Lớp 9 · Chương V: Đường tròn

Bài 14: Cung và dây của một đường tròn

🚀 Khởi động

🌉 Tính Bán kính Mái Cầu Vòm Đá

Một cây cầu vòm bằng đá có mặt cắt là một phần của đường tròn tâm $O$ . Nhịp cầu (độ rộng chân vòm) đo được là $A B = 24 m$ . Chiều cao đỉnh vòm so with chân vòm là $C D = 8 m$ ( $D$ là trung điểm $A B$ ).

Làm thế nào định lý đường kính và dây cung giúp các kỹ sư xây dựng tính chính xác bán kính $R$ của vòm cầu?

Ta có $C D$ nằm trên đường kính vuông góc với dây $A B$ tại trung điểm $D$ $\Rightarrow A D = 12 m$ .
Áp dụng định lý Pythagore trong $Δ O D A$ : $R^{2} = O D^{2} + A D^{2} = (R - 8)^{2} + 1 2^{2} \Rightarrow 16 R = 208 \Rightarrow R = 13 m$

🔍 Khám phá

📖 1. Định lý về Đường kính và Dây cung

1. Định lý 1 (Đường kính $⊥$ dây cung): Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

$Trong (O) : C D l \overset{a}{ˋ} đư ờng k \overset{ı}{ˊ} nh, A B l \overset{a}{ˋ} d \overset{a}{ˆ} y . C D ⊥ A B tại H \Rightarrow H A = H B$

2. Định lý 2 (Đường kính đi qua trung điểm dây): Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

$Trong (O) : C D l \overset{a}{ˋ} đư ờng k \overset{ı}{ˊ} nh, H A = H B \Rightarrow C D ⊥ A B tại H$

3 Ví dụ minh họa Định lý Đường kính & Dây cung:

Ví dụ 1: Cho đường tròn $(O; 13 cm)$ và dây $A B = 24 cm$ . Kẻ $O H ⊥ A B$ tại $H$ . Tính độ dài đoạn $O H$ .
- Giải: Vì $O H ⊥ A B \Rightarrow H$ là trung điểm $A B \Rightarrow A H = \frac{A B}{2} = 12 cm$ .
  Xét tam giác $O H A$ vuông tại $H$ : $O H = O A^{2} - A H^{2} = 1 3^{2} - 1 2^{2} = 169 - 144 = 5 cm$ .
Ví dụ 2: Cho đường tròn $(O; R)$ và dây $A B = R 3$ . Tính khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $A B$ .
- Giải: Kẻ $O H ⊥ A B \Rightarrow A H = \frac{R 3}{2}$ .
  $O H = O A^{2} - A H^{2} = R^{2} - (\frac{R 3}{2})^{2} = R^{2} - \frac{3 R ^{2}}{4} = \frac{R ^{2}}{4} = \frac{R}{2}$ .
Ví dụ 3: Cho đường tròn $(O)$ , dây $A B$ . Gọi $M$ là trung điểm $A B$ . Biết $O M = 3 cm$ và bán kính $R = 5 cm$ . Tính độ dài dây $A B$ .
- Giải: Vì $M$ là trung điểm $A B$ (dây $A B \neq =$ đường kính) $\Rightarrow O M ⊥ A B$ tại $M$ .
  Xét $Δ O M A$ vuông tại $M$ : $A M = O A^{2} - O M^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 4 cm$ .
  Do đó $A B = 2 A M = 8 cm$ .

📖 2. Liên hệ giữa Dây và Khoảng cách từ tâm đến dây

Trong một đường tròn (hoặc hai đường tròn bằng nhau):

Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm: $A B = C D \Leftrightarrow O H = O K$
Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau: $O H = O K \Leftrightarrow A B = C D$
Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn (khoảng cách nhỏ hơn): $A B > C D \Leftrightarrow O H < O K$

(Trong đó $O H ⊥ A B, O K ⊥ C D$ lần lượt là khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $A B, C D$ ).

3 Ví dụ minh họa Liên hệ giữa Dây và Khoảng cách:

Ví dụ 1: Cho đường tròn $(O; 10 cm)$ và hai dây $A B = 16 cm, C D = 12 cm$ . So sánh khoảng cách $O H$ và $O K$ từ tâm $O$ đến hai dây đó.
- Giải: Vì $A B = 16 cm > C D = 12 cm$ nên dây $A B$ lớn hơn dây $C D$ .
  Theo định lý liên hệ dây và khoảng cách $\Rightarrow O H < O K$ (dây lớn hơn thì gần tâm hơn).
Ví dụ 2: Cho đường tròn $(O)$ có hai dây $A B$ và $C D$ thỏa mãn khoảng cách $O H = O K = 4 cm$ . Biết $A B = 6 cm$ . Tính độ dài dây $C D$ .
- Giải: Vì $O H = O K = 4 cm$ (hai dây cách đều tâm) $\Rightarrow C D = A B = 6 cm$ .
Ví dụ 3: Cho đường tròn $(O; R)$ có hai dây $A B$ và $C D$ cắt nhau tại $I$ nằm bên trong đường tròn. Biết $O H ⊥ A B, O K ⊥ C D$ và $O H = O K$ . Chứng minh $I A = I C$ hoặc $I B = I D$ .
- Giải: Vì $O H = O K \Rightarrow A B = C D \Rightarrow A H = C K = \frac{A B}{2}$ .
  Xét hai tam giác vuông $Δ O H I$ và $Δ O K I$ có cạnh huyền $O I$ chung, $O H = O K \Rightarrow Δ O H I = Δ O K I$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông) $\Rightarrow I H = I K$ .
  Mà $A H = C K \Rightarrow A H - I H = C K - I K \Rightarrow I A = I C$ (ĐPCM).

🎯 5 Dạng toán & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Tính độ dài dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây

Phương pháp: Sử dụng tam giác vuông $O H A$ với $O A = R, A H = \frac{A B}{2}$ và $O H ⊥ A B$ . Áp dụng định lý Pythagore: $R^{2} = O H^{2} + (\frac{A B}{2})^{2}$ .

Ví dụ 1: Cho đường tròn $(O; 25 cm)$ và dây $A B = 40 cm$ . Tính khoảng cách $O H$ từ tâm $O$ đến dây $A B$ .
- Lời giải: $H$ là trung điểm $A B \Rightarrow A H = 20 cm$ .
  $O H = O A^{2} - A H^{2} = 2 5^{2} - 2 0^{2} = 625 - 400 = 225 = 15 cm$ .
Ví dụ 2: Cho đường tròn $(O)$ có khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $A B = 16 cm$ là $O H = 6 cm$ . Tính bán kính $R$ của $(O)$ .
- Lời giải: $A H = 8 cm$ . Bán kính $R = O A = O H^{2} + A H^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 10 cm$ .
Ví dụ 3: Cho đường tròn $(O; 10 cm)$ . Tính độ dài dây $A B$ biết khoảng cách từ $O$ đến $A B$ bằng $6 cm$ .
- Lời giải: $A H = 1 0^{2} - 6^{2} = 8 cm \Rightarrow A B = 2 A H = 16 cm$ .

Dạng 2: Chứng minh tính chất vuông góc và trung điểm

Phương pháp: Áp dụng định lý đường kính vuông góc với dây đi qua trung điểm của dây.

Ví dụ 1: Cho đường tròn $(O)$ và dây $A B$ . Gọi $I$ là trung điểm $A B$ . Qua $I$ vẽ dây $C D ⊥ A B$ . Chứng minh $I$ là trung điểm $C D$ .
- Lời giải: Vì $I$ là trung điểm $A B \Rightarrow O I ⊥ A B$ .
  Mà $C D ⊥ A B$ tại $I \Rightarrow O, I, C, D$ thẳng hàng, tức là $C D$ chứa đường kính qua $O$ .
  Đường kính $C D ⊥ A B \Rightarrow I$ là trung điểm $C D$ .
Ví dụ 2: Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Chứng minh đường kính $A D$ của $(O)$ vuông góc với $B C$ tại trung điểm của $B C$ .
- Lời giải: Vì $Δ A B C$ cân tại $A \Rightarrow$ đường phân giác $A D$ đồng thời là đường trung trực của $B C$ .
  Do đó $A D ⊥ B C$ tại trung điểm $H$ của $B C$ .
Ví dụ 3: Cho đường tròn $(O)$ và hai dây $A B // C D$ . Gọi $H, K$ lần lượt là trung điểm của $A B, C D$ . Chứng minh 3 điểm $O, H, K$ thẳng hàng.
- Lời giải: Vì $H$ là trung điểm $A B \Rightarrow O H ⊥ A B$ . Vì $K$ là trung điểm $C D \Rightarrow O K ⊥ C D$ .
  Mà $A B // C D \Rightarrow O H ⊥ C D$ . Qua điểm $O$ chỉ có một đường thẳng vuông góc với $C D$ , do đó $O H$ trùng $O K \Rightarrow O, H, K$ thẳng hàng.

Dạng 3: So sánh độ dài hai dây cung dựa vào khoảng cách đến tâm

Phương pháp: Kẻ đường vuông góc từ tâm đến hai dây, so sánh $O H$ và $O K$ để suy ra quan hệ giữa hai dây $A B$ và $C D$ .

Ví dụ 1: Cho đường tròn $(O; R)$ và điểm $M$ nằm bên trong $(O)$ ( $M \neq = O$ ). Qua $M$ vẽ hai dây $A B ⊥ O M$ và $C D$ không vuông góc với $O M$ . So sánh $A B$ và $C D$ .
- Lời giải: Kẻ $O K ⊥ C D$ ( $K \in C D$ ).
  Trong tam giác vuông $O K M$ , cạnh huyền $O M > O K$ .
  Khoảng cách từ $O$ đến $A B$ là $O M$ , khoảng cách đến $C D$ là $O K < O M$ .
  Vì $O K < O M \Rightarrow C D > A B$ (dây gần tâm hơn thì lớn hơn).
Ví dụ 2: Cho tam giác $A B C$ có $A B < A C$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . So sánh khoảng cách từ $O$ đến $A B$ và $A C$ .
- Lời giải: Vì $A B < A C$ nên dây $A B$ nhỏ hơn dây $A C$ .
  Do đó khoảng cách từ tâm $O$ đến $A B$ lớn hơn khoảng cách từ $O$ đến $A C$ .
Ví dụ 3: Cho đường tròn $(O; 10)$ và hai dây $A B = 12, C D = 16$ . Tính $O H, O K$ và tính $O K - O H$ .
- Lời giải: $A H = 6 \Rightarrow O H = 1 0^{2} - 6^{2} = 8$ .
  $C K = 8 \Rightarrow O K = 1 0^{2} - 8^{2} = 6$ .
  $O K - O H = 6 - 8 = - 2$ .

Dạng 4: Chứng minh hai đoạn thẳng hoặc hai góc bằng nhau

Phương pháp: Sử dụng các tam giác bằng nhau chứa bán kính và khoảng cách từ tâm đến dây.

Ví dụ 1: Cho đường tròn $(O)$ và hai dây $A B = C D$ cắt nhau tại $E$ nằm bên ngoài đường tròn. Chứng minh $E A = E C$ .
- Lời giải: Kẻ $O H ⊥ A B, O K ⊥ C D$ . Vì $A B = C D \Rightarrow O H = O K$ .
  $Δ O H E = Δ O K E$ (ch-cgv) $\Rightarrow E H = E K$ .
  Vì $A B = C D \Rightarrow H A = K C$ .
  Suy ra $E H + H A = E K + K C \Rightarrow E A = E C$ (ĐPCM).
Ví dụ 2: Cho đường tròn $(O)$ và hai dây $A B // C D$ . Chứng minh $A C = B D$ .
- Lời giải: Kẻ đường kính $M N ⊥ A B \Rightarrow M N ⊥ C D$ .
  $M N$ là đường trung trực chung của hai đoạn $A B$ và $C D$ .
  Do đó hình thang $A B D C$ có trục đối xứng $M N \Rightarrow A B D C$ là hình thang cân $\Rightarrow A C = B D$ (ĐPCM).
Ví dụ 3: Cho đường tròn $(O; R)$ và hai dây $A B = C D$ . Kẻ $O H ⊥ A B, O K ⊥ C D$ . Chứng minh $O H K = O K H$ .
- Lời giải: Vì $A B = C D \Rightarrow O H = O K$ (hai dây bằng nhau cách đều tâm).
  Tam giác $O H K$ có $O H = O K$ nên là tam giác cân tại $O \Rightarrow O H K = O K H$ (ĐPCM).

Dạng 5: Bài toán Cực trị Hình học (Dây lớn nhất, dây nhỏ nhất)

Phương pháp: Qua điểm $M$ trong $(O)$ , dây ngắn nhất là dây vuông góc với $O M$ , dây dài nhất là đường kính qua $M$ .

Ví dụ 1: Cho đường tròn $(O; 10 cm)$ và điểm $M$ cách $O$ một khoảng $O M = 6 cm$ . Tính độ dài dây ngắn nhất đi qua $M$ .
- Lời giải: Dây qua $M$ ngắn nhất khi dây đó vuông góc với $O M$ tại $M$ .
  Khi đó $H M = 0 \Rightarrow A M = R^{2} - O M^{2} = 1 0^{2} - 6^{2} = 8 cm$ .
  Độ dài dây ngắn nhất $A B = 2 A M = 16 cm$ .
Ví dụ 2: Cho đường tròn $(O; R)$ và điểm $M$ nằm bên trong $(O)$ . Gọi $A B$ là dây bất kỳ đi qua $M$ . Tìm độ dài lớn nhất của dây $A B$ .
- Lời giải: Dây $A B \leq 2 R$ . Độ dài lớn nhất của dây $A B$ bằng đường kính $2 R$ khi dây $A B$ đi qua tâm $O$ .
Ví dụ 3: Cho đường tròn $(O; 5 cm)$ và điểm $I$ cách $O$ một khoảng $O I = 3 cm$ . Tìm độ dài các dây đi qua $I$ có số đo là số nguyên.
- Lời giải: Dây ngắn nhất qua $I$ vuông góc với $O I$ có độ dài $d_{m i n} = 2 5^{2} - 3^{2} = 8 cm$ .
  Dây dài nhất qua $I$ là đường kính $d_{m a x} = 2 \times 5 = 10 cm$ .
  Các độ dài dây nguyên qua $I$ có thể nhận giá trị $8 cm, 9 cm, 10 cm$ .

🌍 Vận dụng thực tế

🌍 3 Bài toán ứng dụng đời sống thực tế

Bài toán 1 (Thiết kế Cống thoát nước Đô thị):
Một cống thoát nước ngầm hình tròn có bán kính $R = 50 cm$ . Khi trời mưa lớn, mực nước dâng cao làm mặt nước đạt độ rộng bề mặt $A B = 80 cm$ . Tính chiều cao mực nước trong cống thoát nước.

Bài toán 2 (Kỹ thuật Cắt Gỗ Công nghiệp):
Một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính $d = 60 cm$ . Thợ mộc dùng lưỡi cưa máy cắt một lát thẳng qua thân gỗ tạo thành mặt xẻ có độ rộng $A B = 48 cm$ . Tính khoảng cách từ tâm khúc gỗ đến lưỡi cưa.

Bài toán 3 (Đo Bán kính Nắp Cống Vòng):
KTS đo đạc một cổng vòm gạch cổ có chân vòm rộng $A B = 16 m$ và chiều cao đỉnh vòm $C D = 4 m$ ( $D$ là trung điểm $A B$ ). Tính bán kính đường tròn của vòm gạch cổ này.

✏️ Thực hành tương tác

📌 Hướng dẫn: Công cụ tương tác dưới đây hỗ trợ tính toán mối liên hệ giữa bán kính $R$ , độ dài dây $A B$ và khoảng cách từ tâm đến dây $O H$ !

√

Thực hành tương tác: Căn bậc hai số học

Nhập giá trị của √144:

⭐ Điểm: 0Đã trả lời: 0 câu

💡 Gợi ý: 1²=1, 2²=4, 3²=9, 4²=16, 5²=25, 6²=36, 7²=49, 8²=64, 9²=81, 10²=100, 11²=121, 12²=144, 13²=169, 14²=196, 15²=225.

⭐ Ghi nhớ

Trọng tâm kiến thức Bài 14:

Đường kính $⊥$ dây: Đi qua trung điểm của dây.
Đường kính qua trung điểm dây: Vuông góc với dây (dây không qua tâm).
Liên hệ dây & khoảng cách:
- $A B = C D \Leftrightarrow O H = O K$ .
- $A B > C D \Leftrightarrow O H < O K$ (gần tâm hơn thì lớn hơn).

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì:

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho đường tròn $(O; 10 cm)$ . Tính khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $A B$ trong các trường hợp:
a) $A B = 12 cm$
b) $A B = 16 cm$
c) $A B = 103 cm$
d) $A B = 102 cm$
e) $A B = 10 cm$
f) $A B = 20 cm$ (đường kính)

Bài 2: Cho đường tròn $(O; R)$ . Tính độ dài dây $A B$ khi biết khoảng cách $O H$ từ $O$ đến $A B$ :
a) $R = 13 cm, O H = 5 cm$
b) $R = 25 cm, O H = 15 cm$
c) $R = 17 cm, O H = 8 cm$
d) $R = 10 cm, O H = 5 cm$
e) $R = 8 cm, O H = 43 cm$
f) $R = 6 cm, O H = 0 cm$

Bài 3: Cho đường tròn $(O)$ có hai dây $A B$ và $C D$ . So sánh độ dài hai dây $A B$ và $C D$ biết khoảng cách $O H, O K$ từ tâm đến $A B, C D$ :
a) $O H = 4 cm, O K = 6 cm$
b) $O H = 8 cm, O K = 5 cm$
c) $O H = 32 cm, O K = 4 cm$
d) $O H = O K = 7 cm$
e) $O H = \frac{R}{2}, O K = \frac{R 2}{2}$
f) $O H = 0, O K = 3 cm$

Bài 4: Cho đường tròn $(O; 15 cm)$ và dây $A B = 24 cm$ .
a) Tính khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $A B$ .
b) Gọi $I$ là trung điểm $A B$ . Vẽ dây $C D$ đi qua $I$ và vuông góc với $O I$ . Tính độ dài dây $C D$ .

Bài 5: Cho đường tròn $(O; R)$ và hai dây $A B // C D$ . Biết $A B = 12 cm, C D = 16 cm$ và bán kính $R = 10 cm$ . Tính khoảng cách giữa hai dây $A B$ và $C D$ trong hai trường hợp:
a) Hai dây nằm cùng phía đối với tâm $O$ .
b) Hai dây nằm khác phía đối với tâm $O$ .

Bài 6: Cho tam giác $A B C$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O; R)$ . Gọi $H, K$ lần lượt là trung điểm của $A B, A C$ . Biết $O H > O K$ .
a) So sánh độ dài hai cạnh $A B$ và $A C$ .
b) So sánh hai góc $B$ và $C$ của tam giác $A B C$ .

Bài 7: Cho đường tròn $(O; R)$ và hai dây $A B, C D$ bằng nhau cắt nhau tại $M$ bên trong đường tròn.
a) Chứng minh $O M$ là đường phân giác của góc tạo bởi hai dây $A B$ và $C D$ .
b) Chứng minh $M A = M C$ và $M B = M D$ .

Bài 8: Cho đường tròn $(O; R)$ và điểm $A$ nằm ngoài $(O)$ . Từ $A$ kẻ cát tuyến $A B C$ cắt $(O)$ tại $B$ và $C$ . Gọi $H$ là trung điểm $B C$ . Chứng minh $O A^{2} - A H^{2} = R^{2} - B H^{2}$ .

Bài 9 (Thực tế): Một hầm đường bộ qua núi có mặt cắt ngang là một phần hình tròn bán kính $R = 6 m$ . Chiều rộng mặt đường xe chạy là $A B = 8 m$ . Tính chiều cao khoảng không lớn nhất từ mặt đường lên đỉnh hầm.

Bài 10 (Thực tế): Một chiếc đĩa sứ cổ bị vỡ thành một mảnh chứa cung tròn $A B$ . Người ta đo được dây $A B = 16 cm$ và khoảng cách từ trung điểm $H$ của $A B$ đến đỉnh cung $C$ là $C H = 4 cm$ . Tính bán kính của chiếc đĩa sứ ban đầu.

📊 Lời giải chi tiết 10 bài tập tự luận

Bài 1:
a) $A H = 6 \Rightarrow O H = 1 0^{2} - 6^{2} = 8 cm$ .
b) $A H = 8 \Rightarrow O H = 1 0^{2} - 8^{2} = 6 cm$ .
c) $A H = 53 \Rightarrow O H = 100 - 75 = 5 cm$ .
d) $A H = 52 \Rightarrow O H = 100 - 50 = 52 cm$ .
e) $A H = 5 \Rightarrow O H = 100 - 25 = 53 cm$ .
f) Dây $A B = 2 R = 20 cm$ là đường kính $\Rightarrow O H = 0 cm$ .

Bài 2:
a) $A H = 1 3^{2} - 5^{2} = 12 \Rightarrow A B = 24 cm$ .
b) $A H = 2 5^{2} - 1 5^{2} = 20 \Rightarrow A B = 40 cm$ .
c) $A H = 1 7^{2} - 8^{2} = 15 \Rightarrow A B = 30 cm$ .
d) $A H = 1 0^{2} - 5^{2} = 53 \Rightarrow A B = 103 cm$ .
e) $A H = 64 - 48 = 4 \Rightarrow A B = 8 cm$ .
f) $O H = 0 \Rightarrow A B = 2 R = 12 cm$ .

Bài 3:
a) $O H = 4 < O K = 6 \Rightarrow A B > C D$ .
b) $O H = 8 > O K = 5 \Rightarrow A B < C D$ .
c) $O H = 18 \approx 4, 24 > O K = 4 \Rightarrow A B < C D$ .
d) $O H = O K = 7 \Rightarrow A B = C D$ .
e) $O H = 0, 5 R < O K \approx 0, 707 R \Rightarrow A B > C D$ .
f) $O H = 0 < O K = 3 \Rightarrow A B > C D$ (AB là đường kính).

Bài 4:
a) $H$ là trung điểm $A B \Rightarrow A H = 12 cm$ .
$O H = 1 5^{2} - 1 2^{2} = 9 cm$ .
b) $C D ⊥ O I$ tại $I \equiv H \Rightarrow I$ là trung điểm $C D$ và khoảng cách từ $O$ đến $C D$ chính là $O I = O H = 9 cm$ .
Do đó $C D = A B = 24 cm$ .

Bài 5:
Khoảng cách từ $O$ đến $A B$ là $O H = 1 0^{2} - 6^{2} = 8 cm$ .
Khoảng cách từ $O$ đến $C D$ là $O K = 1 0^{2} - 8^{2} = 6 cm$ .
a) Cùng phía: Khoảng cách giữa 2 dây $H K = O H - O K = 8 - 6 = 2 cm$ .
b) Khác phía: Khoảng cách giữa 2 dây $H K = O H + O K = 8 + 6 = 14 cm$ .

Bài 6:
a) Vì $O H > O K$ (khoảng cách đến $A B$ lớn hơn đến $A C$ ) nên dây $A B < A C$ .
b) Trong tam giác $A B C$ , đối diện với cạnh $A C$ lớn hơn là góc $B$ , đối diện với cạnh $A B$ nhỏ hơn là góc $C$ .
Vì $A C > A B \Rightarrow B > C$ .

Bài 7:
a) Kẻ $O H ⊥ A B, O K ⊥ C D$ . Vì $A B = C D \Rightarrow O H = O K$ .
Xét $Δ O H M$ và $Δ O K M$ vuông tại $H, K$ : $O M$ chung, $O H = O K \Rightarrow Δ O H M = Δ O K M$ (ch-cgv).
$\Rightarrow H O M = K O M \Rightarrow O M$ là tia phân giác của góc tạo bởi hai dây $A B, C D$ .
b) Từ câu a suy ra $H M = K M$ .
Vì $A B = C D \Rightarrow H A = K C$ .
Do đó $H M - H A = K M - K C \Rightarrow M A = M C$ .
Mặt khác $M B = A B - M A = C D - M C = M D \Rightarrow M B = M D$ (ĐPCM).

Bài 8:
Trong tam giác $A H B$ vuông tại $H$ : $A H^{2} = A B \cdot A C$ …
Áp dụng Pythagore: $O A^{2} = O H^{2} + A H^{2}$ và $O B^{2} = O H^{2} + B H^{2} = R^{2}$ .
Suy ra $O A^{2} - R^{2} = A H^{2} - B H^{2} \Rightarrow O A^{2} - A H^{2} = R^{2} - B H^{2}$ (ĐPCM).

Bài 9:
Trung điểm mặt đường $A H = 4 m$ .
Khoảng cách từ tâm $O$ đến mặt đường: $O H = 6^{2} - 4^{2} = 20 = 25 \approx 4, 47 m$ .
Chiều cao khoảng không lớn nhất $h = R - O H = 6 - 4, 47 = 1, 53 m$ .

Bài 10:
Gọi bán kính đĩa sứ là $R$ . Trung điểm $A H = 8 cm$ .
Đoạn $O H = R - C H = R - 4$ .
Trong tam giác $O H A$ vuông tại $H$ : $O A^{2} = O H^{2} + A H^{2} \Rightarrow R^{2} = (R - 4)^{2} + 8^{2}$ .
$R^{2} = R^{2} - 8 R + 16 + 64 \Rightarrow 8 R = 80 \Rightarrow R = 10 cm$ .
Bán kính đĩa sứ cổ là 10 cm.