Lớp 9 · Chương IV: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

🚀 Khởi động

📐 Từ Đo Chiều Cao Tháp Cổ đến Tỉ số Lượng giác

Một nhà đo đạc muốn tính chiều cao $h$ của một tòa tháp viễn thông mà không cần trèo lên đỉnh tháp. Ông đứng cách chân tháp $d = 40 m$ và dùng máy kinh vĩ đo được góc nâng đến đỉnh tháp là $\alpha = 35^^\circ$ .

Bằng cách nào toán học có thể giúp tính chính xác chiều cao $h$ ? Câu trả lời chính là Tỉ số Lượng giác của Góc nhọn trong tam giác vuông!

🔍 Khám phá

📖 1. Khái niệm Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Trong tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , xét góc nhọn $B = α$ :

Cạnh $A C$ gọi là cạnh đối của góc $α$ .
Cạnh $A B$ gọi là cạnh kề của góc $α$ .
Cạnh $B C$ gọi là cạnh huyền.

Định nghĩa 4 tỉ số lượng giác:

Sin: $sin α = \frac{Cạnh đ o ˆ ˊ i}{Cạnh huy e ˆ ˋ n} = \frac{A C}{B C}$
Cos: $cos α = \frac{Cạnh k e ˆ ˋ}{Cạnh huy e ˆ ˋ n} = \frac{A B}{B C}$
Tan (Tang): $tan α = \frac{Cạnh đ o ˆ ˊ i}{Cạnh k e ˆ ˋ} = \frac{A C}{A B}$
Cot (Côtang): $cot α = \frac{Cạnh k e ˆ ˋ}{Cạnh đ o ˆ ˊ i} = \frac{A B}{A C}$

Mẹo ghi nhớ dân gian:
Sin đi học (Đối/Huyền) — Cứ khóc hoài (Kề/Huyền) — Thôi đi học (Đối/Kề) — Cứ khóc hoài (Kề/Đối).

3 Ví dụ minh họa Khái niệm Tỉ số lượng giác:

Ví dụ 1: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A B = 6 cm, A C = 8 cm$ . Tính các tỉ số lượng giác của góc $B$ .
- Giải: Cạnh huyền $B C = A B^{2} + A C^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 10 cm$ .
  - $sin B = \frac{A C}{B C} = \frac{8}{10} = 0, 8$ .
  - $cos B = \frac{A B}{B C} = \frac{6}{10} = 0, 6$ .
  - $tan B = \frac{A C}{A B} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ .
  - $cot B = \frac{A B}{A C} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ .
Ví dụ 2: Cho tam giác $M N P$ vuông tại $M$ có $sin N = 0, 6$ . Tính $cos N, tan N, cot N$ .
- Giải: Đặt cạnh đối $M P = 3 k$ , cạnh huyền $N P = 5 k$ ( $k > 0$ ).
  Cạnh kề $M N = N P^{2} - M P^{2} = 25 k^{2} - 9 k^{2} = 4 k$ .
  Suy ra $cos N = \frac{4 k}{5 k} = 0, 8$ ; $tan N = \frac{3 k}{4 k} = 0, 75$ ; $cot N = \frac{4 k}{3 k} = \frac{4}{3}$ .
Ví dụ 3: Cho góc nhọn $α$ thỏa mãn $tan α = 1$ . Tính số đo góc $α$ .
- Giải: Vì $tan α = \frac{Cạnh đ o ˆ ˊ i}{Cạnh k e ˆ ˋ} = 1 \Rightarrow Cạnh đ \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}} i = Cạnh k \overset{ˋ}{\overset{e}{ˆ}}$ .
  Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau là tam giác vuông cân $\Rightarrow \alpha = 45^^\circ$ .

📖 2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau & Bảng góc đặc biệt

1. Định lý góc phụ nhau: Nếu hai góc nhọn $α$ và $β$ phụ nhau ( $\alpha + \beta = 90^^\circ$ ) thì: $sin α = cos β cos α = sin β$ $tan α = cot β cot α = tan β$

2. Bảng tỉ số lượng giác các góc đặc biệt ( $30^^\circ, 45^^\circ, 60^^\circ$ ):

TSLG	$30^^\circ$	$45^^\circ$	$60^^\circ$
$sin α$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$
$cos α$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tan α$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$
$cot α$	$3$	$1$	$\frac{3}{3}$

3 Ví dụ minh họa Góc phụ nhau và Góc đặc biệt:

Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức $A = \sin 30^^\circ + \cos 60^^\circ - \tan 45^^\circ$ .
- Giải: $A = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 = 1 - 1 = 0$ .
Ví dụ 2: Biến đổi các tỉ số lượng giác sau về TSLG của góc nhỏ hơn $45^^\circ$ : $\sin 75^^\circ, \cos 80^^\circ, \tan 65^^\circ$ .
- Giải:
  - $\sin 75^^\circ = \cos(90^^\circ - 75^^\circ) = \cos 15^^\circ$ .
  - $\cos 80^^\circ = \sin(90^^\circ - 80^^\circ) = \sin 10^^\circ$ .
  - $\tan 65^^\circ = \cot(90^^\circ - 65^^\circ) = \cot 25^^\circ$ .
Ví dụ 3: Tính $B = \sin^2 10^^\circ + \sin^2 80^^\circ + \cos^2 20^^\circ + \cos^2 70^^\circ$ .
- Giải: Vì $10^^\circ + 80^^\circ = 90^^\circ \Rightarrow \sin 80^^\circ = \cos 10^^\circ \Rightarrow \sin^2 10^^\circ + \sin^2 80^^\circ = \sin^2 10^^\circ + \cos^2 10^^\circ = 1$ .
  Tương tự $\cos 70^^\circ = \sin 20^^\circ \Rightarrow \cos^2 20^^\circ + \cos^2 70^^\circ = \cos^2 20^^\circ + \sin^2 20^^\circ = 1$ .
  Vậy $B = 1 + 1 = 2$ .

🎯 5 Dạng toán & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông

Phương pháp: Tính độ dài cạnh còn thiếu bằng định lý Pythagore $c = a^{2} + b^{2}$ , sau đó áp dụng định nghĩa 4 TSLG.

Ví dụ 1: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A B = 5, B C = 13$ . Tính $sin B, cos B, tan B$ .
- Lời giải: $A C = B C^{2} - A B^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 144 = 12$ .
  $sin B = \frac{12}{13}$ ; $cos B = \frac{5}{13}$ ; $tan B = \frac{12}{5}$ .
Ví dụ 2: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , đường cao $A H$ . Biết $B H = 4, C H = 9$ . Tính $tan B$ và $tan C$ .
- Lời giải: Theo hệ thức lượng $A H^{2} = B H \cdot C H = 4 \cdot 9 = 36 \Rightarrow A H = 6$ .
  Trong $Δ A H B$ vuông tại $H$ : $tan B = \frac{A H}{B H} = \frac{6}{4} = 1, 5$ .
  Trong $Δ A H C$ vuông tại $H$ : $tan C = \frac{A H}{C H} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ .
Ví dụ 3: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A C = b, A B = c$ . Tính $sin B$ theo $b, c$ .
- Lời giải: $B C = b^{2} + c^{2}$ . Do đó $sin B = \frac{A C}{B C} = \frac{b}{b ^{2} + c ^{2}}$ .

Dạng 2: Tính độ dài cạnh và góc bằng tỉ số lượng giác

Phương pháp: Sử dụng công thức: $Cạnh đ \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}} i = Cạnh huy \overset{ˋ}{\overset{e}{ˆ}} n \cdot sin α$ , $Cạnh k \overset{ˋ}{\overset{e}{ˆ}} = Cạnh huy \overset{ˋ}{\overset{e}{ˆ}} n \cdot cos α$ , $Cạnh đ \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}} i = Cạnh k \overset{ˋ}{\overset{e}{ˆ}} \cdot tan α$ .

Ví dụ 1: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $B C = 10 cm$ và $\widehat{B} = 30^^\circ$ . Tính $A C, A B$ .
- Lời giải: $AC = BC \cdot \sin B = 10 \cdot \sin 30^^\circ = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5\text{ cm}$ .
  $AB = BC \cdot \cos B = 10 \cdot \cos 30^^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\text{ cm}$ .
Ví dụ 2: Thang dựa vào tường tạo với mặt đất góc $60^^\circ$ . Chiều dài thang là $4 m$ . Tính chiều cao mảng tường từ đất lên đầu thang.
- Lời giải: Chiều cao $h = 4 \cdot \sin 60^^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \approx 3,46\text{ m}$ .
Ví dụ 3: Một bóng cây dài $8 m$ trên mặt đất khi tia nắng tạo với mặt đất góc $40^^\circ$ . Tính chiều cao cây.
- Lời giải: Chiều cao cây $h = 8 \cdot \tan 40^^\circ \approx 8 \cdot 0,8391 \approx 6,71\text{ m}$ .

Dạng 3: Sử dụng các Hằng đẳng thức Lượng giác cơ bản

Phương pháp: Sử dụng $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ , $tan α \cdot cot α = 1$ , $tan α = \frac{s i n α}{c o s α}$ .

Ví dụ 1: Cho góc nhọn $α$ có $sin α = 0, 8$ . Tính $cos α, tan α$ .
- Lời giải: Vì $sin^{2} α + cos^{2} α = 1 \Rightarrow cos^{2} α = 1 - 0, 8^{2} = 0, 36 \Rightarrow cos α = 0, 6$ .
  $tan α = \frac{s i n α}{c o s α} = \frac{0 , 8}{0 , 6} = \frac{4}{3}$ .
Ví dụ 2: Cho $tan α = 3$ . Tính $cot α$ và $sin^{2} α$ .
- Lời giải: $cot α = \frac{1}{t a n α} = \frac{1}{3}$ .
  Ta có $1 + tan^{2} α = \frac{1}{c o s ^{2} α} \Rightarrow cos^{2} α = \frac{1}{1 + 9} = \frac{1}{10} \Rightarrow sin^{2} α = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$ .
Ví dụ 3: Chứng minh $1 + tan^{2} α = \frac{1}{c o s ^{2} α}$ .
- Lời giải: $1 + tan^{2} α = 1 + \frac{s i n ^{2} α}{c o s ^{2} α} = \frac{c o s ^{2} α + s i n ^{2} α}{c o s ^{2} α} = \frac{1}{c o s ^{2} α}$ (ĐPCM).

Dạng 4: So sánh các Tỉ số Lượng giác

Phương pháp: Khi góc $α$ tăng từ $0^^\circ$ đến $90^^\circ$ thì $sin α$ và $tan α$ tăng; $cos α$ và $cot α$ giảm.

Ví dụ 1: So sánh $\sin 20^^\circ$ và $\sin 70^^\circ$ .
- Lời giải: Vì $20^^\circ < 70^^\circ$ nên $\sin 20^^\circ < \sin 70^^\circ$ .
Ví dụ 2: So sánh $\cos 25^^\circ$ và $\cos 65^^\circ$ .
- Lời giải: Vì hàm cos giảm trên $(0^^\circ; 90^^\circ)$ và $25^^\circ < 65^^\circ$ nên $\cos 25^^\circ > \cos 65^^\circ$ .
Ví dụ 3: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: $\sin 25^^\circ, \cos 35^^\circ, \sin 50^^\circ, \cos 15^^\circ$ .
- Lời giải: Đưa cos về sin: $\cos 35^^\circ = \sin 55^^\circ$ ; $\cos 15^^\circ = \sin 75^^\circ$ .
  Vì $25^^\circ < 50^^\circ < 55^^\circ < 75^^\circ \Rightarrow \sin 25^^\circ < \sin 50^^\circ < \cos 35^^\circ < \cos 15^^\circ$ .

Dạng 5: Rút gọn và tính giá trị biểu thức Lượng giác

Phương pháp: Ghép các cặp góc phụ nhau ( $\alpha + \beta = 90^^\circ$ ) để biến đổi $sin β = cos α, tan β = cot α$ .

Ví dụ 1: Rút gọn $A = \tan 10^^\circ \cdot \tan 80^^\circ + \cos^2 15^^\circ + \cos^2 75^^\circ$ .
- Lời giải: $\tan 80^^\circ = \cot 10^^\circ \Rightarrow \tan 10^^\circ \cdot \cot 10^^\circ = 1$ .
  $\cos 75^^\circ = \sin 15^^\circ \Rightarrow \cos^2 15^^\circ + \sin^2 15^^\circ = 1$ .
  Vậy $A = 1 + 1 = 2$ .
Ví dụ 2: Cho $tan α = 2$ . Tính giá trị biểu thức $P = \frac{s i n α + c o s α}{s i n α - c o s α}$ .
- Lời giải: Chia cả tử và mẫu cho $cos α \neq = 0$ :
  $P = \frac{t a n α + 1}{t a n α - 1} = \frac{2 + 1}{2 - 1} = 3$ .
Ví dụ 3: Rút gọn $B = (1 - sin^{2} α) \cdot tan^{2} α + 1 - tan^{2} α$ .
- Lời giải: $B = cos^{2} α \cdot \frac{s i n ^{2} α}{c o s ^{2} α} + 1 - tan^{2} α = sin^{2} α + 1 - tan^{2} α$ .

🌍 Vận dụng thực tế

🌍 3 Bài toán ứng dụng đời sống thực tế

Bài toán 1 (Đo chiều cao Ngọn Hải đăng):
Một người quan sát đứng trên đỉnh ngọn hải đăng cao $h = 45 m$ so với mặt nước biển nhìn thấy một con tàu với góc hạ $\alpha = 22^^\circ$ (góc giữa phương nằm ngang từ mắt người nhìn và đường nhìn đến con tàu). Tính khoảng cách từ chân ngọn hải đăng đến con tàu.

Bài toán 2 (Giao thông & Độ dốc Cầu vượt):
Trong tiêu chuẩn thiết kế cầu vượt giao thông, độ nghiêng an toàn tối đa của dốc cầu cho xe máy là $\alpha = 6^^\circ$ . Hỏi để đạt chiều cao lòng đường $h = 5 m$ , độ dài đường dốc cầu $L$ tối thiểu phải bằng bao nhiêu mét?

Bài toán 3 (An toàn Thang Cứu hỏa):
Thang xe cứu hỏa có chiều dài tối đa $L = 30 m$ . Theo tiêu chuẩn kỹ thuật cứu hộ, góc nghiêng an toàn nhất giữa thân thang và mặt đất là $75^^\circ$ . Tính chiều cao tối đa mà thang có thể vươn tới để cứu nạn nhân ở các tầng cao.

✏️ Thực hành tương tác

📌 Hướng dẫn: Công cụ tương tác dưới đây hỗ trợ tính toán chính xác cạnh, góc và các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông!

📐 Máy Tính Giải Tam Giác Vuông (Tại A)

Nhập ít nhất 2 kích thước (trong đó phải có 1 cạnh). Để trống các ô còn lại để máy tự tính.

Cạnh góc vuông b

Cạnh góc vuông c

Cạnh huyền a

Góc B (độ °)

Góc C (độ °)

⭐ Ghi nhớ

Trọng tâm kiến thức Bài 11:

4 TSLG: $sin = \frac{Đ o ˆ ˊ i}{Huy e ˆ ˋ n}$ , $cos = \frac{K e ˆ ˋ}{Huy e ˆ ˋ n}$ , $tan = \frac{Đ o ˆ ˊ i}{K e ˆ ˋ}$ , $cot = \frac{K e ˆ ˋ}{Đ o ˆ ˊ i}$ .
Góc phụ nhau: $sin α = cos β, tan α = cot β$ ( $\alpha + \beta = 90^^\circ$ ).
HĐT lượng giác: $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ , $tan α \cdot cot α = 1$ .

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Tỉ số giữa 'cạnh đối' và 'cạnh huyền' của một góc nhọn $\alpha$ được gọi là gì?

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Tính tỉ số lượng giác của góc $B$ trong các trường hợp tam giác $A B C$ vuông tại $A$ :
a) $A B = 9, A C = 12$
b) $A B = 5, B C = 13$
c) $A C = 15, B C = 25$
d) $A B = a, A C = a 3$
e) $A B = a 2, B C = 2 a$
f) $A H = 4, 8; B H = 3, 6$ (với $A H ⊥ B C$ )

Bài 2: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ . Tính các cạnh còn lại (làm tròn 2 chữ số thập phân):
a) $BC = 12\text{ cm}, \widehat{B} = 40^^\circ$ . Tính $A B, A C$
b) $AB = 8\text{ cm}, \widehat{C} = 35^^\circ$ . Tính $A C, B C$
c) $AC = 10\text{ cm}, \widehat{B} = 50^^\circ$ . Tính $A B, B C$
d) $BC = 20\text{ cm}, \widehat{C} = 60^^\circ$ . Tính $A B, A C$
e) $A B = 6 cm, tan B = 1, 5$ . Tính $A C, B C$
f) $A C = 9 cm, sin B = 0, 6$ . Tính $A B, B C$

Bài 3: Biến đổi và rút gọn biểu thức lượng giác:
a) $A = \sin^2 20^^\circ + \sin^2 70^^\circ - \tan 35^^\circ \cdot \tan 55^^\circ$
b) $B = \cos^2 12^^\circ + \cos^2 78^^\circ + \sin^2 34^^\circ + \sin^2 56^^\circ$
c) $C = \tan 1^^\circ \cdot \tan 2^^\circ \cdot \tan 3^^\circ ... \tan 89^^\circ$
d) $D = \sin 15^^\circ + \sin 75^^\circ - \cos 15^^\circ - \cos 75^^\circ$
e) Cho $sin α = \frac{3}{5}$ . Tính $E = 1 + tan^{2} α$
f) Cho $tan α = 2$ . Tính $F = \frac{2 s i n α - 3 c o s α}{4 s i n α + c o s α}$

Bài 4: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , đường cao $A H$ . Biết $A B = 6 cm, A C = 8 cm$ .
a) Tính $B C, A H, B H, C H$ .
b) Tính $sin B, cos B, tan B$ .
c) Gọi $E, F$ là hình chiếu của $H$ trên $A B, A C$ . Chứng minh $E F = A H$ và $A E \cdot A B = A F \cdot A C$ .

Bài 5: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau với góc nhọn $α$ :
a) $tan^{2} α - sin^{2} α = tan^{2} α \cdot sin^{2} α$
b) $\frac{s i n α}{1 + c o s α} + \frac{1 + c o s α}{s i n α} = \frac{2}{s i n α}$

Bài 6: Cho tam giác $A B C$ có $A B = 10 cm, A C = 14 cm$ và góc $\widehat{A} = 60^^\circ$ . Tính độ dài cạnh $B C$ và diện tích tam giác $A B C$ .

Bài 7: Cho $tan α + cot α = 3$ . Tính giá trị của biểu thức $P = tan^{2} α + cot^{2} α$ và $Q = sin α \cdot cos α$ .

Bài 8: Chứng minh rằng trong mọi tam giác $A B C$ có góc $A$ nhọn thì diện tích $S = \frac{1}{2} A B \cdot A C \cdot sin A$ .

Bài 9 (Thực tế): Một chiếc máy bay cất cánh bay lên theo một đường thẳng tạo với mặt đất góc $20^^\circ$ . Sau 1 phút máy bay đạt độ cao $h = 3000 m$ . Tính vận tốc trung bình của máy bay (km/h).

Bài 10 (Thực tế): Tia nắng mặt trời tạo với mặt đất góc $38^^\circ$ . Một cái cây đổ bóng trên mặt đất dài $12 m$ . Tính chiều cao của cây (làm tròn đến hàng phần mười).

📊 Lời giải chi tiết 10 bài tập tự luận

Bài 1:
a) $B C = 9^{2} + 1 2^{2} = 15 \Rightarrow sin B = 12/15 = 0, 8; cos B = 9/15 = 0, 6; tan B = 4/3; cot B = 3/4$ .
b) $A C = 1 3^{2} - 5^{2} = 12 \Rightarrow sin B = 12/13; cos B = 5/13; tan B = 12/5; cot B = 5/12$ .
c) $A B = 2 5^{2} - 1 5^{2} = 20 \Rightarrow sin B = 15/25 = 0, 6; cos B = 20/25 = 0, 8; tan B = 3/4; cot B = 4/3$ .
d) $B C = 2 a \Rightarrow sin B = \frac{a 3}{2 a} = \frac{3}{2}; cos B = 1/2; tan B = 3; cot B = \frac{3}{3}$ .
e) $A C = 4 a^{2} - 2 a^{2} = a 2 \Rightarrow sin B = \frac{2}{2}; cos B = \frac{2}{2}; tan B = 1; cot B = 1$ .
f) $tan B = A H / B H = 4, 8/3, 6 = 4/3 \Rightarrow sin B = 0, 8; cos B = 0, 6; cot B = 0, 75$ .

Bài 2:
a) $AB = 12 \cdot \cos 40^^\circ \approx 9,19\text{ cm}$ ; $AC = 12 \cdot \sin 40^^\circ \approx 7,71\text{ cm}$ .
b) $\widehat{B} = 55^^\circ \Rightarrow AC = 8 \cdot \tan 55^^\circ \approx 11,43\text{ cm}$ ; $BC = 8 / \sin 35^^\circ \approx 13,95\text{ cm}$ .
c) $AB = 10 / \tan 50^^\circ \approx 8,39\text{ cm}$ ; $BC = 10 / \sin 50^^\circ \approx 13,05\text{ cm}$ .
d) $AC = 20 \cdot \sin 60^^\circ = 10\sqrt{3} \approx 17,32\text{ cm}$ ; $AB = 20 \cdot \cos 60^^\circ = 10\text{ cm}$ .
e) $A C = A B \cdot tan B = 6 \cdot 1, 5 = 9 cm$ ; $B C = 6^{2} + 9^{2} = 117 \approx 10, 82 cm$ .
f) $B C = A C / sin B = 9/0, 6 = 15 cm$ ; $A B = 1 5^{2} - 9^{2} = 12 cm$ .

Bài 3:
a) $\sin 70^^\circ = \cos 20^^\circ \Rightarrow \sin^2 20^^\circ + \cos^2 20^^\circ = 1$ . $\tan 55^^\circ = \cot 35^^\circ \Rightarrow \tan 35^^\circ \cdot \cot 35^^\circ = 1$ . $A = 1 - 1 = 0$ .
b) $(\cos^2 12^^\circ + \sin^2 12^^\circ) + (\sin^2 34^^\circ + \cos^2 34^^\circ) = 1 + 1 = 2$ .
c) Ghép $(\tan 1^^\circ \cdot \tan 89^^\circ)(\tan 2^^\circ \cdot \tan 88^^\circ)... \tan 45^^\circ = 1 \cdot 1 ... 1 = 1$ .
d) $(\sin 15^^\circ - \cos 75^^\circ) + (\sin 75^^\circ - \cos 15^^\circ) = 0 + 0 = 0$ .
e) $cos^{2} α = 1 - (3/5)^{2} = 16/25 \Rightarrow E = 1/ cos^{2} α = 25/16$ .
f) Chia cả tử và mẫu cho $cos α$ : $F = \frac{2 ( 2 ) - 3}{4 ( 2 ) + 1} = \frac{1}{9}$ .

Bài 4:
a) $B C = 10 cm$ . $A H = \frac{A B \cdot A C}{B C} = \frac{48}{10} = 4, 8 cm$ .
$B H = \frac{A B ^{2}}{B C} = \frac{36}{10} = 3, 6 cm$ ; $C H = 10 - 3, 6 = 6, 4 cm$ .
b) $sin B = 0, 8; cos B = 0, 6; tan B = 4/3$ .
c) Tứ giác $A E H F$ có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật $\Rightarrow E F = A H = 4, 8 cm$ .
Áp dụng HTL: $A H^{2} = A E \cdot A B$ và $A H^{2} = A F \cdot A C \Rightarrow A E \cdot A B = A F \cdot A C$ .

Bài 5:
a) VT $= \frac{s i n ^{2} α}{c o s ^{2} α} - sin^{2} α = sin^{2} α (\frac{1}{c o s ^{2} α} - 1) = sin^{2} α (\frac{1 - c o s ^{2} α}{c o s ^{2} α}) = sin^{2} α \cdot \frac{s i n ^{2} α}{c o s ^{2} α} = sin^{2} α \cdot tan^{2} α =$ VP.
b) VT $= \frac{s i n ^{2} α + ( 1 + c o s α ) ^{2}}{s i n α ( 1 + c o s α )} = \frac{s i n ^{2} α + 1 + 2 c o s α + c o s ^{2} α}{s i n α ( 1 + c o s α )} = \frac{2 + 2 c o s α}{s i n α ( 1 + c o s α )} = \frac{2 ( 1 + c o s α )}{s i n α ( 1 + c o s α )} = \frac{2}{s i n α} =$ VP.

Bài 6:
Kẻ đường cao $B H ⊥ A C$ ( $H \in A C$ ).
Trong $Δ A H B$ vuông tại $H$ : $BH = AB \cdot \sin 60^^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\text{ cm}$ .
$AH = AB \cdot \cos 60^^\circ = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5\text{ cm} \Rightarrow HC = AC - AH = 14 - 5 = 9\text{ cm}$ .
Trong $Δ B H C$ vuông tại $H$ : $B C = B H^{2} + H C^{2} = (53)^{2} + 9^{2} = 75 + 81 = 156 = 239 \approx 12, 49 cm$ .
Diện tích $S_{A B C} = \frac{1}{2} A C \cdot B H = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 53 = 353 \approx 60, 62 cm^{2}$ .

Bài 7:
$P = (tan α + cot α)^{2} - 2 tan α cot α = 3^{2} - 2 (1) = 7$ .
$tan α + cot α = \frac{s i n α}{c o s α} + \frac{c o s α}{s i n α} = \frac{s i n ^{2} α + c o s ^{2} α}{s i n α c o s α} = \frac{1}{s i n α c o s α} = 3 \Rightarrow Q = sin α cos α = \frac{1}{3}$ .

Bài 8:
Kẻ đường cao $B H ⊥ A C$ ( $H \in A C$ ).
Trong tam giác vuông $A B H$ , ta có $B H = A B \cdot sin A$ .
Diện tích tam giác $A B C$ là $S = \frac{1}{2} A C \cdot B H = \frac{1}{2} A C \cdot (A B \cdot sin A) = \frac{1}{2} A B \cdot A C \cdot sin A$ (ĐPCM).

Bài 9:
Quãng đường máy bay dốc lên trong 1 phút: $L = \frac{h}{\sin 20^^\circ} = \frac{3000}{\sin 20^^\circ} \approx 8771,4\text{ m} \approx 8,7714\text{ km}$ .
Đổi 1 phút $= \frac{1}{60}$ giờ.
Vận tốc máy bay $v = \frac{8 , 7714}{1/60} \approx 526, 3 km/h$ .

Bài 10:
Chiều cao của cây $h = 12 \cdot \tan 38^^\circ \approx 12 \times 0,7813 = 9,375\text{ m} \approx 9,4\text{ m}$ .