Bài 10: Căn bậc ba và căn thức bậc ba

3 Ví dụ minh họa Khái niệm Căn bậc ba:

• Ví dụ 1: Tính căn bậc ba của các số: $27,-125,0,008$.

  • Giải:
    • $\sqrt[3]{27}=3$ (vì $3^3=27$).
    • $\sqrt[3]{-125}=-5$ (vì $(-5{)}^3=-125$).
    • $\sqrt[3]{0,008}=0,2$ (vì $(0,2{)}^3=0,008$).

• Ví dụ 2: So sánh 4 và $\sqrt[3]{63}$.

  • Giải: $4=\sqrt[3]{4^3}=\sqrt[3]{64}$.
    Vì $64>63\Rightarrow \sqrt[3]{64}>\sqrt[3]{63}\Rightarrow 4>\sqrt[3]{63}$.

• Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức $A=\sqrt[3]{8x^3}-3x$.

  • Giải: $A=\sqrt[3]{(2x{)}^3}-3x=2x-3x=-x$.

3 Ví dụ minh họa Tính chất Căn bậc ba:

• Ví dụ 1: Tính $A=\sqrt[3]{16}\cdot \sqrt[3]{4}$.

  • Giải: $A=\sqrt[3]{16\cdot 4}=\sqrt[3]{64}=4$.

• Ví dụ 2: Tính $B=\frac{\sqrt[3]{135}}{\sqrt[3]{5}}$.

  • Giải: $B=\sqrt[3]{\frac{135}{5}}=\sqrt[3]{27}=3$.

• Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức $C=\sqrt[3]{a^3{b}^6}$.

  • Giải: $C=\sqrt[3]{a^3}\cdot \sqrt[3]{(b^2{)}^3}=a\cdot b^2=a{b}^2$.

• Ví dụ 1: Tính giá trị $A=\sqrt[3]{216}-\sqrt[3]{-64}+\sqrt[3]{-1}$.

  • Lời giải: $A=6-(-4)+(-1)=6+4-1=9$.

• Ví dụ 2: So sánh $5\sqrt[3]{2}$ và $2\sqrt[3]{30}$.

  • Lời giải: $5\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{5^3\cdot 2}=\sqrt[3]{125\cdot 2}=\sqrt[3]{250}$.
    $2\sqrt[3]{30}=\sqrt[3]{2^3\cdot 30}=\sqrt[3]{8\cdot 30}=\sqrt[3]{240}$.
    Vì $250>240\Rightarrow \sqrt[3]{250}>\sqrt[3]{240}\Rightarrow 5\sqrt[3]{2}>2\sqrt[3]{30}$.

• Ví dụ 3: Tìm $x$ biết $\sqrt[3]{x}>-3$.

  • Lời giải: Lập phương hai vế: $x>(-3{)}^3\iff x>-27$.

• Ví dụ 1: Rút gọn $A=\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{2}$.

  • Lời giải: $\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}$.
    $\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{8\cdot 2}=2\sqrt[3]{2}$.
    $A=3\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}$.

• Ví dụ 2: Rút gọn $B=\sqrt[3]{27x^3{y}^6}-2x{y}^2$.

  • Lời giải: $B=3x{y}^2-2x{y}^2=x{y}^2$.

• Ví dụ 3: Rút gọn $C=(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})$.

  • Lời giải: Áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương $X^3+Y^3=(X+Y)(X^2-XY+Y^2)$:
    $C=(\sqrt[3]{a}{)}^3+(\sqrt[3]{b}{)}^3=a+b$.

• Ví dụ 1: Giải phương trình $\sqrt[3]{2x-1}=3$.

  • Lời giải: Lập phương hai vế: $2x-1=3^3\iff 2x-1=27\iff 2x=28\iff x=14$. Tập nghiệm $S=\{14\}$.

• Ví dụ 2: Giải phương trình $\sqrt[3]{x^3-3x^2+3x}=1$.

  • Lời giải: Lập phương hai vế: $x^3-3x^2+3x=1\iff x^3-3x^2+3x-1=0\iff (x-1{)}^3=0\iff x-1=0\iff x=1$.

• Ví dụ 3: Giải phương trình $\sqrt[3]{5x+3}=-2$.

  • Lời giải: Lập phương hai vế: $5x+3=(-2{)}^3=-8\iff 5x=-11\iff x=-2,2$.

• Ví dụ 1: Rút gọn $A=\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}$.

  • Lời giải: Ta có $(2+\sqrt{2}{)}^3=2^3+3(2^2)\sqrt{2}+3(2)(\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^3=8+12\sqrt{2}+12+2\sqrt{2}=20+14\sqrt{2}$.
    Tương tự $(2-\sqrt{2}{)}^3=20-14\sqrt{2}$.
    Do đó $A=(2+\sqrt{2})+(2-\sqrt{2})=4$.

• Ví dụ 2: Rút gọn $B=\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}$.

  • Lời giải: Phân tích $7+5\sqrt{2}=(1+\sqrt{2}{)}^3$.
    $B=\sqrt[3]{(1+\sqrt{2}{)}^3}=1+\sqrt{2}$.

• Ví dụ 3: Rút gọn $C=\sqrt[3]{2+11\sqrt{2}}-\sqrt[3]{2-11\sqrt{2}}$.

  • Lời giải: Đặt $C=x\Rightarrow x^3=(a+b)=4+3\sqrt[3]{(2+11\sqrt{2})(2-11\sqrt{2})}\cdot x$… Giải PT $x^3+15x-4=0$.

• Ví dụ 1: Thể tích một bể chứa nước hình lập phương là $V=3,375{\text{ m}}^3$. Tính độ dài cạnh bể chứa nước.

  • Lời giải: Độ dài cạnh bể $a=\sqrt[3]{3,375}=1,5\text{ m}$.

• Ví dụ 2: Quả cầu sắt có thể tích $V=36\pi {\text{ cm}}^3$. Tính bán kính $R$ của quả cầu.

  • Lời giải: $V=\frac{4}{3}\pi R^3=36\pi \Rightarrow R^3=\frac{36\times 3}{4}=27\Rightarrow R=\sqrt[3]{27}=3\text{ cm}$.

• Ví dụ 3: Một thỏi vàng hình lập phương được đúc lại từ 8 thỏi vàng nhỏ hình lập phương cạnh 2 cm. Tính cạnh của thỏi vàng mới.

  • Lời giải: Thể tích thỏi nhỏ $V_1=2^3=8{\text{ cm}}^3$. Thể tích thỏi mới $V=8\times 8=64{\text{ cm}}^3$.
    Cạnh thỏi mới $a=\sqrt[3]{64}=4\text{ cm}$.