Bài 13: Mở đầu về đường tròn

3 Ví dụ minh họa Định nghĩa và Vị trí của điểm:

• Ví dụ 1: Cho đường tròn $(O;5\text{ cm})$ và ba điểm $A,B,C$ sao cho $OA=3\text{ cm},OB=5\text{ cm},OC=7\text{ cm}$. Xác định vị trí của từng điểm đối với đường tròn $(O)$.

  • Giải:
    • $OA=3<5\Rightarrow A$ nằm bên trong đường tròn $(O)$.
    • $OB=5=5\Rightarrow B$ nằm trên đường tròn $(O)$.
    • $OC=7>5\Rightarrow C$ nằm bên ngoài đường tròn $(O)$.

• Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật $ABCD$ có tâm $O$, $AB=6\text{ cm},BC=8\text{ cm}$. Chứng minh 4 điểm $A,B,C,D$ cùng thuộc đường tròn $(O)$. Tính bán kính đường tròn đó.

  • Giải: Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên hai đường chéo $AC,BD$ bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường.
    $\Rightarrow OA=OB=OC=OD=\frac{AC}{2}$.
    Theo định lý Pythagore: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\text{ cm}$.
    Suy ra $OA=OB=OC=OD=5\text{ cm}$. Vậy 4 điểm $A,B,C,D$ cùng nằm trên đường tròn $(O;5\text{ cm})$.

• Ví dụ 3: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC=12\text{ cm}$. Hỏi điểm $A$ nằm trong, nằm ngoài hay nằm trên đường tròn đường kính $BC$?

  • Giải: Gọi $O$ là trung điểm cạnh huyền $BC$. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền: $OA=\frac{BC}{2}=6\text{ cm}$.
    Bán kính đường tròn đường kính $BC$ là $R=\frac{BC}{2}=6\text{ cm}$.
    Vì $OA=R=6\text{ cm}$ nên điểm $A$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$.

3 Ví dụ minh họa Đường tròn ngoại tiếp tam giác:

• Ví dụ 1: Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=9\text{ cm},AC=12\text{ cm}$.

  • Giải: Cạnh huyền $BC=\sqrt{9^2+12^2}=15\text{ cm}$.
    Tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền $BC$.
    Bán kính $R=\frac{BC}{2}=\frac{15}{2}=7,5\text{ cm}$.

• Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a=6\text{ cm}$. Tính bán kính $R$ đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

  • Giải: Trọng tâm $G$ của tam giác đều trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp $O$.
    Chiều cao $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{ cm}$.
    Bán kính $R=AG=\frac{2}{3}AH=\frac{2}{3}(3\sqrt{3})=2\sqrt{3}\approx 3,46\text{ cm}$.

• Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu tam giác $ABC$ có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác $ABC$ là tam giác vuông.

  • Giải: Giả sử cạnh $BC$ là đường kính đường tròn ngoại tiếp $(O)$.
    Trung điểm $O$ của $BC$ cách đều $A,B,C\Rightarrow OA=OB=OC=\frac{BC}{2}$.
    Tam giác $ABC$ có đường trung tuyến $AO=\frac{1}{2}BC\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A$ (ĐPCM).

• Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(O;5)$. Xác định vị trí của các điểm $M(3;4),N(4;4),P(2;1)$ so với $(O)$.

  • Lời giải: $OM=\sqrt{3^2+4^2}=5=R\Rightarrow M$ nằm trên $(O)$.
    $ON=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}\approx 5,66>5\Rightarrow N$ nằm ngoài $(O)$.
    $OP=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\approx 2,24<5\Rightarrow P$ nằm trong $(O)$.

• Ví dụ 2: Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a=4\text{ cm}$ có tâm $O$. Xác định vị trí các đỉnh $A,B,C,D$ so với đường tròn $(O;2\text{ cm})$.

  • Lời giải: $OA=OB=OC=OD=\frac{AC}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\approx 2,83\text{ cm}$.
    Vì $2\sqrt{2}>2\text{ cm}$ nên cả 4 đỉnh $A,B,C,D$ đều nằm ngoài đường tròn $(O;2\text{ cm})$.

• Ví dụ 3: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AB=AC=5\text{ cm},BC=6\text{ cm}$. Gọi $H$ là trung điểm $BC$. So sánh khoảng cách $AH$ với bán kính $R=4\text{ cm}$ của $(H)$.

  • Lời giải: $BH=3\text{ cm}\Rightarrow AH=\sqrt{5^2-3^2}=4\text{ cm}$.
    Vì $AH=R=4\text{ cm}$ nên điểm $A$ nằm trên đường tròn $(H;4\text{ cm})$.

• Ví dụ 1: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông cân có cạnh góc vuông $a=4\text{ cm}$.

  • Lời giải: Cạnh huyền $c=4\sqrt{2}\text{ cm}$. Bán kính $R=\frac{c}{2}=2\sqrt{2}\text{ cm}$.

• Ví dụ 2: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AB=AC=10\text{ cm},BC=12\text{ cm}$.

  • Lời giải: Kẻ đường cao $AH\perp BC\Rightarrow BH=6\text{ cm}\Rightarrow AH=\sqrt{10^2-6^2}=8\text{ cm}$.
    Tâm $O$ nằm trên $AH$. Gọi $OB=R\Rightarrow OH=8-R$.
    Xét $\Delta OBH$ vuông tại $H$: $O{B}^2=O{H}^2+B{H}^2\Rightarrow R^2=(8-R{)}^2+6^2=64-16R+R^2+36$.
    $16R=100\Rightarrow R=6,25\text{ cm}$.

• Ví dụ 3: Cho tam giác $ABC$ có $AB=5,AC=12,BC=13$. Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp.

  • Lời giải: Nhận thấy $5^2+12^2=25+144=169=13^2\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A$.
    Bán kính $R=\frac{BC}{2}=\frac{13}{2}=6,5$.

• Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ có hai đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$. Chứng minh 4 điểm $A,E,H,D$ cùng thuộc một đường tròn.

  • Lời giải: \widehat{AEH} = 90^^\circ \Rightarrow E thuộc đường tròn đường kính $AH$.
    \widehat{ADH} = 90^^\circ \Rightarrow D thuộc đường tròn đường kính $AH$.
    Do đó 4 điểm $A,E,H,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$.

• Ví dụ 2: Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB//CD$). Chứng minh 4 đỉnh $A,B,C,D$ cùng thuộc một đường tròn.

  • Lời giải: Gọi $I$ là giao điểm của hai đường trung trực của $AB$ và $CD$. Vì hình thang cân nên hai đường trung trực này trùng nhau hoặc song song song đối xứng.
    Điểm $I$ cách đều $A,B$ và cách đều $C,D$, đồng thời $IA=IC\Rightarrow IA=IB=IC=ID$.
    Vậy 4 điểm $A,B,C,D$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$.

• Ví dụ 3: Cho tứ giác $ABCD$ có \widehat{B} = \widehat{D} = 90^^\circ. Chứng minh $A,B,C,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AC$.

  • Lời giải: Gọi $O$ là trung điểm $AC$. Trong $\Delta ABC$ vuông tại $B\Rightarrow OB=\frac{AC}{2}$.
    Trong $\Delta ADC$ vuông tại $D\Rightarrow OD=\frac{AC}{2}$.
    Do đó $OA=OB=OC=OD=\frac{AC}{2}$. Vậy $A,B,C,D$ cùng thuộc $(O;AC/2)$.

• Ví dụ 1: Cho đường tròn $(O;R)$ và hai điểm $A,B$ nằm trong $(O)$. Chứng minh $AB<2R$.

  • Lời giải: Trong tam giác $OAB$ (hoặc 3 điểm $O,A,B$): $AB\le OA+OB$.
    Vì $A,B$ nằm trong $(O)\Rightarrow OA<R,OB<R\Rightarrow AB<R+R=2R$ (ĐPCM).

• Ví dụ 2: Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $A$ cố định ngoài $(O)$. Điểm $M$ di động trên $(O)$. Tìm vị trí $M$ để $AM$ ngắn nhất và dài nhất.

  • Lời giải: Đường thẳng $OA$ cắt $(O)$ tại 2 điểm $M_1,M_2$ ($M_1$ nằm giữa $O$ và $A$).
    Theo BĐT tam giác: $OA-R\le AM\le OA+R$.
    $AM$ nhỏ nhất bằng $OA-R$ khi $M\equiv M_1$. $AM$ lớn nhất bằng $OA+R$ khi $M\equiv M_2$.

• Ví dụ 3: Chứng minh đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn.

  • Lời giải: Xét dây $AB$ bất kỳ của đường tròn $(O;R)$.
    Trong tam giác $OAB$: $AB\le OA+OB=R+R=2R$.
    Dấu ’=’ xảy ra khi $O$ nằm giữa $A$ và $B$, tức là $AB$ là đường kính. Vậy đường kính là dây lớn nhất.

• Ví dụ 1: Ba ngôi làng A, B, C nằm ở ba đỉnh một tam giác vuông $ABC$ (A = 90^^\circ) với $AB=3\text{ km},AC=4\text{ km}$. Người ta muốn xây một trạm phát sóng sao cho cách đều cả 3 ngôi làng. Tìm vị trí trạm phát sóng và khoảng cách từ trạm đến các làng.

  • Lời giải: Trạm phát sóng cách đều 3 làng nên là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông $ABC$.
    Vị trí trạm phát sóng nằm tại trung điểm cạnh huyền $BC$.
    Khoảng cách $R=\frac{\sqrt{3^2+4^2}}{2}=\frac{5}{2}=2,5\text{ km}$.

• Ví dụ 2: Một đĩa sứ hình tròn bị vỡ chỉ còn lại một mảnh cung tròn. Làm thế nào để xác định bán kính của đĩa sứ ban đầu?

  • Lời giải: Lấy 3 điểm $A,B,C$ bất kỳ trên mép cong mảnh vỡ. Vẽ hai đường trung trực của đoạn $AB$ và $BC$. Giao điểm $O$ của hai đường trung trực chính là tâm của đĩa sứ. Đo khoảng cách $OA$ ta được bán kính $R$.

• Ví dụ 3: Một công viên hình tròn bán kính $R=100\text{ m}$. Lối đi chính là đường kính $AB$. Một gian hàng nằm tại điểm $M$ sao cho $AM=120\text{ m}$. Gian hàng $M$ nằm trong hay ngoài công viên?

  • Lời giải: Đường kính $AB=200\text{ m}$. Vì $AM=120\text{ m}<200\text{ m}$ và $AM$ là dây cung đi qua $A$ nên $M$ thuộc ranh giới đường tròn công viên.