Xét hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn:\({z_1} + 3{z_2} = 15 – 5i\) và \(\left| {3{z_1} – {z_2}} \right| = 5\sqrt {10} \). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\) bằng:
A. \(10\).
B. \(2\sqrt {10} \).
C. \(\sqrt {10} \).
D. \(2\sqrt 5 \).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = a + bi\\{z_2} = c + di\end{array} \right.\) với \(a,b,c,d \in \mathbb{R}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{z_1} + 3{z_2} = 15 – 5i \Rightarrow \sqrt {{{\left( {a + 3c} \right)}^2} + {{\left( {b + 3d} \right)}^2}} = \sqrt {{{15}^2} + {{\left( { – 5} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 9\left( {{c^2} + {d^2}} \right) + 6\left( {ac + bd} \right) = 250.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\left| {3{z_1} – {z_2}} \right| = 5\sqrt {10} \Rightarrow \sqrt {{{\left( {3a – c} \right)}^2} + {{\left( {3b – d} \right)}^2}} = 5\sqrt {10} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 9\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {{c^2} + {d^2}} \right) – 6\left( {ac + bd} \right) = 250.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Cộng \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) vế theo vế ta được: \({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = 50\).
Khi đó:
\(\begin{array}{l}P = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \left| {\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|} \right| = \left| {1.\sqrt {{a^2} + {b^2}} + 1.\sqrt {{c^2} + {d^2}} } \right|\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}} \right)} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 10\end{array}\)
Vậy: \(Max{\rm{P}} = 10.\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \({a^2} + {b^2} = {c^2} + {d^2} = 25\) và \(ac + bd = 0\).
Tìm được: \({z_1} = 3 + 4i;{z_2} = 4 – 3i\) thỏa mãn.
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Trả lời