Câu hỏi:
Xét các số phức \(z,w\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 1\) và \(\left| w \right| = 2\). Khi \(\left| {z + i\overline w – 6 – 8i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất, \(\left| {z – w} \right|\) bằng
A. \(\frac{{\sqrt {221} }}{5}\).
B. \(\sqrt 5 \).
C. \(3\).
D. \(\frac{{\sqrt {29} }}{5}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có:
\(\left| w \right| = 2 \Rightarrow \left| {i\overline w } \right| = 2\)
\(\left| {z + i\overline w } \right| \le \left| z \right| + \left| {i\overline w } \right| = 3\)
\(P = \left| {z + i\overline w – 6 – 8i} \right| \ge \left| { – 6 – 8i} \right| – \left| {z + i\overline w } \right| = 10 – 3 = 7\).
Suy ra: \({P_{\min }} = 7\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}z = k.i\overline w ,\,\left( {k \ge 0} \right)\\ – 6 – 8i = h.\left( {z + i\overline w } \right),\left( {h \le 0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{1}{2}\\h = – \frac{{10}}{3}\\z = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i\\\overline w = \frac{8}{5} – \frac{6}{5}i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i\\w = \frac{8}{5} + \frac{6}{5}i\end{array} \right.\).
Vậy \(\left| {z – w} \right| = \left| {\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i – \left( {\frac{8}{5} + \frac{6}{5}i} \right)} \right| = \frac{{\sqrt {29} }}{5}\).
=======
Trả lời