Lớp 9 · Chương I: Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1: Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

🚀 Khởi động

🐕 Vừa gà vừa chó — Bài toán dân gian và ngôn ngữ Đại số

Bài toán cổ Việt Nam nổi tiếng:

“Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn.
Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?”

Nếu gọi số con gà là $x$ ( $x \in N^{*}$ ) và số con chó là $y$ ( $y \in N^{*}$ ), ta thu được hai mối liên hệ:

Tổng số con là 36: $x + y = 36$
Tổng số chân là 100 (gà có 2 chân, chó có 4 chân): $2 x + 4 y = 100$

Hai hệ thức trên chính là ví dụ điển hình về phương trình bậc nhất hai ẩn. Khi kết hợp chúng lại, ta có một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

🔍 Khám phá

📖 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Định nghĩa: Phương trình bậc nhất hai ẩn $x$ và $y$ là hệ thức có dạng: $a x + b y = c$ Trong đó $a, b, c$ là các số thực cho trước ( $a$ và $b$ không đồng thời bằng 0).

$x, y$ gọi là các ẩn số.
$a, b$ gọi là các hệ số của ẩn; $c$ là hằng số tự do.

Khái niệm nghiệm:

Mỗi cặp số $(x_{0}; y_{0})$ sao cho $a x_{0} + b y_{0} = c$ là một đẳng thức đúng được gọi là một nghiệm của phương trình $a x + b y = c$ .
Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một đường thẳng $(d) : a x + b y = c$ .

3 Ví dụ minh họa Lý thuyết 1:

Ví dụ 1: Xét phương trình $3 x - 2 y = 6$ .
- Xác định các hệ số: $a = 3, b = - 2, c = 6$ .
- Cặp số $(2; 0)$ có là nghiệm không? Thay $x = 2, y = 0$ : $3 (2) - 2 (0) = 6$ (đúng). Vậy $(2; 0)$ là một nghiệm.
Ví dụ 2: Biểu diễn nghiệm tổng quát của phương trình $x - 3 y = 2$ .
- Rút $x$ theo $y$ : $x = 3 y + 2$ .
- Tập nghiệm tổng quát là ${x = 3 y + 2 y \in R$ hoặc cặp số $(3 y + 2; y)$ với mọi $y \in R$ .
Ví dụ 3: Xét phương trình $0 x + 3 y = 9$ .
- Thu gọn: $3 y = 9 \Leftrightarrow y = 3$ .
- Tất cả các cặp số có dạng $(x; 3)$ với $x \in R$ tùy ý đều là nghiệm. Đường thẳng biểu diễn là đường thẳng $y = 3$ song song với trục hoành Ox.

📖 2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Định nghĩa: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát: ${a x + b y = c a^{'} x + b^{'} y = c^{'}$ Trong đó $a x + b y = c$ và $a^{'} x + b^{'} y = c^{'}$ là hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

Cặp số $(x_{0}; y_{0})$ thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình được gọi là một nghiệm của hệ.
Biểu diễn hình học nghiệm của hệ: Gọi $(d_{1})$ và $(d_{2})$ lần lượt là hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong hệ.
1. $(d_{1})$ cắt $(d_{2})$ tại $M (x_{0}; y_{0}) \Rightarrow$ Hệ có nghiệm duy nhất $(x_{0}; y_{0})$ .
2. $(d_{1}) // (d_{2}) \Rightarrow$ Hệ vô nghiệm.
3. $(d_{1}) \equiv (d_{2}) \Rightarrow$ Hệ có vô số nghiệm.

3 Ví dụ minh họa Lý thuyết 2:

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình ${x + y = 3 2 x - y = 3$ . Cặp số $(2; 1)$ có phải là nghiệm của hệ không?
- Thay $x = 2, y = 1$ vào phương trình (1): $2 + 1 = 3$ (đúng).
- Thay $x = 2, y = 1$ vào phương trình (2): $2 (2) - 1 = 3$ (đúng).
- Đẳng thức đúng ở cả 2 phương trình $\Rightarrow (2; 1)$ là nghiệm của hệ.
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình ${2 x - y = 4 2 x - y = 1$ . Giải thích vì sao hệ vô nghiệm.
- Vế trái hai phương trình giống nhau ( $2 x - y$ ), nhưng vế phải một bên bằng 4, một bên bằng 1. Không tồn tại cặp số $(x; y)$ nào vừa có $2 x - y = 4$ vừa có $2 x - y = 1$ . Đường thẳng $(d_{1}) : 2 x - y = 4$ song song với $(d_{2}) : 2 x - y = 1$ . Vậy hệ vô nghiệm.
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình ${x - 2 y = 1 2 x - 4 y = 2$ .
- Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2, ta thu được phương trình thứ hai: $2 (x - 2 y) = 2 (1) \Leftrightarrow 2 x - 4 y = 2$ .
- Hai phương trình biểu diễn cùng một đường thẳng $(d) \Rightarrow$ Hệ có vô số nghiệm có dạng $(2 y + 1; y)$ với $y \in R$ .

🎯 5 Dạng toán & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Nhận biết phương trình, hệ phương trình và xác định các hệ số

Phương pháp:
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $a x + b y = c$ với $a^{2} + b^{2} \neq = 0$ .
2. Bậc của $x$ và $y$ phải là 1, không chứa tích $x y$ hay ẩn ở mẫu số.
3. Hệ hai phương trình gồm 2 phương trình bậc nhất 2 ẩn ghép lại.

Ví dụ 1: Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất 2 ẩn: $a) 2 x - 5 y = 1$ ; $b) x^{2} + y = 3$ ; $c) 0 x + 0 y = 4$ ; $d) 0 x - 3 y = 9$ ?
- Lời giải: $a)$ và $d)$ là các phương trình bậc nhất hai ẩn. $b)$ chứa $x^{2}$ (bậc 2). $c)$ có $a = b = 0$ .
Ví dụ 2: Xác định hệ số $a, b, c$ của phương trình bậc nhất 2 ẩn: $3 x + \frac{1}{2} y = - 4$ .
- Lời giải: Hệ số $a = 3$ , $b = \frac{1}{2}$ , $c = - 4$ .
Ví dụ 3: Trong các hệ sau, hệ nào là hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn? $H_{1} : {2 x - y = 3 x + 4 y = 0$ ; $H_{2} : {x - y = 1 x y = 2$ .
- Lời giải: $H_{1}$ là hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn. $H_{2}$ không phải vì chứa tích $x y$ ở phương trình 2.

Dạng 2: Kiểm tra một cặp số $(x_{0}; y_{0})$ có là nghiệm của PT hay hệ PT

Phương pháp:
1. Thay $x = x_{0}$ và $y = y_{0}$ vào vế trái và vế phải của phương trình/hệ.
2. Nếu thu được đẳng thức đúng ở cả 2 phương trình thì cặp số là nghiệm. Nếu sai ở ít nhất 1 phương trình thì không là nghiệm.

Ví dụ 1: Cặp số $(3; - 1)$ có là nghiệm của phương trình $2 x + 3 y = 3$ không?
- Lời giải: Thay $x = 3, y = - 1$ : $2 (3) + 3 (- 1) = 6 - 3 = 3$ (đúng). Vậy $(3; - 1)$ là một nghiệm.
Ví dụ 2: Kiểm tra xem $(1; 2)$ có phải là nghiệm của hệ ${3 x - y = 1 x + y = 4$ hay không.
- Lời giải: Thay $x = 1, y = 2$ : $3 (1) - 2 = 1$ (đúng); $1 + 2 = 3 \neq = 4$ (sai). Vậy $(1; 2)$ không là nghiệm của hệ.
Ví dụ 3: Tìm $a$ để cặp số $(- 2; 1)$ là nghiệm của phương trình $a x - 3 y = 5$ .
- Lời giải: Thay $x = - 2, y = 1$ : $a (- 2) - 3 (1) = 5 \Leftrightarrow - 2 a - 3 = 5 \Leftrightarrow - 2 a = 8 \Leftrightarrow a = - 4$ .

Dạng 3: Viết nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm trên Oxy

Phương pháp:
1. Để viết nghiệm tổng quát của $a x + b y = c$ :
  - Nếu $b \neq = 0$ , rút $y = \frac{c - a x}{b} \Rightarrow$ Nghiệm tổng quát: ${x \in R y = - \frac{a}{b} x + \frac{c}{b}$ .
  - Nếu $a \neq = 0, b = 0$ , rút $x = \frac{c}{a} \Rightarrow$ Nghiệm tổng quát: ${x = \frac{c}{a} y \in R$ .
2. Xác định hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng $a x + b y = c$ rồi nối lại để vẽ đường thẳng.

Ví dụ 1: Viết nghiệm tổng quát của phương trình $3 x - y = 2$ .
- Lời giải: Rút $y = 3 x - 2$ . Tập nghiệm tổng quát: ${x \in R y = 3 x - 2$ .
Ví dụ 2: Viết nghiệm tổng quát của phương trình $2 x + 0 y = 6$ .
- Lời giải: $2 x = 6 \Leftrightarrow x = 3$ . Tập nghiệm tổng quát: ${x = 3 y \in R$ .
Ví dụ 3: Xác định hai điểm thuộc đường thẳng $d : x + 2 y = 4$ để vẽ đồ thị.
- Lời giải: Cho $x = 0 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow A (0; 2)$ . Cho $y = 0 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow B (4; 0)$ . Đường thẳng đi qua $A (0; 2)$ và $B (4; 0)$ .

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số $m$ liên quan đến nghiệm

Phương pháp: Thay tọa độ nghiệm cho trước vào hệ/phương trình để lập phương trình chứa tham số $m$ , sau đó giải tìm $m$ .

Ví dụ 1: Tìm $m$ để hệ ${m x + y = 5 2 x - y = 1$ nhận $(x; y) = (2; 3)$ làm nghiệm.
- Lời giải: Thay $x = 2, y = 3$ vào phương trình thứ nhất: $m (2) + 3 = 5 \Leftrightarrow 2 m = 2 \Leftrightarrow m = 1$ . Thử lại phương trình hai: $2 (2) - 3 = 1$ (đúng). Vậy $m = 1$ .
Ví dụ 2: Tìm $m$ để đường thẳng $(d) : (m - 1) x + 2 y = 4$ đi qua điểm $A (1; 3)$ .
- Lời giải: Thay $x = 1, y = 3$ : $(m - 1) (1) + 2 (3) = 4 \Leftrightarrow m - 1 + 6 = 4 \Leftrightarrow m = - 1$ .
Ví dụ 3: Xác định $m$ để hai đường thẳng $(d_{1}) : x - y = 1$ và $(d_{2}) : m x + y = 3$ cắt nhau tại điểm có hoành độ $x = 2$ .
- Lời giải: Thay $x = 2$ vào $(d_{1}) \Rightarrow 2 - y = 1 \Rightarrow y = 1$ . Thay $(2; 1)$ vào $(d_{2}) \Rightarrow m (2) + 1 = 3 \Rightarrow 2 m = 2 \Rightarrow m = 1$ .

Dạng 5: Lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn từ bài toán thực tế

Phương pháp:
1. Chọn hai đại lượng chưa biết làm ẩn $x$ và $y$ (kèm đơn vị và điều kiện).
2. Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo $x$ và $y$ .
3. Lập hai phương trình liên hệ các dữ kiện đề bài để được hệ phương trình.

Ví dụ 1: Mua 3 cuốn vở và 2 cái bút hết 45 nghìn đồng. Mua 2 cuốn vở và 4 cái bút hết 50 nghìn đồng. Lập hệ phương trình.
- Lời giải: Gọi giá 1 cuốn vở là $x$ (nghìn đồng), giá 1 cái bút là $y$ (nghìn đồng) ( $x, y > 0$ ). Hệ phương trình: ${3 x + 2 y = 45 2 x + 4 y = 50$ .
Ví dụ 2: Hai chiếc xe khởi hành cùng lúc từ A và B cách nhau 120 km đi ngược chiều gặp nhau sau 2 giờ. Lập phương trình biểu thị tổng quãng đường.
- Lời giải: Gọi vận tốc xe đi từ A là $x$ (km/h), từ B là $y$ (km/h) ( $x, y > 0$ ). Quãng đường 2 xe đi được sau 2h lần lượt là $2 x$ và $2 y$ . Phương trình: $2 x + 2 y = 120 \Leftrightarrow x + y = 60$ .
Ví dụ 3: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 100 m, chiều dài hơn chiều rộng 10 m. Lập hệ phương trình.
- Lời giải: Gọi chiều dài là $x$ (m), chiều rộng là $y$ (m) ( $x > y > 0$ ). Nửa chu vi $x + y = 50$ . Hiệu hai kích thước $x - y = 10$ . Hệ phương trình: ${x + y = 50 x - y = 10$ .

🌍 Vận dụng thực tế

🌍 3 Bài toán ứng dụng đời sống thực tế

Bài toán 1 (Tài chính & Tiêu dùng):
Bạn Nam đến siêu thị mua 2 kg táo và 3 kg cam hết tổng cộng 210 nghìn đồng. Lần sau, giá táo giảm 10% và giá cam giảm 5%, Nam mua 3 kg táo và 2 kg cam hết 213 nghìn đồng.
a) Lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn biểu thị số tiền Nam mua ở hai lần.
b) Kiểm tra xem giá ban đầu 1 kg táo là 60 nghìn đồng và 1 kg cam là 30 nghìn đồng có thỏa mãn hệ phương trình không.

Bài toán 2 (Kỹ thuật & Xây dựng):
Một xưởng cơ khí đúc hai loại chi tiết máy A và B. Chi tiết A dùng 3 kg sắt và 1 kg đồng; chi tiết B dùng 2 kg sắt và 2 kg đồng. Tổng khối lượng sắt xưởng đã dùng là 120 kg, tổng khối lượng đồng là 60 kg.
a) Gọi $x, y$ lần lượt là số chi tiết máy loại A và B đúc được. Lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn liên hệ $x$ và $y$ .
b) Giải thích ý nghĩa nghiệm của hệ phương trình đối với kế hoạch sản xuất của xưởng.

Bài toán 3 (Đo đạc & Địa lý):
Để đo khoảng cách giữa hai vị trí A và B ở hai bên bờ sông, cán bộ đo đạc lập hệ phương trình vị trí dựa trên 2 đường thẳng quan sát $d_{1} : 2 x - y = 4$ và $d_{2} : x + 2 y = 7$ trên bản đồ tọa độ vệ tinh (đơn vị km). Tìm tọa độ vị trí giao điểm của hai đường quan sát để xác định vị trí đặt cầu.

✏️ Thực hành tương tác

📌 Hướng dẫn: Thực hành tương tác dưới đây giúp bạn rèn luyện phản xạ nhận biết phương trình bậc nhất hai ẩn và kiểm tra nghiệm của hệ. Nhấn nút trả lời và theo dõi điểm số cùng chuỗi trả lời đúng (Streak)!

📘 Luyện tập - Phương trình bậc nhất hai ẩn

🏆0

🔍 Nhận biết

Phương trình đã cho có phải PT bậc nhất hai ẩn?

Phương trình

\frac{1}{x} + y = 3

✅ Kiểm tra nghiệm

Cặp số (x; y) có là nghiệm của PT?

Phương trình

4x + y = -16

Kiểm tra cặp số:

(-3; -1)

📘 Luyện tập - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

🏆0

🔍 Nhận biết

Hệ đã cho có phải hệ PT bậc nhất hai ẩn?

Hệ phương trình

\begin{cases} -4x - 4y = -1 \\ -2x + y = -1 \end{cases}

✅ Kiểm tra nghiệm

Cặp số (x; y) có là nghiệm của hệ?

Hệ phương trình

\begin{cases} 3x - 5y = -9 \\ -3x - 2y = -12 \end{cases}

Kiểm tra cặp số:

(2; 3)

⭐ Ghi nhớ

Trọng tâm kiến thức Bài 1:

Phương trình bậc nhất 2 ẩn $a x + b y = c$ ( $a^{2} + b^{2} \neq = 0$ ):
- Luôn có vô số nghiệm.
- Biểu diễn tập nghiệm trên Oxy là một đường thẳng $(d)$ .
Hệ 2 phương trình bậc nhất 2 ẩn ${a x + b y = c a^{'} x + b^{'} y = c^{'}$ :
- Nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng biểu diễn 2 phương trình.
- Có 1 nghiệm duy nhất khi 2 đường thẳng cắt nhau.
- Vô nghiệm khi 2 đường thẳng song song.
- Vô số nghiệm khi 2 đường thẳng trùng nhau.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn?

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho các phương trình sau. Hãy cho biết phương trình nào là phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ . Chỉ rõ các hệ số $a, b, c$ tương ứng:
a) $4 x - 3 y = 7$
b) $0 x + 2 y = - 6$
c) $3 x^{2} - y = 1$
d) $x - 0 y = 5$
e) $0 x + 0 y = 0$
f) $\frac{2}{x} + y = 3$

Bài 2: Kiểm tra xem cặp số $(x; y) = (2; - 1)$ có phải là nghiệm của các phương trình/hệ phương trình sau đây hay không:
a) $3 x + 2 y = 4$
b) $x - 4 y = 5$
c) $0 x + 5 y = - 5$
d) ${x + y = 1 2 x - 3 y = 7$
e) ${3 x - 2 y = 8 x + 4 y = - 2$
f) ${2 x + y = 4 x - y = 2$

Bài 3: Viết nghiệm tổng quát và chỉ ra 2 nghiệm cụ thể cho mỗi phương trình sau:
a) $2 x - y = 3$
b) $x + 3 y = 6$
c) $3 x + 0 y = 9$
d) $0 x - 2 y = 4$
e) $x - y = 0$
f) $4 x + 2 y = 1$

Bài 4: Cho phương trình $2 x + y = 4$ .
a) Viết nghiệm tổng quát của phương trình và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
b) Xác định giao điểm của đường thẳng này với hai trục tọa độ Ox và Oy. Tính diện tích tam giác tạo bởi đường thẳng và hai trục tọa độ.

Bài 5: Cho hệ phương trình ${(m - 1) x + y = 3 3 x - y = m$ .
a) Tìm $m$ để hệ phương trình nhận cặp số $(1; 2)$ làm nghiệm.
b) Với $m = 4$ , tìm nghiệm duy nhất của hệ phương trình.

Bài 6: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x; y)$ thỏa mãn phương trình $3 x + 2 y = 19$ .

Bài 7: Cho ba đường thẳng $(d_{1}) : 2 x - y = 1$ , $(d_{2}) : x + y = 5$ , và $(d_{3}) : m x + 2 y = 7$ .
a) Tìm tọa độ giao điểm $I$ của $(d_{1})$ và $(d_{2})$ .
b) Tìm $m$ để ba đường thẳng $(d_{1}), (d_{2}), (d_{3})$ đồng quy tại $I$ .

Bài 8: Cho hai đường thẳng $(d_{1}) : (m + 1) x - y = 2$ và $(d_{2}) : 2 x - y = n$ . Tìm các giá trị của $m$ và $n$ để:
a) $(d_{1})$ và $(d_{2})$ cắt nhau tại điểm $A (1; 1)$ .
b) $(d_{1})$ và $(d_{2})$ song song với nhau.
c) $(d_{1})$ và $(d_{2})$ trùng nhau.

Bài 9 (Thực tế): Một xưởng sản xuất bàn ghế gỗ nhận hợp đồng làm 100 sản phẩm gồm bàn (x) và ghế (y). Mỗi chiếc bàn cần 4 giờ công chế tác, mỗi chiếc ghế cần 2 giờ công chế tác. Tổng số giờ công xưởng có là 280 giờ.
a) Lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn liên hệ giữa số bàn và số ghế cần làm.
b) Giải hệ phương trình để tính số bàn và số ghế xưởng sản xuất đúng theo hợp đồng và số giờ công.

Bài 10 (Thực tế): Hai xe ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 180 km đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Nếu xe đi từ A khởi hành trước xe đi từ B 45 phút thì hai xe gặp nhau sau 1 giờ 48 phút kể từ khi xe B xuất phát.
a) Lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn liên hệ vận tốc hai xe.
b) Tính vận tốc của mỗi xe ô tô.

📊 Lời giải chi tiết 10 bài tập tự luận

Bài 1:
a) Là PT bậc nhất 2 ẩn, hệ số $a = 4, b = - 3, c = 7$ .
b) Là PT bậc nhất 2 ẩn, hệ số $a = 0, b = 2, c = - 6$ .
c) Không phải (vì $x^{2}$ có bậc 2).
d) Là PT bậc nhất 2 ẩn, hệ số $a = 1, b = 0, c = 5$ .
e) Không phải (vì $a = b = 0$ ).
f) Không phải (chứa ẩn $x$ ở mẫu số).

Bài 2: Thay $x = 2, y = - 1$ :
a) $3 (2) + 2 (- 1) = 4$ (Đúng) $\Rightarrow$ Là nghiệm.
b) $2 - 4 (- 1) = 6 \neq = 5$ $\Rightarrow$ Không là nghiệm.
c) $0 (2) + 5 (- 1) = - 5$ (Đúng) $\Rightarrow$ Là nghiệm.
d) $2 + (- 1) = 1$ và $2 (2) - 3 (- 1) = 7$ (Đúng cả 2) $\Rightarrow$ Là nghiệm của hệ.
e) $3 (2) - 2 (- 1) = 8$ và $2 + 4 (- 1) = - 2$ (Đúng cả 2) $\Rightarrow$ Là nghiệm của hệ.
f) $2 (2) + (- 1) = 3 \neq = 4$ $\Rightarrow$ Không là nghiệm của hệ.

Bài 3:
a) Nghiệm TQ: ${x \in R y = 2 x - 3$ . Hai nghiệm: $(0; - 3), (2; 1)$ .
b) Nghiệm TQ: ${x = 6 - 3 y y \in R$ . Hai nghiệm: $(6; 0), (0; 2)$ .
c) $3 x = 9 \Leftrightarrow x = 3$ . Nghiệm TQ: ${x = 3 y \in R$ . Hai nghiệm: $(3; 0), (3; 5)$ .
d) $- 2 y = 4 \Leftrightarrow y = - 2$ . Nghiệm TQ: ${x \in R y = - 2$ . Hai nghiệm: $(0; - 2), (4; - 2)$ .
e) Nghiệm TQ: ${x \in R y = x$ . Hai nghiệm: $(0; 0), (3; 3)$ .
f) Nghiệm TQ: ${x \in R y = \frac{1 - 4 x}{2}$ . Hai nghiệm: $(0; 0, 5), (1; - 1, 5)$ .

Bài 4:
a) Nghiệm TQ: ${x \in R y = 4 - 2 x$ .
Giao Oy tại $A (0; 4)$ , giao Ox tại $B (2; 0)$ . Đồ thị là đường thẳng đi qua $A (0; 4)$ và $B (2; 0)$ .
b) Độ dài $O A = ∣4∣ = 4$ , $O B = ∣2∣ = 2$ . Tam giác OAB vuông tại O có diện tích $S = \frac{1}{2} O A \cdot O B = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$ (đvdt).

Bài 5:
a) Thay $(x; y) = (1; 2)$ vào hệ:
${(m - 1) (1) + 2 = 3 3 (1) - 2 = m \Rightarrow {m - 1 + 2 = 3 m = 1 \Rightarrow m = 1$ .
b) Với $m = 4$ , hệ là ${3 x + y = 3 3 x - y = 4$ .
Cộng hai PT vế theo vế: $6 x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{6}$ .
Thay vào $y = 3 - 3 x = 3 - 3 (\frac{7}{6}) = - \frac{1}{2}$ . Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(\frac{7}{6}; - \frac{1}{2})$ .

Bài 6:
Ta có $3 x + 2 y = 19 \Rightarrow 2 y = 19 - 3 x \Rightarrow y = \frac{19 - 3 x}{2}$ .
Vì $y \in N^{*} \Rightarrow 19 - 3 x > 0 \Rightarrow 3 x < 19 \Rightarrow x \leq 6$ .
Đồng thời $19 - 3 x$ phải chia hết cho 2 $\Rightarrow 3 x$ là số lẻ $\Rightarrow x$ là số lẻ.
Do đó $x \in {1; 3; 5}$ :

Với $x = 1 \Rightarrow y = \frac{19 - 3 ( 1 )}{2} = 8 \Rightarrow (1; 8)$ .
Với $x = 3 \Rightarrow y = \frac{19 - 3 ( 3 )}{2} = 5 \Rightarrow (3; 5)$ .
Với $x = 5 \Rightarrow y = \frac{19 - 3 ( 5 )}{2} = 2 \Rightarrow (5; 2)$ .
Các cặp số nguyên dương cần tìm là $(1; 8), (3; 5), (5; 2)$ .

Bài 7:
a) Giải hệ tạo bởi $(d_{1})$ và $(d_{2})$ :
${2 x - y = 1 x + y = 5 \Rightarrow 3 x = 6 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow y = 3$ . Giao điểm $I (2; 3)$ .
b) Để $(d_{3})$ đi qua $I (2; 3)$ , thay $x = 2, y = 3$ vào $(d_{3})$ :
$m (2) + 2 (3) = 7 \Leftrightarrow 2 m + 6 = 7 \Leftrightarrow 2 m = 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$ .

Bài 8:
a) Thay $(1; 1)$ vào cả hai đường thẳng:
$(d_{1}) : (m + 1) (1) - 1 = 2 \Rightarrow m + 1 = 3 \Rightarrow m = 2$ .
$(d_{2}) : 2 (1) - 1 = n \Rightarrow n = 1$ .
b) $(d_{1}) // (d_{2}) \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ m + 1 = 2 - 1 = - 1 2 \neq = n \Rightarrow {m = 1 n \neq = 2$ .
c) $(d_{1}) \equiv (d_{2}) \Leftrightarrow {m + 1 = 2 n = 2 \Rightarrow {m = 1 n = 2$ .

Bài 9:
a) Gọi số bàn là $x$ , số ghế là $y$ ( $x, y \in N^{*}$ ).
Tổng số sản phẩm: $x + y = 100$ .
Tổng số giờ công: $4 x + 2 y = 280$ .
Hệ phương trình: ${x + y = 100 4 x + 2 y = 280$ .
b) Rút $y = 100 - x$ , thay vào PT 2: $4 x + 2 (100 - x) = 280 \Leftrightarrow 2 x + 200 = 280 \Leftrightarrow 2 x = 80 \Leftrightarrow x = 40$ .
Suy ra $y = 100 - 40 = 60$ .
Vậy xưởng sản xuất 40 cái bàn và 60 cái ghế.

Bài 10:
a) Gọi vận tốc xe A là $x$ (km/h), xe B là $y$ (km/h) ( $x, y > 0$ ).
Hai xe gặp nhau sau 2h $\Rightarrow 2 x + 2 y = 180 \Leftrightarrow x + y = 90$ .
Đổi 45 phút = 0,75 giờ; 1 giờ 48 phút = 1,8 giờ.
Thời gian xe A đi đến khi gặp nhau: $1, 8 + 0, 75 = 2, 55$ giờ.
Thời gian xe B đi: 1,8 giờ.
Tổng quãng đường: $2, 55 x + 1, 8 y = 180$ .
Hệ PT: ${x + y = 90 2, 55 x + 1, 8 y = 180$ .
b) Từ $y = 90 - x$ , thay vào PT 2:
$2, 55 x + 1, 8 (90 - x) = 180 \Leftrightarrow 0, 75 x + 162 = 180 \Leftrightarrow 0, 75 x = 18 \Leftrightarrow x = 24$ km/h.
Suy ra $y = 90 - 24 = 66$ km/h.
Vận tốc xe đi từ A là 24 km/h, xe đi từ B là 66 km/h.

Bài 1: Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

🐕 Vừa gà vừa chó — Bài toán dân gian và ngôn ngữ Đại số

📖 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

📖 2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

🎯 5 Dạng toán & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Nhận biết phương trình, hệ phương trình và xác định các hệ số

Dạng 2: Kiểm tra một cặp số (x0​;y0​) có là nghiệm của PT hay hệ PT

Dạng 3: Viết nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm trên Oxy

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số m liên quan đến nghiệm

Dạng 5: Lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn từ bài toán thực tế

🌍 3 Bài toán ứng dụng đời sống thực tế

📘 Luyện tập - Phương trình bậc nhất hai ẩn

🔍 Nhận biết

✅ Kiểm tra nghiệm

📘 Luyện tập - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

🔍 Nhận biết

✅ Kiểm tra nghiệm

📝 Bài tập tự luận

Dạng 2: Kiểm tra một cặp số $(x_{0}; y_{0})$ có là nghiệm của PT hay hệ PT

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số $m$ liên quan đến nghiệm