ = 60^^\circ$ .
  Tam giác $M A B$ cân tại $M$ ( $M A = M B$ ) có góc $60^^\circ \Rightarrow \Delta MAB$ là tam giác đều (các góc đều bằng $60^^\circ$ ).
Ví dụ 3: Cho 2 tiếp tuyến $M A, M B$ với $(O; R)$ . Gọi $H$ là giao điểm $M O$ và $A B$ . Chứng minh $O H \cdot O M = R^{2}$ .
- Lời giải: In $Δ O A M$ vuông tại $A$ , đường cao $A H ⊥ O M$ :
  Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông: $O A^{2} = O H \cdot O M \Rightarrow R^{2} = O H \cdot O M$ (ĐPCM).

Dạng 5: Bài toán Nửa đường tròn và Tiếp tuyến song song

Phương pháp: Bài toán kinh điển cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $A B$ , tiếp tuyến $A x, B y$ và $M C$ . Dùng $C D = A C + B D$ và $\widehat{COD} = 90^^\circ$ .

Ví dụ 1: Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $A B$ . Vẽ các tiếp tuyến $A x, B y$ cùng phía. Từ điểm $M$ trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt $A x, B y$ tại $C, D$ . Chứng minh $C D = A C + B D$ .
- Lời giải: Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:
  Tiếp tuyến từ $C$ cắt $A x, M C \Rightarrow C A = C M$ .
  Tiếp tuyến từ $D$ cắt $B y, M C \Rightarrow D B = D M$ .
  Do đó $C D = C M + D M = A C + B D$ (ĐPCM).
Ví dụ 2: Chứng minh góc $\widehat{COD} = 90^^\circ$ trong bài toán trên.
- Lời giải: $O C$ là phân giác góc $A O M$ , $O D$ là phân giác góc $B O M$ .
  Vì góc $A O M$ và $B O M$ là hai góc kề bù $\Rightarrow OC \perp OD \Rightarrow \widehat{COD} = 90^^\circ$ (ĐPCM).
Ví dụ 3: Chứng minh $A C \cdot B D = R^{2}$ trong bài toán trên.
- Lời giải: In $Δ C O D$ vuông tại $O$ , đường cao $O M = R ⊥ C D$ :
  Theo hệ thức lượng: $M C \cdot M D = O M^{2} = R^{2}$ .
  Mà $M C = A C$ và $M D = B D \Rightarrow A C \cdot B D = R^{2}$ (ĐPCM).

🌍 Vận dụng thực tế

🌍 3 Bài toán ứng dụng đời sống thực tế

Bài toán 1 (Tầm nhìn Đường chân trời từ Ngọn Hải đăng):
Một người quan sát đứng trên đài quan sát của ngọn hải đăng ở độ cao $h = 40 m$ so với mực nước biển. Cho bán kính Trái Đất $R \approx 6400 km = 6.400.000 m$ . Đường nhìn từ mắt người quan sát đến đường chân trời là tiếp tuyến với bề mặt Trái Đất. Tính khoảng cách tầm nhìn xa nhất $d$ (km) từ hải đăng đến đường chân trời.

Bài toán 2 (Thiết kế Băng tải Dây đai Cơ khí):
Hai bánh đà hình tròn có cùng bán kính $R = 20 cm$ có khoảng cách tâm $O_{1} O_{2} = 60 cm$ . Người ta dùng một dây đai truyền động ôm qua hai bánh đà theo dạng tiếp tuyến song song. Tính độ dài đoạn dây đai tiếp xúc thẳng giữa hai bánh đà.

Bài toán 3 (Đo Bán kính Nắp Cống ngầm bằng Thước kẹp):
Kỹ sư dùng thước kẹp chữ V góc $60^^\circ$ để đo bán kính nắp cống hình tròn. Hai cạnh thước kẹp tiếp xúc với nắp cống tại $A$ và $B$ . Đỉnh góc thước $M$ cách tâm nắp cống một khoảng $O M = 40 cm$ . Tính bán kính $R$ của nắp cống.

✏️ Thực hành tương tác

📌 Hướng dẫn: Công cụ dưới đây hỗ trợ thực hành tính toán độ dài tiếp tuyến, góc và khoảng cách từ điểm ngoài đến đường tròn!

√

Thực hành tương tác: Căn bậc hai số học

Nhập giá trị của √144:

⭐ Điểm: 0Đã trả lời: 0 câu

💡 Gợi ý: 1²=1, 2²=4, 3²=9, 4²=16, 5²=25, 6²=36, 7²=49, 8²=64, 9²=81, 10²=100, 11²=121, 12²=144, 13²=169, 14²=196, 15²=225.

⭐ Ghi nhớ

Trọng tâm kiến thức Bài 16:

3 Vị trí tương đối: Cắt nhau ( $d < R$ ), Tiếp xúc ( $d = R$ ), Không giao nhau ( $d > R$ ).
Tính chất Tiếp tuyến: Tiếp tuyến $⊥$ bán kính tại tiếp điểm.
2 Tiếp tuyến cắt nhau tại $M$ :
- $M A = M B$ .
- $M O$ là phân giác $A M B$ , $O M$ là phân giác $A O B$ .
- $M O ⊥ A B$ tại trung điểm $A B$ .

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau khi khoảng cách $d$ từ tâm đến đường thẳng và bán kính $R$ thỏa mãn:

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho đường tròn $(O; 8 cm)$ và đường thẳng $d$ . Xác định vị trí tương đối của $d$ đối với $(O)$ khi khoảng cách từ $O$ đến $d$ bằng:
a) $d = 5 cm$
b) $d = 8 cm$
c) $d = 10 cm$
d) $d = 43 cm$
e) $d = 45 cm$
f) $d = 0 cm$ (đường thẳng đi qua tâm)

Bài 2: Cho đường tròn $(O; R)$ và đường thẳng $Δ$ . Tính khoảng cách $d$ từ $O$ đến $Δ$ hoặc bán kính $R$ trong các trường hợp:
a) $R = 12 cm, Δ$ tiếp xúc với $(O)$
b) $R = 15 cm, Δ$ cắt $(O)$ theo dây $A B = 24 cm$
c) $Δ$ tiếp xúc với $(O)$ và điểm $A$ trên $Δ$ cách $O$ khoảng $13 cm$ , tiếp điểm $B$ cách $A$ khoảng $12 cm$ . Tính $R$ .
d) $d = 6 cm, Δ$ cắt $(O)$ theo dây $A B = 16 cm$ . Tính $R$ .
e) $R = 10 cm, d = 6 cm$ . Tính độ dài dây $A B$ cắt bởi $Δ$ .
f) $d = 9 cm, R = 9 cm$ . Xác định số điểm chung của $Δ$ và $(O)$ .

Bài 3: Từ điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O; 5 cm)$ , kẻ hai tiếp tuyến $M A, M B$ ( $A, B$ là hai tiếp điểm).
a) Tính $M A$ biết $O M = 13 cm$ .
b) Tính $A M B$ và $A O B$ biết $O M = 10 cm$ .
c) Tính độ dài đoạn thẳng $A B$ biết $O M = 13 cm$ .
d) Gọi $H$ là giao điểm của $O M$ và $A B$ . Tính $O H, H M$ .
e) Chứng minh $O M ⊥ A B$ .
f) Tính diện tích tứ giác $O A M B$ khi $O M = 13 cm$ .

Bài 4: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A B = 6 cm, A C = 8 cm$ . Vẽ đường tròn $(B; 6 cm)$ . Chứng minh $A C$ là tiếp tuyến của đường tròn $(B)$ .

Bài 5: Cho đường tròn $(O; R)$ và điểm $A$ nằm ngoài $(O)$ . Kẻ hai tiếp tuyến $A B, A C$ với $(O)$ ( $B, C$ là hai tiếp điểm).
a) Chứng minh 4 điểm $A, B, O, C$ cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và bán kính.
b) Kẻ đường kính $C D$ của $(O)$ . Chứng minh $B D // A O$ .

Bài 6: Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $A B = 2 R$ . Từ điểm $M$ trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến $A x, B y$ tại $C$ và $D$ .
a) Chứng minh $Δ C O D$ là tam giác vuông tại $O$ .
b) Chứng minh $A C \cdot B D = R^{2}$ .
c) Chứng minh đường tròn đường kính $C D$ tiếp xúc với đường thẳng $A B$ .

Bài 7: Chứng minh rằng bán kính $r$ của đường tròn nội tiếp tam giác vuông $A B C$ ( $A = 90^^\circ$ ) có hai cạnh góc vuông $b, c$ và cạnh huyền $a$ được tính bởi công thức $r = \frac{b + c - a}{2}$ .

Bài 8: Cho tam giác $A B C$ nhọn. Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh diện tích tam giác $S_{A B C} = r \cdot p$ (với $p = \frac{a + b + c}{2}$ là nửa chu vi).

Bài 9 (Thực tế): Ngọn hải đăng cao $h = 49 m$ trên một hòn đảo. Bán kính Trái Đất $R \approx 6400 km$ . Tính khoảng cách tầm nhìn xa tối đa từ ngọn hải đăng đến đường chân trời (làm tròn đến 0,1 km).

Bài 10 (Thực tế): Hai ròng rọc tròn có bán kính $R_{1} = 15 cm$ và $R_{2} = 5 cm$ có khoảng cách tâm $O_{1} O_{2} = 20 cm$ . Người ta móc một dây cước truyền động quanh hai ròng rọc theo tiếp tuyến ngoài. Tính độ dài đoạn dây cước nối tiếp tuyến giữa hai ròng rọc.

📊 Lời giải chi tiết 10 bài tập tự luận

Bài 1:
a) $d = 5 < 8 \Rightarrow d$ cắt $(O)$ (2 điểm chung).
b) $d = 8 = 8 \Rightarrow d$ tiếp xúc với $(O)$ (1 điểm chung).
c) $d = 10 > 8 \Rightarrow d$ không giao với $(O)$ (0 điểm chung).
d) $d = 48 \approx 6, 93 < 8 \Rightarrow d$ cắt $(O)$ .
e) $d = 80 \approx 8, 94 > 8 \Rightarrow d$ không giao với $(O)$ .
f) $d = 0 < 8 \Rightarrow d$ cắt $(O)$ qua tâm (đường kính).

Bài 2:
a) Khoảng cách $d = R = 12 cm$ .
b) $A H = 12 \Rightarrow d = 1 5^{2} - 1 2^{2} = 9 cm$ .
c) Tam giác $O B A$ vuông tại $B \Rightarrow R = O B = O A^{2} - A B^{2} = 1 3^{2} - 1 2^{2} = 5 cm$ .
d) $A H = 8 \Rightarrow R = d^{2} + A H^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 10 cm$ .
e) $A H = 1 0^{2} - 6^{2} = 8 \Rightarrow A B = 2 A H = 16 cm$ .
f) $d = R = 9 cm \Rightarrow$ Tiếp xúc nhau (đúng 1 điểm chung).

Bài 3:
a) $M A = 1 3^{2} - 5^{2} = 12 cm$ .
b) Trong $Δ O A M$ vuông tại $A$ : $\sin \widehat{AMO} = 5/10 = 0,5 \Rightarrow \widehat{AMO} = 30^^\circ \Rightarrow \widehat{AMB} = 60^^\circ$ .
$\widehat{AOB} = 180^^\circ - 60^^\circ = 120^^\circ$ .
c) $A H = \frac{O A \cdot M A}{O M} = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13} \Rightarrow A B = \frac{120}{13} \approx 9, 23 cm$ .
d) $O H = \frac{O A ^{2}}{O M} = \frac{25}{13} \approx 1, 92 cm$ ; $H M = 13 - \frac{25}{13} = \frac{144}{13} \approx 11, 08 cm$ .
e) $O A = O B = R$ và $M A = M B$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) $\Rightarrow O M$ là đường trung trực của $A B \Rightarrow O M ⊥ A B$ .
f) $S_{O A M B} = 2 S_{O A M} = 2 \times (\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12) = 60 cm^{2}$ .

Bài 4:
Vì tam giác $A B C$ vuông tại $A$ nên $A B ⊥ A C$ tại $A$ .
Điểm $A$ thuộc đường tròn $(B; 6 cm)$ (vì $B A = 6 cm$ ) và $A C ⊥ B A$ tại $A$ .
Do đó theo dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến, $A C$ chính là tiếp tuyến của đường tròn $(B; 6 cm)$ tại tiếp điểm $A$ (ĐPCM).

Bài 5:
a) $\widehat{ABO} = \widehat{ACO} = 90^^\circ \Rightarrow B, C$ thuộc đường tròn đường kính $A O$ .
Vậy 4 điểm $A, B, O, C$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$ (trung điểm $A O$ ), bán kính $R = A O /2$ .
b) Ta có $A O ⊥ B C$ . Mặt khác $\widehat{CBD} = 90^^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow B D ⊥ B C$ .
Vì $A O ⊥ B C$ và $B D ⊥ B C \Rightarrow B D // A O$ (ĐPCM).

Bài 6:
a) $O C$ là phân giác $A O M$ , $O D$ là phân giác $B O M$ . Vì hai góc kề bù $\Rightarrow \widehat{COD} = 90^^\circ$ .
b) In $Δ C O D$ vuông tại $O$ , đường cao $O M = R$ : $M C \cdot M D = O M^{2} = R^{2}$ .
Mà $M C = A C, M D = B D \Rightarrow A C \cdot B D = R^{2}$ (ĐPCM).
c) Gọi $I$ là trung điểm $C D \Rightarrow I$ là tâm đường tròn đường kính $C D$ .
Bán kính đường tròn $(I)$ là $R_{I} = \frac{C D}{2} = \frac{A C + B D}{2}$ .
Khoảng cách từ $I$ đến $A B$ là đoạn $I O$ (đường trung bình hình thang $A B D C$ ): $I O = \frac{A C + B D}{2} = R_{I}$ .
Vì khoảng cách $I O = R_{I}$ và $I O ⊥ A B$ nên đường tròn đường kính $C D$ tiếp xúc với $A B$ tại $O$ .

Bài 7:
Đường tròn nội tiếp $(r)$ tiếp xúc với 3 cạnh $A B, A C, B C$ tại $D, E, F$ .
Tứ giác $A D I E$ có 3 góc vuông và $I D = I E = r$ nên là hình vuông $\Rightarrow A D = A E = r$ .
Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau: $B D = B F = c - r$ và $C E = C F = b - r$ .
Cạnh huyền $a = B C = B F + C F = (c - r) + (b - r) = b + c - 2 r$ .
$2 r = b + c - a \Rightarrow r = \frac{b + c - a}{2}$ (ĐPCM).

Bài 8:
Chia tam giác $A B C$ thành 3 tam giác $O A B, O B C, O C A$ có chung đỉnh là tâm $O$ đường tròn nội tiếp.
$S_{O A B} = \frac{1}{2} c \cdot r$ ; $S_{O B C} = \frac{1}{2} a \cdot r$ ; $S_{O C A} = \frac{1}{2} b \cdot r$ .
$S_{A B C} = \frac{1}{2} a r + \frac{1}{2} b r + \frac{1}{2} cr = r \cdot \frac{a + b + c}{2} = r \cdot p$ (ĐPCM).

Bài 9:
Đổi $h = 49 m = 0, 049 km$ .
Khoảng cách tầm nhìn $d = (R + h)^{2} - R^{2} = 2 R h + h^{2}$ .
Vì $h^{2}$ rất nhỏ nên $d \approx 2 R h = 2 \times 6400 \times 0, 049 = 627, 2 \approx 25, 04 km \approx 25, 0 km$ .

Bài 10:
Kẻ $O_{2} H ⊥ O_{1} A$ ( $H \in O_{1} A$ ).
Ta có tứ giác $A B O_{2} H$ là hình chữ nhật $\Rightarrow A B = O_{2} H$ .
Đoạn $O_{1} H = R_{1} - R_{2} = 15 - 5 = 10 cm$ .
Trong $Δ O_{1} H O_{2}$ vuông tại $H$ : $O_{2} H = O_{1} O_{2}^{2} - O_{1} H^{2} = 2 0^{2} - 1 0^{2} = 300 = 103 cm$ .
Vậy độ dài tiếp tuyến đai $A B = 103 \approx 17, 32 cm$ .