Lớp 9 · Chương IV: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông

🚀 Khởi động

🌉 Đo Chiều Rộng Con Sông mà Không Cần Băng Qua Sông

Một đội khảo sát cầu đường cần đo chiều rộng $w = A B$ của một con sông chảy xiết. Họ đứng ở bờ sông bên này tại điểm $A$ , chọn một cái cây cố định tại điểm $B$ ở bờ bên kia sao cho $A B ⊥$ bờ sông.

Họ đi dọc bờ sông một khoảng $A C = 50 m$ và dùng máy kinh vĩ đo được góc $\widehat{ACB} = 38^^\circ$ .

Bằng cách áp dụng Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, họ tính ngay được chiều rộng $w$ của con sông: $w = AB = AC \cdot \tan 38^^\circ = 50 \cdot 0,7813 = 39,06\text{ m}$

🔍 Khám phá

📖 1. Các hệ thức giữa Cạnh và Góc trong tam giác vuông

Định lý: Trong tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , với cạnh huyền $a = B C$ và hai cạnh góc vuông $b = A C, c = A B$ :

1. Định lý với Cạnh huyền: Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos góc kề: $b = a \cdot sin B = a \cdot cos C$ $c = a \cdot sin C = a \cdot cos B$

2. Định lý với Cạnh góc vuông kia: Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc nhân với cot góc kề: $b = c \cdot tan B = c \cdot cot C$ $c = b \cdot tan C = b \cdot cot B$

3 Ví dụ minh họa Định lý Cạnh - Góc:

Ví dụ 1: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $B C = 12 cm$ và $\widehat{B} = 42^^\circ$ . Tính $A C$ và $A B$ .
- Giải:
  - $AC = b = a \cdot \sin B = 12 \cdot \sin 42^^\circ \approx 12 \cdot 0,6691 \approx 8,03\text{ cm}$ .
  - $AB = c = a \cdot \cos B = 12 \cdot \cos 42^^\circ \approx 12 \cdot 0,7431 \approx 8,92\text{ cm}$ .
Ví dụ 2: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A B = 7 cm$ và $\widehat{B} = 55^^\circ$ . Tính $A C$ và $B C$ .
- Giải:
  - $AC = b = c \cdot \tan B = 7 \cdot \tan 55^^\circ \approx 7 \cdot 1,4281 \approx 10,00\text{ cm}$ .
  - $BC = a = \frac{c}{\cos B} = \frac{7}{\cos 55^^\circ} \approx \frac{7}{0,5736} \approx 12,20\text{ cm}$ .
Ví dụ 3: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $AC = 15\text{ cm}, \widehat{C} = 30^^\circ$ . Tính $A B$ .
- Giải: $AB = c = b \cdot \tan C = 15 \cdot \tan 30^^\circ = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3} \approx 8,66\text{ cm}$ .

📖 2. Ứng dụng: Giải tam giác vuông

Giải tam giác vuông là tìm tất cả các yếu tố độ dài cạnh và số đo góc còn lại của tam giác vuông khi biết trước 2 yếu tố (trong đó có ít nhất 1 cạnh).

3 Trường hợp giải tam giác vuông thường gặp:

Biết 2 cạnh góc vuông $b$ và $c$ :
- Tính cạnh huyền $a = b^{2} + c^{2}$ .
- Tính góc $tan B = \frac{b}{c} \Rightarrow B$ , rồi suy ra $\widehat{C} = 90^^\circ - \widehat{B}$ .
Biết cạnh huyền $a$ và 1 cạnh góc vuông $b$ :
- Tính cạnh góc vuông còn lại $c = a^{2} - b^{2}$ .
- Tính góc $sin B = \frac{b}{a} \Rightarrow B$ , rồi suy ra $\widehat{C} = 90^^\circ - \widehat{B}$ .
Biết 1 cạnh và 1 góc nhọn (ví dụ biết $a$ và $B$ ):
- Tính góc nhọn còn lại $\widehat{C} = 90^^\circ - \widehat{B}$ .
- Tính các cạnh $b = a \cdot sin B$ và $c = a \cdot cos B$ .

3 Ví dụ minh họa Giải tam giác vuông:

Ví dụ 1 (Trường hợp biết 2 cạnh GV): Giải tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A B = 6 cm, A C = 8 cm$ .
- Giải:
  - Cạnh huyền $B C = 6^{2} + 8^{2} = 10 cm$ .
  - $\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \Rightarrow \widehat{B} \approx 53^^\circ 8'$ .
  - Góc $\widehat{C} = 90^^\circ - 53^^\circ 8' = 36^^\circ 52'$ .
Ví dụ 2 (Trường hợp biết cạnh huyền & 1 cạnh GV): Giải tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $B C = 13 cm, A B = 5 cm$ .
- Giải:
  - Cạnh góc vuông $A C = 1 3^{2} - 5^{2} = 12 cm$ .
  - $\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{13} \Rightarrow \widehat{B} \approx 67^^\circ 23'$ .
  - Góc $\widehat{C} = 90^^\circ - 67^^\circ 23' = 22^^\circ 37'$ .
Ví dụ 3 (Trường hợp biết 1 cạnh & 1 góc nhọn): Giải tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $BC = 10\text{ cm}, \widehat{C} = 35^^\circ$ .
- Giải:
  - Góc $\widehat{B} = 90^^\circ - 35^^\circ = 55^^\circ$ .
  - $AB = c = a \cdot \sin C = 10 \cdot \sin 35^^\circ \approx 5,74\text{ cm}$ .
  - $AC = b = a \cdot \cos C = 10 \cdot \cos 35^^\circ \approx 8,19\text{ cm}$ .

🎯 5 Dạng toán & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Tính độ dài cạnh và góc bằng hệ thức cạnh - góc

Phương pháp: Chọn đúng hệ thức $b = a sin B, b = c tan B ...$ phụ thuộc vào các yếu tố đã biết và cần tìm.

Ví dụ 1: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $BC = 16\text{ cm}, \widehat{B} = 60^^\circ$ . Tính $A C$ và $A B$ .
- Lời giải: $AC = 16 \cdot \sin 60^^\circ = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}\text{ cm}$ .
  $AB = 16 \cdot \cos 60^^\circ = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8\text{ cm}$ .
Ví dụ 2: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A B = 10 cm, tan C = 0, 75$ . Tính $A C$ và $B C$ .
- Lời giải: $tan C = \frac{A B}{A C} \Rightarrow A C = \frac{A B}{t a n C} = \frac{10}{0 , 75} = \frac{40}{3} cm$ .
  $B C = 1 0^{2} + (40/3)^{2} = 100 + 1600/9 = 2500/9 = \frac{50}{3} cm$ .
Ví dụ 3: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , đường cao $A H = 6 cm$ và $\widehat{B} = 40^^\circ$ . Tính $A B, B C$ .
- Lời giải: Trong $Δ A H B$ vuông tại $H$ : $AB = \frac{AH}{\sin B} = \frac{6}{\sin 40^^\circ} \approx 9,33\text{ cm}$ .
  Trong $Δ A B C$ vuông tại $A$ : $BC = \frac{AB}{\cos B} = \frac{9,33}{\cos 40^^\circ} \approx 12,18\text{ cm}$ .

Dạng 2: Giải tam giác vuông tổng hợp

Phương pháp: Tìm lần lượt số đo các góc còn lại (dùng tổng $90^^\circ$ ), sau đó dùng định lý sin/cos/tan để tính các cạnh.

Ví dụ 1: Giải tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A B = 7, A C = 24$ .
- Lời giải: $B C = 7^{2} + 2 4^{2} = 625 = 25$ .
  $\tan B = \frac{24}{7} \Rightarrow \widehat{B} \approx 73^^\circ 44' \Rightarrow \widehat{C} \approx 16^^\circ 16'$ .
Ví dụ 2: Giải tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $BC = 15\text{ cm}, \widehat{B} = 50^^\circ$ .
- Lời giải: $\widehat{C} = 90^^\circ - 50^^\circ = 40^^\circ$ .
  $AC = 15 \cdot \sin 50^^\circ \approx 11,49\text{ cm}$ .
  $AB = 15 \cdot \cos 50^^\circ \approx 9,64\text{ cm}$ .
Ví dụ 3: Giải tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $AC = 14\text{ cm}, \widehat{C} = 25^^\circ$ .
- Lời giải: $\widehat{B} = 90^^\circ - 25^^\circ = 65^^\circ$ .
  $AB = 14 \cdot \tan 25^^\circ \approx 6,53\text{ cm}$ .
  $BC = \frac{14}{\cos 25^^\circ} \approx 15,45\text{ cm}$ .

Dạng 3: Tính các yếu tố phụ (Đường cao, Trung tuyến, Phân giác, Diện tích)

Phương pháp: Tách tam giác vuông lớn thành các tam giác vuông nhỏ chứa đường cao $A H$ hoặc phân giác $A D$ .

Ví dụ 1: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $BC = 20\text{ cm}, \widehat{B} = 30^^\circ$ . Tính đường cao $A H$ và diện tích $S_{A B C}$ .
- Lời giải: $AC = 20 \cdot \sin 30^^\circ = 10\text{ cm}$ ; $AB = 20 \cdot \cos 30^^\circ = 10\sqrt{3}\text{ cm}$ .
  $A H = \frac{A B \cdot A C}{B C} = \frac{10 \cdot 10 3}{20} = 53 cm$ .
  $S_{A B C} = \frac{1}{2} A B \cdot A C = \frac{1}{2} \cdot 103 \cdot 10 = 503 cm^{2}$ .
Ví dụ 2: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A B = 6 cm, A C = 8 cm$ . Tính độ dài đường phân giác trong $A D$ của góc $A$ .
- Lời giải: Sử dụng công thức phân giác góc $A = 90^^\circ$ : $A D = \frac{2 b c}{b + c} = \frac{2 \cdot 8 \cdot 6}{8 + 6} = \frac{48 2}{14} = \frac{24 2}{7} \approx 4, 85 cm$ .
Ví dụ 3: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $AB = 9\text{ cm}, \widehat{B} = 40^^\circ$ . Tính độ dài đường trung tuyến $A M$ ứng với cạnh huyền.
- Lời giải: $BC = \frac{AB}{\cos 40^^\circ} = \frac{9}{\cos 40^^\circ} \approx 11,75\text{ cm}$ .
  Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền: $A M = \frac{B C}{2} \approx 5, 87 cm$ .

Dạng 4: Bài toán Tam giác Thường (Kẻ thêm đường cao)

Phương pháp: Với tam giác thường $A B C$ , kẻ đường cao $A H ⊥ B C$ để tạo thành hai tam giác vuông $A H B$ và $A H C$ , từ đó áp dụng các hệ thức cạnh - góc.

Ví dụ 1: Cho tam giác $A B C$ có $A B = 10 cm, A C = 12 cm$ và $\widehat{A} = 45^^\circ$ . Tính diện tích tam giác $A B C$ .
- Lời giải: Kẻ đường cao $B H ⊥ A C$ ( $H \in A C$ ).
  Trong $Δ A H B$ vuông tại $H$ : $BH = AB \cdot \sin A = 10 \cdot \sin 45^^\circ = 5\sqrt{2}\text{ cm}$ .
  Diện tích $S_{A B C} = \frac{1}{2} A C \cdot B H = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 52 = 302 \approx 42, 43 cm^{2}$ .
Ví dụ 2: Cho tam giác $A B C$ có $BC = 14\text{ cm}, \widehat{B} = 60^^\circ, \widehat{C} = 40^^\circ$ . Tính chiều cao $A H$ hạ từ $A$ xuống $B C$ .
- Lời giải: $BH = AH \cdot \cot B = AH \cdot \cot 60^^\circ$ ; $CH = AH \cdot \cot C = AH \cdot \cot 40^^\circ$ .
  $BC = BH + CH = AH(\cot 60^^\circ + \cot 40^^\circ) = 14$ .
  $\Rightarrow A H = \frac{14}{\frac{3}{3} + 1 , 1918} \approx \frac{14}{0 , 5774 + 1 , 1918} = \frac{14}{1 , 7692} \approx 7, 91 cm$ .
Ví dụ 3: Chứng minh rằng trong tam giác $A B C$ nhọn ta có $a = b \cdot cos C + c \cdot cos B$ .
- Lời giải: Kẻ $A H ⊥ B C$ . Ta có $B C = B H + H C$ .
  Trong $Δ A H B$ vuông tại $H$ : $B H = c \cdot cos B$ .
  Trong $Δ A H C$ vuông tại $H$ : $H C = b \cdot cos C$ .
  Do đó $a = B C = c \cdot cos B + b \cdot cos C$ (ĐPCM).

Dạng 5: Chứng minh các Hệ thức Hình học chứa TSLG

Phương pháp: Sử dụng các định lý $b = a sin B, c = b tan C$ thế vào vế của hệ thức để biến đổi tương đương.

Ví dụ 1: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , đường cao $A H$ . Chứng minh $A H = B C \cdot sin B \cdot cos B$ .
- Lời giải: Trong $Δ A B C$ : $A B = B C \cdot cos B$ .
  Trong $Δ A H B$ vuông tại $H$ : $A H = A B \cdot sin B = (B C \cdot cos B) \cdot sin B = B C \cdot sin B \cdot cos B$ (ĐPCM).
Ví dụ 2: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , đường cao $A H$ . Chứng minh $B H = B C \cdot cos^{2} B$ .
- Lời giải: Trong $Δ A H B$ vuông tại $H$ : $B H = A B \cdot cos B$ .
  Mà $A B = B C \cdot cos B \Rightarrow B H = (B C \cdot cos B) \cdot cos B = B C \cdot cos^{2} B$ (ĐPCM).
Ví dụ 3: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ . Chứng minh $S_{A B C} = \frac{1}{2} a^{2} \cdot sin B \cdot cos B$ .
- Lời giải: $b = a sin B$ và $c = a cos B$ .
  $S_{A B C} = \frac{1}{2} b c = \frac{1}{2} (a sin B) (a cos B) = \frac{1}{2} a^{2} sin B cos B$ (ĐPCM).

🌍 Vận dụng thực tế

🌍 3 Bài toán ứng dụng đời sống thực tế

Bài toán 1 (Xác định Khoảng cách Tàu biển):
Một ngọn hải đăng cao $h = 60 m$ đứng trên đỉnh vách đá bờ biển. Một thủy thủ từ tàu nhìn thấy đỉnh hải đăng dưới góc nâng $\alpha = 15^^\circ$ . Tính khoảng cách $d$ từ tàu đến chân vách đá (làm tròn đến mét).

Bài toán 2 (Thiết kế Mái Tôn Nhà xưởng):
KTS thiết kế mái nhà xưởng dạng tam giác cân $A B C$ với $A B = A C$ . Chiều rộng mặt ngang xưởng $B C = 12 m$ , góc dốc mái nhà $\widehat{B} = \widehat{C} = 25^^\circ$ .
a) Tính chiều cao đỉnh mái $A H$ (với $H$ là trung điểm $B C$ ).
b) Tính độ dài thanh xà gồ mái tôn $A B$ cần đặt mua.

Bài toán 3 (Đo Chiều cao Tượng đài):
Để đo chiều cao $h = C D$ của một bức tượng đài, người ta chọn hai điểm $A$ và $B$ trên mặt đất thẳng hàng với chân tượng $D$ . Đo được khoảng cách $A B = 20 m$ , góc nâng từ $A$ đến đỉnh tượng $C$ là $32^^\circ$ , góc nâng từ $B$ đến đỉnh tượng $C$ là $45^^\circ$ . Tính chiều cao $h$ của tượng đài.

✏️ Thực hành tương tác

📌 Hướng dẫn: Công cụ dưới đây giúp bạn luyện tập giải tam giác vuông tự động và kiểm tra kết quả tính toán góc, cạnh chính xác!

📐 Máy Tính Giải Tam Giác Vuông (Tại A)

Nhập ít nhất 2 kích thước (trong đó phải có 1 cạnh). Để trống các ô còn lại để máy tự tính.

Cạnh góc vuông b

Cạnh góc vuông c

Cạnh huyền a

Góc B (độ °)

Góc C (độ °)

⭐ Ghi nhớ

Trọng tâm kiến thức Bài 12:

Với Cạnh huyền: $b = a \cdot sin B = a \cdot cos C$ ; $c = a \cdot sin C = a \cdot cos B$ .
Với Cạnh góc vuông kia: $b = c \cdot tan B = c \cdot cot C$ ; $c = b \cdot tan C = b \cdot cot B$ .
Giải tam giác vuông: Tìm tất cả 3 yếu tố còn thiếu khi biết 2 yếu tố ban đầu (có ít nhất 1 cạnh).

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với:

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Giải tam giác $A B C$ vuông tại $A$ trong các trường hợp biết 1 cạnh và 1 góc nhọn:
a) $a = BC = 10, \widehat{B} = 35^^\circ$
b) $a = BC = 18, \widehat{C} = 50^^\circ$
c) $b = AC = 8, \widehat{B} = 42^^\circ$
d) $c = AB = 12, \widehat{C} = 28^^\circ$
e) $b = AC = 15, \widehat{C} = 60^^\circ$
f) $c = AB = 5, \widehat{B} = 45^^\circ$

Bài 2: Giải tam giác $A B C$ vuông tại $A$ trong các trường hợp biết 2 cạnh (làm tròn góc đến phút, cạnh đến 0,01):
a) $b = A C = 6, c = A B = 8$
b) $a = B C = 13, b = A C = 12$
c) $a = B C = 20, c = A B = 10$
d) $b = A C = 7, c = A B = 10$
e) $a = B C = 15, b = A C = 9$
f) $b = A C = 53, c = A B = 5$

Bài 3: Tính chu vi và diện tích của tam giác $A B C$ vuông tại $A$ :
a) $BC = 10\text{ cm}, \widehat{B} = 30^^\circ$
b) $AC = 12\text{ cm}, \widehat{B} = 40^^\circ$
c) $AB = 9\text{ cm}, \widehat{C} = 55^^\circ$
d) $BC = 16\text{ cm}, \widehat{C} = 45^^\circ$
e) $A B = 6 cm, A C = 8 cm$
f) $B C = 25 cm, A B = 15 cm$

Bài 4: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $AB = 12\text{ cm}, \widehat{B} = 30^^\circ$ .
a) Tính $A C, B C$ .
b) Kẻ đường cao $A H$ . Tính $A H, B H, C H$ .
c) Tính độ dài đường phân giác $A D$ của góc $A$ .

Bài 5: Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$ có $A B = A C = 10 cm$ và $\widehat{A} = 40^^\circ$ .
a) Kẻ $B H ⊥ A C$ ( $H \in A C$ ). Tính độ dài $B H, A H, C H$ .
b) Tính độ dài cạnh đáy $B C$ .

Bài 6: Cho tam giác $A B C$ có $A B = 6 cm, A C = 8 cm$ và góc $\widehat{A} = 60^^\circ$ .
a) Kẻ đường cao $B H ⊥ A C$ . Tính $B H, A H, C H$ .
b) Tính độ dài cạnh $B C$ và diện tích $S_{A B C}$ .

Bài 7: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ với hai cạnh góc vuông $b, c$ . Chứng minh độ dài đường phân giác trong $A D$ của góc $A$ được tính bởi công thức $A D = \frac{2 b c}{b + c}$ .

Bài 8: Cho tam giác $A B C$ nhọn. Chứng minh diện tích tam giác $A B C$ được tính bởi $S = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} a c sin B = \frac{1}{2} ab sin C$ .

Bài 9 (Thực tế): Một người đứng cách chân cột cờ $15 m$ nhìn thấy đỉnh cột cờ dưới góc nâng $42^^\circ$ . Mắt người quan sát ở độ cao $1, 6 m$ so với mặt đất. Tính chiều cao cột cờ.

Bài 10 (Thực tế): Đường hầm gầm sông được thiết kế dốc nghiêng $4^^\circ$ so với phương nằm ngang. Chiều dài phần đường hầm dốc dẫn xuống đáy sông là $L = 450 m$ . Tính độ sâu của đáy sông so với mặt đất.

📊 Lời giải chi tiết 10 bài tập tự luận

Bài 1:
a) $\widehat{C} = 55^^\circ$ ; $b = 10 \cdot \sin 35^^\circ \approx 5,74$ ; $c = 10 \cdot \cos 35^^\circ \approx 8,19$ .
b) $\widehat{B} = 40^^\circ$ ; $c = 18 \cdot \sin 40^^\circ \approx 11,57$ ; $b = 18 \cdot \cos 40^^\circ \approx 13,79$ .
c) $\widehat{C} = 48^^\circ$ ; $c = 8 / \tan 42^^\circ \approx 8,88$ ; $a = 8 / \sin 42^^\circ \approx 11,96$ .
d) $\widehat{B} = 62^^\circ$ ; $b = 12 \cdot \tan 28^^\circ \approx 6,38$ ; $a = 12 / \cos 28^^\circ \approx 13,59$ .
e) $\widehat{B} = 30^^\circ$ ; $c = 15 \cdot \tan 30^^\circ = 5\sqrt{3} \approx 8,66$ ; $a = 15 / \sin 60^^\circ = 10\sqrt{3} \approx 17,32$ .
f) $\widehat{C} = 45^^\circ \Rightarrow$ $Δ A B C$ vuông cân $\Rightarrow b = c = 5$ ; $a = 52 \approx 7, 07$ .

Bài 2:
a) $a = 6^{2} + 8^{2} = 10$ ; $\tan B = 6/8 = 0,75 \Rightarrow \widehat{B} \approx 36^^\circ 52'; \widehat{C} \approx 53^^\circ 08'$ .
b) $c = 1 3^{2} - 1 2^{2} = 5$ ; $\sin B = 12/13 \Rightarrow \widehat{B} \approx 67^^\circ 23'; \widehat{C} \approx 22^^\circ 37'$ .
c) $b = 2 0^{2} - 1 0^{2} = 103 \approx 17, 32$ ; $\cos B = 10/20 = 0,5 \Rightarrow \widehat{B} = 60^^\circ; \widehat{C} = 30^^\circ$ .
d) $a = 7^{2} + 1 0^{2} = 149 \approx 12, 21$ ; $\tan B = 7/10 = 0,7 \Rightarrow \widehat{B} \approx 34^^\circ 59'; \widehat{C} \approx 55^^\circ 01'$ .
e) $c = 1 5^{2} - 9^{2} = 12$ ; $\sin B = 9/15 = 0,6 \Rightarrow \widehat{B} \approx 36^^\circ 52'; \widehat{C} \approx 53^^\circ 08'$ .
f) $a = (53)^{2} + 5^{2} = 75 + 25 = 10$ ; $\tan B = \frac{5\sqrt{3}}{5} = \sqrt{3} \Rightarrow \widehat{B} = 60^^\circ; \widehat{C} = 30^^\circ$ .

Bài 3:
a) $b = 10 \cdot \sin 30^^\circ = 5$ ; $c = 10 \cdot \cos 30^^\circ = 5\sqrt{3}$ . Chu vi $P = 15 + 53 \approx 23, 66 cm$ ; $S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 53 = \frac{25 3}{2} \approx 21, 65 cm^{2}$ .
b) $c = 12 / \tan 40^^\circ \approx 14,30$ ; $a = 12 / \sin 40^^\circ \approx 18,67$ . $P \approx 44, 97 cm$ ; $S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 14, 30 = 85, 8 cm^{2}$ .
c) $b = 9 \cdot \tan 55^^\circ \approx 12,85$ ; $a = 9 / \cos 55^^\circ \approx 15,69$ . $P \approx 37, 54 cm$ ; $S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12, 85 = 57, 83 cm^{2}$ .
d) $b = c = 16 \cdot \sin 45^^\circ = 8\sqrt{2} \approx 11,31$ . $P = 16 + 162 \approx 38, 63 cm$ ; $S = \frac{1}{2} \cdot (82)^{2} = 64 cm^{2}$ .
e) $a = 10$ . $P = 6 + 8 + 10 = 24 cm$ ; $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 cm^{2}$ .
f) $b = 2 5^{2} - 1 5^{2} = 20$ . $P = 15 + 20 + 25 = 60 cm$ ; $S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150 cm^{2}$ .

Bài 4:
a) $AC = AB \cdot \tan B = 12 \cdot \tan 30^^\circ = 4\sqrt{3} \approx 6,93\text{ cm}$ . $BC = \frac{AB}{\cos 30^^\circ} = 8\sqrt{3} \approx 13,86\text{ cm}$ .
b) $AH = AB \cdot \sin 30^^\circ = 12 \cdot 0,5 = 6\text{ cm}$ .
$BH = AB \cdot \cos 30^^\circ = 6\sqrt{3} \approx 10,39\text{ cm}$ ; $C H = B C - B H = 83 - 63 = 23 \approx 3, 46 cm$ .
c) $A D = \frac{2 b c}{b + c} = \frac{2 \cdot 4 3 \cdot 12}{4 3 + 12} = \frac{48 6}{4 ( 3 + 3 )} = \frac{12 6}{3 + 3} \approx 6, 21 cm$ .

Bài 5:
a) Trong $Δ A H B$ vuông tại $H$ : $BH = AB \cdot \sin A = 10 \cdot \sin 40^^\circ \approx 6,43\text{ cm}$ .
$AH = AB \cdot \cos A = 10 \cdot \cos 40^^\circ \approx 7,66\text{ cm}$ .
$C H = A C - A H = 10 - 7, 66 = 2, 34 cm$ .
b) Trong $Δ B H C$ vuông tại $H$ : $B C = B H^{2} + C H^{2} = 6, 4 3^{2} + 2, 3 4^{2} \approx 41, 34 + 5, 48 = 46, 82 \approx 6, 84 cm$ .

Bài 6:
a) Trong $Δ A H B$ vuông tại $H$ : $BH = AB \cdot \sin 60^^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5,20\text{ cm}$ .
$AH = AB \cdot \cos 60^^\circ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3\text{ cm} \Rightarrow CH = AC - AH = 8 - 3 = 5\text{ cm}$ .
b) Trong $Δ B H C$ vuông tại $H$ : $B C = (33)^{2} + 5^{2} = 27 + 25 = 52 = 213 \approx 7, 21 cm$ .
$S_{A B C} = \frac{1}{2} A C \cdot B H = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 33 = 123 \approx 20, 78 cm^{2}$ .

Bài 7:
Diện tích $S_{A B C} = S_{A B D} + S_{A C D}$ .
$S_{A B C} = \frac{1}{2} b c$ .
$S_{ABD} = \frac{1}{2} c \cdot AD \cdot \sin 45^^\circ = \frac{1}{2} c \cdot AD \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
$S_{ACD} = \frac{1}{2} b \cdot AD \cdot \sin 45^^\circ = \frac{1}{2} b \cdot AD \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Do đó $\frac{1}{2} b c = \frac{2}{4} A D (b + c) \Rightarrow A D = \frac{2 b c}{2 ( b + c )} = \frac{2 b c}{b + c}$ (ĐPCM).

Bài 8:
Kẻ đường cao $B H ⊥ A C$ . Ta có $B H = c \cdot sin A$ .
Diện tích $S = \frac{1}{2} A C \cdot B H = \frac{1}{2} b (c sin A) = \frac{1}{2} b c sin A$ .
Tương tự kẻ các đường cao từ $A, C$ thu được $S = \frac{1}{2} a c sin B = \frac{1}{2} ab sin C$ (ĐPCM).

Bài 9:
Chiều cao phần cột cờ trên mắt người: $h_1 = 15 \cdot \tan 42^^\circ \approx 15 \times 0,9004 = 13,51\text{ m}$ .
Chiều cao tổng cộng của cột cờ: $h = h_{1} + 1, 6 = 13, 51 + 1, 6 = 15, 11 m \approx 15, 1 m$ .

Bài 10:
Độ sâu $d = L \cdot \sin 4^^\circ = 450 \cdot \sin 4^^\circ \approx 450 \times 0,0698 = 31,39\text{ m} \approx 31,4\text{ m}$ .